精品解析：河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

卓越联盟2025-2026学年第一学期高一第一次月考 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前两章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 已知集合{是三角形}，{是等腰三角形}，{是直角三角形}，则用Venn图表示，，的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断关系，即可求解. 【详解】由题可知，，，{是等腰直角三角形}. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据整数集与有理数集的关系即可得出结论. 【详解】当时，成立， 当时，不一定成立， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题直接写出即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：B 5. 已知集合，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的概念，以及集合间的包含关系的性质，列出方程组，求出参数值，判断结果. 【详解】由，可得，解得，所以A、B错误； 则，可知，所以C正确； ，所以D错误； 故选：C. 6. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以若，则的最小值为. 故选：B 7. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三个二次的关系，得出以及用表示出，代入求解分式不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，得， 故等价于，等价于， 所以解集为或. 故选：A. 8. 如图，在一处半径为50米的半圆形空地内规划一个矩形区域，其中两个顶点，在半圆的直径上，另外两个顶点，在半圆的圆弧上，则（ ） A. 矩形面积的最大值为2500平方米 B. 矩形面积的最大值为3000平方米 C. 矩形面积的最小值为2500平方米 D. 矩形面积的最小值为1250平方米 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】记半圆的圆心为，连接，根据对称性可知为的中点.设米，米， 则由，可得，矩形的面积平方米. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以平方米.矩形的面积无最小值. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC：根据不等式的性质分析判断；对于B：利用作差法分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为，则，故A正确； 对于选项B：因为， 且，则，可得，所以，故B错误； 对于选项C：因为，则，，所以，故C正确； 对于选项D：取，，满足，不满足，故D错误. 故选：AC. 10. 下列条件是“”的充分条件的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由充分条件的概念结合重要不等式可判断ABC，由特例可判断D. 【详解】由，，可得，则，是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 取，满足，不满足，所以不是的充分条件. 故选：ABC 11. 记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 26 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意得到，再双换元利用基本不等式求最值，验证取等情况，最终得，选择对应选项即可. 【详解】因为，所以，，所以. 令得， 由，，得，，则. 因为，，当且仅当，时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 又，，同时成立，所以，则, 且，时，. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的子集的个数为________. 【答案】8 【解析】 【分析】先列举出集合A，再根据元素个数求子集个数即可. 【详解】根据绝对值的几何意义，可得，所以的子集的个数为. 故答案为：8. 13. 已知全集，集合，若，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由元素与集合的关系得到，是3，4，5中的两个数，再分类讨论计算即可. 【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数. 当时，得. 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 故答案为：2 14. 若，，则的取值集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论两个含参一元二次不等式恒成立问题即可. 【详解】由，得， 若，则不等式显然不可能恒成立， 若，则，解得. 由，得， 若，则不等式显然不可能恒成立， 若，则不等式恒成立，则， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1）， （2），或 【解析】 【分析】由集合交并补运算的定义直接运算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 因为，， 所以或. 又，所以. 由（1）可知，，所以或. 16. 已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值； （2）由已知等式变形得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 因为，，所以，且，则， 又因为，所以， 当且仅当时，即当时，取最小值为. 【小问2详解】 由，得. 所以， 因为，，所以，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 故的最小值为. 17. 已知集合，. （1）若，求的取值集合； （2）若，求的取值集合； （3）若，求的取值集合. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）借助元素与集合的关系计算即可得； （2）分与，结合集合包含关系讨论即可得； （3）结合交集定义计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以，解得， 则的取值集合为； 【小问2详解】 ， 若，则，解得，符合； 若，则由，可得，解得， 综上所述，的取值集合为或； 【小问3详解】 由，可得, 解得， 则的取值集合为. 18. 已知，函数. （1）证明：无论为何值，函数的图象与轴都有两个交点； （2）当时，函数的图象与轴交于，两点，求的值； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） 因为， 所以关于的方程有两个不相等的实数根， 则函数的图象与轴都有两个交点. （2） （3） 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）计算说明即可； （2）根据韦达定理代入求解即可； （3）因式分解，根据两根大小关系进行讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 由题可知是方程的两个不相等的实数根， 则，， . 【小问3详解】 由，得， 因为， 所以， 令，得或， 当，即时，由，得或； 当，即时，不等式恒成立； 当，即时，由，得或； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 19. 已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. （1）设集合，若，求的取值集合； （2）设，证明：“”的充要条件是“”； （3）设，且，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得不等式和，运算求解即可； （2）根据题中运算的定义，分充分性和必要性两个方面分析证明； （3）根据题意可得，进而分析可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为是正实数集的一个子集，，所以， 又因为，则，解得， 所以的取值集合为. 【小问2详解】 充分性：若，则，则由①可知， 故由，可得. 必要性：由，设， 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 若，则由，可得，由，可得，符合题意. 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 故由，可得. 综上可知：“”的充要条件是“”. 【小问3详解】 由④可知， 因为，则， 设，可知， 则，可得， 且，，可得，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓越联盟2025-2026学年第一学期高一第一次月考 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前两章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合{是三角形}，{是等腰三角形}，{是直角三角形}，则用Venn图表示，，的关系为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知集合，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 7. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 如图，在一处半径为50米的半圆形空地内规划一个矩形区域，其中两个顶点，在半圆的直径上，另外两个顶点，在半圆的圆弧上，则（ ） A. 矩形面积的最大值为2500平方米 B. 矩形面积的最大值为3000平方米 C. 矩形面积的最小值为2500平方米 D. 矩形面积的最小值为1250平方米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列条件是“”的充分条件的是（ ） A. ， B. C. D. 11. 记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 26 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的子集的个数为________. 13. 已知全集，集合，若，则________. 14. 若，，则的取值集合为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）求，. 16. 已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 17. 已知集合，. （1）若，求的取值集合； （2）若，求的取值集合； （3）若，求的取值集合. 18. 已知，函数. （1）证明：无论为何值，函数的图象与轴都有两个交点； （2）当时，函数的图象与轴交于，两点，求的值； （3）求关于的不等式的解集. 19. 已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. （1）设集合，若，求的取值集合； （2）设，证明：“”的充要条件是“”； （3）设，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $