精品解析：山东省烟台市招远市第二中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025～2026学年度高一第一学期期中月考检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）． A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定为（ ）． A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 3. 命题“，”为真命题一个充分不必要条件是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知集合，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ）． A 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 7. 已知为方程的两个不等实根，则的取值范围为（ ）． A B. C. D. 8. 某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．则臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的得0分． 9. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ）． A. 集合和表示同一集合 B. 函数的值城为 C. 若为一次函数，且满足，则 D. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 11. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共有3个小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______． 13. 若不等式对一切恒成立，则a的取值范围为______． 14. 已知，且，则的最小值是______________． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题“反比例函数的图象位于第二、四象限”，命题“，恒成立”. （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）在p，q均为真命题的情况下，甲同学认为p是q的充分不必要条件，乙同学认为p是q的必要不充分条件，请谈一下你的观点. 16. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数a的取值范围． 17. 已知函数 （1）若的解集为，求的值. （2）若a>0，解关于x的不等式. 18. 为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）要使这名研发人员年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 19. 对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质． （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度高一第一学期期中月考检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案. 【详解】根据已知条件有：图中阴影部分表示， ，所以， 所以图中阴影部分所表示的集合为：. 故选：B 2. 命题“，使得”的否定为（ ）． A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题可得答案. 【详解】命题“，使得”的否定为：，都有. 故选：A 3. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出命题“，”为真命题的充要条件，进一步求真子集即可判断. 【详解】根据，为真命题， 可化为：，恒成立，则需， 所以“，” 为真命题的一个充要条件是， 所以命题为真命题的一个充分不必要条件为集合的真子集， 所以符合题意. 故选：D 4. 已知集合，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论. 【详解】， ， 由，为整数，为奇数，故集合M､N的关系为. 故选：C 5. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合之间的关系列不等式组求解即可. 【详解】因为且，所以必为非空集，则有，解得， 又，所以，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：C 6. 下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法，代入数据，可判断A、B、C正误，根据作差法，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：若，当时，，故A错误； 选项B：当时，满足，但，故B错误； 选项C：当时，满足，但，故C错误； 选项D：当时，，即， ，即， 所以，故D正确. 故选：D 7. 已知为方程的两个不等实根，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理消元转化为二次函数计算值域即可. 【详解】由题意可知，即， 而， 由二次函数的性质知在上单调递减， 所以. 故选：B 8. 某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．则臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出干扰度之和的解析式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意，知，， 当时，， ，解得， ，． ，， ， 当且仅当，即时取等号， 当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，最小值为． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的得0分． 9. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，分别判断选项. 【详解】A.，，，故A不正确； B. ,，即，故B正确； C.由B可知，，故C不正确； D.，， ，即，故D正确. 故选：BD 【点睛】本题考查根据不等式性质，判断不等式是否正确，属于基础题型. 方法点睛：一般判断不等式大小问题，可以采用以下方法： 1.利用不等式的性质和结论直接判断大小； 2.差值（或商值）比较大小，一般做差，再通过变形整理（包括通分，配方，因式分解等），最后判断符号，比较大小； 3.单调性法，若比较大小的两个式子是某些函数的模型，可构造函数，利用函数的单调性比较大小； 4.特殊值验证，可以给变量赋特殊值，排除选项. 10. 下列说法正确的有（ ）． A. 集合和表示同一集合 B. 函数的值城为 C. 若为一次函数，且满足，则 D. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两个集合的含义可判断A；将函数变形为，先求出的范围即可求出的范围可判断B；利用待定系数法求解析式可判断C；先求出的关系并判断的符号，再解一元二次不等式可判断D. 【详解】对于A：集合为函数的定义域， 集合为函数的值域，即，所以不是同一个集合，故A错误； 对于B，当时，，则， 此时，，则，则， 所以，函数的值域为，故B正确， 对于C，因为是一次函数，设， 则，可得， 解得或，所以或，故C错误； 对于D：关于的不等式的解集， 则方程 的两个解是 或 ，并且 ， 由韦达定理可得  ，解得， 则不等式转化为，由， 则，解得， 故不等式的解集为，故D正确． 故选：BD 11. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共有3个小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式直接求函数定义域即可. 【详解】由题意知，令， 即，， 解得. 故函数的定义域为. 故答案为： 13. 若不等式对一切恒成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况分类讨论，当时，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】当时，不等式对一切恒成立，符合题意； 当时，令，由题意函数图象位于轴上方， 所以有，解得：， 综上，a的取值范围为：. 故答案为：. 14. 已知，且，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】有错，可以接着利用基本不等式解得最小值. 【详解】∵，∴， ，当且仅当时不等式取等号， ∴，故的最小值是． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，巧用“”，是解决本题的关键. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题“反比例函数的图象位于第二、四象限”，命题“，恒成立”. （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）在p，q均为真命题的情况下，甲同学认为p是q的充分不必要条件，乙同学认为p是q的必要不充分条件，请谈一下你的观点. 【答案】（1）；（2）甲乙两名同学说法均不正确，正确的说法为：p是q的既不充分也不必要条件. 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数性质可知，解不等式即可得解； （2）若q为真命，求出a的取值范围，结合（1）与充分必要条件的定义即可判断. 【详解】（1）命题p“反比例函数图象位于第二、四象限”， ，解得：， 所以实数a的取值范围是： （2）若命题“，恒成立”为真命题， 则有，解得：， 此时推不出，也推不出，即p是q的既不充分也不必要条件， 所以甲乙两名同学说法均不正确，正确的说法为：p是q的既不充分也不必要条件 16. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合中不等式的解集，然后根据并集、补集的定义进行求解即可. （2）分两种情况进行讨论求出的范围. 【小问1详解】 集合，， 所以， ∵，∴． 【小问2详解】 ∵， ①当时，满足，此时，得； ②当时，要，则， 解得．由①②可得，， ∴的取值范围是． 17. 已知函数 （1）若的解集为，求的值. （2）若a>0，解关于x的不等式. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）可知是方程的解，代入可求出，再解一元二次不等式可求出的值，即可得出答案； （2）不等式变形可得，则讨论三种情况，解不等式得到答案. 小问1详解】 由题意可知，是方程的解，将代入，可得， 所以，原不等式为，即为，所以原不等式的解集为，所以． 所以. 【小问2详解】 由不等式，可得， 即，故对应方程的两根分别是或， 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 综上所述， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18. 为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）最多150人 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值. （2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围. 小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则， ，， ，解得， ∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人； 【小问2详解】 ①由技术人员年人均投入不减少有，解得. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 ， 两边同除以得， 整理得， 故有， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， ∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为. 19. 对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质． （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】（1），． （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义计算即可； （2）根据集合的新定义计算，结合集合相等的条件即可得证； （3）设满足题意，，分析中那些必然不同的元素，得到，，进而可得，再找到中最小的元素为，最大的元素为，从而得到.利用不等式的传递性，可得，然后构造的例子，说明存在性即可得到的最大值． 【小问1详解】 由集合，得，，， 因此，又，，，所以. 【小问2详解】 由集合，， 得集合的元素在，，， 中产生， 且，， 而，则中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即，， 则构成的元素为，，，，且与或或重复， 又，所以，即. 【小问3详解】 依题意，， 设满足题意，， 由， 得：， 由，得：， 由，得， 而中最小的元素为，最大的元素为，， 因此，即，解得， ，. 则，，满足， 所以具有孪生性质. 所以集合中元素的个数的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $