3.2勾股定理的逆定理 自主学习达标测试题 2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册《3.2勾股定理的逆定理》 自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形（   ） A．可能是锐角三角形 B．仍然是直角三角形 C．不可能是直角三角形 D．可能是钝角三角形 2．下列各组数据是三角形三条边的长，组成的三角形不是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1.0 B．5，12，13 C． D．9，15，17 4．在中，的对边分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知三角形三边长为a，b，c，如果，那么是（   ） A．以a为腰的等腰三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底的等腰三角形 6．在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．小明用火柴棒做成一个三角形木架，经测量，，则点C到的距离是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若的三条边a，b，c满足，则是 三角形． 10．若是的高,，则的长为 ． 11．若的三边a，b，c满足，则的面积为 ． 12．如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 13．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 14．如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则 ． 15．如图，在中，，，边的中线，为了求出边的长，小明同学做了以下辅助线：延长到E，使，连接．则 ． 16．如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数 ． 三、解答题（满分72分） 17．判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪一个角是直角． (1)，，; (2)，，． 18．如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 19．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 20．如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．某社区推进“垃圾分类示范小区”建设，在三角形空地中设置可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三个分类投放区，用石子小路、分隔（宽度忽略不计），经测量，米，米，米，米． (1)求证：； (2)若每米石子路的造价为20元，当石子路时最短，求修小路的最少花费． 22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 23．和中，，，连接． (1)如图1，求证：①．② (2)如图2，连接，若，求的度数． (3)如图3，取的中点M，N，连接，判断的形状，并说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”、“若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形”是解题的关键． 【详解】解：∵原三角形是直角三角形，设两直角边长分别为、，斜边长为， 假设各边都扩大或缩小相同的倍数， ∴新三角形的三条边长满足：， ∴新三角形仍然是直角三角形； 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 根据题意，逐项验证是否符合勾股定理即可判断． 【详解】对于A，，故是直角三角形，不符合题意； 对于B，，故是直角三角形，不符合题意； 对于C，，故不是直角三角形，符合题意； 对于D，，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵0.6，0.8不是整数，∴0.6，0.8，1.0不是一组勾股数，不符合题意； B、∵，∴5，12，13是一组勾股数，符合题意； C、∵不是整数，∴不是一组勾股数，不符合题意； D、∵，∴，，不是一组勾股数，不符合题意． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据得到，即可得到是直角三角形，． 【详解】∵， ∴， ∴是直角三角形，， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，掌握非负数的性质是解题的关键． 根据非负数的性质得出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可． 【详解】解： ， ，，， ，，， ， ， 是以为斜边的直角三角形， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形性质，由，得，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、，，故选项A不符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C符合题意； D、，，故选项D不符合题意； 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求三角形的面积， 先根据勾股定理逆定理得是直角三角形，再根据面积相等得出答案. 【详解】解：因为， 所以是直角三角形，且， ∴， 设点C到的距离为h，则， 解得． 故选：A． 9．等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定义与非负数的性质． 根据非负数的性质求出，且，进而判断出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 10． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式的应用，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再利用直角三角形面积的两种表示方法列等式求高． 先计算与的和等于，可判断的形状为直角三角形，再分别用两直角边和斜边与斜边上的高表示三角形面积，通过面积相等列等式求解． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形，且． 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 11．54 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理及绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性求得，，，然后根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 的面积为． 故答案为：54． 12．3 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 【详解】解：∵， ， ∴是直角三角形，且， 过点D作，垂足为E， ∵平分， ∴点到的距离， 故答案为：3． 13．或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 14．/90度 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．设出正方形的边长，利用中点及线段比例关系表示出相关线段长度，再通过勾股定理分别求出三角形三边的平方，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，从而得出角的度数． 【详解】解：设． E是的中点，， ，，． 在中，由勾股定理可得． 同理可得，， ， 为直角三角形，． 故答案为： 15． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 由两边和夹角对应相等可得，得到，，证明是直角三角形，利用勾股定理求得的长度即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等、对应角相等，以及等边三角形和直角三角形的判定方法是解题的关键．连接 ，先利用旋转的性质得到对应边相等和对应角相等，再结合等边三角形的判定与性质，最后通过勾股定理逆定理判断 的形状，得到的度数，进而求出的度数． 【详解】解：连接 ，如图， ∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，，，， ∴ ，，，， 又∵ 是等边三角形， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∵ 且 ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，； 在 中，，，， ∵ ，即 ， ∴ 是直角三角形，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 17．(1)是，边c所对的角是直角 (2)不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键； （1）根据勾股定理的逆定理，求出两短边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可． （2）根据勾股定理的逆定理，求出两短边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可． 【详解】（1）解：， 所以该三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角． （2）解：， 所以该三角形不是直角三角形． 18．的长为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，从而可得，用勾股定理解三角形，可得的长度，与相加，即可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答：的长为． 19． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，分别求出和的面积，相加即可得出答案，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在中，∵，，， ∴， ， 在中，∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理（及逆定理）的应用，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到，进而通过边的关系转化证明直角或列方程求解． （1）连接，由垂直平分线性质得，结合已知等式转化为，利用勾股定理逆定理证； （2）设，用表示的长度，在中通过勾股定理列方程求解x． 【详解】（1）证明：连接 ∵是的垂直平分线 ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∵，且 ∴ 即 ∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理） 即 （2）解：设的长为x ∵ ∴ ∵ ∴ 在中，由勾股定理得： 即 展开得： 化简得：,即 ∴ ∴的长为． 21．(1)见解析 (2)144元 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）利用勾股定理逆定理得出是以为直角的直角三角形，即可证明结论； （2）用勾股定理求出的长，由，利用等积法求，根据铺设石子路每米20元，列式计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵米，米，米． ∴，则， ∴是以为直角的直角三角形， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，由勾股定理得： 米； ∵， ∴， 即， ∴（米）， ∴需花费（元） 即：修小路的最少花费144元． 22．(1)受台风影响，理由见解析； (2)台风影响海港持续的时间为． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以台风影响海港持续的时间为． 23．(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，根据图形灵活运用相关知识的性质是解题的关键． （1）①根据证明即可；②由全等三角形的性质得到，进而证明，据此可证明结论； （2）通过全等三角形的性质证得，再根据勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质即可求解； （3）根据全等三角形的性质可证得，，由此不难判断的形状． 【详解】（1）证明：①， ，即， ， ； ②设相交于点F，相交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，’ ； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ， 点M，N是的中点， ，，又， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $