精品解析：陕西省咸阳市乾县杨汉中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

乾县杨汉中学2025-2026学年高二上学期10月月考 数学 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点的坐标确定方法，结合空间向量的坐标表示，写出结论即可. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中的点， 在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以空间向量，在坐标平面上的投影向量坐标是：. 故选：A. 2. 复数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2i D. 4i 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数及复数乘法运算化简，最后应用模长公式计算求解. 【详解】复数，则. 故选：B. 3. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 4. 椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程. 【详解】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C 5. 空间内有三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出与，即可得，与，根据点P到直线EF的距离为，即可求解. 【详解】因为，所以， .所以，， 点P到直线EF的距离为. 故选：B.. 6. 已知三角形三个顶点，，，则边上中线所在直线方程是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由中点坐标公式求得的中点坐标，再求出边上中线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由，，得的中点坐标为，， 又， ． 边上中线所在直线方程是，即． 故选：C． 【点睛】本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式的应用，是基础题． 7. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得的余弦值. 【详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以， 所以为直角三角形，且， 以为原点，建立如图直角坐标系： 所以， 所以， 所以. 故选：C 8. 设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知有、均恒过点，且，令，则，结合圆的弦长求法有，再应用基本不等式求其最大值，注意取值条件. 【详解】由，圆心，半径为， 、均恒过点， 由知，且，即在圆内，如下图示， 所以，设分别是的中点，则， 令，则， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，故最大值为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出不共面，故能构成空间的一个基底，C错误，ABD选项向量均共面，不可构成空间的一个基底. 【详解】是空间的一个基底，故不共面， 对于A选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 则，所以为共面向量， 故不能构成空间的一个基底，故A正确； 对于B选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，无解，故不共面，故可构成空间的一个基底，故B错误； 对于C选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，解得，故共面， 故故不能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，解得，故共面， 故故不能构成空间的一个基底，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，，，，则（ ） A. 平面的一个法向量是 B. 直线的单位方向向量是 C. 点到直线的距离为 D. 四点共面 【答案】AD 【解析】 【分析】A设平面的法向量是，利用，可得；B利用直线的单位方向向量为，可判断；C利用空间向量点到线的距离公式可判断；D利用向量共面定理与向量的坐标运算可判断. 【详解】对于A：设平面的法向量是，因为，， 所以，则，令，可得，正确； 对于B：因为，， 所以直线的单位方向向量是或， （注意直线的单位方向向量有2个，互为相反向量），错误； 对于C：，，， 则点到直线的距离为，错误； 对于D：由题意得，则，所以，四点共面，正确. 故选：AD 11. 如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，，P，D三点共线 B. 当时， C. 当时，平面 D. 当时，平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点的坐标，根据空间向量公式，可得答案. 【详解】由题意，如图建系： 则， ， 设，，则， 可得， ， 对于A：当时，则点P为对角线的中点， 根据长方体性质可得三点共线，故A正确； 对于B：当时， ∴，解得， 所以， 则， 因此不正确，故B错误； 对于C：当时，， 设平面的法向量为， ， ∴，， 当时，，，故， ∴，∴， 又平面，∴平面，故C正确； 对于D：当时，可得，， 设平面的法向量为， 则，， 取，则，∴， 而，∴，∴平面，故D正确． 故选：ACD 三､填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.） 12. 已知直线在轴上的截距为1，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用横截距的定义，即可求解. 【详解】因为直线，令，得到， 由题有，解得， 故答案为：. 13. 如图，在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则，满足的关系式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面定理，得出关系. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以. 故答案为： 14. 已知直线 过定点 ，直线 过定点 的交点为C，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先确定，，再通过，确定的轨迹为以为直径的圆，即可求解. 【详解】根据的方程及，易知时，,恒过定点， 根据的方程，易知时，, 恒过定点. 则，则的最大值即求的最大值， 由，的方程可得： 当时，两直线垂直， 当时，，两直线垂直， 所以可得， 所以交点的轨迹为以为直径的圆， 所以的最大值即为直径， 即两点重合时，最大，最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在平行六面体中，，，设向量，，. （1）用、、表示向量，并求； （2）证明：直线平面. 【答案】（1）， （2）证明：，则， ，， 则， ，、平面，因此，平面. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，利用空间向量数量积的运算可求得； （2）利用空间向量的数量积的运算可得出，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 ， 由已知可得，， 因此，. 【小问2详解】 略 16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． （1）若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； （2）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求得，由点斜式求得直线的方程； （2）设点，得线段的中点的坐标，将其代入直线的方程，将点代入直线的方程，分别可得的方程，求解得坐标，求出点关于直线对称点，由三点共线求出，进而可得直线的方程． 【小问1详解】 ∵直线的方程为，其斜率为， ∵，∴，又， ∴由点斜式得直线的方程为，即. 【小问2详解】 设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称点为， 则，得，即， 因三点共线，则， 所以直线所在的直线方程为，即． 17. 如图，是圆的直径，直线平面，且为圆周上一点，. （1）求点到平面的距离； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判定定理可得平面，点到平面的距离为，利用勾股定理即可求解； （2）利用向量法求线面角即可. 【小问1详解】 因为直线平面，平面， ， 由是圆的直径，可得， 又因为，平面， 所以平面， 点到平面的距离为. 【小问2详解】 以为原点，以所在直线为轴，轴， 过点作平面的垂线，并以该直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 设直线与平面的夹角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置. 【答案】（1） 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面. （2）存在，为靠近的三等分点，或与重合. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）设，，进而得到，结合（1）中，利用点到平面的距离公式列方程求参数，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设存在点到平面的距离为，且，， 所以，则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以，可得或， 所以，当为靠近的三等分点或与重合时，满足要求. 19. 如图，平面，，，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：平面； （3）若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长． 【答案】（1） （2） 设，则， 由题意可知：平面的法向量为，且， 可得，则， 且平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，表示出的坐标，首先求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （2）设得到，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （3）求平面的法向量，利用空间向量结合面面夹角解方程求得结果. 【小问1详解】 依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 则， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设为平面的法向量，则， 令，则可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 所以线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乾县杨汉中学2025-2026学年高二上学期10月月考 数学 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2i D. 4i 3. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 4. 椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 空间内有三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三角形三个顶点，，，则边上中线所在直线方程是　　 A. B. C. D. 7. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，，则（ ） A. 平面的一个法向量是 B. 直线的单位方向向量是 C. 点到直线的距离为 D. 四点共面 11. 如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，，P，D三点共线 B. 当时， C. 当时，平面 D. 当时，平面 三､填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.） 12. 已知直线在轴上的截距为1，则__________. 13. 如图，在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则，满足的关系式为__________. 14. 已知直线 过定点 ，直线 过定点 的交点为C，则的最大值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在平行六面体中，，，设向量，，. （1）用、、表示向量，并求； （2）证明：直线平面. 16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． （1）若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； （2）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 17. 如图，是圆的直径，直线平面，且为圆周上一点，. （1）求点到平面的距离； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置. 19. 如图，平面，，，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：平面； （3）若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $