第23章 图形的相似（单元复习课件）数学华东师大版2024九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了图形的相似、相似三角形的判定与性质、位似图形及三角形中位线等核心知识，通过单元知识图谱将成比例线段、相似判定、性质应用等内容串联，构建“定义-判定-性质-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成结构化知识网络。 其亮点在于创新采用“考点串讲-题型模型-针对训练”三阶复习策略，如通过A字8字等几何模型剖析相似三角形判定，结合路灯高度测量等实际问题培养数学建模与应用意识，分层设计基础题与综合题，助力学生巩固知识并提升解题能力，为教师提供系统复习方案。

单元复习课件 第23章 图形的相似 华师大版2024·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟练掌握相似图形的定义，能准确判断两个图形是否相似。牢记相似三角形的 5 种判定定理和 3 条性质。理解位似图形的定义、性质及作图步骤，明确位似与相似的联系与区别。 3.掌握相似图形和构造中位线中常见的基本模型，能快速识别模型并套用相关结论解题。 2. 能运用相似三角形的判定定理，证明两个三角形相似，并结合性质求解线段长度、角度大小、图形面积等问题。会利用相似知识解决实际应用问题，如测量物体高度、计算河宽等，实现数学与现实场景的结合。 单元学习目标 ad＝bc 成比例 单元知识图谱 成比例 相等 成比例 成比例 相等 相等 成比例 相等 相似比 相似比 相似比的平方 平行于 一半 中线 单元知识图谱 1.相似三角形的性质 ①对应边成比例. ②对应角相等. ③对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 2.相似三角形的判定 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似. （2）平行法：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. （3）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. （4）判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. （5）判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 考点串讲 3.相似三角形的应用 构造相似三角形，建立数学模型，利用相似的有关知识解决实际问题. 4.图形与坐标 （1）用坐标确定位置. ①建立适当的直角坐标系，用坐标来确定物体的位置. ②用“角度（方向）、距离”刻画物体的位置. （2）图形变换与坐标 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于 原点对称 沿 x 轴向右平移 a 个单位 沿 y 轴向上平移 b 个单位 图形以原点为位似中心缩放 k 倍 图形变换 变换后点的坐标 变换前点的坐标 (x，y) (x，-y) (-x，y) (-x，-y) (x+a，y) (x，y+b) (kx，ky) 或(-kx，-ky) （2）图形变换与坐标 考点串讲 考点1 成比例线段及比例的基本性质 1.［2025河南平顶山期中］若四条线段,,,成比例，其中 ， ，，则线段 的长为( ) A A. B. C. D. 【解析】根据题意，得，， ，故选A. 2.若，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】，， .故选A. 考点串讲 8 考点2 平行线分线段成比例及相似多边形 3.［2025江苏泰州质检］如图，是的中线，是 上一 点，，连结并延长交于点，则 为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，作交于点是的中线， ，， ，， ， . 故选B. 考点串讲 9 4. ［2025浙江宁波期末］一个大矩形按如图所示的方式分 割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形 矩形 .设矩形与矩形的面积分别为， ，则这个大矩 形的面积一定可以表示为( ) D A. B. C. D. 【解析】设,,,，则, .依题意易得 ,， 矩形 矩形 ， ，即，整理得， 这个大矩形的面积为 ，故选D. 考点2 平行线分线段成比例及相似多边形 考点串讲 10 5.［2025四川凉山州期末］如图，在中，点，， 分别 在边，，上，连结，，，与交于点 .已知 四边形是平行四边形，且 . （1）若，求线段， 的长. 【解】 四边形是平行四边形，，， ， ，.， ， ,，. ， ，， . 考点3 相似三角形的性质与判定 考点串讲 11 （2）若四边形的面积为48，求 的面积. 【解】，， . ，. 四边形 的面积为48，，， ， ， . 5.［2025四川凉山州期末］如图，在中，点，， 分别 在边，，上，连结，，，与交于点 .已知 四边形是平行四边形，且 . 考点串讲 12 6.［2025四川眉山期中］探索发现：如图，是正方形 的边 上的点，是等腰直角三角形， ，连结 交于 点，连结 . （1）求证： ； 【证明】 四边形为正方形，为对角线， , ， 为等腰直 角三角形， ， , ， .又 ， . 考点串讲 13 （2）若，求 的值； 【解】设，则.在 中，由勾股 定理得 ， ，， ， ， 点为的中点，.在 中， 6.［2025四川眉山期中］探索发现：如图，是正方形 的边 上的点，是等腰直角三角形， ，连结 交于 点，连结 . ，由勾股定理得， . ， .又 , ， ，，， . 考点串讲 14 考点4 三角形的中位线 7.［2024山西临汾洪洞期中］如图，在中， ， ，点，分别是，边上的动点，连结，， 分别是 ，的中点，则 的最小值为( ) D A.12 B.10 C.9.6 D.4.8 【解析】 如图，过点作于，连结，分别是， 的中点，， 当取最小值时，的值最小. 由垂线段最短可知，当 于点时，的值最小. 在中，， ， ， ， .又， ， ，，即 的最小值为4.8.故选D. 考点串讲 15 考点5 相似三角形在实际问题中的应用 8.如图，为了测量路灯的高度 ，把一根长1.5米的竹竿 竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子 长为1米，然后 将竹竿向远离路灯方向移动4米 ，再把竹竿竖直立在水平地 面上，测得竹竿的影子 长为1.8米，求路灯离地面的高度. 【解】，，，， ， 即，解得.， , ，，即 把①代入②， 得，解得 .答：路灯离地面的高度是9米. 考点串讲 16 考点6 图形的位似 9.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 ， ， . （1）以原点为位似中心，在第二象限内画出将 放大为原来的2 倍后的 ； 【解】如图， 即为所求. （2）分别写出，，三个点的坐标：_______，_______， ________； . （3）画出绕点逆时针旋转 后得到的 . 【解】如图， 即为所求. 考点串讲 17 A字型解读 正“A字”型 斜“A字”型（共角） 斜“A字”型（共边共角） ______________________ 已知： ； 结论： _____________________ 已知： ； 结论： _______________________ 已知： ； 结论： 题型一：A字模型 题型剖析 18 题型一：A字模型 1.［2024北京昌平区期中］如图，在中，，，点为 中点，点在上，当为_____时，与以点，， 为顶点的三角形相似. 3或 【解析】为中点，. 当时， ， ，. 当时， ，，. 综上，或时， 与以点，，为顶点的三角形相似，故答案为3或 . 题型剖析 19 2.［2025山东淄博期中］如图，在中，点，， 分别在边，，上，连接，，已知四边形 是 平行四边形，.若的面积为1，则平行四边形 的面积为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 四边形是平行四边形，， ， ，，， ， ，，， ， ，.， ， ， .故选B. 题型剖析 20 8字模型解读 正“8字”型 斜“8字”型（蝴蝶型） _______________________________ 已知： ； 结论： _______________________ 已知： ； 结论： 题型二：8字模型 题型剖析 21 3.［2025四川遂宁质检］如图，在平行四边形中， 的平分线交于点，交于点，交的延长线于点 ，若 ，则 的值为__. 【解析】由，可设，则， 四边形 是 平行四边形，，，， ， 平分， ， ，， ， ，， . 题型二：8字模型 题型剖析 22 题型二：8字模型 4.［2024重庆沙坪坝区调研］如图，在边长为 的 菱形中， ，过点作于点 ，现 将沿直线翻折至的位置，与 交于点 ，则 等于_______. 【解析】在中， ，， ， 由勾股定理得，.根据折叠性质可得，. ， 易得，. 设，则，解得 ，故答案为 . 题型剖析 23 手拉手模型解读 如图，，将绕公共顶点旋转，连接， . 结论： . 题型三：手拉手模型 题型剖析 24 5.［2025广东佛山期中］如图，正方形中，点是 边上一点，连结，以 为对角线作正方形，边 与正方形的对角线相交于点，连结 .以下 四个结论：；； ； ,则 上述结论正确的是________.（把正确的序号填在横线上） ①②④ 【解析】①由题意得 ， ，，故①正确. ②由题意得 ，， , , ，， . ，, , 故②正确. ③由题意得 , ， ,，即 ， .在中，， ,故③错误. ④连结.由②知, ,故在正方形 的对角线上， ,故④正确.故答案为①②④. 题型剖析 25 题型三：手拉手模型 6.［2024四川成都双流区质检］如图，在 和 中， ，，为 的中点，，.将绕点旋转，直线， 交 于点，连接，则 的最小值是_________. 【解析】如图，取的中点，连接， ，则 ，， ， . ， ， ， ， 即， ， ， ， ， .又为 的中点， .为的中点，为的中点，， 的最小值为.故答案为 . 题型剖析 26 一线三等角模型解读 如图，已知，，三点共线，且 . （1）点在线段 上: 题型四：一线三等角模型 （2）点在线段 的延长线上: 结论： 题型剖析 27 题型四：一线三等角型 7.如图，正方形边长为4，，分别是， 上的两 个动点，当点在上运动时，保持和垂直，设 . （1）求证： ； 【证明】在正方形中，， ， ， .在 中， ，， . （2）当点运动到什么位置时，？求此时 的值. 【解】当点运动到的中点时， ， 要使，必须有.由（1）知 , ，， 当点运动到的中点时， ， 此时 的值为2. 题型剖析 28 8.如图，在中，点，分别在边，上，连接， ，且 ． （1）求证： ； 【证明】 ， ,,. 又, . （2）若 ,，当点在上运动（点不与， 重合），且是等腰三角形时， 求 的长． 【解】， ，是等腰直角三角形， . ， . ①当时， ， ， ， . 点在上运动（点不与， 重合）, 此种情况不符合题意. ②当时，如图（1），易证 ， ， . ③当时，如图（2）， ， ，即.又 是等腰直角三角形， .综上所述， 或1. 题型剖析 29 射影定理模型解读 基本模型 结论 _________________________________ 中， 在任意直角三角形中过直角顶点向斜边作垂线，得到的两个小直角三角形都和原 直角三角形相似 . 题型五：射影定理模型 题型剖析 30 题型五：射影定理模型 9.如图，在中， ，是斜边 上的高. （1）求证： ； 【证明】， ， .又 ， ， . （2）求证： ； 【证明】 ，，， ， 即 . （3）若，，求 的长. 【解】， ， ，，， . 题型剖析 31 十字型模型解读 如图，在矩形中，点,分别在边,上，于 . 结论： . 题型六：十字型模型 题型剖析 32 10.［2025河北保定期中］综合与探究 【初步发现】 （1）如图（1），在矩形中，如果交于点，交于点 ，且 ,那么___（填“ ”“ ”或“” ）； 题型六：十字型模型 图（1） 【深入探究】 （2）如图（2），在矩形中，，分别交，于点， ， 分别交，于点，，求证： ； 图（2） 【证明】过作于，过作于，交于 ，如图（1-1）.易得 ，，， , , ， ， .又 , ， . 图（1-1） 题型剖析 【尝试应用】 图（3） （3）在（1）的条件下，如图（3），在矩形中，点, 分别在边,上， 点，分别在边，上，连接 , ,且，若，求 的值； 【解】由（1）可知，，由（2）可知， ， . 【联系拓展】 （4）如图（4），在四边形中，若， ， ，，直接写出 的值. 图（4） 图（4-1） 【解】.过点作交的延长线于，过点 作交的延长 线于，连接 ，如图（4-1），则易知四边形是矩形，， ， ， ，.又， ， ，， . 又 ，， ， .设，则，， ， ， 解得，.由（1）易知， . 题型剖析 34 模型解读 取一边中点构造三角形中位线 根据定义可知，中位线是三角形任意两边中点的连线，因此最为直接的构造方式 就是连结两边中点.此种构造方式适用于已知三角形边上有中点的情形，若仅已知 其中一边的中点，则可以在另一边上设定中点，进而构造出三角形中位线. 模型特征 操作方法 ___________________ 条件：已知是 边的中点; 辅助线：取边的中点，连结 ; 结论：， 题型七：取一边中点构造三角形中位线 题型剖析 35 题型七：取一边中点构造三角形中位线 11.［2025河北邢台期末］如图，在中，延长至 ， 使得，过中点作（点位于点 右侧）， 且，连结.若，则 的长为( ) B A.3 B.4 C. D. 【解析】如图，取的中点，连结是 的中点， ，，.设 ，则 ，,， 四边形 是 平行四边形, .故选B. 题型剖析 36 12.［2025陕西西安质检］如图，是的中位线， 是 的中点，的延长线交于点，若的面积为 ， 则 的面积为( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，取的中点，连结是 的中位线， 是的中点，是的中位线, , 是的中点， .又 ，, ， .又 ， ， 故选A. 题型剖析 37 13.［2025四川自贡期末］如图，是的中线，是 的中点，连结并延长交于点，若，则 __. 【解析】如图，取的中点，连结是 的中线， ，是的中点， 易知点 为 中点，，， . 故答案为 . 题型剖析 38 14.［2025湖北孝感质检］如图，在中，是 的中点， 连结，，是的中点，连结交于点，若 ， 则 的长为___. 2 【解析】取的中点，连结，，如图所示. 为 的中点，为的中点，， 四边形 是平行四边形，，, 为 的中点，，， 四边形 是平行四边形， ， ，故答案为2. 题型剖析 39 15.［2025吉林长春期中］如图，在中， ， ，，分别为，上一点，且，， 分别为 ，的中点，求证： . 【证明】如图，取的中点，连结，，分别为 ， 的中点，，， ， ,， ,即 ， ，，， ， 是 等腰直角三角形，, , . 题型剖析 40 模型解读 在四边形中取对角线中点构造三角形中位线 已知四边形两对边的中点，则可连结一条对角线并取其中点，此时可出现两条中位线. 模型特征 操作方法 _________________________________ 条件：已知， ; 辅助线：连结对角线，取的中点，连结， ; 结论：，，， ， 题型八：在四边形中取对角线中点构造三角形中位线 题型剖析 41 题型八：在四边形中取对角线中点构造三角形中位线 16.［2025河南郑州期末］如图，在四边形中，与 不 平行，，分别是，的中点，，．对于 的 长，给出了四种猜测：；； ； ．猜测正确的是( ) C A.① B.② C.③ D.④ 【解析】如图，连结，取的中点，连结, 点,分别是, 的中点，是的中位线， 是的中位线， ，，， ， .由三角形三边关系得， ， 猜测正确.故选C． 题型剖析 42 17.［2025江苏盐城期末］如图，在四边形中，，分别是， 的中点. （1）若，， ， ，求 的长； 【解】如图，取的中点，连结, . ，分别是,的中点，，，，且 ， ，且.又 ， ， ， ， . 在中，由勾股定理得 . 题型剖析 43 （2）若 ，求证： . 【证明】如上图.，分别是，的中点，，且 ， ，且， ， ，， ，， . 17.［2025江苏盐城期末］如图，在四边形中，，分别是， 的中点. 题型剖析 44 模型解读 倍长线段构造三角形中位线 倍长法是构造三角形中位线的常用方法，即通过作延长线，取倍长线段构造中点. 该方法适用于只知道一边中点的情形，同时出现“类中位线”的半缺三角形，此 时可以延长线段，设定中点，构建出中位线对应的三角形. 模型特征 操作方法 _______________________ 条件：已知是 边的中点; 辅助线：延长到，使，连结（也可倍长 ）; 结论：， 题型九：倍长线段构造三角形中位线 题型剖析 45 题型九：倍长线段构造三角形中位线 18.［2025湖北武汉调研］如图，在中， ， ， 为等腰直角三角形， ，为的中点，求证： ． 【证明】如图，延长到，使，连结， . 为等腰直角三角形， ， ，，垂直平分，， ， , 是等腰直角三角形. ， ， .在和中， ， . 为的中点，，是的中位线， ， ． 题型剖析 46 19.［2025山西吕梁期末，中］在中， ，，点 是直线上的一动点 （不与点，重合），连结，在的右侧以 为斜边作等腰直角三角形，点是的中点， 连结 ． 【问题发现】 图（1） （1）如图（1），当点是的中点时，线段与 的数量关系是___________，与 的位置 关系是_________． 【解析】， ，， ， , , 是等腰直角三角形， 为斜边， ， 点在线段上. ， , ， ， ,， .故答案为， ． 题型剖析 47 【猜想论证】 （2）如图（2），当点在边上且不是 的中点时，（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 图（2） 【解】结论仍然成立.证明：如图，延长到，使得 ，连结， ,， 是等腰直角三角形，， ， ， ， . 又， ，， . ， ， . ，，，，， ． 题型剖析 48 模型解读 角平分线与垂线组合构造三角形中位线 对于其中一中点未知的情形，可以利用其他几何条件确定，根据“三线合一”性 质可知等腰三角形顶角的平分线、底边中线和高线所在直线为同一条直线，则垂 足即为底边的中点，因此对于给出“角平分线 垂直”的情况，可以根据其中的直 角边构建等腰三角形，确定其中的中点，进而连线中点构造三角形的中位线. 模型特征 操作方法 ____________________________________ 条件：已知是边的中点，平分， ; 辅助线：延长交于点 ; 结论：， 题型十：角平分线与垂线组合构造三角形中位线 题型剖析 49 题型十：角平分线与垂线组合构造三角形中位线 20.［2025山东泰安质检］如图，在中，平分， 于点 ，点是的中点，连结 ． （1）如图（1），的延长线与边相交于点，求证： ； 图（1） 【证明】平分 , .， . 在和中， ，， ， . （2）如图（2），，，求线段 的长． 图（2） 【解】如图，分别延长，交于点 . 同（1）可证明， ， ， ， ． 题型剖析 50 21.［2025四川遂宁质检］如图，在中，点为 的 中点，为的外角平分线，且，若 ， ，则 的长为_____． 7.5 【解析】如图，延长交的延长线于 为 的平分线，， ， . 又，， ， ，. 又为 的中点，是的中位线， ． 故答案为7.5． 题型剖析 51 1.［2025吉林长春质检］如图是一架梯子的示意图，其中 ，且 .为使其更稳固，在 ，间加绑一条安全绳（线段），经测量, ， 则 的长度为( ) C A. B. C. D. 【解析】，且， ， ，故选C. 针对训练 52 2.如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形 ， 已知，若四边形的面积是2，则四边形 的面 积是( ) D A.4 B.6 C.16 D.18 【解析】 以点为位似中心，作四边形的位似图形， ， ，则四边形 的面积为18.故选D. 针对训练 53 3.［2024河南濮阳期末］如图，在中，，分别是边 ， 上的点，且.若，则 的 值为( ) D A. B. C. D. 【解析】过作于，如图， ， ， ， ， ， ，， ，故选D. 针对训练 54 4.［2025陕西安康期末］“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月.”宋朝诗人黄庭坚 生动形象地描绘出了水仙花的典雅.如图，将水仙花图置于由边长为1的小正方形 组成的网格中，点，，均在格点上.若点，，则点 的坐标为 ______. 【解析】根据点，建立直角坐标系，如图所示， 则可知 ，故答案为 . 针对训练 55 5.［2025江苏徐州质检］如图，点是的重心， ， 垂足为点.若，则点到 的距离为____. 12 【解析】如图，设边上的中线是，边上的高是 .由重 心性质可知，， ， ， ， ，即点到 的距离为12.故答案为12. 针对训练 56 6.［2024重庆北碚区期末］如图所示的正方形网格中，每个小正 方形网格的边长为1， 的顶点均在格点上，请在所给直角 坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将沿轴翻折得到，在图中画出 . 【解】如图， 即为所求. （2）将以点 为位似中心放大2倍. 【解】如图， 即为所求. （3）求 的面积. 【解】的面积为 . 针对训练 57 7.如图，某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上 处 垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点 、标 杆的顶端点、古塔的塔尖点 正好在同一直线上，测得 米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点 、标杆 的顶端点、古塔的塔尖点正好在同一直线上（点，，， 与古塔底处的点在同一直线上），这时测得米， 米，请你根据 以上数据，计算古塔的高度（结果精确到 ）. 【解】根据题意，得，，, . ，，，米， ， 米.答：古塔的高度 约为68.7米. 针对训练 58 相似图形 坐标表示物体的位置 相似多边形 相似三角形 图形的变换与坐标 相似三角形的性质和判定方法 相似多边形的对应边成比例，对应角相等；对应边成比例、对应角相等的两个多边形是相似多边形 位似图形 三角形中位线 三角形重心 课堂总结 感谢聆听! ＝ $