培优01 线段（5种题型9重难点突破）（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

培优01 线段 注：本资料内容涉及第五章一元一次方程相关知识. 题型1 车票种类问题 该问题可以转换为线段计数问题，由于线段没有方向，在实际应用中，从A地B地和从B地A地方向是不同的，那么在票务印制中，所制的票务也是不同的.即当一条直线上有n(n>1)个不同的点时，有条线段，需要印制 n(n-1)类车票. 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【分析】本题考查了如何求线段的条数的问题，设首尾两站为点，点是线段上的七个点，求出之间的所有线段条数，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同， ∴从到的车票共有种， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）从马鞍山东站到上海站的次高铁一共有个站，车站需要准备 种单程车票． 【答案】 【分析】本题考查了线段数量问题的实际应用，单程每两个站点之间都有种车票相当于一条线段，根据线段数量的公式解答． 【详解】解：车站需要准备单程车票的种数为：（种）， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 【答案】 45种 90种 【分析】本题考查了线段数量的问题，掌握线段的计数方法是解题的关键．先求出线段的条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，即可求解． 【详解】解：根据题意，相当于一条直线上有10个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：(种)． 故答案为：45种； 有多少种车票是要考虑顺序的，则有(种)． 故答案为：90种． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 【答案】(1)1或4或6 (2) (3)1770 (4)①21，②42 【分析】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题． （1）分三种情况：当四个点在同一直线上时；当只有三个点在同一直线上时；当任意三点都不在同一直线上时，即可求解； （2）根据题意可得线段的总条数为，即可求解； （3）共要握手的次数为，即可求解； （4）①根据题意可得要定种不同的票价；②根据往返车票不同，可得车票的种类是票价的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线； 当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线； 当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线． 综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线； 故答案为：1或4或6 （2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ； 故答案为： （3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握（次）； 故答案为：1770 （4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)， 所以包括甲地和乙地共有七个站， 所以要定种不同的票价； 故答案为：21 ②因为往返车票不同， 所以要准备种不同的车票． 故答案为：42 5．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）问题提出： 某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； (2)根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】 (3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】 (4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种? 【答案】(1)10，10 (2)15 (3)15 (4)20 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． （1）根据图①线段数量进行作答． （2）根据图②线段数量进行作答． （3）根据每条射线与其他各射线都可有个角，每条射线都数两次，当时即可计算出角的个数． （4）根据题意，代入求解即可． 【详解】（1）由图①可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． 故答案为：10，10； （2）由图②可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排15场比赛． 故答案为：15； （3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成个角， 故答案为：15． （4）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中，得 ∴要准备车票的种数为20种． 题型2 线段中的设元思想 已知几条线段之间的比例关系或倍、分关系时，一般可以运用方程思想，设出未知数，利用线段之间的关系构造一元一次方程求解. 重难点一 根据线段的比关系设元 6．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，求线段的长 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是线段的和差运算，中点的含义，在解答此类问题时要注意各线段之间的和，差及倍数关系． 设，得，再根据，求出的值，故可得出线段的长度，再根据是的中点可求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， ． 故答案为：1． 7．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，两点将线段分成了的三个部分，点是线段的中点，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段中点，根据题意求出与的数量关系是解题的关键． 根据题意得出，，计算即可得到答案． 【详解】解： 两点将线段分成了的三个部分， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 8．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，线段被分成三部分，如果第一部分与第三部分中点的距离为，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据，设，则，，得到，结合点是的中点，点是的中点得到．结合，求解即可． 【详解】解：∵， 设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，． ∴， ∵， ∴． 解得， ∴， 故答案为：． 9．（22-23七年级上·山东济宁·期末）如图，线段被点C，D分成三部分，M，N分别是，的中点，若，则 ． 【答案】24 【分析】设，，，根据中点定义及线段之间的关系，列出关于x的方程，求出x的值，即可求出的长度． 【详解】解：∵线段被点C，D分成三部分， ∴，，， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段之间的数量关系，解题的关键是根据列出关于x的方程，求出x的值． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，，M为的中点． (1)判断线段与的大小关系，说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析． (2)80 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，一元一次方程的应用： （1）设，求出的长，中点求出的长，进而求出的长，即可得出结论； （2）根据，求出的值，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：， 理由如下：由题意，设， 则， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴，解得， ∴． 重难点二 根据线段的倍分关系设元 11．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段和线段的公共部分是线段，且，点E、F分别是、的中点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查线段的和差，涉及线段的中点、一元一次方程的解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 设，由线段中点的性质得到，再根据线段的和差得到 ，转化为解一元一次方程即可． 【详解】解：设， 点E、F分别是、的中点， 解得 ， 故答案为：4． 12．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）点、都在线段上，且，，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，根据，设，，因为，可知，，根据可以求出，从而可得：． 【详解】解：如下图所示， ， 设，， ， 又 ， 则，， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点，线段和差，一元一次方程的应用，由，设，，，再由线段中点可得，，从而有，所以，然后通过解方程求出的值即可，掌握线段中点，线段和差是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·江苏南通·期末）延长线段到C，使．反向延长线段到D，使，点E为的中点，点F为的中点、若．则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了线段的和与差，中点的定义，解一元一次方程，利用线段的和差得出的长是解题关键； 令，则，根据线段和和差得，然后线段中点的性质，可得，的长，然后再利用线段的和差即可解答． 【详解】解：因为， 令，则， 所以． 则． 如图所示， 因为， 所以， 解得， 所以． 因为点为的中点，点为的中点， 所以，， 所以， 所以． 故答案为：2． 重难点三 根据线段和差关系设元 15．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为 【答案】/ 【分析】此题主要考查了线段的计算，线段中点的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差运算是解决问题的关键； 设，根据线段中点的定义得，求得的长度，再根据，然后根据即可得出的值； 【详解】解：设，， ， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ， 整理得：， ， ， 解得：； 故答案为： 16．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，线段，点P是线段上一点，且，Q是线段上一点，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合思想是解题的关键．由题意求得，．根据线段的和与差，计算出的长，作比即可． 【详解】，，， ，， 如图所示， ，，， ，即， ∴， ． 故答案为：． 17．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 18．（湖北省武汉市江岸区2024-2025学年上学期七年级数学期末试卷）如图，延长线段至点，使，反向延长至，使． (1)依题意画出图形，则_________(直接写出结果)； (2)若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，掌握相线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键． （1）根据题意画出图形，结合图形，根据，，可得的值； （2）设，根据题意得出，，，再根据列方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，， ∴； （2）设，则，， 点是的中点， ， ，即， ， ． 19．（21-22七年级上·江苏泰州·期末）如图，，点C是线段延长线上一动点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则 ． 【答案】 【分析】根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系． 题型3 线段中的分类讨论思想 题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 重难点一 单个待定点的分类讨论 20．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）已知数轴上有A、B两点分别表示数2和4，点C表示数为，A、B、C三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点，的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据题意，可分为三种情况进行分析：点A为中点；点B为中点；点C为中点；分别求出的值即可． 【详解】解：根据题意， ∵数轴上有A、B两点分别表示数2和4，点C表示数为， 当点为线段的中点时， ， ∴； 当点为线段的中点时， ， ∴； 当点为线段的中点时， ； ∴的值为：或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了线段中点问题，数轴上表示的数，解题的关键是掌握数轴的相关定义进行计算． 21．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点C是线段上的点，，D是直线上一点，点E是的中点，若，，则线段的长为 ． 【答案】8或24 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，分点在线段上，点在线段的延长线上和点在线段的延长线上三种情况讨论，分别画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：若点在线段上， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴； 若点在线段的延长线上， ∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴； 若点在线段的延长线上，不符合题意，舍去； 综上可得：线段的长为8或24， 故答案为：8或24． 22．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知点是直线上一点，若，则线段的长为 ． 【答案】4或12． 【分析】本题考查了线段的和差计算，两点间的距离，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．根据题意分类讨论：①点位于点、之间；②点位于点的右边，据此解答即可． 【详解】解：①当点位于点、之间，如图， ，，， ， ； ②点位于点的右边，如图， ，，， ， ． 综上，线段的长为4或12． 故答案为：4或12． 23．（21-22七年级上·四川眉山·阶段练习）已知线段，点C在线段所在的直线上，且点C到点A的距离为，则 ． 【答案】4或8 【分析】本题综合考查了两点间的距离，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法． 如图1，当点C在线段上时，求得，如图2，点C在线段的延长线上时，求得． 【详解】解：如图1，当点C在线段上时， ∵，， ∴， 如图2，点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴， 故答案为：4或8． 24．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 重难点二 多个待定点的分类讨论 25．（24-25七年级上·全国·期末）已知线段，在所在直线上取，其中M、N分别为和的中点，则 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，分类讨论当点C在线段上和当点C在线段的延长线上两种情况即可求解； 【详解】解：（1）当点C在线段上时，如图1， ∵M、N分别是的中点， ∵， ， ∴ ； （2）当点C在线段的延长线上时，如图2， ∵M、N分别是的中点， ∴， ， ∴ 故答案为：3或7． 26．（20-21七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C，D在直线AB上，且AC＝BD＝1.5，若AB＝7，则CD的长为 ． 【答案】4或7或10 【分析】分四种情况讨论，当在线段上，当在线段的延长线上，在线段上，当在线段上，在线段的延长线上，当在直线上，不在线段上，分别画出符合题意的图形，再根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：如图1，当在线段上， ∵AC＝BD＝1.5，AB＝7， ∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4； 如图2，当在线段的延长线上，在线段上， CD＝AC+AB﹣BD＝1.5+7﹣1.5＝7； 如图3，当在线段上，在线段的延长线上， CD＝AB﹣AC+BD＝7， 如图4，当在直线上，不在线段上， CD＝AC+AB+BD＝1.5+7+1.5＝10， 综上所述，CD的长为4或7或10， 故答案为：4或7或10． 【点睛】本题考查的是线段的和差关系，有理数的加减运算，分类思想的应用，掌握合适的分类，线段的和差是解题的关键． 27．（20-21七年级上·河北石家庄·期末）已知线段AB，点C、点D在射线BA上，并且CD＝7，AC∶CB＝1∶2，BD∶AB＝1∶3． （1）工具画图：请根据题意画出符合条件的图形； （2）求出线段AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）21或 【分析】（1）首先根据语句描述做出图形，注意点C和点D的位置，即可得出图形； （2）要分两种情况进行讨论：①C、D在线段AB上；②当点C在射线BA上，点D在AB上时，根据线段和与差计算方法计算即可求解． 【详解】（1）如图所示： ①C、D在线段AB上 ②当点C在射线BA上，点D在AB上时， 符合上述两种情况中的一种即可； （2）分两种情况进行讨论： ①C、D在线段AB上， ∵BD∶AB＝1∶3， 设BD=x，AB=3x，则AD=AB-BD=2x 又∵CD=7 ∴AC=AD-CD=2x-7 ∵AC∶CB＝1∶2，且AB=3x=AC+CB ∴ 即 解得 ∴AB=3x=21； ②当点C在射线BA上，点D在AB上时， ∵BD∶AB＝1∶3 设BD=x，AB=3x，则AD=2x ∵AC∶CB＝1∶2，且CB=AC+AB ∴ ∴CD=AC+AD=3x+2x=5x 又∵CD=7 ∴ 解得 ∴AB=3x=； 综上所述，AB长为21或． 【点睛】本题考查了直线、射线和线段，以及线段的和与差，一元一次方程的应用，重点是根据描述确定出图形，然后讨论即可． 题型4 线段中的双中点模型 重难点一 双中点结构的直接运用 28．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由中点可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N两点分别为的中点， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，C是AB上一点，且，D是AC的中点，E是BC的中点，则线段DE的长度是 ． 【答案】10cm 【分析】本题主要考查的是线段的和差，线段中点的含义，熟悉中点的含义是解本题的关键． 根据题意可知，然后求出线段和的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴. 故答案为：． 30．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：运动后，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④， 故答案为：②③④． 31．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，已知线段和的公共部分，线段、的中点E、F之间距离是，求，的长． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的中点的定义、线段的和差，设，则，，，根据线段的中点的定义可得，再根据，，得出方程，解方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，， 点、点分别为的中点， ， ， ， ， 解得：， ． 32．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，线段之间的数量关系， （1）利用线段的和差计算即可； （2）利用线段之间的比例关系，以及线段中点的定义，即可求出线段的长； 解题的关键是掌握线段的加减，线段中点的定义． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （2）设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 重难点二 双中点结构与分类讨论结合 33．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线上有、、三点，其中，，、分别是、的中点，则线段的长为 ． 【答案】8或2 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．分类讨论：当点C在线段的延长线上时，当点C在线段之间时，利用线段的中点公式及两点的距离公式即可求解． 【详解】解：当点C在线段的延长线上时，如图： ，且M、N分别是的中点， ， ， 当点C在线段之间时，如图： ，且M、N分别是的中点， ， 综上所述，的长是8或2， 故答案为：8或2． 34．（24-25七年级上·全国·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 【答案】或 【分析】根据点相对于线段的位置分两种情况讨论，利用线段中点的性质求出、的长度，再通过线段的和或差计算的长度 ．本题主要考查线段中点的性质以及线段长度的计算，熟练掌握分情况讨论思想和线段中点将线段分成相等两部分是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴； 如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴． ∴的长为或． 答案为：或． 35．（24-25七年级上·全国·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义．作出图形，分①点A、C在点B的两侧，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解；②点C在线段上，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解；③点A在线段上，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解． 【详解】解：①如图1，点A、C在点B的两侧， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②如图2，点C在线段上， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； ③如图3，点A在线段BC上， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为． 故答案为：． 36．（江西省赣州市赣州经济技术开发区2020—2021学年七年级上学期期末考试数学试题）如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，求线段的长度，写明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】利用线段中点的定义，分别求出和的长度，再根据线段的和求出的长度．本题主要考查了线段中点的定义以及线段的和差运算，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 点是的中点，， ∴ ． ∵ 点是的中点，， ∴ ． ∴ ． 题型5 线段中的动点问题 数轴上的动点问题主要考查线段的变化以及线段之间的数量关系，但数轴上利用点所对应的数比较容易将问题代数化，结合图形容易找出线段长度与数之间的关系，这种“以数解形”的思想是解决这类问题最常用的思想方法.此类问题需要注意分类讨论. 【注意】 (1)注意分析动点运动时的出发点与停止点； (2)注意分析动点运动的方向与速度，尤其当题目中出现多个动点时； (3)注意区分定点与动点，同时注意分析动点运动过程中保持不变的量. 重难点一 单个动点问题 37．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 38．（22-23七年级上·吉林白城·期末）如图，线段 ，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． (1) 秒后，． (2)当在线段上运动时，试说明为定值． (3)当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分两种情况讨论，①当点在线段上，②当点在线段的延长线上时分别求出的值即可； （2），，，，表示出后，化简即可得出结论； （3），，，表示出的长度，即可作出判断． 【详解】（1）点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动， 设点的运动时间为秒， 为的中点， ， 当点在线段上时， 当点在线段的延长线上时， ，无解； 综上所述，当点出发秒后，； （2）由（1）知，，， ，， 为定值； （3）由（1）知，，， 当点在线段的延长线上时， 为的中点， ． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，用含时间的式子表示出各线段的长度是解本题的关键． 39．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，． (1)点A表示的数是______； (2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点； (3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由． 【答案】(1)-6 (2)8 (3)秒或秒 【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可； （2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可； （3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可． 【详解】（1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数， 点表示的数是， 故答案为：； （2）AB=12，， ，， 设经过秒点是的中点， 根据题意列方程得， 解得， 故答案为：8； （3）设点运动了秒时， ①当点在点左侧时，即， 根据题意列方程得， 解得； ②当点在点右侧时，即， 根据题意列方程得， 解得； 综上，当运动了秒或秒时． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 40．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值24； (3)． 【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可； （2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论； （3）利用，，，，再根据MN=PM-PN即可求解． 【详解】（1）解：∵M是线段AP的中点，∴， ， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵，，， ∴， 即为定值24． （3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧． ∵，，，， ∴， 所以MN的长度无变化是定值． 【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度． 重难点二 多动点问题 41．（21-22七年级上·山东聊城·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 【答案】(1)4cm (2)4cm (3)4cm 【分析】（1））根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值； （2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值； （3）结合（1）、（2）进行解答； 【详解】（1）解：依题意知，当时，， ∴   ∵， ∴ 即， ∴ 又， ∴； （2）解：当时，， ∴ 又， ∴， 即， ∴ 又， ∴ （3）解：当运动时间为t时，， ∴ 又， ∴， 即 ∴ 又， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 42．（20-21七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】(1)， (2)2.25或2.75秒 (3)9或11秒 (4)图见解析，线段MN的长度不发生变化，其值为10 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系等，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据点B在点A的左侧，且，可得点B表示的数；根据点P的初始位置及运动速度、方向，可得点P表示的数； （2）分点P、Q相遇之前，相遇之后两种情况，分别列一元一次方程，即可求解； （3）设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：点P、Q相遇之前，相遇之后，分别列方程，即可求解； （4）分两种情况：点P在点A、B两点之间运动，点P运动到点B的左侧，画出图形，根据线段之间的和差关系求解． 【详解】（1）解：数轴上点B表示的数：， 点P表示的数：， 故答案为：，； （2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得，解得； ②点P、Q相遇之后， 由题意得，解得． 答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2； （3）解：设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 则， 解得：， ②点P、Q相遇之后， 则， 解得：， 答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2； （4）解：线段的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为10． 43．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点， ∴则最长时，满足， 即， ∴， 故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点 ∴或，或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 45．（23-24七年级上·全国·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8 (2)10或2； (3)当时，为定值，定值为6 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）设点B表示的数为x，点C表示的数为y,则点M表示的数是，点N表示的数是，运动后点M表示的数是，点N表示的数是，由解得或，运动后，即可求出答案； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：设直线为数轴， ∵，， ∴，， 设点B表示的数为x，点C表示的数为y, ∵点M，N分别为中点． ∴点M表示的数是，点N表示的数是， 运动后点M表示的数是，点N表示的数是， ∵， ∴ 解得，或 运动后 ∴或 即线段的长为10或2； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 46．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 线段 注：本资料内容涉及第五章一元一次方程相关知识. 题型1 车票种类问题 该问题可以转换为线段计数问题，由于线段没有方向，在实际应用中，从A地B地和从B地A地方向是不同的，那么在票务印制中，所制的票务也是不同的.即当一条直线上有n(n>1)个不同的点时，有条线段，需要印制 n(n-1)类车票. 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）从马鞍山东站到上海站的次高铁一共有个站，车站需要准备 种单程车票． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 5．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）问题提出： 某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； (2)根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】 (3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】 (4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种? 题型2 线段中的设元思想 已知几条线段之间的比例关系或倍、分关系时，一般可以运用方程思想，设出未知数，利用线段之间的关系构造一元一次方程求解. 重难点一 根据线段的比关系设元 6．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，求线段的长 ． 7．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，两点将线段分成了的三个部分，点是线段的中点，，则线段的长为 ． 8．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，线段被分成三部分，如果第一部分与第三部分中点的距离为，那么线段的长度为 ． 9．（22-23七年级上·山东济宁·期末）如图，线段被点C，D分成三部分，M，N分别是，的中点，若，则 ． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，，M为的中点． (1)判断线段与的大小关系，说明理由； (2)若，求的长． 重难点二 根据线段的倍分关系设元 11．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段和线段的公共部分是线段，且，点E、F分别是、的中点，若，则的长为 ． 12．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）点、都在线段上，且，，若，则线段的长为 ． 13．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ． 14．（24-25七年级上·江苏南通·期末）延长线段到C，使．反向延长线段到D，使，点E为的中点，点F为的中点、若．则线段的长为 ． 重难点三 根据线段和差关系设元 15．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为 16．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，线段，点P是线段上一点，且，Q是线段上一点，且，则的值是 ． 17．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 18．（湖北省武汉市江岸区2024-2025学年上学期七年级数学期末试卷）如图，延长线段至点，使，反向延长至，使． (1)依题意画出图形，则_________(直接写出结果)； (2)若点为的中点，且，求的长． 19．（21-22七年级上·江苏泰州·期末）如图，，点C是线段延长线上一动点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则 ． 题型3 线段中的分类讨论思想 题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 重难点一 单个待定点的分类讨论 20．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）已知数轴上有A、B两点分别表示数2和4，点C表示数为，A、B、C三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点，的值为 ． 21．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点C是线段上的点，，D是直线上一点，点E是的中点，若，，则线段的长为 ． 22．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知点是直线上一点，若，则线段的长为 ． 23．（21-22七年级上·四川眉山·阶段练习）已知线段，点C在线段所在的直线上，且点C到点A的距离为，则 ． 24．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 重难点二 多个待定点的分类讨论 25．（24-25七年级上·全国·期末）已知线段，在所在直线上取，其中M、N分别为和的中点，则 ． 26．（20-21七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C，D在直线AB上，且AC＝BD＝1.5，若AB＝7，则CD的长为 ． 27．（20-21七年级上·河北石家庄·期末）已知线段AB，点C、点D在射线BA上，并且CD＝7，AC∶CB＝1∶2，BD∶AB＝1∶3． （1）工具画图：请根据题意画出符合条件的图形； （2）求出线段AB的长． 题型4 线段中的双中点模型 重难点一 双中点结构的直接运用 28．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，C是AB上一点，且，D是AC的中点，E是BC的中点，则线段DE的长度是 ． 30．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 31．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，已知线段和的公共部分，线段、的中点E、F之间距离是，求，的长． 32．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 重难点二 双中点结构与分类讨论结合 33．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线上有、、三点，其中，，、分别是、的中点，则线段的长为 ． 34．（24-25七年级上·全国·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 35．（24-25七年级上·全国·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为 ． 36．（江西省赣州市赣州经济技术开发区2020—2021学年七年级上学期期末考试数学试题）如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，求线段的长度，写明理由． 题型5 线段中的动点问题 数轴上的动点问题主要考查线段的变化以及线段之间的数量关系，但数轴上利用点所对应的数比较容易将问题代数化，结合图形容易找出线段长度与数之间的关系，这种“以数解形”的思想是解决这类问题最常用的思想方法.此类问题需要注意分类讨论. 【注意】 (1)注意分析动点运动时的出发点与停止点； (2)注意分析动点运动的方向与速度，尤其当题目中出现多个动点时； (3)注意区分定点与动点，同时注意分析动点运动过程中保持不变的量. 重难点一 单个动点问题 37．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 38．（22-23七年级上·吉林白城·期末）如图，线段 ，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． (1) 秒后，． (2)当在线段上运动时，试说明为定值． (3)当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度． 39．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，． (1)点A表示的数是______； (2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点； (3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由． 40．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 重难点二 多动点问题 41．（21-22七年级上·山东聊城·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 42．（20-21七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 43．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 45．（23-24七年级上·全国·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 46．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $