第1章三角形单元练习2025--2026学年苏科版数学九年级上册

第1章 三角形 单元练习2025--2026学年苏科版数学九年级上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（    ）． A．l，2，3 B．2，2，3 C．2，3，4 D．3，4，5 3．如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 4．如图，为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A、B间的距离不可能是（    ） A．7米 B．8.8米 C．15.5米 D．26米 5．如图，已知，要证明，应添加条件（    ） A． B． C． D． 6．已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，等腰三角形的周长是（   ） A．8 B．32 C．8或32 D．16或32 7．如图，在中，，，，P，Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，当时，则长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．6或8 8．小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为23，，则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 10．如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（    ）分钟后，与全等． A．2 B．3 C．4 D．8 二、填空题 11．如图，在中，，，垂足分别为，，若，，，则的长为 ． 12．如图，中，，为底边的中点，，的垂直平分线交于点，交于点．为线段上一点，则的最小值为 ． 13．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 14．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当 秒时，与全等． 15．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为 ． 三、解答题 16．如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 17．如图，已知，点是的中点． (1)尺规作图：过点作与的延长线交于点（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)在（1）的条件下，若，求的长． 18．如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长1，若． (1)求的长； (2)求的周长． 19．如图，，，，，分别为线段，上任意一点． (1)若点为的中点，点与点重合，请证明与全等． (2)如图，若，，则，，之间有什么数量关系？请写出解答过程． (3)如图，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，则，，之间的数量关系为______．（不用写过程） 20．如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为______； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章 三角形 单元练习2025--2026学年苏科版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D B B B D D C 1．D 【分析】本题主要考查了全等图形的定义，掌握全等图形为形状相同、大小相同的图形是解题的关键． 利用全等图形的概念即可解答． 【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意； B．两个图形的形状和大小都不同，不是全等图形，不符合题意； C．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形能完全重合，符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了构成三角形的条件：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．据此即可求解. 【详解】解：∵， ∴A中三条线段不能组成三角形； 故选：A 3．B 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边.连接，在中，，可得的范围，然后对照选项即可. 【详解】解：∵米，米 ∴由三角形三边关系定理得： ∴ ∴选项D的距离是不可能的. 故选D. 5．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“边角边”解答即可. 【详解】解：由，若，则根据可证． 故选：B. 6．B 【分析】本题考查了等腰三角形的周长求解，三角形中线的性质以及三角形三边的关系，分类讨论两部分是哪一部分减哪一部分是解决本题的关键．根据中线的性质可得，再分类讨论求出另外两边长度，结合三角形三边的关系进行取舍即可． 【详解】解：为等腰的边上的中线，底边长为， ，， 分两种情况讨论： ①当时， 即． ， ， 周长为； ②当时， 即． ， ， 当时，三边长分别为， 而，不能构成三角形，故舍去． 综上，等腰三角形的周长为． 故选：B 7．B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 8．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得：，推出即可求解； 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得：， ∴； ∵当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了， ∴中，边上的高为， ∴中，边上的高为， 即：当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向上升了， ∵， ∴点到达点，则点到地面的距离为， 故选：D 9．D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为23，求出，由此即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，运用分类讨论的思想.设运动x分钟后与全等，则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果. 【详解】解：∵于点A，于点B， ∴， 设运动x分钟后与全等 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，，， ∴， ②若，则， 解得，， 此时与不全等. 综上所述：运动4分钟后与全等. 故选：C. 11．2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．证明得到，，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：2． 12． 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，由中垂线的性质，得到，进而得到，由三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵，D为底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 13． 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 14．2或8或10 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或8或10秒时，与全等． 故答案为：2或8或10． 15． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图. 由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、补角的性质等知识点 ，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的补角相等即可得证； （2）证明，即可得出， （3）由得出，再由等边对等角可得，进而可得，过点A作，垂足为点M．由角平分线的性质定理可得．再由直角三角形的性质可得．从而推出，最后再结合全等三角形的性质以及三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图①，∵，， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴． ∴； （3）解：如图，过点A作，垂足为点M． 由（2）可知 ∴，， ∴， ∴，即平分， ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又， ∴． 17．(1)图见解析 (2)的长为6 【分析】本题考查了作图—平行线，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． （1）以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点I，以点C为圆心，以为半径作弧交于点G，以点G为圆心，以为半径作弧交以点C作的弧于点H，连接射线交的延长线于点E，连接，此时即为所求； （2）根据平行线的性质证明得到即可得解． 【详解】（1）解：如答图，即为所求（答案不唯一，合理即可） （2）解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 18．(1)； (2)15 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． (1)根据三角形的中线的定义直接求解即可； (2)先根据的周长比的周长长1，得到，即可求解，继而可求解周长． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点E，F分别为的中点． ∵， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长1， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的周长为． 19．(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形外角的性质，解决本题的关键是运用分类讨论思想和类比思想． 根据中点的定义可知，根据垂直的定义可知，利用可证； 根据同角的余角相等，可证，根据垂直的定义可知，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证，，因为，等量代换可得：； 根据，，利用三角形外角的性质可得，利用可证，根据全等三角形的性质可得：． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ，， ， ， 在和中，， ； （2）解：， 理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）解：， 理由如下：是的外角， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ，， ， . 20．(1)11 (2) (3)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为19， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：11； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴． （3）解：点P在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $