专题01 一元二次方程 18个题型（期中专项训练）九年级数学上学期苏科版

专题01 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义（常考点） 题型11 解一元二次方程——公式法、因式分解（常考点） 题型2 一元二次方程的一般形式（常考点） 题型12 一元二次方程的应用——图形问题 题型3 一元二次方程的根 题型13 一元二次方程的应用——销售问题（常考点） 题型4 一元二次方程的根与系数关系 题型14 一元二次方程的应用——几何动点问题 题型5 一元二次方程的变形求值（常考点） 题型15 换元法的应用（重点） 题型6 一元二次方程的新定义运算（重点） 题型16 配方法的应用（重点） 题型7 一元二次方程的估算（难点） 题型17 一元二次方程的新定义应用（难点） 题型8 一元二次方程的应用——数字问题 题型18 根与系数的对称式（难点） 题型9 一元二次方程的应用——增长率问题（常考点） 题型10解一元二次方程——直接开平方、配方法（常考点） 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的定义（常考点） 1．下列关于方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程（），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】A. ，未知数的最高次数不是2，不属于一元二次方程，不符合题意； B. ，未知数的最高次数不是2，不属于一元二次方程，不符合题意； C. ，含有两个未知数，不属于一元二次方程，不符合题意； D.，属于一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，并且其最高次数为1，不是一元二次方程，则A不符合题意， B、含有两个未知数，不是一元二次方程，则B不符合题意， C、，其最高次数为3，不是一元二次方程，则C不符合题意， D、符合一元二次方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 3．下列式子中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程是只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、有两个未知数和，故不符合题意； B、分母含有未知数，不是整式方程，故不符合题意； C、，当时，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； D、是整式方程，含有一个未知数，且未知数的最高次数是，所以是一元二次方程，故符合题意． 故选：D ． 题型二 一元二次方程的一般形式（常考点） 4．一元二次方程的常数项是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做常数项，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴一元二次方程的常数项是， 故选：D． 5．一元二次方程的一次项系数是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 6．将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式为是解题的关键． 将方程移项即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 题型三 一元二次方程的根 7．已知是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解相关运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．把代入运算求解即可． 【详解】解：把代入可得：， 解得：， 故选：A． 8．若一元二次方程的一个根为，则的值为 （    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，直接将方程的解代入，正确运算是解题的关键．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 9．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 一元二次方程的根与系数关系 10．设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（      ） A．0 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴. 故选：C 11．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据求解即可． 【详解】解：∵， 是一元二次方程 的两个根， ∴， 故选：C． 12．设，是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，掌握该知识点是解题的关键．根据题意可知，，然后将转化成进行计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程 的两个实数根， ， ， 故答案为：13． 题型五 一元二次方程的变形求值（常考点） 13．若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的定义， 熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键． 将代入方程中，再两边同时除以即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个实数根为2025， ∴， ∴，即， ∴是方程的实数根． 故选：D． 14．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，从而得到，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 15．已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据一元二次方程的解得出，然后对代数式去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴原式 ． 故答案为：1 题型六 一元二次方程的新定义运算（重点） 16．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，利用因式分解法解一元二次方程． 原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选C． 17．对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　） A．10 B．4 C．4或 D．4或或10 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，， 故选：B． 18．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 题型七 一元二次方程的估算（难点） 19．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 20．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确方程，通过表格找的值接近时对应的，利用函数的增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键． 【详解】解：观察表格： 当时，；当时，；当时， ， 更接近， 时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近， ∴近似解在附近， 对比选项，最接近 ， 故选：． 21．在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 题型八 一元二次方程的应用——数字问题 22．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（   ） A．18 B．20 C．24 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及两位数的表示方法，解题的关键是通过设未知数将两位数转化为代数式，根据“两位数等于各位数字之积的3倍”建立方程，同时结合数字为整数的实际意义舍去非整数解． 设个位数字为，因十位数字比个位数字小2，故十位数字为；根据两位数的表示规则（十位数字个位数字），将该两位数表示为；再依据“两位数等于各位数字之积的3倍”列方程，求解后筛选出符合实际的整数解，进而确定这个两位数． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． ∵两位数可表示为“十位数字+个位数字”，且该两位数等于各位数字之积的3倍， ∴列方程：， 化简方程：，整理得． 因式分解：，解得或． ∵数字需为整数，故舍去 ∴个位数字，十位数字为， 该两位数为，对应选项C．   故选：C． 23．两个连续的自然数的平方和为41，设较小的自然数为x，根据题意列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据两数之间的关系，可得出较大的自然数为，根据两个连续的自然数的平方和为41，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：因为两个连续的自然数中较小的自然数为x，则较大的自然数为， 又平方和为41， 所以． 故答案为：． 24．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是． (1)八进制数换算成十进制数是________； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、一元二次方程的应用，正确理解换算方法是解题关键． （1）根据八进制数换算成十进制数的方法列式计算即可得； （2）参照八进制数换算成十进制数的方法，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）由题意得：，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 题型九 一元二次方程的应用——增长率问题（常考点） 25．近年来，河南省坚持以“粮头食尾”“农头工尾”为抓手，打造了小麦、玉米等多条农业产业链．某市7月有80条农业产业链，计划到9月增长至125条，设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系．设出未知数，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为，可列方程为， 故选：D． 26．某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的10万辆增长到3月份的12.1万辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 设从1月份到3月份的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设从1月份到3月份的月平均增长率为，根据题意得， 解得：（舍去） ∴从1月份到3月份的月平均增长率为， 故答案为：． 27．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩． (1)求二月、三月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率． (2)预计四月份新建智能充电桩个数会继续增加，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩最多多少个？ 【答案】(1)二月、三月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 (2)四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩最多20个 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，读懂题意是解题的关键． （1）根据变化前数量变化后数量，列出方程求解即可． （2）根据（1）中月平均增长率，先求出四月份新建智能充电桩个数，再作差求出下半月新建智能充电桩个数，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 由题意可得：， 解得（负值已舍去）， ∵， 故二月、三月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为； （2）解：∵（个）， （个）， （个）， ∴四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩最多20个． 题型十 解一元二次方程——直接开平方、配方法（常考点） 28．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再由直接开平方法解方程即可； （2）由因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以，； （2）解：， ， 或， 所以，． 29．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 30．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 题型十一 解一元二次方程——公式法、因式分解（常考点） 31．解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)无解； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法． 根据一元二次方程根的判别式可知方程无解； 利用公式法解一元二次方程； 利用平方差公式分解因式，可得：，可得两个关于的一元一次方程，解一元一次方程求出一元二次方程的解； 利用完全平方公式分解因式可得：，两边同时开平方求出方程的根． 【详解】（1）解：， 其中，，， ， 方程无解； （2）解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； （3）解：， 用平方差公式分解因式得：， 整理得：， 可得：或， 当时，， 当时，， 方程的解为，； （4）解：， 移项得：， 利用完全平方公式分解因式得：， 解得：． 32．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键． 根据一元二次方程求根公式，代入计算即可． 【详解】解：化成一般形式得， ， 由求根公式得， 所以方程的解为． 33．解方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用配方法求解即可； （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （4）解：， ， 或， ∴，． 题型十二 一元二次方程的应用——图形问题 34．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用）现在已备足可以砌的墙的材料，使矩形花园的面积为，试求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 【详解】解：设的长为， 根据题意，得， 解方程，得或， ， ， ， 所以的长为． 35．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【答案】(1)鸡场的长为米，宽为米 (2)鸡场面积不可能达到平方米，见解析 (3)当时，不能围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案； （3）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可． 【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为； （2）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到； （3）解：当时，不能围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场． 36．某花卉种植基地计划利用空地新建一个矩形苗圃园种植玫瑰花，如图，其中一面靠院墙，且院墙长度为20米，另外三边搭建围墙．现有的施工材料可建围墙34米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，已知围成的矩形苗圃园与院墙垂直的一边长和与院墙平行的一边长的比为． (1)求围成的矩形苗圃园的面积； (2)为了方便浇水，在苗圃园内修建如图所示的3条等宽的鹅卵石小路，使得种植玫瑰花的面积为126平方米，求鹅卵石小路的宽为多少米？ 【答案】(1)苗圃园的面积为160平方米 (2)小路的宽为1米 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程在实际问题中的应用，找准等量关系列出方程是解题关键． （1）根据矩形边长的比例关系设未知数，结合围墙长度和门的宽度列出方程，求出矩形的长和宽，进而计算面积； （2）把种植玫瑰花的区域看作一个新的矩形，根据其面积列出一元二次方程，求解得出鹅卵石小路的宽度． 【详解】（1）设与院墙垂直的一边长为米，则与院墙平行的一边长为米，且， 即， 由题意，得，解得， 与院墙垂直的一边长为10米，与院墙平行的一边长为16米， 围成的矩形苗圃园的面积为平方米； （2）设小路的宽为米，由题意，得， 整理，得，解得(舍去)，， 鹅卵石小路的宽为1米． 题型十三 一元二次方程的应用——销售问题（常考点） 37．红富士苹果上市时，李明按市场价格10元/千克收购了1000千克存入冷库中，预计这种苹果的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批苹果时每天需要支出各种费用合计110元，同时，平均每天有3千克的苹果损坏不能出售，而且这种苹果在冷库中最多保存90天． (1)若李明将这批苹果存放x天后一次性出售，则x天后这批苹果的销售单价为 元，销售量为 千克（用含x的代数式表示）； (2)这次销售李明共获得利润12000元，求这批苹果存放多少天后出售的？ 【答案】(1)， (2)存放40天后出售 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，较难的是题（2），正确建立方程是解题关键． （1）根据“这种苹果的市场价格平均每天每千克上涨元”可得出销售单价，再根据 “平均每天有3千克的苹果损坏不能出售”可得销售量； 设这批苹果存放了天后出售，根据“利润=销售量销售单价成本单价收购总量冷库存放的费用”建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）这种苹果的市场价格平均每天每千克上涨元， 天后这批苹果的销售单价为元， 平均每天有3千克的苹果损坏不能出售， 天后这批苹果的销售量为千克， 故答案为：，； （2）设这批苹果存放了天后出售，则， 由题意得：， 解得（不符题意，舍去）， 答：这批苹果存放了40天后出售． 38．某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量y（千克）之间满足的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为每千克55元 【分析】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程解决问题． （1）设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴y与x的函数解析式为； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：销售单价应定为每千克55元． 39．某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【答案】(1)①每千克茶叶应降价30元或80元，②该店应按原售价的八折出售 (2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 【分析】（1）①通过设每千克茶叶降价元，利用“每千克利润×销售量 = 总利润”的关系列出方程求解；②在①的基础上，根据让利于顾客的要求确定降价金额，进而求出折扣； （2）设降价元，依据上述利润关系列方程，通过判别式判断方程是否有实数根，从而确定获利能否达到． 本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“每千克利润×销售量 = 总利润”的等量关系以及一元二次方程的解法、判别式的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得，解得． 答：每千克茶叶应降价30元或80元； ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元， 要尽可能让利于顾客， 每千克茶叶应降价80元， 此时的售价为：（元），． 答：该店应按原售价的八折出售； （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得， ， 原方程没有实数根， 该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 题型十四 一元二次方程的应用——几何动点问题 40．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 41．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)后，的长度为 (2)或后，的面积等于 (3)的面积不可能等于，见解析 【分析】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根的判别式等知识是解题的关键． （1）设点运动的时间为，则，，，在中，根据勾股定理即可求解； （2）根据，解方程即可求解； （3）根据，得关于的一元二次方程，运用一元二次方程根的判别式判定方程是否有实数解即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，， ∴在中，根据勾股定理，得，， ∴，解得或（舍去）， ∴后，的长度为． （2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，， ∴，即， 解得或， ∴或后，的面积等于． （3）解：不能，理由如下： 当时，即， ∴，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不可能等于． 42．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 题型十五 换元法的应用（重点） 43．【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中解法是解答的关键．仿照题中解法，设，则原方程可变形为，解方程得，，进而分别解关于x的方程即可解答． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 则 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 44．已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)这四个连续的正整数为，，，； (2)的值为． 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”． （1）设这四个连续的正整数为，，，，，根据题意列方程，用换元法求解即可； （2）设，根据题意列方程，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为，，，，为正整数， 根据题意可得， ∴， 设，，则， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴，，， 答：这四个连续的正整数为，，，． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的值为． 45．材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 题型十六 配方法的应用（重点） 46．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 【答案】(1)， (2)大，最值为 (3) 【分析】（）根据题例解答方法解答即可； （）把多项式转化为，进而由得，即得到，即可求解； （）由得，即得，，进而求出三角形的周长即可； 本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵对于任意实数都有， ∴当时，的最小值是， ∴， 当时，有最小值是， 故答案为：；； （2）解： ， ∵对于任意实数都有， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为， 故答案为：大； （3）解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 47．阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案； （2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 的最小值是3； （2）解： ， ，， ， 无论取任何实数时，多项式的值总为正数． 48．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 题型十七 一元二次方程的新定义应用（难点） 49．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． (2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． (3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①是黄金方程，理由： ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是黄金方程； ②不是黄金方程，理由： ∵ ∴ ∴， ∴， 故不是黄金方程； ③是黄金方程， ∴， ∴， ∴是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵是关于的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵是此黄金方程的一个根， ∴，即 ∴， 解得或； （3）解：∵关于的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为4． 50．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数，见解析 (3) 【分析】本题考查了二次方程根的应用： （1）根据题意直接可得到答案； （2）求出的两根，与的两根对比即可得到关系；证明见解析； （3）利用（2）中结论求出其友好方程的根，再将看作整体即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知的“友好方程”是：， 故答案为：； （2）解：， ， ， 解得； 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 故答案为：，互为倒数； 证明：解方程， 当时，． 解方程， 得， ∴ ． 故原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； （3）解：关于的方程的两根为． ∵方程的两根是， ∴其“友好方程”的两根为2025． ，即， 将看作整体，则或， ∴． 51．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、一次函数的应用、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先利用因式分解法解方程可得，，再结合定义即可得解； （2）①先解方程得出，再代入直线，计算即可得解；②由①可得点在直线上，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于，证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴方程的“两根点”的坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； ②由①可得， ∴点在直线上， 如图所示，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于， ， 在中，当时，，即；当时，，解得，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴． 题型十八 根与系数的对称式（难点） 52．已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； (2)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 【答案】(1)7，1，7 (2)1 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是构建一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解． （1）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴． 53．阅读理解材料：已知实数满足，且． 根据材料．求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得， ． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，则___________，___________． (2)已知实数满足，且，求的值． (3)已知实数满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了根与系数的关系：二次项系数不为0，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，． （1）直接利用根与系数的关系求解； （2）先把、看作方程的两根，则利用根与系数的关系得到，，再利用，则可计算出的值，然后根据算术平方根的定义得到的值． （3）先把变形为，则、可看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，接着把化为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， 故答案为：，． （2）解： ，，且， 、可看作方程的两根， ，， ， ； （3）解：， ， ∴两边除以得：， ，即， 、可看作方程的两根， ，， ． 54．【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）根据根与系数的关系得，，由，再代入即可求解； （）根据题意可得、可看作方程的两根，则，，由，再代入即可求解． 【详解】解：（）根据根与系数的关系得，； 故答案为：，； （）根据根与系数的关系得，， ∴ ； （）∵实数，满足，，且， ∴、可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴． $专题01 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义（常考点） 题型11 解一元二次方程——公式法、因式分解（常考点） 题型2 一元二次方程的一般形式（常考点） 题型12 一元二次方程的应用——图形问题 题型3 一元二次方程的根 题型13 一元二次方程的应用——销售问题（常考点） 题型4 一元二次方程的根与系数关系 题型14 一元二次方程的应用——几何动点问题 题型5 一元二次方程的变形求值（常考点） 题型15 换元法的应用（重点） 题型6 一元二次方程的新定义运算（重点） 题型16 配方法的应用（重点） 题型7 一元二次方程的估算（难点） 题型17 一元二次方程的新定义应用（难点） 题型8 一元二次方程的应用——数字问题 题型18 根与系数的对称式（难点） 题型9 一元二次方程的应用——增长率问题（常考点） 题型10解一元二次方程——直接开平方、配方法（常考点） 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的定义（常考点） 1．下列关于方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．下列式子中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程的一般形式（常考点） 4．一元二次方程的常数项是（   ） A．1 B． C．3 D． 5．一元二次方程的一次项系数是（　　） A．1 B． C． D．2 6．将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 题型三 一元二次方程的根 7．已知是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．若一元二次方程的一个根为，则的值为 （    ） A． B． C． D．2 9．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 题型四 一元二次方程的根与系数关系 10．设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（      ） A．0 B．2025 C．2024 D．2023 11．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 12．设，是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 题型五 一元二次方程的变形求值（常考点） 13．若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 14．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 15．已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ． 题型六 一元二次方程的新定义运算（重点） 16．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 17．对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　） A．10 B．4 C．4或 D．4或或10 18．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为 ． 题型七 一元二次方程的估算（难点） 19．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 20．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 21．在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是 ． 题型八 一元二次方程的应用——数字问题 22．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（   ） A．18 B．20 C．24 D．22 23．两个连续的自然数的平方和为41，设较小的自然数为x，根据题意列出方程为 ． 24．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是． (1)八进制数换算成十进制数是________； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 题型九 一元二次方程的应用——增长率问题（常考点） 25．近年来，河南省坚持以“粮头食尾”“农头工尾”为抓手，打造了小麦、玉米等多条农业产业链．某市7月有80条农业产业链，计划到9月增长至125条，设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 26．某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的10万辆增长到3月份的12.1万辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为 ． 27．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩． (1)求二月、三月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率． (2)预计四月份新建智能充电桩个数会继续增加，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩最多多少个？ 题型十 解一元二次方程——直接开平方、配方法（常考点） 28．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 29．解方程： (1)； (2)． 30．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一 解一元二次方程——公式法、因式分解（常考点） 31．解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 32．用公式法解方程：． 33．解方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 题型十二 一元二次方程的应用——图形问题 34．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用）现在已备足可以砌的墙的材料，使矩形花园的面积为，试求的长． 35．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 36．某花卉种植基地计划利用空地新建一个矩形苗圃园种植玫瑰花，如图，其中一面靠院墙，且院墙长度为20米，另外三边搭建围墙．现有的施工材料可建围墙34米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，已知围成的矩形苗圃园与院墙垂直的一边长和与院墙平行的一边长的比为． (1)求围成的矩形苗圃园的面积； (2)为了方便浇水，在苗圃园内修建如图所示的3条等宽的鹅卵石小路，使得种植玫瑰花的面积为126平方米，求鹅卵石小路的宽为多少米？ 题型十三 一元二次方程的应用——销售问题（常考点） 37．红富士苹果上市时，李明按市场价格10元/千克收购了1000千克存入冷库中，预计这种苹果的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批苹果时每天需要支出各种费用合计110元，同时，平均每天有3千克的苹果损坏不能出售，而且这种苹果在冷库中最多保存90天． (1)若李明将这批苹果存放x天后一次性出售，则x天后这批苹果的销售单价为 元，销售量为 千克（用含x的代数式表示）； (2)这次销售李明共获得利润12000元，求这批苹果存放多少天后出售的？ 38．某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量y（千克）之间满足的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？ 39．某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 题型十四 一元二次方程的应用——几何动点问题 40．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 41．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 42．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 题型十五 换元法的应用（重点） 43．【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 44．已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 45．材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 题型十六 配方法的应用（重点） 46．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 47．阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 48．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 题型十七 一元二次方程的新定义应用（难点） 49．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． (2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． (3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 50．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 51．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 题型十八 根与系数的对称式（难点） 52．已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； (2)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 53．阅读理解材料：已知实数满足，且． 根据材料．求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得， ． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，则___________，___________． (2)已知实数满足，且，求的值． (3)已知实数满足，且，求的值． 54．【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． $