精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高三上学期期中Ⅰ考试数学试卷

滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高三期中I考试 数学试卷 命题人大连市第二十高级中学 苑清治 校对人大连市第二十高级中学刘煜宏 第1卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集运算即可. 【详解】集合， 因为， 所以. 故选：D 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平面向量垂直关系，得到，即可得到答案. 【详解】因为，所以，即. 所以. 故选：C 3. “”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，得到的定义域为时，恒成立，从而得，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若函数的定义域为，则恒成立， 当时，恒成立，若，则，解得， 所以函数的定义域为时，， 即函数的定义域为可以推出， 但推不出函数的定义域为， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 若曲线，在点处的切线分别为，且，则的值为 A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为，则f′（1）=，g′（1）=a，又曲线a在点P（1，1）处的切线相互垂直，所以f′（1）•g′（1）=-1，即，所以a=-2．故选A． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 5. 已知函数满足，当时，，则（ ） A B. C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】利用题目条件推得周期为6，则，再代入则只需求出，而时的解析式已知，代入即可. 【详解】由可得， 故的周期为6，则， 由于当时，，所以， 所以， 故选：D. 6. 已知函数（a为常数），且，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，求得，从而有，代入即可求解. 【详解】因，又，则， 得，所以，则， 故选：C. 7. 若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求导得到，根据题意得到方程有一个根大于0，一个根小于等于0，即可得到答案. 【详解】，定义域为，， 因为函数有且只有一个极值点， 所以方程有一个根大于0，一个根小于等于0， 所以. 故选：C 8. 若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较大小 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，然后求导数，由条件得到函数的单调性，利用函数单调性得到的不等式，化简不等式即可得到结果. 【详解】∵，即， 令，则 即在上单调递增， ∵ ∴，即， 则，即. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全选对得6分，部分对得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 的最小正周期为 C. 若，则 D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题求出周期和A，进而求得，由得，从而，根据正弦函数的对称性即可判断A和B；利用正弦函数的性质求值域判断C；利用图象变换求出解析式，然后根据奇函数定义判断D. 【详解】对于A，由题，因为，所以，则， ，又因为，所以， 所以，解得，所以， 当时，，所以， 故是函数的一条对称轴，故A正确； 对于B，的最小正周期为，故B正确； 对于C，由，则，所以， 所以，故C正确； 对于D，将函数的图象向右平移个单位得到 ， 又， 所以不是奇函数，故D错误. 故选：ABC 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 已知关于的不等式的解是，则关于x的不等式的解为或 B. 已知是函数的最大值点，则 C. 在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点； D. 若函数，函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递减区间是 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用一元二次不等式得，从而得，即可求解；对B，利用辅助角公式及诱导公式，即可求解；对C，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解；对D，根据条件得，利用导数，即可求解. 【详解】对于A，由题知，方程的解为或，且， 则，得到，则，等价于， 即，等价于，所以或，故A正确， 对于B，因为，其中， 由题知，得到， 所以，故B正确， 对于C，令，则恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，又，所以当时，，即， 当时，， 所以在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点，故C错误， 对于D，由题知，所以， 由，得到， 令，则， 由，又，得到，解得， 所以的减区间为，故D错误， 故选：AB. 11. 已知函数，则（ ） A. 在和上是单调递减函数 B. 当方程有且只有唯一实根时， C. 当不等式的正整数解恰有三个时， D. 当过点可作曲线的三条切线时，或或 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，求出单调性，即可得出结论；B项，根据函数单调性和在与的趋近值，处的值，即可得出结论；C项，将问题转化为的图象在上方的正整数解有3个的问题，求出相应的值，即可求出的范围；D项，设出切点，求出切线方程，代入得出一元二次方程，构造函数，利用判别式和在对称轴处即可求出的范围. 【详解】A、B、C：由题意可得的定义域为， 对于函数，，，， 当时，解得或， 当即，时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， 所以在内单调递增，在，内单调递减，故A正确； 当时，，当时，，则， 作出相应图象，如下图， 当方程有个实根时， 所以或，即或，故B错误； 当不等式恰有三个不等的正整数解时， 的图象在上方的正整数解有3个， 因为，，，， 在，内单调递减，在内单调递增， 当即时，的图象在上方的正整数解为，故C正确； D：设切点为，则切线斜率， 切线方程为， 因为切线过点，所以， 当时，切线方程为，满足过点且与相切条件； 当时，得，即， 因为过点可作曲线的三条切线， 所以方程有两个不同的非零实根， 所以且，即且， 解得或或，故D正确. 故选：ACD. 第2卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是两个不共线向量，且，，，且，则_______. 【答案】5 【解析】 【分析】将，代入，根据向量相等的条件列出方程组解出即可得解. 【详解】，代入，并整理得， 又，所以，解得， 所以. 故答案为：5. 13. 已知二次不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再结合解集可得有两根，从而可求解. 【详解】由二次不等式的解集为 可得，且有两根为，， 因为二次函数开口向下，则得，解得或， 又，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为_____. 【答案】16 【解析】 【分析】二次函数和对数函数得到函数的单调区间，以及函数的最值和端点的值，由此得出函数图像，再由方程有4个不同解以及方程解的大小关系作出大致图像.由二次函数对称性得到，由对数函数得到，代入代数式后利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】由二次函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 由对数函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 故作分段函数图像如下： 若有四个不同的解，则， 即 由二次函数的对称性可知， 由对数函数可知，即，则，即，且. 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，集合. （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】(1)利用对数函数的性质，求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，所以， 当时，，则， 又或，所以或. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集， 当，即时，，满足题意， 当时，要使是的真子集，则，解得，所以， 又时，，满足是的真子集， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 计算求值. （1）已知，求的值. （2）若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【答案】（1）. （2）（i），（ii）. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简原式，然后代入求值； （2）由同角三角函数的关系求出，（i）分子分母同除，得到关于的代数式，然后代值求结果；（ii）由诱导公式化简代数式，然后代值求结果. 【小问1详解】 【小问2详解】 ∵ ∴， 则 （i） （ii） 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上的最小值为，求实数m的值. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）分，两种情况结合正负性可得函数单调区间； （2）分，，三种情况结合在上的单调性可得答案. 【小问1详解】 由题可得定义域为：.. 若，则在上单调递增； 若，则， 从而在上单调递减；在上单调递增. 综上，时，的单调增区间为；时，的单调减区间为，单调增区间为； 【小问2详解】 由（1），若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符； 若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时，符合假设. 若，则在上单调递减， 则此时，这与假设不符. 综上可得，实数m的值为. 18. 设函数. （1）求函数在上的最大值； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有三个不相等的实数根，求的取值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系，分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可； （3）令把方程变为在上有三个不相等的实数根，再分根的范围讨论可得. 【小问1详解】 令，得，对称轴，开口向下， ①当，即时，. ②当，即时，. ③当，即时，. 综上可知，. 【小问2详解】 若要，则需， 当时，， 函数变， 所求问题变为恒成立，易知的图象是开口向下的抛物线的一部分， 最小值一定在区间端点处取得，所以有， 解得，故的取值范围是. 【小问3详解】 令，， 则，，方程有两个不同的实数根， 其中一个在，另一个根在； 或者一个根在，另一个根为1， 令， 则有或， ，，， 解得， 代入，此时方程为，解得根分别为0和-1，且时，或；时，三个根，符合条件； 当时，方程为，此时不符合题意， 综上. 19. 设函数. （1）若，求函数的极值； （2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中e是自然对数的底数） 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后求导求出函数的单调区间，即可求解； （2）令，化简得到，令，，则得函数与在上有两个交点，再利用导数求得图象，即可求解. 【小问1详解】 当时，，， ，令，解得（舍），， 当时，；当时，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到极小值， 综上所述：函数有极小值，无极大值. 【小问2详解】 令，解得，因， 所以，令，， 则得函数与在上有两个交点， ，令，， 则，所以在上单调递增，又因为， 所以当时，，； 当时，，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到极小值， 又，则可作出相应图象，如下图， 所以可得，解得， 故实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高三期中I考试 数学试卷 命题人大连市第二十高级中学 苑清治 校对人大连市第二十高级中学刘煜宏 第1卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 3. “”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若曲线，在点处的切线分别为，且，则的值为 A B. 2 C. D. 5 已知函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 6. 已知函数（a为常数），且，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 7. 若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较大小 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全选对得6分，部分对得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 的最小正周期为 C. 若，则 D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 已知关于的不等式的解是，则关于x的不等式的解为或 B. 已知是函数的最大值点，则 C. 在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点； D. 若函数，函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递减区间是 11. 已知函数，则（ ） A. 在和上是单调递减函数 B. 当方程有且只有唯一实根时， C. 当不等式的正整数解恰有三个时， D. 当过点可作曲线的三条切线时，或或 第2卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是两个不共线的向量，且，，，且，则_______. 13. 已知二次不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 14. 已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，集合. （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围 16. 计算求值. （1）已知，求的值. （2）若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 17 已知函数. （1）求函数单调区间； （2）若函数在上的最小值为，求实数m的值. 18. 设函数. （1）求函数在上的最大值； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有三个不相等的实数根，求的取值. 19. 设函数. （1）若，求函数的极值； （2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中e是自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $