3.1勾股定理的探究 自主学习达标测试题 2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册《3.1勾股定理的探究》 自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（    ） A．23 B．17 C．18 D．19 2．在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（ ） A．已知，，分别是直角三角形的三边长，则必有 B．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，边、、的长分别是，，，则 D．在中，若，，，分别是，，的对边，则 4．在中，，若，则的面积为（　　） A．6 B．1 C．2 D．2 5．如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．15 D．41 6．如图，在中，，为上一点．若，的面积为90，则的长为（   ） A．9 B．12 C．14 D．24 7．如图四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 二、填空题（满分24分） 9．已知直角三角形 ． 10．若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为 ． 11．如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边 ． 12．如图，在中，已知，，在平面内有一点D，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 13．有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺． 14．如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 15．如图，已知在中，，、分别是边上的中线和高，若，，则 ． 16．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 三、解答题（满分72分） 17．在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 18．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 19．如图，是的中线，，于N，求证：．    20．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 21．如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到 ，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从 高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 23．小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．他进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．若小明牵线放风筝手到地面的距离为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：B 2．D 【分析】本题考查了勾股定理，整体考虑是解题的关键．根据勾股定理求出的值，再加上的值即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，勾股定理的内容：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在运用的时候一定要分清楚直角边和斜边，掌握勾股定理的运用是解本题的关键．根据勾股定理逐项求解判断即可． 【详解】解：A、无法确定、、哪条是斜边，故无法确定，此说法错误； B、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，此说法错误； C、由，故是斜边，则，此说法错误； D、由，可得是斜边，故，此说法正确． 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形，勾股定理．利用完全平方公式可得，再由勾股定理可得即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 则的面积为． 故选：A 5．A 【分析】本题考查了正方形的性质与勾股定理解三角形，求解出中间直角三角形的一条直角边和斜边是解决本题的关键． 根据图示中正方形的面积分别为25和16，可求解这两个正方形的边长，再由勾股定理即可求解另外一条直角边，由此可计算字母B所代表的正方形的面积． 【详解】解：由图示可知，正方形的面积分别为25和16， ∴可知这两个正方形的边长分别为5和4， ∵中间的三角形为直角三角形，一条直角边为4，斜边为5， ∴由勾股定理可知，字母B所代表的正方形的边长为， ∴字母B所代表的正方形的面积为． 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据的面积为90，可求出，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为90，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 7．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及几何图形中的垂直关系，证明，通过勾股定理计算出是解题的关键． 首先利用全等三角形对应边相等得到，再通过勾股定理求出的长度，最后依据全等三角形对应边相等得出的长度． 【详解】解：， ， ，且, ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ， ， ， 故选：A． 8．A 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 9． 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形， ∴， 故答案为：． 10．25或7 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理等知识，首先利用非负数的性质得，再分为直角边或为斜边两种情形，分别利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当为直角边时，第三边的平方为， 当为斜边时，第三边的平方为， 故答案为：25或7． 11．48 【分析】利用等腰三角形“三线合一”（底边上的高也是底边的中线）将底边分成两段相等的线段，再通过勾股定理求出其中一段的长度，进而得到底边总长． 【详解】解：，是的高，且， ， 在中，， ， 故答案为：48 12．解：∵，，， ∴， 当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： ∵， ∴； ∵， ∴． 综上所述，当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 13． 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为（）尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度=（尺）， 答：芦苇长尺． 故答案为： 14．17 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查勾股定理在三角形中的应用，熟练掌握勾股定理解三角形是关键．利用勾股定理求出的长，然后根据是边的中线，求出的长，再利用求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即可得出最终结果． 【详解】解：在中，， 是边的中线， ， 是的高线， ， ∴， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质，可以得到正方形的边长为，然后，在中，运用勾股定理可得． 【详解】解：由题意可知，四个直角三角形全等，，， ，， 同理，可得， 在中，应用勾股定理得到： ． 故答案为：． 17．（1）解： ， ； （2）解： ， ． 18．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明， 首先求出，然后利用梯形的面积得到，进而求解即可． 【详解】证明： ，， ， 即． 19．证明见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理得到，，，进而推出，再由中线的定义得到，由此即可证明． 【详解】证明：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴． 20．5米 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）利用证明得到，则由勾股定理可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1））证明：平分， ∴， 又∵，， ∴， ， ； （2）解：， ． 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴． 解得，即的长为． 22． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意，易得，，A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为． 23．(1)风筝的垂直高度AD的长为米； (2)他应该再放出8米线． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）依题意，得，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意，得，米， 在中，米，米， （米）， （米）， 答：风筝的垂直高度的长为米； （2）解：风筝沿方向再上升12米，则（米）， 由勾股定理得，（米）， （米）， 答：他应该再放出8米线． 学科网（北京）股份有限公司 $