专题03 线段与角计算中的思想方法（5大题型）（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题03 线段与角计算中的思想方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 1 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 6 题型三、分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 10 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 14 题型五、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 1.已知线段，直线上有一点，且，为的中点，则的长为 【答案】27或35 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】根据题意可分当点C在线段上和点C在线段外，且在点A的左边，然后根据线段的中点及线段的和差可进行求解． 本题主要考查线段的和差及线段中点的性质，熟练掌握线段的和差及线段中点的性质是解题的关键． 【详解】解：①如图， 线段，直线上有一点，且， ， ∵为的中点， ， ； ②如图， 线段，直线上有一点，且， ， ∵为的中点， ， ， 综上所述，的长为27或35． 故答案为：27或35． 3.已知是直线上的点，线段，，是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】5或11 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是与线段中点有关的线段计算，掌握线段中点的定义、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分两种情况：（1）当点在线段上时，当点在线段的反向延长线上时，分别画出图形，结合图形利用线段和差求解即可． 【详解】解：（1）当点在线段上时， ， 又，， 点是线段的中点， ； （2）当点在线段的反向延长线上时， ， 又，， 点是线段的中点， ． 综上，的长为5或11． 故答案为：5或11． 3.已知三点在同一直线上，线段是线段的中点，且，则线段的长等于 ． 【答案】或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的中点运算以及线段的和差运算，分类讨论且结合图形进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵三点在同一直线上，线段是线段的中点， ∴ ∵， ∴ 如图： ∴ 或 故答案为：或 4.如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】4或24 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或24， 故答案为：4或24． 5.如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．图中共有 条线段；若为直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】 6 或 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的数量问题、线段的中点的性质、线段的和差等知识点，明确各线段间的关系成为解题的关键． 先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答；分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：图中的线段有：共6条线段， 故答案为：6； ∵点为线段的中点，为线段上一点，且， ∴， ∵， ∴点P在的延长线上和点P在的延长线， 如图:当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴，解得：， ∴, ∴， ∴； 如图:当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴，解得：， ∴, ∴， ∴． 故答案为：或． 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 6.已知，，平分，平分，则 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算．分类讨论是解答此题的关键． 分射线在内部和外部两种可能来解答． 【详解】解：当射线在内部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ； 当射线在外部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ， 故答案为：或． 7.已知，过O点作射线，，使得，是的平分线，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，分当在外部时和当在内部时两种情况求解即可． 【详解】当在外部时，如图， ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． 当在内部时，如图， ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． 综上可知，的度数为或． 8.已知，在同一平面内过点O作射线平分，平分的度数为 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算 【详解】本题主要考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合的度数可求解． 【解答】解：当射线在的内部时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当射线在的外部且在射线上方时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ∵， ∴； 当射线在的外部且在射线下方时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ， ， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 9.如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，分平分和平分两种情况进行讨论求解即可．理清角度之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：如图，当平分时：则：， ∵平分； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； 当平分时，则：， ∵平分； ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或； 故答案为：或． 10.如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的定义和巧分线定义，正确理解“巧分线”的定义是解题的关键． 分3种情况，根据巧分线定义即可求解． 【详解】解：∵，是的“巧分线”， 则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意： ①，此时； ②，此时； ③，此时； ∴的度数为或或． 故答案为：或或． 题型三、分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 11.如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 【答案】6或24/24或6 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 12.在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：当时，，分以下两种情况： 如图1所示， ， ； 如图2所示， ， 综上所述，的度数为或 根据答案为：或． 13.在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．试探索；保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的的度数 ． 【答案】或或或 【知识点】几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴； 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 综上：为或或或． 故答案为：或或或． 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 14.A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 15．如图，已知点在线段上，点分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点为线段上任一点，其它条件不变，你能猜想线段与的数量关系吗？并说明你的理由； (3)若点在线段的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，直接写出你的结论． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)成立；理由见解析 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据“点M、N分别是的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可； （2）当C为线段上一点，且M，N分别是的中点，可表示线段、的长度，再利用，则； （3）点C在的延长线上时，根据M、N分别为的中点，即可求出的长度． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴， ∵，点N是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度为5； （2）解：．理由如下： ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴； （3）解：成立，理由如下： 当点C在线段的延长线时，如图： 则， ∵M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴． 16．（1）已知线段，点线段的中点，点是线段的中点，求： ①如图1，若点为线段上任意一点，求线段的长度； ②如图2，若点为线段延长线上任意一点，线段的长度会发生变化吗？请说明理由． （2）如图3，若点为线段延长线上一点，点线段的中点，点是线段上的一点，且．求：的值． 【答案】（1）①，②的长度不会发生变化，理由见解析；（2） 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算： （1）①根据线段中点的定义，可得，即可求解； ②根据线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据线段中点的定义，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：（1）①点、分别是线段、的中点， ，， ∴， ， ； ②的长度不会发生变化，理由： 点、分别是线段、的中点， ，， ∴， ， ； （2）点是线段的中点， ， ， ， ∴， ， ． 17．如图（1），已知点C在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段 的长； (3)如图（2），若点C为线段延长线上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：解：∵，， ∴． 题型五、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 18.【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得，， ， ． 故答案为：； （3）．理由如下: ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）∵平分， 又∵， ． 故答案为：． 19.如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． 20.综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习）如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查两点间的距离，分别当A，B，C三点在一条直线上时，当A，B，C三点不在一条直线上时，两种情况进行分析即可． 【详解】解：当A，B，C三点在一条直线上时，分点C在线段的延长线上和在线段的延长线上两种情况讨论； ①点C在线段的延长线上时，； ②点C在线段的延长线上时，； ∴A、C两点之间的距离是或 ； 当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，不能确定． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）已知点A，B，C共线，线段，线段，则线段的长为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 由于点的位置不能确定，故应分点在内与点在外两种情况进行讨论． 【详解】解：当如图1所示时， ， ； 当如图2所示时， ∵， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．分为两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案． 【详解】解：分为两种情况： 如图1，当在内部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数是或． 故选:C． 4．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中角的计算，注意分类讨论，是解题的关键．分四种情况：当与的夹角为，且在右侧时，当与的夹角为，且在左侧时，当与的夹角为，且在右侧时，当与的夹角为，且在左侧时，分别求出三角尺②的另一条直角边与边的夹角，然后进行判断即可． 【详解】解：当与的夹角为，且在右侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在左侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在右侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在左侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 综上可知：三角尺②的另一条直角边与边的夹角可能是或或或， ∴四个选项中三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是， 故选：B． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角的和差，角平分线与三等分线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由角平分线得到，结合可得，再根据射线是三等分线可分和两种情况求解可得． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ∵是三等分线， ∴①若， 则， ； ②若， 则， ； 综上，的度数为或， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）从点O出发引三条射线，使，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题考查角的和差倍分，根据射线的位置不明确，所以本题难点在于要分两种情况讨论；因为两角的位置关系不明确，所以分射线在的内部和外部两种情况讨论求解，即或． 【详解】解：如图1点在内部 如图2点在外部 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·全国·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 【答案】或 【分析】根据点相对于线段的位置分两种情况讨论，利用线段中点的性质求出、的长度，再通过线段的和或差计算的长度 ．本题主要考查线段中点的性质以及线段长度的计算，熟练掌握分情况讨论思想和线段中点将线段分成相等两部分是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴； 如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴． ∴的长为或． 答案为：或． 8．（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段中点和线段的和与差，分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点在线段上或点在线段的延长线上，分别利用中点求出，的长度，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图， ∵，, ， ∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， ∵，,， ∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长度是或， 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知点P是射线上一点，当或时，称点P是射线的强弱点，若，则 ． 【答案】3或6或18． 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键． 分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合P的位置得到的具体的数量关系，结合，从而可得答案． 【详解】解： ①当，时，如图 ∴； ②当，时，如图 ∴； ③当，时，如图 ∴． 综上所述，的长为3或6或18． 故答案为：3或6或18． 10．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线，角的和差，理解角平分线的定义是正确解答的关键．分三种情况进行解答，即当，和时，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系，表示，代入到中进行计算即可求解． 【详解】解：设旋转时间为秒， 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：（舍去）． 综上可得，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知，是内的一条射线，且． (1)求的度数； (2)过点O作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） 解：∵， ∴， 当在内时， ， 当在外时， ． ∴的度数为或． 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，线段的和差，关键是注意分类讨论． （1）根据线段中点进行求解即可； （2）①根据已知先得到，再利用求出最后结果； ②分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论． 【详解】解：（1），点是的中点， ． 点是线段的中点， ． （2）①，， ， ， ． ②，， ． 当点在点左边时，，， ． 当点在点右边时，，， ． 综上可得的长为7或1． 13．（24-25七年级上·山东临沂·期末）三角板是我们日常学习数学必备的文具．如图，三角板的直角顶点放置在直线上，三角板绕点在平面内旋转（三角板的各边均在直线的上方），分别平分和． (1)在三角板旋转过程中，当时，求和的度数； (2)随着三角板的旋转，的大小会随着变化，请判断的大小是否变化？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不会，见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算： （1）平角的定义求出，角平分线的定义结合平角的定义求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义结合平角的定义求出的度数即可得出结论． 【详解】（1）解： ，， ． 又，分别平分和， ，， ． （2）不会，理由如下： ，， ． 又分别平分和， ，． ． 14．（24-25七年级上·贵州·期末） A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 15．（24-25七年级上·全国·期末）在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【答案】(1) (2)或0 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数轴以及两点间的距离，线段的和差，解题的关键是正确理解题意，根据两点之间的距离等于差的绝对值求解． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）分点在线段上和点在线段上时两种情况讨论即可； （3）根据线段中点的定义以及线段的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，则点表示的数为， 再向左平移4个单位长度到达点B，则点表示的数为， 最后向右平移10个单位长度到达点C，则点表示的数为． （2）解：可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）解：设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 16．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长度不变，，理由见解析；（3）①；②的大小不会变化，． 【分析】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度； （2）根据，再根据中点进行推导即可； （3）①根据再结合角平分线进行计算；②由①可以得到结论． 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴， 故答案为：； （2）的长度不变，，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴ ； （3）①∵，分别平分和 ∴，． ∴ ∵ ∴ ， 故答案为：； ②的大小不会变化，理由如下： 由①知， ∴的大小不会变化，且． 【点睛】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120 (2)70或170 (3) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，当与重合时，，结合题意即可求出的值； （2）分两种情况讨论：①在上方；②在下方，求出的度数，结合题意即可的值； （3）在旋转过程中，，则，则有，，再利用角的和差得到，整理即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与重合， ∴， ∴． 故答案为：120． （2）解：①当在上方时， 则， ∴； ②当在下方时， 则， ∴； ∴综上所述，的值为70或170． （3）解：在旋转过程中，，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：． 18．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)旋转一共用了或 (3)n为或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， 设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ∴， ∴； ∴； ②当点在的左侧时，， ∴； ∴； 综上，旋转一共用了或； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 综上，n为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03线段与角计算中的思想方法 月录 A题型建模·专项突破 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用…1 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用…。 …6 题型三、分类讨论思想解决儿何图形中旋转多解问题.10 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题… …14 题型五、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题… .18 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 1.己知线段AB=30,直线AB上有一点C,且AC:BC=1:4,D为AC的中点，则BD的长为 3.己知P是直线AB上的点，线段AB=16,AP=6,Q是线段PB的中点，则线段PQ的长为 3.己知A、B、C三点在同一直线上，线段AB=9,D是线段AB的中点，且BC:AB=1:3,则线段CD的长等 于一· 4.如图，有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线M□PN,若该折线M□☐N上一点Q把这条折 线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”.已知点D是折线C①B的“折中点”，点 E为线段AC的中点，CD=5,CE=7,则线段BC的长为 M 5.如图，线段AB的长为a,点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且AD=BD,图中共有 条 线段：若P为直线AB上一点，且PA+PB=a 。a,则2的值为一一 AB A D C B 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 6.已知∠A0B=100°，∠BOC=70°，OM平分∠A0B,ON平分∠BOC,则∠MON= 7.己知∠A0B=120°，过O点作射线OM,ON,使得∠A0N=40°，OM是∠BON的平分线，则B0M的 度数为」 8.己知LA0B=120°，在同一平面内过点O作射线OC,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,∠MON的度数 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为 9.如图，点G为直线EF上一点，∠AGB=45°，将∠AGB绕点G逆时针旋转，当射线GA与射线GE重合时 停止旋转；在旋转过程中，射线GC始终平分∠AGE；当GB,GC,GE三条射线中有一条是另外两条射线所 成夹角的平分线时，∠AGF的度数为 B G 10.如图，己知0C是∠A0B内部的一条射线，图中有三个角：∠A0B,∠AOC和∠BOC,当其中一个角 是另一个角的两倍时，称射线0C为∠A0B的“巧分线”.如果∠MPN=72°，PQ是∠MPN的“巧分线”，则 ∠MPQ的度数为」 题型三、分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 11.如图①，点O在直线AB上，过O作射线0C,LB0C=120°，三角板的顶点与点O重合，边0M与OB重 合，边ON在直线AB的下方.若三角板绕点O按10°/s的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 第__s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC(图②). B A ① ② 12.在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状.己知∠D=30°， ∠E=60°，∠B=∠C=45°，若保持三角板ADE不动，将三角板ABC绕点A在平面内旋转.当AB⊥DE时， ∠EAC的度数为 2/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 13.在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式.请你利用一副含有45° 角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究.试探索；保持三角板ABC不动，将 45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE,使得∠ABD与∠ABE中其中一个 角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的∠ABE的度数 E (E) D B 图1 图2 图3 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 14A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4，且AB=10.动点P从点A出发， 以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒(t>0). A O (1)当t=1时，AP的长为-，点P表示的有理数为-： (2)当PB=2时，求t的值； (3M为线段AP的中点，N为线段PB的中点.在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长 15.如图，己知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点. C N B (1)若AC=6,CB=4,求线段MN的长； (2)若点C为线段AB上任一点，其它条件不变，你能猜想线段MN与AB的数量关系吗？并说明你的理由； (3)若点C在线段AB的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，直接写出 你的结论， 16.(1)己知线段AB=18,点M线段AC的中点，点N是线段BC的中点，求： ①如图1，若点C为线段AB上任意一点，求线段MN的长度： ②如图2，若点C为线段AB延长线上任意一点，线段MN的长度会发生变化吗？请说明理由. 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图3，若点C为线段AB延长线上一点，点M线段AC的中点，点N是线段BC上的一点，且 NC=BC.求：子CM-号BN的值. A M C N B A M B NC A M B NC 图1 图2 图3 17.如图(1)，已知点C在线段4B上，且M=4C,BN=写BC. A M N B 图(1) M B N C 图(2) (1)若AC=12,BC=6,求线段MN的长； (2)若点C为线段AB上任意一点，其他条件不变，且满足AC+BC=a,求线段MN的长； (3)如图(2)若点C为线段AB延长线上任意一点，其他条件不变，且满足AC-BC=b，求线段MN的长 题型五、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 18.【问题驱动】已知O是直线AB上的一点，∠C0D=90°，OE平分∠BOC. (1)如图1，若∠A0C=44°，求∠D0E的度数； (2)如图1，若∠A0C=a,则∠D0E的度数为一（用含有a的式子表示）不必说明理由： 【拓广探索】 (3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠D0E和∠AOC度数之间的关系，写 出你的结论，并说明理由. (4)将图1中的∠D0C绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠A0C=&,则∠D0E的 度数为 (用含有的式子表示)，不必说明理由. 图1 图2 图3 19.如图①所示，∠A0B=120°，将直角三角板的直角顶点放置在O点，0C平分∠A0N. 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图① 图② (1)若∠C0M=35°，则∠A0M= ,∠BON= (2)如果∠C0M=a,∠BON=B,试判断a,B的数量关系，并说明理由. (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得0M在∠A0C的内部，ON在∠B0C的外部， 若∠COM=a,∠BON=B,a,B是否还存在(2)中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请 求出，B的数量关系， 20.综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；三角尺ADE中， ∠E=90°，∠DAE=30°，∠D=60°.分别作LCAE,LBAD的角平分线AM,AN. 图1 图2 图3 图4 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，AM,AN仍然是∠CAE,LBAD的角平分线.在图2中AB与 AE重合，在图3中AB,AD与AN重合在一起. (1)计算：图2中∠MAN的度数为 °，图3中∠MAN的度数为 。(直接写出答案). 【深入探究】 (2)通过初步探究，请你猜想图1中∠MAN的度数为 如果设∠BAE=a,请求出图1中∠MAN的度数， 【类比拓展】 (3)再将三角尺按照图4所示的方式摆放，AM,AN仍然是∠CAE,∠BAD的平分线.请你求出∠MAN的 度数. 5/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习)如果线段AB=3cm,BC=4cm,则A、C两点间的距离是() 4.7cm B.Icm C.7cm或1cm D.无法确定 2.(24-25七年级上·全国期末)已知点A,B,C共线，线段AB=20cm,线段BC=8cm,则线段AC的长 为() 4.28cm B.12cm C.28cm或12cmD.14cm 3.(24-25七年级上辽宁盘锦·期末)已知∠A0B=20°，LA0C=4∠A0B,0D平分∠AOB,OM平分 ∠AOC,则∠MOD的度数是() A.20°或50° B.20°或60° C.30°或50° D.30°或60° 4.(24-25七年级上·浙江丽水期末)如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶 点B重合.若三角尺②的一条直角边与BC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不 可能是() 145d ① ② 30 60°入 45 B A.10 B.80° C.110° D.170° 5.(24-25七年级上·安徽六安期末)如图，己知LA0B=120°，OE平分∠A0B,射线0C在∠A0E内部， ∠B0C=90°，作射线0F,使射线0C是∠E0F三等分线，则LA0F的度数为() B A A.159 B.30° C.15°或30° D.30°或45° 二、填空题 6.(24-25七年级上·安徽阜阳·期末)从点O出发引三条射线0A、0B、0C,使∠AOB=90°，∠BOC=30°， 则∠AOC的度数是」 7.(24-25七年级上全国期末)点A,B,C是直线1上三点，如果点M是线段AB的中点，点N是线段 BC的中点，若AB=12,BC=4,则MN= 8.(24-25七年级上·山东青岛期末)已知AB=8cm,点C是直线AB上的一点，使得AC=2BC,M、N分 6/9 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 别是线段AB的中点与AC的中点，则线段MN的长度是 Q2425七年级上内家古鄂尔多斯期末)已知点P是射线B上一点，当2或· =二时，称点P是 射线AB的强弱点，若AB=9,则PA= 10.(24-25七年级上·重庆·期末)如图，直线EF上有一点0，过点0在直线EF的上方作射线OA, ∠A0F=30°，现将射线OA绕点O以每秒16°的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线0C始终平分 LA0F,射线0D始终是∠A0E的三等分线，且∠AOD=∠AOE,设旋转时间为t秒，若 31 ∠C0F-∠A0D=45°，t的值为 三、解答题 11.(24-25七年级上·全国期末)如图，已知∠A0B=120°，0C是∠A0B内的一条射线，且 ∠A0C:∠BOC=1:2. B (I)求∠A0C的度数； (2)过点O作射线OD,若∠AOD=∠AOB,求∠COD的度数. 12.(24-25七年级上·陕西咸阳阶段练习)【问题背景】 如图，已知线段AB=I6,点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点. A C D BA N D B 图1 图2 【问题探究】 (1)如图1，求线段CD的长； (2)如图2，点N是线段AC上的一点，且满足CN=3AW, ①求线段DN的长； ②者点M是线段B上的-点，CW-4N,求DM的长。 13.(24-25七年级上山东临沂期末)三角板是我们日常学习数学必备的文具.如图，三角板的直角顶点0 放置在直线AB上，三角板绕O点在平面内旋转（三角板的各边均在直线AB的上方），OM,ON分别平分 7/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AOC和∠BOD. 0 B (1)在三角板旋转过程中，当∠A0C=40°时，求∠BOD和∠MON的度数； (②)随着三角板的旋转，∠AOC的大小会随着变化，请判断∠MON的大小是否变化？请说明理由 14.(24-25七年级上·贵州期末)A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4，且 AB=10.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒(t>0). A 0 B (I)当t=1时，AP的长为-，点P表示的有理数为_ (2)当PB=2时，求t的值； (3)M为线段AP的中点，N为线段PB的中点.在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段MN的长。 15.(24-25七年级上·全国期末)在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到 达点A,再向左平移4个单位长度到达点B,最后向右平移10个单位长度到达点C. -8-7-6-5-4-3-2-1012345678 (I)分别写出点A,B,C表示的数. (②)若点P在线段BC上运动，当BP=3AP时，求出点P表示的数， (3)若点Q从点C出发，在线段BC的延长线上运动，M是BQ的中点，N是CO的中点，试说明BM-CN是 一个定值 16.(24-25七年级上·甘肃兰州期末)综合与探究 【背景知识】 如图甲，己知线段AB=20cm,CD=4cm,线段CD在线段AB上运动，E,F分别是AC,BD的中点. 【知识探究】 (1)若AC=6cm,则EF=_cm; (2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度， 如果变化，请说明理由； 【类比探究】 (3)对于角，也有和线段类似的规律.如图乙，己知∠COD在∠A0B内部转动，OE,，OF分别平分 ∠AOC和∠BOD, ①若∠AOB=150°，∠COD=30°，则LE0F=-. ②试判断∠EOF的大小是否发生变化？如果不变，请确定∠E0F的大小，如果变化，请说明理由， 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A E C D F B B 分 17.(24-25七年级下·江苏泰州期末)我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究.如图1所示，在直 角三角板ABC中，∠B=30°，LBAC=60°，点A在直线MN上，先将AC边与AM重合，然后将三角板绕着 点A按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作△AB'C',设运动时间为t秒，且0<t<180. B B M C A M A 图1 用图 (I)当AB与AN重合时，t= (2)当∠B'AN=50°时，求t的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设∠B'AC'=n°，其他条件不变，在∠C'AN的 内部作一条射线4P,使∠C4P=∠CAN,如果在旋转过程中，始终有∠PAB=∠MAC成立，直接写 k k 出n与k的数量关系. 18.(24-25七年级上·重庆阶段练习)如图1，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C、0M、ON. ON始终在OM的右侧，∠B0C=120°，∠MON=a. 图1 图2 备用图 (1)如图1，当a=65°.OM平分∠B0C时，求∠N0B的度数： (2)如图2、当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，a=74°，将∠MON绕0点按每秒4°的速度沿逆时针 方向旋转α(0°<a<180)、使射线ON与∠B0C的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当∠MON在直线AB上方时，若a=75°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度 (0°<n<180),恰好使得∠F0A=2∠A0M,OH平分∠N0C,∠F0H=130°，请直接写出此时的值. 9/9