专题13 勾股定理及其逆定理的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建勾股定理专项训练体系，通过7类典型题型实现从基础应用到综合迁移的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1个通法框架|提炼“定理应用+逆定理判断+折叠方程”核心方法，明确斜边确定、单位统一等易错点|从定理本质（a²+b²=c²）到逆定理判定，构建“性质-判定-应用”逻辑链| |题型归纳|7个典例+21个变式|每个题型配备“特征+方法”模版，如等面积法求高、网格中勾股定理应用等|按“基础计算→面积关系→验证证明→判定应用”梯度编排，覆盖中考高频考法| |压轴挑战|18道综合题|融合动态几何、实际应用、规律探究等压轴题型，强化方程思想与分类讨论能力|从单一知识点到多模块综合（如勾股定理与函数、几何变换结合），提升复杂问题解决能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13勾股定理及其逆定理的七类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型二、已知直角三角形的两边，求第三边长 题型三、 等面积法求斜边上的高问题 题型四、勾股定理的验证方法 题型五、判断三边能否构成直角三角形 题型六、在网格中判断直角三角形 题型七、利用勾股定理的逆定理求解 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：直角三角形中知两边求第三边：或已知三边判断三角形形状：常与折叠、最值、网格问题结 合。 解题方法：定理用+b2=c2(c为斜边)：逆定理用较小两边平方和与最大边平方比较，折叠问题设未知 数，用勾股列方程。 -易错提醒：未找对斜边就代入公式：逆定理忘记比较最大边：忽视三边能否构成三角形的前提：单位未 统一。 夙题型归纳一精讲典型题法，夯尖解题根基 题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积 典例1.(25-26八年级下·湖北孝感期末)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为， 35.8,5,5,若9+，=25,8=8 则BC、 S A B S 题型模版 1.特征：以直角三角形三边为边向外作相似图形（如正方形、半圆、等边三角形），面积关系。 2.方法：利用勾股定理2+b2=c2,结合相似图形面积比等于相似比平方，推导两小图形面积和等于大图形面 积。 变式1-1.(25-26八年级下·湖北武汉·期中)如图，AD是△ABC的边BC上的高，分别以线段AB,AC, BD CD 为边向外作正方形，正方形的面积分别为， 8,,,5.若=4，=7，则5与5之间 满足的数量关系为 S2 S D SA 变式1-2.(25-26八年级下广东广州期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为 边作正方形ABDE,正方形BCFG,正方形ACHI,AI交CF于点J.三个正方形没有重叠的部分为阴影 部分，记四边形BG的面积为入，四边形CW的面积为3，若-S=15,5:=0 ,则AB的长为 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 变式1-3.(25-26八年级上江苏无锡期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB 为边向外作正方形4CDE、正方形CBHP、正方形BMFG,其面积分别为 SS,则SS之间的 ,则 等量关系为 分别以G队PD、EF 为边向外作正方形，其面积分别为 SS,则 SS,、S6之间的等量关系为 G S S4 D 5 Ss 题型二、已知直角三角形的两边，求第三边长 典例2.(25-26八年级下福建厦门期中)在Rt△ABC,∠C=90°，BC=3,AB=5,则AC= 题型模版 1特征：己知直角三角形任意两边（直角边或斜边)，求剩余第三边长度。 2.方法：确定斜边后，用勾股定理a+b2=c2列方程；若含特殊角(30°或45°)，也可用三边比例关系直接求 解。 变式2-1.(25-26九年级下·云南曲靖期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，AC=6, 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=8,则AD的长为 变式2-2.(25-26八年级下湖北随州期中)在△ABC中，AB=13,AC=20,AD是BC边上的高， AD=12,则BC= 变式2-3.(25-26八年级上：河南平顶山期中)如图，在RtAABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=4cm, BC 1cm/s 动点P从点B出发沿射线以 的速度移动，设运动的时间为1秒。当△1 P为以1B或1P为底边的 等腰三角形时，t的值是 题型三、等面积法求斜边上的高问题 典例3.(25-26八年级上全国期末)在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为3cm和4cm,则第三边的长 为 ； 斜边上的高为 题型模版 1特征：已知直角三角形两直角边，求斜边上的高，常结合面积相等列方程。 2方法：用面积法号b=ch,故高= c ,先由勾股定理求斜边c,再代入计算。 变式3-1.(25-26八年级下·新疆吐鲁番期中)已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么这 个直角三角形斜边上的高为 变式3-2.(2026江苏无锡模拟预测)如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,若AC=6, BC=8,则CD= 变式3-3.(25-26八年级下·安徽淮南期末)△ABC中.AB=20,AC=15,BC边上的高为12，则BC 边的长为， 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、勾股定理的验证方法 典例4.(25-26八年级下·安徽合肥期末)综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具，中国是 最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是 数学定理中证明方法较多的定理之一 c b a a b a 6 b 图1 图2 图3 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程， 题型模版 1.特征：通过拼图面积恒等或几何构造，直观证明a2+b2=c2,无需代数推导。 2方法：用四个全等直角三角形拼成正方形（如赵爽弦图），利用面积相等（大正方形面积=小正方形面积 +四个三角形面积)验证。 变式41.(25-26七年级下·云南昭通·期中)赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出 的勾股定理证明方法，记载于三国时期.图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为， 较长的直角边长都为6，斜边长都为c,大正方形的面积可以表示为。，也可以表示为4×b+口-b, 由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2. 5/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D b a 图① A 图② K图⑧ (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中∠A=∠D=∠BCE=90°，请你利用图②推导 勾股定理， (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积.如图③，已知 △HMN中，HM=13,MN=15,HN=14,作MK⊥HN,就可以计算出aHMN的面积.请你完善解答过程， 求出△HMN的面积. 变式42.(25-26八年级上·福建福州期末)(1)【阅读材料】 如图1，在边长为“的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部 分拼成图2所示的长方形.由面积的不同算法可得乘法公式： (2)【类比探究】 如图3，Rt△ABC的三条边长分别记为a,b,c,Rt△DAE≌Rt△ABC,点C,A,E在同一条直线上，连 接BD.请推导出a,b,c之间的等量关系. (3)【应用结论】 111 如图4，Rt△4BC的两条直角边及斜边上的高分别记为4，b,h,应用上面结论求证a+b=F. b ① 图1 图2 图3 图4 变式43.(25-26八年级上河南南阳期末)著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角 边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为C),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4×,ab+(口-b,由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b:斜边长为c:则 a2+b2=c2 C D 6 A Hh B --------------- 图1 图2 图3 (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理： (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,AB=AC,由于某种原 因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一 条直线上)，并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=0.8千米，HB=0.4千米，求新路CH比原路CA 少多少千米？ (3)已知△ABC中，AB=15,AC=13,AD为BC边上的高，且AD=12,请直接写出△ABC的面积. 题型五、判断三边能否构成直角三角形 典例5.(25-26八年级下重庆开州期末)△ABC三边分别为a、b、C,在下列条件下，△ABC不是直角 三角形的是() A.a=8,b=14,c=17 B.a2+b2=c2 C.a=3,b=4,c=5 D.a:b:c=5:12:13 题型模版 1特征：已知三条线段或三角形边长，判断是否满足勾股定理的逆定理。 2方法：先找最大边c,若满足a2+b2=c2,则为直角三角形：否则不是（注意排除非三角形情况）。 变式5-1.(25-26八年级下·山西朔州期末)数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7,15， 20,24,25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是() 7/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25/ /24 B.24 20 24 25 20 25 15 20 24 变式5-2.(25-26八年级下·安徽准北期中)已知a,b,C为△ABC的三条边，则下列命题为真命题的是 () A.若a=5,b=12,c=14,则△ABC为直角三角形 B.若a2-b2=c2,则△ABC为直角三角形 C.若a:b:c=2:3:4,则△ABC为直角三角形 D.若a=9,b=12,c=16,则△ABC为直角三角形 变式5-3.(25-26八年级上甘肃期末)下列选项中，正确的是() A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B.若三角形的三边之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形 C.△ABC的三边分别为AB,BC,AC,若AB2=BC2+AC2,则∠A是直角 D.在△ABC中，若∠4∠B:∠C=2:3:7,则△ABC是直角三角形 题型六、在网格中判断直角三角形 典例6.(25-26八年级下·天津和平期中)如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A, B,C都在格点上，则下列结论错误的是() A.AB2=20 B.∠BAC=90° C.△ABC的面积为10 D.点A到直线BC的距离是2 题型模版 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：在方格纸中己知三点坐标，判断三角形形状，常通过计算三边平方判断。 2方法：利用格点距离公式（横向差与纵向差的平方和）求三边平方，验证是否满足勾股定理的逆定理。 变式6-1.(2026辽宁朝阳·二模)如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点， 点A,B,C,D均是格点，则∠AOC的度数为一 ……的 D 变式6-2.(2425八年级下福建三明期中)如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形ABCD 的四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上 D (I)求四边形ABCD的面积： (2)求证：∠BCD=90° 变式6-3.(25-26八年级下吉林期中)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点 均在格点上，请按要求完成下列各题： B (I)画线段ADIIBC且使AD=BC,连接CD: (2)AD的长为 (3)△ACD为. 三角形： (4)根据所画的图形，可以求出四边形ABCD的面积为， (平方单位). 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型七、利用勾股定理的逆定理求解 典例7.(25-26八年级下江西赣州期末)如图，在三角形支架中，AD1BC,垂足为D,AB=20m, AC=15m DC=9m (I)求BD的长； (2)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由. 题型模版 1.特征：已知三角形三边（或边长表达式），判断是否为直角三角形，或反求参数使三角形为直角三角形。 2方法：用勾股定理逆定理，验证较小两边平方和是否等于最大边平方，列方程求参数并检验。 变式7-1.(25-26八年级下·吉林松原期中)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,AB=L,BC=2, CD=2,AD=3」 (1)连接AC,判断△ACD的形状，并说明理由： (2)求四边形ABCD的面积. 变式7-2.(25-26八年级下·湖南长沙期未)某公园是人们健身散步的好去处.小明跑步的路线如图，从 A点到D点有两条路线，分别是A-B-D和A-C-D.己知AB=90m,AC=150m,点B在点C的正西方 120米处，点D在点C的正北方60米处（即BC=120m,CD=60m,BC⊥CD). 10/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 西 干东 湖 (1)求证：∠ABC=90°， (②)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？ 变式7-3.(25-26八年级下广东肇庆期末)【问题情境】如图①，在△ABC中，BD为AC边上的高. 斜梁 竖梁 D D B 横梁 图① 图② 图③ (I)【数学知识】若AD=1,BD=2,CD=4,求证：AB⊥BC: (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，己知斜梁 BD⊥AC AC=2.1m BD=1.2m BC=2m BC AB 斜梁 横梁 若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁， 请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由. ◆◆ 同压轴桃战一支克高障压轴，突破思维上保 一、单选题 1.(25-26八年级下·云南玉溪·期中)一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是 () A.15 B.8 C.6 D.4 2.(25-26八年级上江苏南京阶段检测)已知三条线段的长分别为a,b,℃，下列条件中，不能判定它 们能构成直角三角形的是() 11/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a+b=c B.a:b:c=3:4:5 C.a=1 b=2 c=5 D.a=1 b=2 c=3 3.(25-26八年级上甘肃·期末)下列选项中，正确的是() A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B.若三角形的三边之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形 C.△ABC的三边分别为AB,BC,AC,若AB2=BC2+AC2,则∠A是直角 D.在△ABC中，若∠∠B:∠C=23:7,则△ABC是直角三角形 4.(25-26八年级下·吉林期末)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，图2由主题图案中相 邻两个直角三角形组合而成.当B=BC=l,A0=V5 时，0C的长为() B ICME7 图1 图2 √2i 万 A.2 B.5, C.3 D.2 5.(25-26八年级下·陕西商洛·期中)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方 形蜜铺构成的大正方形，其中大正方形16CD的边长为.D7=3,连接46，则46的长度为(). B G H D V34 √29 A. B.6 C.5 D 二、填空题 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)如果把a2+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么满足这个方 程的正整数解a,b，c通常叫作勾股数组.古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：① 4,3,5:②6,8,10；③8,15,17：④10,24,26；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为 7.(25-26八年级下·贵州黔南·期末)如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所 S=2 S8=4 Sc=1 Sp=2 有的四边形都是正方形，若 ,则正方形E的面积为一 A D E 8.(25-26八年级下·重庆·期中)如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁， 现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短.则甲到乙的最短路程为 甲 120m 30m 天桥 20m i20m 乙之 9.(25-26八年级下·江西上饶期中)如图，在△ADC中，∠ADC=90°，AD=CD=12,点M在DC上， 且DM=4.点N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（提示：作关于AC对称的点）. 10.(2026湖南衡阳·二模)定义：MN为某个三角形的边，若MW与其边上的高相等，则称该三角形为 边MN的“伴随三角形”.△ABC为边AB的“伴随三角形”，AB=4. 13/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若∠B=90°，则∠A=」 ②若AC=5,过点C作直线AB的高，垂足为点D,则BD的长为 三、解答题 11.(26-27八年级上全国课后作业)如图，已知Rt△ABC的三边长分别为6,8,10，分别以它的三边 为直径向上作三个半圆.求图中着色部分的面积. 6 8 10 12.(25-26八年级下山东滨州期中)如图，在△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高AH=8. B C B 图1 图2 (1)根据图1，求BC的长； (2)根据图2，求BC的长 13.(25-26八年级下四川南充期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC,AD=12,BD=16,CD=9.求： B D (1)△ABC的周长： (2)判断△ABC是否是直角三角形？为什么？ 14.(25-26七年级下·江苏宿迁期末)定义：任意三个数a,b,c若满足a+b+c=3b,则称c为a,b 的“调和数”， (1)若a=3,b=4,则a,b的“调和数”c=_ ②若6=2，+=8，求a,b的“调和数” 14/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若a,b的“调和数”c满足c2=a2+b且a,b,c均为正整数，求c的值. 15.(25-26八年级下·辽宁大连期末)如果把a2+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么满足这个方程 的正整数解，b,C通常叫作勾股数组，可以记作 ,6c).毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的 (3,4,5)(5,12,13)（7,24,25) 公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： 分析这些勾股数组可以发现， 4=1×3+)12=2x(5+1.24=3×7+, (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组： (②小红将+b2=〔移项并因式分解得 2=c2-b2=(c+b)(c-b) 请写出满足上述规律的第”个勾股数 组（用含n的式子表示），并尝试用小红的方法证明： g)若+7，x+m 是满足上述规律的一组勾股数组，求的值 16.(25-26八年级下·重庆·期中)教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆 公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直 角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为2， 也可以表示为4×2b+(a-b,由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜 边长为c,则a2+b2=c2」 图① 图② 图③ 图④ (I)如图②，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm,BC=4Cm,则斜边AB上的高CD的长为 15/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理 (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48， OC=6,求该“勾股风车”图案的面积. 17.(25-26八年级下重庆期中)如图1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90,分别以线段AB, BD,C0,C达向外作正力形，正方形百积分别为，氏，，、，连接C,利时勾酸定星以 S+52=S3+S4 得到： 根据材料提示完成下列问题： S 17 S S 49 S2 图1 图2 图3 图4 ()如图2，AD是△ABC中BC边上的高，分别以线段AB,BD,CD,AC为边向外作正方形，正方形的 5,S,S,请写出， 面积分别为， S S2 S3 Sa 的等量关系 ②如图3，在△1BC中，AB=2,4C=25,点D是BC上一点，且8C=48D,若D1BC,求证 △ABC是直角三角形： (3)如图4，在△ABC中，分别以线段AB,AC,BC为边向外作正方形，正方形的面积分别17,24,49， 试求出△ABC的面积」 18.(25-26八年级下·山西晋中·期中)综合与实践 定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM,MN和BN，若以AM,MN,BN为边的三角形是一个 直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点. 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M 图1 图2 图3 【初步感知】 (I)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN>AM,，MN>BN,若AM=12,BN=5,则MN= 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，M,N为线段AB上两点，满足∠MCN=45°， 求证：点M,N是线段AB的勾股分割点， 【拓展延伸】 S咖图，在等碳直角△18C中，4C=8C=35,∠4CB=9心，若点M在线段4B上，点在线段8 M 中， 的延长线上，满足∠MCW=45°，BN=3,请直接写出BM的长. 17/17 专题13 勾股定理及其逆定理的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积 题型二、已知直角三角形的两边，求第三边长 题型三、等面积法求斜边上的高问题 题型四、勾股定理的验证方法 题型五、判断三边能否构成直角三角形 题型六、在网格中判断直角三角形 题型七、利用勾股定理的逆定理求解 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：直角三角形中知两边求第三边；或已知三边判断三角形形状；常与折叠、最值、网格问题结合。 - 解题方法：定理用a2+b2=c2（c为斜边）；逆定理用较小两边平方和与最大边平方比较；折叠问题设未知数，用勾股列方程。 - 易错提醒：未找对斜边就代入公式；逆定理忘记比较最大边；忽视三边能否构成三角形的前提；单位未统一。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积 典例1．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的面积公式推出，根据勾股定理可得，据此代入求值即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，，，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 题型模版 1.特征：以直角三角形三边为边向外作相似图形（如正方形、半圆、等边三角形），面积关系。 2.方法：利用勾股定理a2+b2=c2，结合相似图形面积比等于相似比平方，推导两小图形面积和等于大图形面积。 变式1-1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．若，，则与之间满足的数量关系为______． 【答案】 【分析】先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系，再在和中用勾股定理得，，最后将数据代入化简即可． 【详解】由题意可知，，，，． 是的边上的高， 在和中，由勾股定理得，， 即，， 可得，， ，， ，即． 变式1-2．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式1-3．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形、正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为____________；分别以为边向外作正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 利用勾股定理可得；过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，证明，即可用表示出，即可解答． 【详解】解：设中，，则， 根据题意可得， ， 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点， 根据题意可得，即， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得，即， 同理可得， ，， ， 根据勾股定理可得，即， 根据勾股定理可得， 即， ， 故答案为：；． 题型二、已知直角三角形的两边，求第三边长 典例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在，，，，则_______________． 【答案】4 【分析】已知中，以及直角边和斜边的长度，利用勾股定理即可求解的长度． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得． 题型模版 1.特征：已知直角三角形任意两边（直角边或斜边），求剩余第三边长度。 2.方法：确定斜边后，用勾股定理a2+b2=c2列方程；若含特殊角（30°或45°），也可用三边比例关系直接求解。 变式2-1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，，是斜边上的高，，，则的长为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， 在中，，是斜边上的高，，， ∴， ∵， ∴ 解得， 在中，． 变式2-2．（25-26八年级下·湖北随州·期中）在中，，是边上的高，，则__________ ． 【答案】21或11 【分析】分点在线段和线段延长线两种情况求解，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， 分两种情况： ①如图1，点在线段上，由勾股定理得， ， ∴； ②如图2，点在线段延长线上，同①得：， ∴； 综上所述，的长为21或11． 变式2-3．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，分是以为底边的等腰三角形和是以为底边的等腰三角形两种情况，结合等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】解：当是以为底边的等腰三角形时，则， 由题意得，， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴当时，点P一定在的延长线上， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当是以为底边的等腰三角形时，则， ∴； 综上所述，t的值为5或， 故答案为：5或． 题型三、等面积法求斜边上的高问题 典例3．（25-26八年级上·全国·期末）在中，两条直角边的长分别为和，则第三边的长为______；斜边上的高为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求解斜边长，再根据三角形面积的两种表示方法求解斜边上的高. 【详解】解：在中，两条直角边长为和， ∴斜边长为. 设斜边上的高为. 根据三角形面积公式，可得：，解得. 题型模版 1.特征：已知直角三角形两直角边，求斜边上的高，常结合面积相等列方程。 2.方法：用面积法 = ，故高h = ，先由勾股定理求斜边c，再代入计算。 变式3-1．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等即可求出斜边上的高． 【详解】解：根据勾股定理，， 设斜边上的高为，直角三角形的面积有两种计算方式： 以两条直角边为底和高：， 以斜边和斜边上的高为底和高：， 联立得：， 解得：． 变式3-2．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图在中，，于D，若，，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，利用等面积法即可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 变式3-3．（25-26八年级下·安徽淮南·期末）中．，，边上的高为12，则边的长为________． 【答案】25或7 【分析】本题需分BC边上的高在内部和外部两种情况讨论，利用勾股定理分别计算和的长度，即可求出的长． 【详解】解：设边上的高为，为垂足， ①当、在点异侧时，高在内部， ∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； ②当、在点同侧时，高在外部， ∵，，，， ∴，， ∴； 综上，的长为或． 题型四、勾股定理的验证方法 典例4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1 ， ， ， ； 或选图2 ， ， ， ； 或选图3 ， ， ， ， ． 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可． 【详解】略 题型模版 1.特征：通过拼图面积恒等或几何构造，直观证明a2+b2=c2，无需代数推导。 2.方法：用四个全等直角三角形拼成正方形（如赵爽弦图），利用面积相等（大正方形面积=小正方形面积+四个三角形面积）验证。 变式4-1．（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 变式4-2．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 【答案】（1）； （2）； （3）由（2）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质： （1）根据面积的不同算法即可得乘法公式； （2）结合全等三角形的性质可得到，再由，即可解答； （3）由（2）得：，根据，可得，从而得到，即可求证． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 由面积的不同算法可得乘法公式：； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）略 变式4-3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【答案】(1) 解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； (2)新路比原路少千米 (3)24或84 【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据梯形的面积的表示方法计算即可； （2）设千米，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． 题型五、判断三边能否构成直角三角形 典例5．（25-26八年级下·重庆开州·期末）三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 【答案】A 【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，，， ，， ，即， 不是直角三角形，符合题意； 选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； 选项C：，，， ， 是直角三角形，不符合题意； 选项D：设，，（）， ， 是直角三角形，不符合题意． 题型模版 1.特征：已知三条线段或三角形边长，判断是否满足勾股定理的逆定理。 2.方法：先找最大边c，若满足a2+b2=c2，则为直角三角形；否则不是（注意排除非三角形情况）。 变式5-1．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 变式5-2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】Ａ、因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； B、移项得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，该命题为真命题； C、设，，，，是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； D、是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题． 变式5-3．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 题型六、在网格中判断直角三角形 典例6．（25-26八年级下·天津和平·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，，， ， ，正确，不符合题意； C、，结论错误，符合题意； D、设点到直线的距离为， ， ， 则， 解得，即点到直线的距离是2，正确，不符合题意． 题型模版 1.特征：在方格纸中已知三点坐标，判断三角形形状，常通过计算三边平方判断。 2.方法：利用格点距离公式（横向差与纵向差的平方和）求三边平方，验证是否满足勾股定理的逆定理。 变式6-1．（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 变式6-2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解； （2）根据已知边长得出，进而可得出． 【详解】（1）解：四边形的面积为：． （2）证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 变式6-3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． 题型七、利用勾股定理的逆定理求解 典例7．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为D，，，． (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形， 理由：由（1）知， ，， ， 是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 又， ； （2）略 题型模版 1.特征：已知三角形三边（或边长表达式），判断是否为直角三角形，或反求参数使三角形为直角三角形。 2.方法：用勾股定理逆定理，验证较小两边平方和是否等于最大边平方，列方程求参数并检验。 变式7-1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2) 【分析】（1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形； （2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：连接． ， ， 在中，，， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， （2）解：． 四边形的面积为． 变式7-2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）． (1)求证：； (2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？ 【答案】(1)∵在中，，，， ∴ （）， （）， ∴， ∴是直角三角形，． (2)路线更短． 【分析】（1）先明确已知的三边长度，因为要证明直角，所以用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可． （2）先根据已知，判断是直角，因为要求的长度，所以在中用勾股定理计算．根据（1）的结论分别计算两条路线的总长度，再比较两个总长度的大小，即可得出哪条路线更短． 【详解】（1）略 （2）解：设路线的总长度为，路线的总长度为， ． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴路线总长度：． ∵， ∴路线更短． 变式7-3．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． (1)【数学知识】若，，，求证：； (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)证明：∵为边上的高， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴， ∴是直角三角形，且． (2)小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 【分析】（1）先利用勾股定理求得，，然后求得，则；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知三条线段的长分别为，，，下列条件中，不能判定它们能构成直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形三边关系，利用勾股定理的逆定理及三角形三边关系逐项判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵ 三角形任意两边之和必须大于第三边，， ∴不满足三角形三边关系， ∴ 不能构成三角形，更不能判断为直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴设，， ， ∴， ∴是直角三角形，该选项不符合题意； 、∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，该选项不符合题意； 、∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，该选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 4．（25-26八年级下·吉林·期末）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 二、填空题 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 【答案】，， 【分析】先观察已知四组勾股数组，分别归纳三个数的变化规律，再根据规律计算得到第⑤个勾股数组． 【详解】解：观察已知勾股数组第一个数的规律： 第①组第一个数： 第②组第一个数： 第③组第一个数： 第④组第一个数： 可得第组勾股数组的第一个数为，因此第⑤组第一个数为； 观察第二个数和第三个数的规律，可得：第二个数为，第三个数为， 验证规律： 第①组：，，符合； 第②组：，，符合； 第③组：，，符合； 第④组：，，符合； 将第⑤组第一个数代入得： 第二个数： 第三个数： 故答案为 ． 7．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 【点睛】 8．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短．则甲到乙的最短路程为_________． 【答案】 【分析】利用平移的性质解决最短路径问题，将点乙向上平移路宽的距离，连接甲与平移后的点，利用勾股定理求出线段长，再加上路宽即可． 【详解】解：如图，将点乙（点）沿垂直于道路方向向上平移得到点，连接， 由平移的性质可知，除去天桥长度外，甲到乙的最短路径即为线段的长度，天桥长度等于的长度， ，， 根据勾股定理，得， 则甲到乙的最短路程为． 9．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________(提示：作关于对称的点)． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接，根据轴对称的性质确定当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，然后利用勾股定理以及线段的和差进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接， ∴， ∴， 当点与点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， 由勾股定理得， ∴的最小值为． 10．（2026·湖南衡阳·二模）定义∶为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，． ①若，则______． ②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为________． 【答案】 或 【分析】①根据“伴随三角形”的定义可得，根据等腰直角三角形的性质，即可求解； ②分为两种情况：当是锐角三角形时，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据线段的数量关系，即可求解；当是钝角三角形，，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：①如图，∵为边的“伴随三角形” ∴上的高等于的长度， ∵, ∴是边的高， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②如图，是锐角三角形，交于点， ∵为边的“伴随三角形”， ∴上的高等于的长度， ∴ 在中，， ∴； ； 如图，是钝角三角形，交于点， ∵为边的“伴随三角形”， ∴上的高等于的长度， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，的长为或． 三、解答题 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 【答案】 【分析】设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，可得， 根据圆的面积公式以及直角三角形的面积公式，分别求得、、、的面积，即可解答． 【详解】解：如图，设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为， 的三边长分别为，，， ，，，， ； 12．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． 【答案】(1)21 (2)9 【分析】（1）利用勾股定理求出，再由求解； （2）利用勾股定理求出，再由求解． 【详解】（1）解：如图1，当在三角形的内部时， 在中,      在中,      ∴； （2）如图2，当在三角形的外部时， 在 中,      在 中,      ∴． 13．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，，，．求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1) (2)直角三角形，原因见详解 【分析】（1）先由勾股定理分别求出长度，再求的周长即可； （2）由（1）中求出的的三边长度，由勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，，，，则由勾股定理可得； 在中，，，，则由勾股定理可得； 的周长为； （2）解：是直角三角形， 原因如下： 由（1）知，， ， 即， 是直角三角形． 14．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 15．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 16．（25-26八年级下·重庆·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 【答案】(1) (2) 梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即． (3)96 【分析】（1）根据勾股定理求出，利用面积法求出即可； （2）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明； （3）设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，由题意及图形可知，，因为外轮廓周长为48，得，求得，在中，由勾股定理列等式求出x的值，即可解答 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵ ∴； （2）解：略； （3）解：设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c， 由题意及图形可知，为较短直角边，即， 因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和， 所以， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 代入数据得， 解得 所以该图案的面积为： 答：该"勾股风车"图案的面积为96 17．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴设，则， ∵ ∴， ∵，， ∴在和中， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形； (3) 【分析】（1）在两个直角三角形中利用勾股定理分别表示，得出各边平方的关系，将正方形面积转化为边长平方，即可得出四个面积的等量关系； （2）设表示出，利用双直角三角形共高列方程求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形即可； （3）由正方形面积得三边平方与长，作高设元，利用共高列方程求高，最后用面积公式计算的面积即可． 【详解】（1）解：在和中， ，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点作于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴和中， ， 解得， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 【答案】(1)13 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股分割点的定义可知，以，，为边的三角形是一个直角三角形，且是斜边，，是直角边，于是直接利用勾股定理即可得解； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理可得到一个关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：以，，为边的三角形是一个直角三角形，且，， 是斜边，，是直角边， ； （2）证明：， ， 又， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点，是线段的勾股分割点； （3）， ， 又， ， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $