精品解析：陕西省咸阳市育才田家炳中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

咸阳市育才田家炳中学2025-2026第一学期高二第一次月考 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 2. 已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. ，，若则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与为异面直线 D. 平面 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 11. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，则____. 13. 若空间中有三点，，，则A到直线BC的距离为_______． 14. 如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知平行六面体，化简下列向量表达式 （1）； （2）； （3）． 16. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 17. 已知空间中三点． （1）若向量与平行，且，求的坐标； （2）求以，为邻边的平行四边形的面积． 18. 如图，已知正方体中，E为棱上的动点． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：E为的中点． 19. 如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. （1）求点B到平面CDE的距离； （2）求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市育才田家炳中学2025-2026第一学期高二第一次月考 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 2. 已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 3. 已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面基本定理可得结果. 【详解】由于，，， 由空间向量共面基本定理知，，，均与共面， 不能构成一组基底，故ABD均错误. 故选：C. 4. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据空间向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】由直线平面，可得， 所以，得. 故选：D. 5. 如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】在平行六面体中，E为BC的中点， 所以. 故选：B 6. 已知空间向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【详解】因为， 所以, 得. 故选：D 7. ，，若则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出的值，即可得答案. 【详解】因为，，，所以存在,，所以 故选：C. 8. 如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与为异面直线 D. 平面 【答案】D 【解析】 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A正确； 对于B，由，得，则，解得，B正确； 对于C，由，得，，，则或，C错误； 对于D，由，得，，，则，D正确. 故选：ABD 10. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标运算与表示，共线向量的坐标运算，共面向量定理，逐项判定，即可求解. 【详解】由向量， 可得，，所以A、B正确； 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以向量与向量不共线，所以C错误； 设，可得， 所以，解得，所以共面，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】由，求出的值，利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】向量，由，解得， 则有，又，则. 故答案为：. 13. 若空间中有三点，，，则A到直线BC的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角去求到直线的距离. 【详解】由可得 则， 又，则 则到直线的距离为 故答案为：. 14. 如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接表示各向量，利用转化法可得向量数量积. 【详解】， ； 由题意易知， 则，， 则 ． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知平行六面体，化简下列向量表达式 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案. （2）利用空间向量的数量积运算律计算即得. 【小问1详解】 在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点， ， 所以 . 【小问2详解】 正四面体的棱长为1，则， 所以. 17. 已知空间中三点． （1）若向量与平行，且，求的坐标； （2）求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）利用空间向量的夹角公式求出，再结合三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为向量与平行，所以可设， 所以， 因为，所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，即， 又，所以， 所以的面积， 所以以为邻边的平行四边形的面积为． 18. 如图，已知正方体中，E为棱上的动点． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：E为的中点． 【答案】（1） 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则． 设，， ， ∴，即 （2） 设平面和平面EBD的法向量分别为，． ， ，即，令，则，则， ，即，令，则，则． 由平面平面，得. ，即. ∴当E为的中点时，平面平面. 【解析】 【分析】（1）以D为原点，、、为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，计算即可证明； （2）求出面与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. （1）求点B到平面CDE的距离； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案； （2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可. 【小问1详解】 ∵平面平面 ∴， 又  两两互相垂直， 则以点为坐标原点，分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量 即 令，可得 ， ， 记点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为4. 【小问2详解】 由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为 平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 由图可知 ， ， 由图知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为，正弦值为， 二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $