精品解析：江苏省常州市金坛区第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025年秋学期高二10月联合调研数学试卷 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的纵截距是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知椭圆的焦点在轴上，点，则（ ） A. 在外 B. 的长轴长为 C. 在内 D. 的焦距为 3. 已知圆C：与曲线有交点，则a的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 是圆上的动点，若到两条直线：和：的距离之和与动点的位置无关，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A. （－2，0） B. （－2，6） C. （0，6） D. （2，6） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线平行，则 B. 过两点的直线方程为 C. 方程能表示平面内的任何直线 D. 若直线过，且的横截距是纵截距的2倍，则直线的方程为 10. 已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（ ） A. 弦有最小值为 B. 有最小值为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为9 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在，使为直角三角形 C. 存在，使的周长最大 D. 当时，四边形面积最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是___________ 13. 直线与直线的夹角为___________． 14. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. （1）求直线的方程； （2）求外接圆的标准方程. 16. 已知直线（为任意实数），直线． （1）若，求直线关于直线的对称的直线方程； （2）求点到直线的距离的最大值． 17. 将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半得到曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知点为曲线上的一动点，求的最小值． 18. 如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有. （1）求点的轨迹方程； （2）若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程； （3）求的最大值. 19. 设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． （1）写出圆的圆心的坐标以及半径； （2）设直线的斜率为，若恒与圆相交，交点为，求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期高二10月联合调研数学试卷 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的纵截距是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式即得答案. 【详解】由可得， 当时，，则直线的纵截距是. 故选：D. 2. 已知椭圆的焦点在轴上，点，则（ ） A. 在外 B. 的长轴长为 C. 在内 D. 的焦距为 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 3. 已知圆C：与曲线有交点，则a的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】变形得到两个圆的方程，根据两圆圆心距和半径的几何关系得到，求出，得到答案. 【详解】由，整理得到， 圆C可化为标准方程C：， 由题意可得圆与圆C：有交点， 又因为的圆心为，半径为，圆C的圆心为，半径为， 所以， 解得，所以a得最小值为1． 故选：A． 4. 已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分是否为0，即斜率是否存在讨论，再结合正切函数的图象即可求解. 【详解】当时，直线的斜率为， 设直线l的倾斜角为，则有， 结合正切函数的图象可知，倾斜角的取值范围为， 当时，倾斜角为， 综上，直线l的倾斜角取值范围为. 故选：C. 5. 是圆上的动点，若到两条直线：和：的距离之和与动点的位置无关，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，结合图形可知当圆位于直线与之间时即为所求，根据直线与圆相切时是临界值即可求解. 【详解】圆心坐标，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，因为直线与直线平行，如图， 由图可知，当圆位于两直线与之间时， 点到直线和的距离之和与点的位置无关， 此时点到两直线和的距离之和即为与两平行直线间的距离， 当直线与圆相切时，，解得或（舍去）， 所以，即实数的取值范围是. 故选：D. 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得． 【详解】因为为的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 7. 椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可先根据椭圆的标准方程求出相关参数，再结合椭圆的定义求出的周长表达式，最后根据椭圆上点的坐标范围确定周长的取值范围。 【详解】对于椭圆，根据椭圆的标准方程， 其中为长半轴长,为短半轴长,为半焦距且 可得，则,，所以 已知椭圆的左顶点，右焦点 根据椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，且（为椭圆的左焦点） 椭圆的左焦点,则,即 的周长,其中 所以 根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得 ,即 所以, 又因为当共线时， 此时或，所以，D正确. 答选：D 8. 已知点到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A. （－2，0） B. （－2，6） C. （0，6） D. （2，6） 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为与相交求参数范围. 【详解】以为圆心，2为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为． 若符合题设的直线恰有2条，则上述两圆相交． 又， 所以， 可得， 所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线平行，则 B. 过两点的直线方程为 C. 方程能表示平面内的任何直线 D. 若直线过，且的横截距是纵截距的2倍，则直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用两直线平行的充要条件计算即可判断；对于B，考虑直线斜率不存在和斜率为0两种情况即可排除；对于C，分别验证斜率是否存在两种情况即可判定；对于D，考虑特殊情况，即横截距、纵截距都为0的情况，即可否定. 【详解】对于A，因，则，又， 则，且解得，故A正确； 对于B，当或时，过两点的直线方程不能表示为，故B错误； 对于C，当直线经过且斜率不存在时，，则直线方程为，满足； 当直线经过且斜率存在时，，直线方程为，即，故C正确； 对于D，当直线的横、纵截距都为0时，符合题意，但直线方程为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（ ） A. 弦有最小值为 B. 有最小值为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为9 【答案】BCD 【解析】 【分析】易得直线过定点，根据点为弦的中点时，最小，即可判断A；根据点为弦的中点，可得，进而可得出点的轨迹是以为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，进而可判断C；设，联立，利用韦达定理求出，进而可求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆一定相交， 当点为弦的中点时，有最小值， 此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在， 所以，故A错误； 因为点为弦的中点，所以，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为， 所以轨迹方程为， 因为，所以点在圆外， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，设， 联立，得， 则，故， 所以点的坐标为， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述的最大值为9，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法： （1）直接法：根据题设条件直接列出方程； （2）定义法：根据圆的定义写出方程； （3）几何法：利用圆的性质列方程； （4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在，使为直角三角形 C. 存在，使的周长最大 D. 当时，四边形面积最大 【答案】BD 【解析】 【分析】直接求出椭圆的离心率判断；利用椭圆的对称性及角的范围判断；利用椭圆定义及数学转化分析的周长判断；由四边形面积公式分析正确． 【详解】解：如图所示： 对于，由椭圆方程可得，，，则，椭圆的离心率为，故错误； 对于，当时，可以得出， 若取时，得， 根据椭圆的对称性，存在使为直角三角形，故正确； 对于，由椭圆的定义得，的周长 ， ，，当过点时取等号， ，即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大， 此时直线的方程为，但是， 不存在，使的周长最大，故错误； 对于，一定，根据椭圆的对称性可知，当时，最大，四边形面积最大，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程的特点列不等式组直接求解可得. 【详解】由椭圆方程的特点可知，， 解得且， 所以实数的取值范围为： 故答案为： 13. 直线与直线的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两直线的斜率，再利用两直线夹角公式计算即得. 【详解】设直线和的斜率分别为， 则， 设两直线的夹角为，则， 因，则. 故答案为：. 14. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】 方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得． 方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. （1）求直线的方程； （2）求外接圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得点关于直线对称，可得，可得直线方程； （2）由（1）设外接圆方程一般式为：，代入A，B，C三点坐标可得答案. 【小问1详解】 ∵线段的垂直平分线为， ∴可知点关于直线对称. ∵，∴，轴，直线. 【小问2详解】 由（1），，，. 设外接圆方程一般式为：， 则，则. 即圆的标准方程为：. 16. 已知直线（为任意实数），直线． （1）若，求直线关于直线的对称的直线方程； （2）求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在时，先联立直线与的方程，求得交点，在直线上取点，求出该点关于直线的对称点坐标，利用点斜式求出直线的方程即可； （2）先由直线的方程推出其经过定点，对于直线外的一点，可知当时，点到直线的距离最大，利用两点间距离公式计算即得. 【小问1详解】 当时，， 由，解得：，即直线与直线的交点为, 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 依题意，所求直线经过两点和， 故其方程为，即. 【小问2详解】 将直线的方程整理成， 因，则由，可得，即直线经过定点, 则点到直线的最大距离为，此时， 17. 将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半得到曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知点为曲线上的一动点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在曲线上任取一个动点，即可得到在圆上，代入圆的方程，整理可得； （2）设，根据两点间的距离公式表示出，根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 在曲线上任取一个动点，则在圆上， 所以，即，所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设，则 ，， 所以当时，所以，即的最小值为. 18. 如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有. （1）求点的轨迹方程； （2）若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程； （3）求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据切线性质与勾股定理列式，结合已知即可得出，整理即可得出答案； （2）设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出与的不等关系式，结合小问一点的轨迹方程即可得出，得出其最小值，即可得出点坐标与半径最小值，即可得出答案； （3）设关于直线的对称点为，根据点关于直线对称点的求法得出，根据已知结合几何关系得出，即可计算得出答案. 【小问1详解】 设， 为切点， ， 由勾股定理有， 又， ，整理得. 点的轨迹方程为：； 【小问2详解】 设圆的半径为，圆与圆有公共点，圆的半径为1，，即且， 而， 故当时，. （也可以通过求点到直线的距离得到） 此时，， 故半径取最小值时圆的方程为：. 【小问3详解】 设关于直线的对称点为， 解， ，（也可以利用是的中点，得到） ， 当三点共线时，取得等号. 则的最大值为. 19. 设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． （1）写出圆的圆心的坐标以及半径； （2）设直线的斜率为，若恒与圆相交，交点为，求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）圆心，半径为 （2）; 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方即得圆心和半径； （2）利用圆心到直线的距离小于圆的半径推得，设，令，将其化成，利用对勾函数的单调性，即得，从而求出的取值范围；设，将直线的方程与圆的方程联立，写出韦达定理，根据为锐角，考虑由，化简后代入韦达定理，即得实数的取值范围. 【小问1详解】 由配方得， 则圆的圆心的坐标为，半径为. 【小问2详解】 依题，直线的方程为，即， 因恒与圆相交，则圆心到直线的距离（*）， 设，令，则， 则， 由函数的单调性可得或， 则，即， 故由（*）可得，因，故得， 即正实数的取值范围为； 设，由消去， 整理得：，（）， 由韦达定理：， 易得，因为锐角， 则 ， 即得， 因，化简得. 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $