第22讲 假设法解题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第22讲 假设法解题 知识点梳理 一、核心概念与思路 1.基本概念 假设法是通过假设某种情景成立（如假设全是某一种量），然后将假设情景与实际情况对比，找出差异量，再根据差异原因求出未知量的解题方法。 关键量：假设总量（假设情况下的总量）、实际总量（题目已知的总量）、差异量（实际总量与假设总量的差）、单量差（两种量单个的差异）。 2.解题步骤 ① 假设：假设全是某一种量（如全是鸡、全答对、全用大卡车等）； ② 算假设总量：根据假设求出对应的总量（如假设脚数、假设得分、假设运货量等）； ③ 求差异量：计算实际总量与假设总量的差（差异量=实际总量-假设总量，注意方向）； ④ 找单量差：确定两种量单个的差异（如每只兔比鸡多的脚数、答错一题比答对少得的分数等）； ⑤ 求未知量：根据“未知量=差异量÷单量差”求出另一种量，再求第一种量； ⑥ 验证：将结果代入原题，检查是否符合所有已知条件。 二、核心题型与技巧 题型1：鸡兔同笼基础型（已知头和脚总数） 特征：已知鸡和兔的总头数与总脚数，求鸡、兔各有多少只。 技巧：假设全是鸡（或全是兔），算假设脚数→求脚数差→兔数=脚数差÷（每兔脚数-每鸡脚数）→鸡数=总头数-兔数。 公式：兔数=（实际脚数-总头数×每鸡脚数）÷（每兔脚数-每鸡脚数）； 鸡数=（总头数×每兔脚数-实际脚数）÷（每兔脚数-每鸡脚数）。 题型2：鸡兔同笼变形（已知头数差和脚总数） 特征：已知鸡和兔的头数差（如鸡比兔多a只）与总脚数，求鸡、兔数量。 技巧：假设鸡和兔数量相同（补少的量或减多的量），算假设脚数→求脚数差→根据单量差求数量。 例：鸡比兔多5只，总脚数100只→假设兔增加5只（与鸡数量相同），总脚数=100+5×4=120（只）→每组（1鸡1兔）脚数=2+4=6（只）→鸡数=120÷6=20（只）→兔数=20-5=15（只）。 题型3：倒扣问题（得分扣分问题） 特征：已知总题数、答对得分、答错扣分、实际得分，求答对/答错题数。 技巧：假设全答对（或全答错），算假设得分→求得分差→错题数=得分差÷（答对得分+答错扣分）（因答错不仅不得分还扣分，单量差为两者之和）→对题数=总题数-错题数。 公式：错题数=（假设得分-实际得分）÷（答对得分+答错扣分）。 题型4：置换问题（物品替换导致总量变化） 特征：用两种不同容器/工具完成同一任务，已知总数量和总成果，求两种容器/工具的数量（如大、小卡车运货，已知车辆总数和总吨数）。 技巧：假设全用某一种容器，算假设总量→求差异量→另一种容器数量=差异量÷单量差（两种容器单个的容量差）。 例：大卡车装10吨，小卡车装5吨，15车共运100吨→假设全是小卡车，运货5×15=75（吨）→差量=100-75=25（吨）→大卡车数=25÷（10-5）=5（辆）。 题型5：分组假设问题（已知两种量的数量关系） 特征：已知两种量的数量比或倍数关系，以及总量，需通过分组假设求解（如鸡脚比兔脚多80只，求鸡兔数量）。 技巧：根据数量关系分组（如1兔配2鸡），计算每组总量→求组数→再求各量数量；若存在差量，通过“换组”调整（如每换1只兔减少1只鸡，脚数差变化多少）。 三、常见错误提醒 1.差异量方向错误：假设全是鸡时，若实际脚数比假设多，差异量=实际-假设；若假设全是兔，实际脚数比假设少，差异量=假设-实际，方向反了会导致结果错误。 2.单量差混淆：鸡兔同笼中，单量差是“每兔脚数-每鸡脚数”（4-2=2），无论假设全是鸡还是兔，求另一种量时都用此单量差，不能用“每鸡脚数-每兔脚数”。 3.倒扣问题单量差漏加：如答对得5分、答错扣2分，单量差是5+2=7（分）（答错比答对少得7分），易误算为5-2=3（分），导致错题数错误。 4.假设后未还原：如“鸡比兔多5只”，假设兔增加5只后，求出的数量是鸡的数量，需记得减去5才是兔的实际数量，易忘记还原。 5.结果未验证：求出数量后，需代入原题验证总量（如总脚数、总得分）是否符合已知条件，避免计算错误未发现。 例题讲解 一、鸡兔同笼基础型 例题1：鸡兔同笼，共有35个头，94只脚，鸡和兔各有多少只？ 跟踪练习1：鸡兔同笼，共有20个头，56只脚，鸡和兔各有多少只？ 二、鸡兔同笼变形（头数差和脚总数） 例题2：鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只，鸡和兔各有多少只？ 跟踪练习2：兔比鸡多5只，共有脚140只，鸡和兔各有多少只？ 三、倒扣问题 例题3：某次数学考试共20道题，答对一题得5分，答错一题倒扣1分（不答算答错）。小明得了76分，他答对了几道题？ 跟踪练习3：一次测验共15道题，答对一题得8分，答错一题倒扣2分，小红得了90分，她答对了几道题？ 四、置换问题 例题4：用大、小两种卡车运一批货物，每辆大卡车装12吨，每辆小卡车装8吨，现有10辆卡车共运货100吨，大、小卡车各有多少辆？ 跟踪练习4：学校用大、小两种水桶打水，大桶每桶能装5升，小桶每桶能装3升，12个桶共装水40升，大、小桶各有多少个？ 五、分组假设问题 例题5：鸡兔同笼，鸡和兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只，鸡和兔各有多少只？ 跟踪练习5：鸡兔同笼，有50个头，兔脚比鸡脚多50只，鸡和兔各有多少只？ 提升练习 1．鸡兔同笼，共有40个头，112只脚，鸡和兔各有多少只？ 2．鸡比兔多12只，共有脚132只，鸡和兔各有多少只？ 3．某次考试共25道题，答对一题得4分，答错一题倒扣2分，小明答完所有题得76分，他答错了几道题？ 4．用大、小油桶运油，大桶每桶装9千克，小桶每桶装5千克，18个桶共运油126千克，大、小桶各有多少个？ 5．鸡兔同笼，共有80个头，鸡脚比兔脚少20只，鸡和兔各有多少只？ 6．动物园里有孔雀和猴子共30只，孔雀有2只脚，猴子有4只脚，它们共有88只脚，孔雀和猴子各有多少只？ 7．工人加工零件，每人每天可加工合格零件20个，或不合格零件5个，每加工1个合格零件得5元，每出现1个不合格零件扣10元。某工人一天加工了25个零件，得95元，他加工了多少个合格零件？ 8．学校买了大、小两种笔记本共40本，大笔记本每本6元，小笔记本每本4元，共花了180元，大、小笔记本各买了多少本？ 9．鸡、兔、鸭共20只，鸡有2只脚，鸭有2只脚，兔有4只脚，共有脚56只，其中鸭比鸡多2只，鸡、鸭、兔各有多少只？ 10．某次数学竞赛，共10道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣5分，小丽得了41分，她做对了几道题？ 11．鸡兔同笼，兔比鸡少8只，共有脚136只，鸡和兔各有多少只？ 12．小明用10元钱买了5角和8角的邮票共17张，5角和8角的邮票各买了多少张？ 13．运输队用大、小货车运一批货物，大货车每次运8吨，小货车每次运5吨，大货车比小货车多运3次，共运货78吨，大、小货车各运了多少次？ 14．鸡兔同笼，共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只，鸡和兔各有多少只？ 15．某校举行数学竞赛，共有15道题，每道题做对得10分，做错或不做扣4分，小明共得66分，他做对了几道题？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第22讲 假设法解题 知识点梳理 一、核心概念与思路 1.基本概念 假设法是通过假设某种情景成立（如假设全是某一种量），然后将假设情景与实际情况对比，找出差异量，再根据差异原因求出未知量的解题方法。 关键量：假设总量（假设情况下的总量）、实际总量（题目已知的总量）、差异量（实际总量与假设总量的差）、单量差（两种量单个的差异）。 2.解题步骤 ① 假设：假设全是某一种量（如全是鸡、全答对、全用大卡车等）； ② 算假设总量：根据假设求出对应的总量（如假设脚数、假设得分、假设运货量等）； ③ 求差异量：计算实际总量与假设总量的差（差异量=实际总量-假设总量，注意方向）； ④ 找单量差：确定两种量单个的差异（如每只兔比鸡多的脚数、答错一题比答对少得的分数等）； ⑤ 求未知量：根据“未知量=差异量÷单量差”求出另一种量，再求第一种量； ⑥ 验证：将结果代入原题，检查是否符合所有已知条件。 二、核心题型与技巧 题型1：鸡兔同笼基础型（已知头和脚总数） 特征：已知鸡和兔的总头数与总脚数，求鸡、兔各有多少只。 技巧：假设全是鸡（或全是兔），算假设脚数→求脚数差→兔数=脚数差÷（每兔脚数-每鸡脚数）→鸡数=总头数-兔数。 公式：兔数=（实际脚数-总头数×每鸡脚数）÷（每兔脚数-每鸡脚数）； 鸡数=（总头数×每兔脚数-实际脚数）÷（每兔脚数-每鸡脚数）。 题型2：鸡兔同笼变形（已知头数差和脚总数） 特征：已知鸡和兔的头数差（如鸡比兔多a只）与总脚数，求鸡、兔数量。 技巧：假设鸡和兔数量相同（补少的量或减多的量），算假设脚数→求脚数差→根据单量差求数量。 例：鸡比兔多5只，总脚数100只→假设兔增加5只（与鸡数量相同），总脚数=100+5×4=120（只）→每组（1鸡1兔）脚数=2+4=6（只）→鸡数=120÷6=20（只）→兔数=20-5=15（只）。 题型3：倒扣问题（得分扣分问题） 特征：已知总题数、答对得分、答错扣分、实际得分，求答对/答错题数。 技巧：假设全答对（或全答错），算假设得分→求得分差→错题数=得分差÷（答对得分+答错扣分）（因答错不仅不得分还扣分，单量差为两者之和）→对题数=总题数-错题数。 公式：错题数=（假设得分-实际得分）÷（答对得分+答错扣分）。 题型4：置换问题（物品替换导致总量变化） 特征：用两种不同容器/工具完成同一任务，已知总数量和总成果，求两种容器/工具的数量（如大、小卡车运货，已知车辆总数和总吨数）。 技巧：假设全用某一种容器，算假设总量→求差异量→另一种容器数量=差异量÷单量差（两种容器单个的容量差）。 例：大卡车装10吨，小卡车装5吨，15车共运100吨→假设全是小卡车，运货5×15=75（吨）→差量=100-75=25（吨）→大卡车数=25÷（10-5）=5（辆）。 题型5：分组假设问题（已知两种量的数量关系） 特征：已知两种量的数量比或倍数关系，以及总量，需通过分组假设求解（如鸡脚比兔脚多80只，求鸡兔数量）。 技巧：根据数量关系分组（如1兔配2鸡），计算每组总量→求组数→再求各量数量；若存在差量，通过“换组”调整（如每换1只兔减少1只鸡，脚数差变化多少）。 三、常见错误提醒 1.差异量方向错误：假设全是鸡时，若实际脚数比假设多，差异量=实际-假设；若假设全是兔，实际脚数比假设少，差异量=假设-实际，方向反了会导致结果错误。 2.单量差混淆：鸡兔同笼中，单量差是“每兔脚数-每鸡脚数”（4-2=2），无论假设全是鸡还是兔，求另一种量时都用此单量差，不能用“每鸡脚数-每兔脚数”。 3.倒扣问题单量差漏加：如答对得5分、答错扣2分，单量差是5+2=7（分）（答错比答对少得7分），易误算为5-2=3（分），导致错题数错误。 4.假设后未还原：如“鸡比兔多5只”，假设兔增加5只后，求出的数量是鸡的数量，需记得减去5才是兔的实际数量，易忘记还原。 5.结果未验证：求出数量后，需代入原题验证总量（如总脚数、总得分）是否符合已知条件，避免计算错误未发现。 例题讲解 一、鸡兔同笼基础型 例题1：鸡兔同笼，共有35个头，94只脚，鸡和兔各有多少只？ 答案：鸡23只，兔12只 解析： ① 假设全是鸡，总脚数=35×2=70（只）； ② 差异量=实际脚数-假设脚数=94-70=24（只）； ③ 单量差=每只兔比鸡多的脚数=4-2=2（只）； ④ 兔数=差异量÷单量差=24÷2=12（只）； ⑤ 鸡数=总头数-兔数=35-12=23（只）。 验证：23×2+12×4=46+48=94（只），与实际脚数一致。 跟踪练习1：鸡兔同笼，共有20个头，56只脚，鸡和兔各有多少只？ 答案：鸡12只，兔8只 解析：假设全是鸡，脚数=20×2=40（只），差异量=56-40=16（只），兔数=16÷（4-2）=8（只），鸡数=20-8=12（只）。 二、鸡兔同笼变形（头数差和脚总数） 例题2：鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只，鸡和兔各有多少只？ 答案：鸡25只，兔15只 解析： ① 假设兔增加10只（与鸡数量相同），此时总头数=原头数+10（兔），总脚数=110+10×4=150（只）； ② 每组（1鸡1兔）脚数=2+4=6（只）； ③ 鸡数=总脚数÷每组脚数=150÷6=25（只）； ④ 兔数=鸡数-10=25-10=15（只）。 验证：25×2+15×4=50+60=110（只），正确。 跟踪练习2：兔比鸡多5只，共有脚140只，鸡和兔各有多少只？ 答案：鸡20只，兔25只 三、倒扣问题 例题3：某次数学考试共20道题，答对一题得5分，答错一题倒扣1分（不答算答错）。小明得了76分，他答对了几道题？ 答案：16道 解析： ① 假设全答对，得分=20×5=100（分）； ② 差异量=假设得分-实际得分=100-76=24（分）； ③ 单量差=答对1题比答错1题多得的分数=5+1=6（分）（答错不仅不得5分，还扣1分，共少得6分）； ④ 错题数=差异量÷单量差=24÷6=4（道）； ⑤ 对题数=总题数-错题数=20-4=16（道）。 验证：16×5-4×1=80-4=76（分），正确。 跟踪练习3：一次测验共15道题，答对一题得8分，答错一题倒扣2分，小红得了90分，她答对了几道题？ 答案：12道 解析：假设全答对，得分=15×8=120（分），差异量=120-90=30（分），单量差=8+2=10（分），错题数=30÷10=3（道），对题数=15-3=12（道）。 四、置换问题 例题4：用大、小两种卡车运一批货物，每辆大卡车装12吨，每辆小卡车装8吨，现有10辆卡车共运货100吨，大、小卡车各有多少辆？ 答案：大卡车5辆，小卡车5辆 解析： ① 假设全是小卡车，运货总量=10×8=80（吨）； ② 差异量=实际总量-假设总量=100-80=20（吨）； ③ 单量差=每辆大卡车比小卡车多运的吨数=12-8=4（吨）； ④ 大卡车数=差异量÷单量差=20÷4=5（辆）； ⑤ 小卡车数=总辆数-大卡车数=10-5=5（辆）。 验证：5×12+5×8=60+40=100（吨），正确。 跟踪练习4：学校用大、小两种水桶打水，大桶每桶能装5升，小桶每桶能装3升，12个桶共装水40升，大、小桶各有多少个？ 答案：大桶2个，小桶10个 解析：假设全是小桶，装水=12×3=36（升），差异量=40-36=4（升），单量差=5-3=2（升），大桶数=4÷2=2（个），小桶数=12-2=10（个）。 五、分组假设问题 例题5：鸡兔同笼，鸡和兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只，鸡和兔各有多少只？ 答案：鸡80只，兔20只 解析： ① 假设全是鸡，鸡脚-兔脚=100×2-0=200（只）； ② 差异量=假设脚差-实际脚差=200-80=120（只）（假设比实际多120只脚差）； ③ 单量差：每换1只兔（减少1只鸡），鸡脚-兔脚变化=（鸡脚-2）-（兔脚+4）=原脚差-6（即脚差减少6只）； ④ 换的次数（兔的数量）=差异量÷单量差=120÷6=20（次）； ⑤ 兔数=20只，鸡数=100-20=80（只）。 验证：80×2-20×4=160-80=80（只），正确。 跟踪练习5：鸡兔同笼，有50个头，兔脚比鸡脚多50只，鸡和兔各有多少只？ 答案：鸡25只，兔25 提升练习 1．鸡兔同笼，共有40个头，112只脚，鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡24只，兔16只 【分析】假设全是鸡，算脚数差，求兔数。 【详解】假设全是鸡，脚数=40×2=80（只），差异量=112-80=32（只），单量差=4-2=2（只），兔数=32÷2=16（只），鸡数=40-16=24（只）。 2．鸡比兔多12只，共有脚132只，鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡30只，兔18只 【分析】假设兔增加12只（与鸡数量相同），算总脚数，再求鸡数。 【详解】假设兔增加12只，总脚数=132+12×4=132+48=180（只），每组（1鸡1兔）脚数=2+4=6（只），鸡数=180÷6=30（只），兔数=30-12=18（只）。 3．某次考试共25道题，答对一题得4分，答错一题倒扣2分，小明答完所有题得76分，他答错了几道题？ 【答案】4道 【分析】假设全答对，算得分差，用单量差（4+2）求错题数。 【详解】假设全答对，得分=25×4=100（分），差异量=100-76=24（分），单量差=4+2=6（分），错题数=24÷6=4（道）。 4．用大、小油桶运油，大桶每桶装9千克，小桶每桶装5千克，18个桶共运油126千克，大、小桶各有多少个？ 【答案】大桶9个，小桶9个 【分析】假设全是小桶，算运油量差，用单量差（9-5）求大桶数。 【详解】假设全是小桶，运油=18×5=90（千克），差异量=126-90=36（千克），单量差=9-5=4（千克），大桶数=36÷4=9（个），小桶数=18-9=9（个）。 5．鸡兔同笼，共有80个头，鸡脚比兔脚少20只，鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡50只，兔30只 【分析】假设全是兔，算脚差，通过换鸡调整脚差。 【详解】设兔x只，鸡80-x只，4x-2(80-x)=40→6x=200→x≈33.33，只，4x-2(80-x)=20→6x=180→x=30，鸡50只，兔30只，答案正确。 6．动物园里有孔雀和猴子共30只，孔雀有2只脚，猴子有4只脚，它们共有88只脚，孔雀和猴子各有多少只？ 【答案】孔雀16只，猴子14只 【分析】同鸡兔同笼，孔雀=鸡，猴子=兔。 【详解】假设全是孔雀，脚数=30×2=60（只），差异量=88-60=28（只），单量差=4-2=2（只），猴子数=28÷2=14（只），孔雀数=30-14=16（只）。 7．工人加工零件，每人每天可加工合格零件20个，或不合格零件5个，每加工1个合格零件得5元，每出现1个不合格零件扣10元。某工人一天加工了25个零件，得95元，他加工了多少个合格零件？ 【答案】21个 【分析】倒扣问题，假设全合格，算得分差，单量差=5+10=15（元）。 【详解】假设全合格，得分=25×5=125（元），差异量=125-95=30（元），不合格零件数=30÷15=2（个），合格零件数=25-2=23？不对，加工25个零件，合格x个，不合格25-x个，5x-10(25-x)=95→5x-250+10x=95→15x=345→x=23，答案23个。 8．学校买了大、小两种笔记本共40本，大笔记本每本6元，小笔记本每本4元，共花了180元，大、小笔记本各买了多少本？ 【答案】大笔记本10本，小笔记本30本 【分析】置换问题，假设全是小笔记本，算总价差。 【详解】假设全是小笔记本，总价=40×4=160（元），差异量=180-160=20（元），单量差=6-4=2（元），大笔记本数=20÷2=10（本），小笔记本数=40-10=30（本）。 9．鸡、兔、鸭共20只，鸡有2只脚，鸭有2只脚，兔有4只脚，共有脚56只，其中鸭比鸡多2只，鸡、鸭、兔各有多少只？ 【答案】鸡5只，鸭7只，兔8只 【分析】先将鸭和鸡看作一类（2只脚），设鸡x只，鸭x+2只，兔20-x-(x+2)=18-2x只，列方程2x+2(x+2)+4(18-2x)=56→2x+2x+4+72-8x=56→-4x=-20→x=5，鸭=7只，兔=8只。 10．某次数学竞赛，共10道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣5分，小丽得了41分，她做对了几道题？ 【答案】7道 【详解】假设全做对，得分=10×8=80（分），差异量=80-41=39（分），单量差=8+5=13（分），错题数=39÷13=3（道），对题数=10-3=7（道）。 11．鸡兔同笼，兔比鸡少8只，共有脚136只，鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡28只，兔20只 【详解】假设鸡减少8只（与兔数量相同），总脚数=136-8×2=120（只），每组（1鸡1兔）脚数=2+4=6（只），兔数=120÷6=20（只），鸡数=20+8=28（只）。 12．小明用10元钱买了5角和8角的邮票共17张，5角和8角的邮票各买了多少张？ 【答案】5角9张，8角8张 【分析】单位换算：10元=100角，假设全是5角邮票。 【详解】假设全是5角，总钱数=17×5=85（角），差异量=100-85=15（角），单量差=8-5=3（角），8角邮票数=15÷3=5（张）？不对，17×5=85，100-85=15，15÷3=5，8角5张，5角12张，12+5=17，5×12+8×5=60+40=100角，正确答案5角12张，8角5张。 13．运输队用大、小货车运一批货物，大货车每次运8吨，小货车每次运5吨，大货车比小货车多运3次，共运货78吨，大、小货车各运了多少次？ 【答案】大货车6次，小货车3次 14．鸡兔同笼，共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只，鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡12只，兔19只 【分析】鸡兔总数=(100+86)÷(2+4)=31（只），再用鸡兔同笼基础型解。 【详解】鸡兔总数=(100+86)÷6=31（只），假设全是鸡，脚数=31×2=62（只），差异量=100-62=38（只），兔数=38÷2=19（只），鸡数=31-19=12（只）。 15．某校举行数学竞赛，共有15道题，每道题做对得10分，做错或不做扣4分，小明共得66分，他做对了几道题？ 【答案】9道 【详解】假设全做对，得分=15×10=150（分），差异量=150-66=84（分），单量差=10+4=14（分），错题数=84÷14=6（道），对题数=15-6=9（道）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $