第23章 图形的相似（知识清单）数学华东师大版九年级上册

第23章 图形的相似 知识点一 成比例线段 ◎线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这 . ◎比例线段的概念： 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比 ，则我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. 注意：在判断线段是否成比例线段时，将线段从小到大排列，若前面两条线段的比值等于后面两条线段的比值，则这四条线段就是比例线段. 知识点二 比例的相关性质 ◎比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做 ．两端的两项叫做 ，中间的两项叫做 ． ◎比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 【拓展】 ① 合比性质：， ② 分比性质：， ③ 合分比性质： ④ 等比性质：如果 ◎黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段 ，点叫做线段的 ，其中≈0.618．即 . 简记为：. 知识点三 平行线分线段成比例 ◎平分线分线段成比例的内容： 如图，若两条线段被一组平行线所截，所得到的线段对应 . 即： ； ，等... ◎推论1： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线 于三角形的第三边. ◎推论2： 平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边 . 知识点四 相似图形 ◎相似图形的概念： 我们把 相同的图形称为相似图形. 或若两个多边形的边数 ，角 ，边 ，则这两个多边形是相似多边形。 相等的角是 ，成比例的边是 . 【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上. ◎相似多边形的性质： ①对应角 ，对应边的比 ，对应边的比是相似图形的 . ②相似多边形的周长的比等于 ，相似多边形的面积比等于 . 知识点五 相似三角形的定义与性质 ◎相似三角形的定义： 如果两个三角形的对应边的比 ，对应角 ，那么这两个三角形相似.用符号“∽”来表示.若△ABC相似于△DEF，A对应D，B对应E，C对应F.则表示为△ABC∽△EDF.对应边的比叫做这两个三角形的 . ◎相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角 ，对应边的比 . ②相似三角形（多边形）的周长的比等于 ；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于 . ③相似三角形的面积的比等于 . 知识点六 相似三角形的判定 ◎判定两个三角形相似的预备定理 平行于三角形其中一边的直线与另两边或两边的延长线相交，所得到的三角形与原三角形 . 图1 图2 如图1：△AOE∽△ABC；如图2，△AOB∽△COD ◎相似三角形的判定定理1： 三边对应成比例的两个三角形相似： 若两个三角形三边的 相等，则这两个三角形相似. ◎相似三角形的判定定理2： 两个三角形的两组对应边的 相等且这两组对应边的 相等的两个三角形相似. ◎相似三角形的判定定理3：两个三角形的两个角对应 ，则这两个三角形相似. ◎相似三角形的判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 ,那么这两个直角三角形相似. 知识点七 中位线 ◎中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 . 几何语言：在 △ABC中， ∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ◎性质定理：三角形的中位线 三角形的第三边且等于第三边的 . 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． 知识点八 位似图形 ◎位似多边形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ，这个交点叫做 ． ◎位似图形的性质： （1）两个位似图形一定是相似形； （2）对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点； （3）对应边互相平行（或在同一直线）； （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． ◎画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 知识点九 图形与坐标 ◎坐标确定位置： ①行列定位法:用行数、列数表示位置.在这种方法中，常把平面分成若干行和若干列，然后利用行数和列数表示平面上的位置; ②经纬定位法: 通过地球上的经度和纬度可以确定一个地点在地球上的位置. ③用方向角、距离确定位置 ◎图形的变换与坐标： 名称 规律 平移变换 横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 以x轴为对称轴，则对应点的 坐标相等， 坐标互为相反数 以y轴为对称轴，则对应点的 坐标相等， 坐标互为相反数 旋转变换 一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形的对应点横坐标与纵坐标 都互为 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的坐标之比的 等于相似比 易错点一：相似三角形判定时忽略对应关系或角的条件 在判定两个三角形相似时，必须确保对应角相等或对应边成比例，且对应关系正确。学生容易仅凭边成比例就判定相似，而不检查角是否相等，或者错误地使用非判定条件（如SSA）。 例题：已知在和中，, , , , , 。判断与是否相似。 常见错误：直接计算, , ，认为三边成比例，因此相似。 正确解法：首先确认对应顶点。假设A对应D, B对应E, C对应F，则, , ，三边成比例，根据SSS相似准则，。但需注意，如果对应顶点不正确，则边不成比例，因此判定相似时必须明确对应关系。 易错点二：混淆相似比与面积比、周长比 相似图形的面积比是相似比的平方，周长比等于相似比。学生容易将面积比误认为与相似比相同，或在计算时忽略平方关系。 例题：两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比是多少？ 常见错误：直接回答3:5。 正确解法：面积比是相似比的平方，即，所以面积比为9:25。 易错点三：应用平行线分线段成比例定理时找错对应线段 在利用平行线分线段成比例定理或其推论时，学生容易将对应线段混淆，导致比例式列错。必须确保所比的线段都来自被同一条直线所截得的线段，并且比例式要遵循严格的对应关系。 例题：如图，在中，，，，，求的长度。 常见错误：错误地列出比例式 ，即 。 正确解法：根据平行线分线段成比例定理的推论（A型图），对应线段成比例的正确关系是：，其中，所以有：，解得：。 易错点四：忽略直角三角形相似的特定判定方法（HL） 在判定两个直角三角形相似时，除了使用一般三角形相似的判定定理外，还有一个专属于直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例，那么这两个直角三角形相似（HL）。学生容易忘记这个定理，或者错误地应用一般三角形的SAS定理。 例题：已知在和中，，且。求证：。 常见错误：直接说"因为两边成比例且夹角相等，所以相似"。但这里给出的边AB和DE是斜边，AC和DF是直角边，夹角∠C和∠F是直角。这个条件组合不属于一般三角形SAS相似的范畴。 正确解法：∵ ∠C =∠F = 90°，且 （即斜边和一条直角边对应成比例），∴（根据直角三角形相似的HL判定定理）。 易错点五：相似实际应用问题中未能正确建立数学模型 将实际问题转化为相似三角形模型时，学生容易找错对应关系，或者混淆实物高度与影长等概念，导致列出的比例式错误。解决此类问题的关键是准确识别出图形中的相似三角形，并明确它们的对应边。 例题：小亮想测量一座古塔的高度。他站在离古塔底部一定距离的地方，将一块平面镜放在地面上他前方一点处，然后他看着镜子慢慢后退，直到在镜中恰好能看到塔顶的像。已知小亮的眼睛离地面高1.6米，镜子到塔底的距离为25米，小亮到镜子的距离为2米，求古塔的高度。 常见错误：误以为人的身高与塔高之比等于人到镜子的距离与镜子到塔的距离之比，即。 正确解法：根据光的反射定律，可以证明图中的两个直角三角形是相似的。设古塔高为h米。根据相似三角形的性质，对应边成比例：人的眼睛离地高度 / 古塔高度 = 人到镜子的距离 / 镜子到塔底的距离，即，解得：。答：古塔的高度是20米。 关键点：正确找出相似三角形，并建立"竖直边/竖直边 = 水平边/水平边"的正确比例关系。 总结反思 通过对以上易错点的分析，可以发现图形的相似的常见错误主要集中在概念理解和实际应用上。为避免这些错误： (1) 始终牢记相似三角形判定的前提条件，注意对应关系； (2) 区分清楚相似比与面积比、周长比的关系，面积比是相似比的平方； (3) 应用平行线分线段成比例定理时，确保对应线段正确； (4) 牢记直角三角形相似的特定判定方法（HL）； (5) 解决实际问题时，正确建立相似模型，注意对应边的关系。 (6) 建议建立错题本，定期复习这些典型易错题。 重难点1：比例线段与比例性质 涉及知识点： ◎比例的基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc ◎平行线分线段成比例定理 ◎黄金分割及其应用 解题技巧： ◎先将方程利用比例性质进行线段长度的计算 ◎通过设未知数建立方程求解比例问题 ◎运用平行线分线段成比例定理解决几何问题 ◎黄金分割点的确定与应用 例题精选 例题1：下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（    ） A．，，， B． C． D． 例题2：如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即 ．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 例题3：如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为 ． 重难点2：相似三角形的判定 涉及知识点： ◎相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例 ◎相似三角形的判定定理： ★两角对应相等，两三角形相似(AA) ★两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS) ★三边对应成比例，两三角形相似(SSS) ◎常见相似模型：A字型、X字型、母子型等 ◎直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例 解题技巧： ◎根据已知条件选择合适的判定方法 ◎寻找公共角、对顶角等相等角 ◎利用平行线构造相似三角形 ◎识别常见的相似模型 例题精选 例题1：如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 例题2：平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例题3：如图，在和中，，．求证：； 重难点3：相似三角形的性质 涉及知识点： ◎相似三角形对应角相等 ◎相似三角形对应边成比例 ◎相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◎相似三角形周长的比等于相似比 ◎相似三角形面积的比等于相似比的平方 解题技巧： ◎利用相似比求线段长度 ◎利用面积比解决面积问题 ◎相似三角形性质与勾股定理的综合应用 ◎建立比例关系求解几何问题 例题精选 例题1：如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 例题2：如果两个相似三角形的对应边上的中线之比是，并且这两个三角形的周长之和是，那么较大的三角形周长是 ． 例题3：已知，若，，则的度数为 °． 重难点4：相似三角形的应用 涉及知识点： ◎利用相似三角形测量高度 ◎利用相似三角形测量距离 ◎相似三角形在实际问题中的应用 ◎相似三角形与平面直角坐标系的结合 解题技巧： ◎建立相似模型解决实际问题 ◎利用影子测量物体高度 ◎坐标几何中的相似问题 例题精选 例题1：如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 例题2：如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 例题3：小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 重难点5：位似图形 涉及知识点： ◎位似图形的定义：对应点连线交于一点，且对应边平行 ◎位似中心：对应点连线的交点 ◎位似比：位似图形对应边的比值 ◎位似图形的性质：对应角相等，对应边成比例 ◎位似图形的画法 解题技巧： ◎识别位似图形和位似中心 ◎根据位似比进行相关计算 ◎掌握位似图形的画法 ◎位似与相似的区别与联系 例题精选 例题1：方框中的两个图形不是位似图形的是（　　　） A． B． C． D． 例题2：如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的，，则的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 例题3：如图所示， 在平面直角坐标系中， ，利用位似缩小；以原点O为位似中心，在第二、四象限分别画出与位似的三角形，使相似比为． 重难点6：相似多边形 涉及知识点： ◎相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例 ◎相似比：相似多边形对应边的比值 ◎相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例 ◎相似多边形的周长比等于相似比 ◎相似多边形的面积比等于相似比的平方 解题技巧： ◎利用相似比求多边形边长 ◎利用相似比求多边形周长 ◎利用相似比求多边形面积 ◎相似多边形与相似三角形的联系 例题精选 例题1：矩形甲、乙、丙的长和宽如图所示（单位：），则其中是相似图形的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲、乙和丙 例题2：如图，四边形四边形，则 ． 例题3：如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 重难点7：相似与函数综合 涉及知识点： ◎坐标系中相似三角形的判定 ◎利用函数关系求相似比 ◎相似三角形与一次函数、反比例函数的综合 ◎动态几何中的相似问题 解题技巧： ◎建立坐标系解决相似问题 ◎利用函数解析式求点的坐标 ◎结合函数图像分析相似关系 ◎动态问题中寻找不变关系 例题精选 例题1：如图，在平面直角坐标系中，已知，，点与坐标原点关于直线对称．将沿轴向右平移，当线段扫过的面积为20时，此时点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例题2：如图，的边的中点在轴上，对角线与轴交于点，若反比例函数的图象恰好经过点，且四边形的面积为10，则的值为 ． 例题3：如图1，已知是等边三角形，边，点B、C是直线上的动点，点始终在点D左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和． (1)直接写出，的函数关系式； (2)在图中画出函数，图像，并写出一条的性质； (3)直接写出时，自变量的取值范围__________． 重难点8：相似三角形中的辅助线 涉及知识点： ◎平行线构造相似三角形 ◎垂线构造相似三角形 ◎中线与相似三角形 ◎角平分线与相似三角形 解题技巧： ◎过特殊点作平行线构造相似 ◎作垂线构造直角三角形相似 ◎利用中线性质构造相似 ◎利用角平分线性质构造相似 例题1：如图，在△ABC中，D为BC中点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接EC，已知BC＝6，AD＝2，且S△CDE＝，则点A到DE的距离为 ． 例题2：综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 例题3：已知：在矩形中，E为的中点，作于点F． (1)如图（1），求证：； (2)如图（1），若，求的值； (3)如图（2），连结BD交CF于G，若，求的值． 重难点9：相似三角形与面积问题 涉及知识点： ◎相似三角形面积比等于相似比的平方 ◎等高三角形的面积比 ◎相似三角形与面积分割 ◎面积法在相似问题中的应用 解题技巧： ◎利用面积比求线段比 ◎利用等高三角形性质求面积比 ◎面积分割法解决复杂面积问题 ◎面积法证明几何关系 例题1：两个相似三角形的对应高之比是，如果它们的面积之和为130平方厘米，那么较小的三角形的面积是 平方厘米 例题2：嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示） (1)已知，测得的面积为，则的面积为 ． (2)在上述条件下，若和的周长之和为35cm，则的周长是 cm. 例题3：如图，在中，E在上，交于F，若，则 ． 8 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 图形的相似 知识点一 成比例线段 ◎线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. ◎比例线段的概念： 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比 相等 ，则我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. 注意：在判断线段是否成比例线段时，将线段从小到大排列，若前面两条线段的比值等于后面两条线段的比值，则这四条线段就是比例线段. 知识点二 比例的相关性质 ◎比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． ◎比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 【拓展】 ① 合比性质：， ② 分比性质：， ③ 合分比性质： ④ 等比性质：如果 ◎黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为：. 知识点三 平行线分线段成比例 ◎平分线分线段成比例的内容： 如图，若两条线段被一组平行线所截，所得到的线段对应 成比例 . 即： ； ，等... ◎推论1： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线 平行 于三角形的第三边. ◎推论2： 平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例 . 知识点四 相似图形 ◎相似图形的概念： 我们把 形状 相同的图形称为相似图形. 或若两个多边形的边数 相同 ，角 对应相等 ，边 对应成比例 ，则这两个多边形是相似多边形。 相等的角是 对应角 ，成比例的边是 对应边 . 【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上. ◎相似多边形的性质： ①对应角 相等 ，对应边的比 相等 ，对应边的比是相似图形的 相似比 . ②相似多边形的周长的比等于 相似比 ，相似多边形的面积比等于 相似比的平方 . 知识点五 相似三角形的定义与性质 ◎相似三角形的定义： 如果两个三角形的对应边的比 相等 ，对应角 相等 ，那么这两个三角形相似.用符号“∽”来表示.若△ABC相似于△DEF，A对应D，B对应E，C对应F.则表示为△ABC∽△EDF.对应边的比叫做这两个三角形的 相似比 . ◎相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角 相等 ，对应边的比 相等 . ②相似三角形（多边形）的周长的比等于 相似比 ；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于 相似比 . ③相似三角形的面积的比等于 相似比的平方 . 知识点六 相似三角形的判定 ◎判定两个三角形相似的预备定理 平行于三角形其中一边的直线与另两边或两边的延长线相交，所得到的三角形与原三角形 相似 . 图1 图2 如图1：△AOE∽△ABC；如图2，△AOB∽△COD ◎相似三角形的判定定理1： 三边对应成比例的两个三角形相似： 若两个三角形三边的 比 相等，则这两个三角形相似. ◎相似三角形的判定定理2： 两个三角形的两组对应边的 比 相等且这两组对应边的 夹角 相等的两个三角形相似. ◎相似三角形的判定定理3：两个三角形的两个角对应 相等 ，则这两个三角形相似. ◎相似三角形的判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 ,那么这两个直角三角形相似. 知识点七 中位线 ◎中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线 . 几何语言：在 △ABC中， ∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ◎性质定理：三角形的中位线 平行于 三角形的第三边且等于第三边的 一半 . 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． 知识点八 位似图形 ◎位似多边形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 位似图形 ，这个交点叫做 位似中心 ． ◎位似图形的性质： （1）两个位似图形一定是相似形； （2）对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点； （3）对应边互相平行（或在同一直线）； （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． ◎画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 知识点九 图形与坐标 ◎坐标确定位置： ①行列定位法:用行数、列数表示位置.在这种方法中，常把平面分成若干行和若干列，然后利用行数和列数表示平面上的位置; ②经纬定位法: 通过地球上的经度和纬度可以确定一个地点在地球上的位置. ③用方向角、距离确定位置 ◎图形的变换与坐标： 名称 规律 平移变换 横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 以x轴为对称轴，则对应点的 横 坐标相等， 纵 坐标互为相反数 以y轴为对称轴，则对应点的 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数 旋转变换 一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形的对应点横坐标与纵坐标 都互为 相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的坐标之比的 绝对值 等于相似比 易错点一：相似三角形判定时忽略对应关系或角的条件 在判定两个三角形相似时，必须确保对应角相等或对应边成比例，且对应关系正确。学生容易仅凭边成比例就判定相似，而不检查角是否相等，或者错误地使用非判定条件（如SSA）。 例题：已知在和中，, , , , , 。判断与是否相似。 常见错误：直接计算, , ，认为三边成比例，因此相似。 正确解法：首先确认对应顶点。假设A对应D, B对应E, C对应F，则, , ，三边成比例，根据SSS相似准则，。但需注意，如果对应顶点不正确，则边不成比例，因此判定相似时必须明确对应关系。 易错点二：混淆相似比与面积比、周长比 相似图形的面积比是相似比的平方，周长比等于相似比。学生容易将面积比误认为与相似比相同，或在计算时忽略平方关系。 例题：两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比是多少？ 常见错误：直接回答3:5。 正确解法：面积比是相似比的平方，即，所以面积比为9:25。 易错点三：应用平行线分线段成比例定理时找错对应线段 在利用平行线分线段成比例定理或其推论时，学生容易将对应线段混淆，导致比例式列错。必须确保所比的线段都来自被同一条直线所截得的线段，并且比例式要遵循严格的对应关系。 例题：如图，在中，，，，，求的长度。 常见错误：错误地列出比例式 ，即 。 正确解法：根据平行线分线段成比例定理的推论（A型图），对应线段成比例的正确关系是：，其中，所以有：，解得：。 易错点四：忽略直角三角形相似的特定判定方法（HL） 在判定两个直角三角形相似时，除了使用一般三角形相似的判定定理外，还有一个专属于直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例，那么这两个直角三角形相似（HL）。学生容易忘记这个定理，或者错误地应用一般三角形的SAS定理。 例题：已知在和中，，且。求证：。 常见错误：直接说"因为两边成比例且夹角相等，所以相似"。但这里给出的边AB和DE是斜边，AC和DF是直角边，夹角∠C和∠F是直角。这个条件组合不属于一般三角形SAS相似的范畴。 正确解法：∵ ∠C =∠F = 90°，且 （即斜边和一条直角边对应成比例），∴（根据直角三角形相似的HL判定定理）。 易错点五：相似实际应用问题中未能正确建立数学模型 将实际问题转化为相似三角形模型时，学生容易找错对应关系，或者混淆实物高度与影长等概念，导致列出的比例式错误。解决此类问题的关键是准确识别出图形中的相似三角形，并明确它们的对应边。 例题：小亮想测量一座古塔的高度。他站在离古塔底部一定距离的地方，将一块平面镜放在地面上他前方一点处，然后他看着镜子慢慢后退，直到在镜中恰好能看到塔顶的像。已知小亮的眼睛离地面高1.6米，镜子到塔底的距离为25米，小亮到镜子的距离为2米，求古塔的高度。 常见错误：误以为人的身高与塔高之比等于人到镜子的距离与镜子到塔的距离之比，即。 正确解法：根据光的反射定律，可以证明图中的两个直角三角形是相似的。设古塔高为h米。根据相似三角形的性质，对应边成比例：人的眼睛离地高度 / 古塔高度 = 人到镜子的距离 / 镜子到塔底的距离，即，解得：。答：古塔的高度是20米。 关键点：正确找出相似三角形，并建立"竖直边/竖直边 = 水平边/水平边"的正确比例关系。 总结反思 通过对以上易错点的分析，可以发现图形的相似的常见错误主要集中在概念理解和实际应用上。为避免这些错误： (1) 始终牢记相似三角形判定的前提条件，注意对应关系； (2) 区分清楚相似比与面积比、周长比的关系，面积比是相似比的平方； (3) 应用平行线分线段成比例定理时，确保对应线段正确； (4) 牢记直角三角形相似的特定判定方法（HL）； (5) 解决实际问题时，正确建立相似模型，注意对应边的关系。 (6) 建议建立错题本，定期复习这些典型易错题。 重难点1：比例线段与比例性质 涉及知识点： ◎比例的基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc ◎平行线分线段成比例定理 ◎黄金分割及其应用 解题技巧： ◎先将方程利用比例性质进行线段长度的计算 ◎通过设未知数建立方程求解比例问题 ◎运用平行线分线段成比例定理解决几何问题 ◎黄金分割点的确定与应用 例题精选 例题1：下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（    ） A．，，， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段成比例，熟练掌握线段成比例是解题的关键；因此此题可根据“若线段a、b、c、d，且满足，则这四条线段成比例”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； B、因为，所以，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； C、因为，所以，所以这四条线段成比例，故符合题意； D、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选C． 例题2：如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即 ．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割并能运用求解． 根据黄金分割的定义分别求得，，再利用进行计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点是靠近点的黄金分割点， ∴， ， ∴支撑点之间的距离为， 故答案为：． 例题3：如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成立定理可得，再代入各个线段的长计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点2：相似三角形的判定 涉及知识点： ◎相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例 ◎相似三角形的判定定理： ★两角对应相等，两三角形相似(AA) ★两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS) ★三边对应成比例，两三角形相似(SSS) ◎常见相似模型：A字型、X字型、母子型等 ◎直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例 解题技巧： ◎根据已知条件选择合适的判定方法 ◎寻找公共角、对顶角等相等角 ◎利用平行线构造相似三角形 ◎识别常见的相似模型 例题精选 例题1：如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 例题2：平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由得到，即可得到，由平行四边形得到，，进而得到． 【详解】∵ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴与相似的三角形有2个． 故选：A． 例题3：如图，在和中，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】证明：， ， ， 又， 则， ． 重难点3：相似三角形的性质 涉及知识点： ◎相似三角形对应角相等 ◎相似三角形对应边成比例 ◎相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◎相似三角形周长的比等于相似比 ◎相似三角形面积的比等于相似比的平方 解题技巧： ◎利用相似比求线段长度 ◎利用面积比解决面积问题 ◎相似三角形性质与勾股定理的综合应用 ◎建立比例关系求解几何问题 例题精选 例题1：如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方；由相似比为，可求出，即可求解. 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∴. 故选：A. 例题2：如果两个相似三角形的对应边上的中线之比是，并且这两个三角形的周长之和是，那么较大的三角形周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．由两个相似三角形的对应边上的中线之比＝相似比＝相似三角形的周长比，即可求得这两个三角形周长比为：，又由周长之和是，即可求得答案． 【详解】∵两个相似三角形的对应边上的中线之比是， ∴这两个三角形周长比为：． ∵周长之和是， ∴这两个三角形周长分别为：， ∴较大的三角形周长是． 故答案为：． 例题3：已知，若，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．先根据相似三角形的对应角相等，得，再由三角形内角和定理即可解答． 【详解】 ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 重难点4：相似三角形的应用 涉及知识点： ◎利用相似三角形测量高度 ◎利用相似三角形测量距离 ◎相似三角形在实际问题中的应用 ◎相似三角形与平面直角坐标系的结合 解题技巧： ◎建立相似模型解决实际问题 ◎利用影子测量物体高度 ◎坐标几何中的相似问题 例题精选 例题1：如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明， ， 从而得到，， 两式相加并变形可得， 把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， 即， ， ，， ，解得． 故答案为： ． 例题2：如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 例题3：小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】(1)旗杆的高度为6米 (2)小水坑F到小明的距离的长为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． （2）解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 重难点5：位似图形 涉及知识点： ◎位似图形的定义：对应点连线交于一点，且对应边平行 ◎位似中心：对应点连线的交点 ◎位似比：位似图形对应边的比值 ◎位似图形的性质：对应角相等，对应边成比例 ◎位似图形的画法 解题技巧： ◎识别位似图形和位似中心 ◎根据位似比进行相关计算 ◎掌握位似图形的画法 ◎位似与相似的区别与联系 例题精选 例题1：方框中的两个图形不是位似图形的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换的知识，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：D． 例题2：如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的，，则的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由位似的性质得出，结合的周长等于周长的，得出相似比为，计算即可得出答案． 【详解】解：∵ 与位似， ∴， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为，即， ∵， ∴， 故选：C． 例题3：如图所示， 在平面直角坐标系中， ，利用位似缩小；以原点O为位似中心，在第二、四象限分别画出与位似的三角形，使相似比为． 【答案】见解析 【分析】当在第二象限时，；当在第四象限时，，画图即可． 本题考查了位似作图，正确理解位似比的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，利用位似缩小；以原点O为位似中心，且相似比为． ∴当在第二象限时，；当在第四象限时，， 画图如下： 则和即为所求． 重难点6：相似多边形 涉及知识点： ◎相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例 ◎相似比：相似多边形对应边的比值 ◎相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例 ◎相似多边形的周长比等于相似比 ◎相似多边形的面积比等于相似比的平方 解题技巧： ◎利用相似比求多边形边长 ◎利用相似比求多边形周长 ◎利用相似比求多边形面积 ◎相似多边形与相似三角形的联系 例题精选 例题1：矩形甲、乙、丙的长和宽如图所示（单位：），则其中是相似图形的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲、乙和丙 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，难度不大，注意对基础知识的掌握是关键． 根据相似多边形的定义：对应角相等且对应边成比例，判断三个矩形即可． 【详解】解：矩形甲的长宽比为：； 矩形甲的长宽比为： ； 矩形甲的长宽比为：； 故矩形甲和丙为相似图形． 故选：C． 例题2：如图，四边形四边形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和定理，根据相似多边形对应角相等以及内角和为计算即可． 【详解】四边形四边形， ， 四边形内角和为， ， 故答案为：． 例题3：如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．先求出矩形的面积，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴， ∴， 故答案为：. 重难点7：相似与函数综合 涉及知识点： ◎坐标系中相似三角形的判定 ◎利用函数关系求相似比 ◎相似三角形与一次函数、反比例函数的综合 ◎动态几何中的相似问题 解题技巧： ◎建立坐标系解决相似问题 ◎利用函数解析式求点的坐标 ◎结合函数图像分析相似关系 ◎动态问题中寻找不变关系 例题精选 例题1：如图，在平面直角坐标系中，已知，，点与坐标原点关于直线对称．将沿轴向右平移，当线段扫过的面积为20时，此时点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AA1、BB1，过C点作CE⊥x轴于E点，过B点作BD⊥CE，交EC的延长线于点D，根据A(-2，0)、B(0，4)，OA=2，OB=4，进而得到AC=2，BC=4，再证Rt△DBC∽Rt△ECA，得到，设AE=x，则有CD=2x，OE=AO+AE=2+x，在Rt△ACE中，，即有，解方程求出x，即可求出AE，则C点坐标可求，再根据AB扫过的面积为20，求得，可知△ABC向右平移了5个单位，则问题得解． 【详解】平移后的效果如图，连接AA1、BB1，过C点作CE⊥x轴于E点，过B点作BD⊥CE，交EC的延长线于点D， 根据平移的性质可知AA1=BB1，且， 即有四边形是平行四边形． ∵CE⊥x轴，BD⊥CE， ∴∠D=∠CEA=90°， 根据对称的性质可知△AOB≌△ACB， ∴∠ACB=∠AOB=90°，AO=AC，OB=BC， ∵A(-2，0)、B(0，4)， ∴OA=2，OB=4， ∴AO=AC=2，OB=BC=4， ∵∠ACB=90°=∠D， ∴∠DCB+∠ACE=90°，∠DCB+∠DBC=90°， ∴∠ACE=∠CBD， ∴Rt△DBC∽Rt△ECA， ∴， 设AE=x，则有CD=2x， ∴OE=AO+AE=2+x， ∵∠D=∠CEA=90°=∠AOB， ∴四边形OBDE是矩形， ∴BD=OE，即BD=2+x， ∵， ∴， ∴在Rt△ACE中，， ∴有，解得，（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴C点坐标为， 根据平移的性质可知直线AB扫过的图形为是平行四边形， ∴根据题意有， ∵， ∴， ∴， ∴可知△ABC向右平移了5个单位， ∴C也向右平移了5个单位才得到C1， ∴即， ∴C1点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，求出C点的坐标是解答本题的关键． 例题2：如图，的边的中点在轴上，对角线与轴交于点，若反比例函数的图象恰好经过点，且四边形的面积为10，则的值为 ． 【答案】12 【分析】根据条件找到△ADE∽△COE，求出线段之间长度关系，通过设未知数形式，求出S△ADO的面积，进而求得k的值． 【详解】解：因为四边形ABCD为平行四边形， 则△ADE∽△COE， 因为D为AB中点， 则， 设AD=x，DE=y， 则四边形BCDE的面积=SBCOD-S△EOC=-=10， 则xy=4， S△ADO=x×3y÷2=6， 根据反比例函数性质可得k=2S△ADO=12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了平行四边形性质、相似三角形判定和性质，反比例函数的图像和系数等有关知识，属于综合题型． 例题3：如图1，已知是等边三角形，边，点B、C是直线上的动点，点始终在点D左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和． (1)直接写出，的函数关系式； (2)在图中画出函数，图像，并写出一条的性质； (3)直接写出时，自变量的取值范围__________． 【答案】(1)， (2)画图见解析，当时，随的增大而减小 (3)或 【分析】（）根据已知条件证明，则对应变成比例，的函数解析式；设将 和 代入即可求得的解析式； （）按画图象的步骤方法画图即可由函数图象写出一条的性质即可； （）函数图象可得自变量的取值范围，由（）所画两函数图象交点横坐标，观察图象的位置关系，即可确定大小； 本题主要考查了正比例函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设， 将和代入可得：，解得： 则， 综上所述：，； （2）经过的点有：，，，，经过的点有：，， 描点、连线，画出函数，图象如下： 如图， 的性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）由（）中图象可知，，图象交点为，， 当或时，图象在图象的上方， ∴当时，自变量的取值范围为或． 重难点8：相似三角形中的辅助线 涉及知识点： ◎平行线构造相似三角形 ◎垂线构造相似三角形 ◎中线与相似三角形 ◎角平分线与相似三角形 解题技巧： ◎过特殊点作平行线构造相似 ◎作垂线构造直角三角形相似 ◎利用中线性质构造相似 ◎利用角平分线性质构造相似 例题1：如图，在△ABC中，D为BC中点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接EC，已知BC＝6，AD＝2，且S△CDE＝，则点A到DE的距离为 ． 【答案】． 【分析】过点E作EF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BC于H，由将△ABD沿AD折叠得到△AED，可得，可证，由D为BC中点，BC=6，可求，由S△CDE＝，可求，在Rt△EDF中，由勾股定理，可求FC=，在Rt△ECF中，由勾股定理，可证，可得 ，可求即可 【详解】解：过点E作EF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BC于H， ∵将△ABD沿AD折叠得到△AED， ∴， ∴AD为∠BDE的平分线， ∵EF⊥BC于F，AG⊥DE于G， ∴， ∵D为BC中点，BC=6， ∴， ∵S△CDE＝， ∴， ∴， 在Rt△EDF中，由勾股定理， ∴FC=DC-DF=3-， 在Rt△ECF中，由勾股定理， ∵DE=DC， ∴， 由外角性质，， ∴， ， ∴， ∴即， ∴， ∴AG=， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，利用辅助线画出准去图形是解题关键． 例题2：综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 例题3：已知：在矩形中，E为的中点，作于点F． (1)如图（1），求证：； (2)如图（1），若，求的值； (3)如图（2），连结BD交CF于G，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例，求解即可； （3）过点作于点，证明和，根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）在矩形中，， ∵E为的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． （3）过点作于点，如图所示， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴，即， ∴， ∴． 重难点9：相似三角形与面积问题 涉及知识点： ◎相似三角形面积比等于相似比的平方 ◎等高三角形的面积比 ◎相似三角形与面积分割 ◎面积法在相似问题中的应用 解题技巧： ◎利用面积比求线段比 ◎利用等高三角形性质求面积比 ◎面积分割法解决复杂面积问题 ◎面积法证明几何关系 例题1：两个相似三角形的对应高之比是，如果它们的面积之和为130平方厘米，那么较小的三角形的面积是 平方厘米 【答案】40 【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解． 本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应高之比是， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴这两个相似三角形的面积比是， ∵它们的面积之和为130平方厘米， ∴较小的三角形的面积是（平方厘米）． 故答案为：40． 例题2：嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示） (1)已知，测得的面积为，则的面积为 ． (2)在上述条件下，若和的周长之和为35cm，则的周长是 cm. 【答案】(1)9 (2)15 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活应用． 根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：， , ∵的面积为， 的面积为． 故答案为：9． 例题3：如图，在中，E在上，交于F，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．由平行四边形的性质得出，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 8 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $