第10讲 间隔问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第10讲 间隔问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 间隔问题是研究物体排列与间隔数量关系的数学问题，主要涉及物体数量、间隔数量、间距和总长度之间的关系。 关键量：物体数（被排列的物体总个数）、间隔数（物体之间的空隙数量）、间距（相邻两个物体之间的距离）、总长（排列的总长度）。 2.核心公式 ① 直线型（两端都栽）：间隔数 = 物体数 - 1 ② 直线型（只栽一端）：间隔数 = 物体数 ③ 直线型（两端都不栽）：间隔数 = 物体数 + 1 ④ 封闭型（环形/方形等）：间隔数 = 物体数 ⑤ 总长 = 间距 × 间隔数 ⑥ 间距 = 总长 ÷ 间隔数 ⑦ 间隔数 = 总长 ÷ 间距 二、核心题型与技巧 题型1：直线型间隔问题（两端都栽） 技巧：当两端都有物体时，间隔数比物体数少1，即"间隔数 = 物体数 - 1"，再根据"总长 = 间距 × 间隔数"计算总长度。 公式：总长 = 间距 × (物体数 - 1) 题型2：直线型间隔问题（只栽一端或两端都不栽） 技巧：只栽一端时，间隔数等于物体数；两端都不栽时，间隔数比物体数多1。根据实际情况选择合适公式计算。 公式： 只栽一端：总长 = 间距 × 物体数 两端都不栽：总长 = 间距 × (物体数 + 1) 题型3：封闭型间隔问题（环形/方形等） 技巧：在封闭图形中，物体数等于间隔数，直接使用"总长 = 间距 × 物体数"计算。 公式：总长 = 间距 × 物体数 题型4：锯木头问题（时间间隔） 技巧：锯木头时，锯的次数 = 段数 - 1，总时间 = 每次时间 × 锯的次数。 公式：总时间 = 每次时间 × (段数 - 1) 题型5：爬楼梯问题（楼层间隔） 技巧：从1楼到n楼，实际爬的楼层数 = n - 1，总台阶数 = 每层台阶数 × (目标楼层 - 起始楼层)。 公式：总台阶数 = 每层台阶数 × (目标楼层 - 起始楼层) 三、常见错误提醒 1.混淆间隔数与物体数关系：如在直线两端都栽树时，误将"间隔数=物体数"当作"间隔数=物体数-1"，导致计算错误。 2.封闭型与直线型混淆：如在圆形花坛周围栽树，误用直线型公式"间隔数=物体数-1"，实际应为"间隔数=物体数"。 3.锯木头问题中次数与段数混淆：误将"锯的次数=段数"，实际应为"锯的次数=段数-1"。 4.爬楼梯忽略起始楼层：如从3楼到7楼，误算为爬了7层，实际只爬了4层（7-3=4）。 例题讲解 一、直线型间隔问题（两端都栽） 例题1：在一条长200米的小路一旁植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？ 答案：41棵 解析：间隔数 = 总长 ÷ 间距 = 200 ÷ 5 = 40（个），由于两端都栽，物体数 = 间隔数 + 1 = 40 + 1 = 41（棵）。 跟踪练习1：在一条长300米的公路两旁安装路灯，每隔15米安装一盏（两端都安装），一共要安装多少盏路灯？ 答案：42盏 解析：先计算一旁的路灯数量，间隔数 = 300 ÷ 15 = 20（个），一旁路灯数 = 20 + 1 = 21（盏），两旁共安装21 × 2 = 42（盏）。 二、直线型间隔问题（只栽一端或两端都不栽） 例题2：在一个长100米的游泳池边上插彩旗，每隔10米插一面，只在池的一端插，一共要插多少面彩旗？ 答案：10面 解析：只栽一端时，间隔数 = 物体数，间隔数 = 总长 ÷ 间距 = 100 ÷ 10 = 10（个），所以彩旗数 = 10（面）。 跟踪练习2：在一段长120米的小路两旁栽树，每隔8米栽一棵，两端都不栽，一共要栽多少棵树？ 答案：28棵 解析：先计算一旁的栽树数量，间隔数 = 120 ÷ 8 = 15（个），两端都不栽时，树的数量 = 间隔数 - 1 = 15 - 1 = 14（棵），两旁共栽14 × 2 = 28（棵）。 三、封闭型间隔问题 例题3：一个圆形花坛的周长是180米，在花坛周围每隔6米栽一棵月季花，一共要栽多少棵月季花？ 答案：30棵 解析：封闭型问题中，物体数 = 间隔数，间隔数 = 周长 ÷ 间距 = 180 ÷ 6 = 30（个），所以栽花数量 = 30（棵）。 跟踪练习3：一个正方形操场的边长是80米，在操场四周每隔5米插一面彩旗，四个角都要插，一共要插多少面彩旗？ 答案：64面 解析：正方形周长 = 边长 × 4 = 80 × 4 = 320（米），间隔数 = 320 ÷ 5 = 64（个），封闭型问题中彩旗数 = 间隔数 = 64（面）。 四、锯木头问题 例题4：把一根木头锯成5段，每锯一次需要3分钟，一共需要多少分钟？ 答案：12分钟 解析：锯成5段需要锯的次数 = 段数 - 1 = 5 - 1 = 4（次），总时间 = 每次时间 × 次数 = 3 × 4 = 12（分钟）。 跟踪练习4：一根钢管长18米，要把它锯成3米长的小段，每锯一次需要2分钟，全部锯完需要多少分钟？ 答案：10分钟 解析：可锯成的段数 = 18 ÷ 3 = 6（段），需要锯的次数 = 6 - 1 = 5（次），总时间 = 2 × 5 = 10（分钟）。 五、爬楼梯问题 例题5：小明从1楼爬到4楼需要6分钟，照这样计算，他从1楼爬到7楼需要多少分钟？ 答案：12分钟 解析：从1楼到4楼实际爬的楼层数 = 4 - 1 = 3（层），每层所需时间 = 6 ÷ 3 = 2（分钟），从1楼到7楼爬的楼层数 = 7 - 1 = 6（层），总时间 = 2 × 6 = 12（分钟）。 跟踪练习5：小红家住在10楼，她从1楼走到3楼需要40秒，照这样计算，她从1楼走到10楼需要多少秒？ 答案：180秒 解析：从1楼到3楼走的楼层数 = 3 - 1 = 2（层），每层所需时间 = 40 ÷ 2 = 20（秒），从1楼到10楼走的楼层数 = 10 - 1 = 9（层），总时间 = 20 × 9 = 180（秒）。 提升练习 1．在一条长400米的公路一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（两端都安装），一共要安装多少盏路灯？ 【答案】21盏 【分析】间隔数 = 总长 ÷ 间距 = 400 ÷ 20 = 20（个），两端都安装时，路灯数 = 间隔数 + 1 = 20 + 1 = 21（盏）。 【详解】400 ÷ 20 + 1 = 20 + 1 = 21（盏） 答：一共要安装21盏路灯。 2．在一个圆形池塘周围栽树，池塘周长是250米，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？ 【答案】50棵 【分析】封闭型问题中，栽树棵数 = 间隔数，间隔数 = 周长 ÷ 间距 = 250 ÷ 5 = 50（个），所以栽树棵数 = 50（棵）。 【详解】250 ÷ 5 = 50（棵） 答：一共要栽50棵树。 3．一根木头长15米，要把它锯成5段，每锯一次需要4分钟，全部锯完需要多少分钟？ 【答案】16分钟 【分析】锯成5段需要锯的次数 = 段数 - 1 = 5 - 1 = 4（次），总时间 = 每次时间 × 次数 = 4 × 4 = 16（分钟）。 【详解】4 × (5 - 1) = 4 × 4 = 16（分钟） 答：全部锯完需要16分钟。 4．小明从1楼走到5楼需要8分钟，照这样计算，他从1楼走到9楼需要多少分钟？ 【答案】16分钟 【分析】从1楼到5楼走的楼层数 = 5 - 1 = 4（层），每层所需时间 = 8 ÷ 4 = 2（分钟），从1楼到9楼走的楼层数 = 9 - 1 = 8（层），总时间 = 2 × 8 = 16（分钟）。 【详解】8 ÷ (5 - 1) × (9 - 1) = 8 ÷ 4 × 8 = 2 × 8 = 16（分钟） 答：他从1楼走到9楼需要16分钟。 5．在一条长240米的小路两旁栽树，每隔12米栽一棵（两端都不栽），一共要栽多少棵树？ 【答案】38棵 【分析】先计算一旁的栽树数量，间隔数 = 240 ÷ 12 = 20（个），两端都不栽时，树的数量 = 间隔数 - 1 = 20 - 1 = 19（棵），两旁共栽19 × 2 = 38（棵）。 【详解】(240 ÷ 12 - 1) × 2 = (20 - 1) × 2 = 19 × 2 = 38（棵） 答：一共要栽38棵树。 6．一个正方形操场的边长是60米，现在要在操场四周每隔4米插一面彩旗，四个角都要插，一共要插多少面彩旗？ 【答案】60面 【分析】正方形周长 = 边长 × 4 = 60 × 4 = 240（米），间隔数 = 240 ÷ 4 = 60（个），封闭型问题中彩旗数 = 间隔数 = 60（面）。 【详解】60 × 4 ÷ 4 = 240 ÷ 4 = 60（面） 答：一共要插60面彩旗。 7．在一条公路上每隔50米有一根电线杆，连两端共有25根，这条公路长多少米？ 【答案】1200米 【分析】两端都有电线杆时，间隔数 = 电线杆数 - 1 = 25 - 1 = 24（个），公路长 = 间距 × 间隔数 = 50 × 24 = 1200（米）。 【详解】50 × (25 - 1) = 50 × 24 = 1200（米） 答：这条公路长1200米。 8．一根钢管要锯成8段，每锯一次需要3分钟，全部锯完需要多少分钟？ 【答案】21分钟 【分析】锯成8段需要锯的次数 = 段数 - 1 = 8 - 1 = 7（次），总时间 = 每次时间 × 次数 = 3 × 7 = 21（分钟）。 【详解】3 × (8 - 1) = 3 × 7 = 21（分钟） 答：全部锯完需要21分钟。 9．一个圆形花坛的周长是150米，现在要在花坛周围每隔5米栽一棵桂花树，每两棵桂花树之间栽2棵月季花，一共要栽多少棵桂花树和月季花？ 【答案】30棵桂花树，60棵月季花 【分析】桂花树数量 = 间隔数 = 150 ÷ 5 = 30（棵），每两棵桂花树之间栽2棵月季花，月季花数量 = 桂花树数量 × 2 = 30 × 2 = 60（棵）。 【详解】桂花树：150 ÷ 5 = 30（棵） 月季花：30 × 2 = 60（棵） 答：一共要栽30棵桂花树和60棵月季花。 10．小红从3楼走到7楼用了12分钟，照这样计算，她从1楼走到10楼需要多少分钟？ 【答案】27分钟 【分析】从3楼到7楼走的楼层数 = 7 - 3 = 4（层），每层所需时间 = 12 ÷ 4 = 3（分钟），从1楼到10楼走的楼层数 = 10 - 1 = 9（层），总时间 = 3 × 9 = 27（分钟）。 【详解】12 ÷ (7 - 3) × (10 - 1) = 12 ÷ 4 × 9 = 3 × 9 = 27（分钟） 答：她从1楼走到10楼需要27分钟。 11．在一个长120米、宽80米的长方形操场四周每隔10米插一面彩旗，四个角都要插，一共要插多少面彩旗？ 【答案】40面 【分析】长方形周长 = (长 + 宽) × 2 = (120 + 80) × 2 = 400（米），间隔数 = 400 ÷ 10 = 40（个），封闭型问题中彩旗数 = 间隔数 = 40（面）。 【详解】(120 + 80) × 2 ÷ 10 = 200 × 2 ÷ 10 = 400 ÷ 10 = 40（面） 答：一共要插40面彩旗。 12．一根木头长24米，要把它锯成4米长的小段，每锯一次需要5分钟，全部锯完需要多少分钟？ 【答案】25分钟 【分析】可锯成的段数 = 24 ÷ 4 = 6（段），需要锯的次数 = 6 - 1 = 5（次），总时间 = 5 × 5 = 25（分钟）。 【详解】5 × (24 ÷ 4 - 1) = 5 × (6 - 1) = 5 × 5 = 25（分钟） 答：全部锯完需要25分钟。 13．在一条长360米的小路一旁栽树，每隔9米栽一棵（只栽一端），一共要栽多少棵树？ 【答案】40棵 【分析】只栽一端时，树的数量 = 间隔数，间隔数 = 360 ÷ 9 = 40（个），所以栽树数量 = 40（棵）。 【详解】360 ÷ 9 = 40（棵） 答：一共要栽40棵树。 14．一个圆形池塘周围每隔4米种一棵树，共种了60棵树，这个池塘的周长是多少米？ 【答案】240米 【分析】封闭型问题中，间隔数 = 树的数量 = 60（个），池塘周长 = 间距 × 间隔数 = 4 × 60 = 240（米）。 【详解】4 × 60 = 240（米） 答：这个池塘的周长是240米。 15．在一条公路两旁安装路灯，共安装了102盏路灯，每两盏路灯之间的距离是10米，这条公路长多少米？（两端都安装） 【答案】500米 【分析】一旁安装的路灯数 = 102 ÷ 2 = 51（盏），间隔数 = 51 - 1 = 50（个），公路长 = 10 × 50 = 500（米）。 【详解】10 × (102 ÷ 2 - 1) = 10 × (51 - 1) = 10 × 50 = 500（米） 答：这条公路长500米。 16．一根钢管锯成5段需要8分钟，照这样计算，锯成9段需要多少分钟？ 【答案】16分钟 【分析】锯成5段需要锯的次数 = 5 - 1 = 4（次），每次所需时间 = 8 ÷ 4 = 2（分钟），锯成9段需要锯的次数 = 9 - 1 = 8（次），总时间 = 2 × 8 = 16（分钟）。 【详解】8 ÷ (5 - 1) × (9 - 1) = 8 ÷ 4 × 8 = 2 × 8 = 16（分钟） 答：锯成9段需要16分钟。 17．小明从家到学校，每上一层楼需要走16级台阶，他从1楼走到4楼共走了多少级台阶？ 【答案】48级 【分析】从1楼到4楼走的楼层数 = 4 - 1 = 3（层），总台阶数 = 每层台阶数 × 楼层数 = 16 × 3 = 48（级）。 【详解】16 × (4 - 1) = 16 × 3 = 48（级） 答：他从1楼走到4楼共走了48级台阶。 18．在一个正方形池塘四周栽树，每边栽8棵（四个角都栽），一共栽了多少棵树？ 【答案】28棵 【分析】每边栽8棵树，四个角都栽时，角上的树会重复计算，所以总棵数 = 每边棵数 × 4 - 4 = 8 × 4 - 4 = 28（棵）。 【详解】8 × 4 - 4 = 32 - 4 = 28（棵） 答：一共栽了28棵树。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第10讲 间隔问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 间隔问题是研究物体排列与间隔数量关系的数学问题，主要涉及物体数量、间隔数量、间距和总长度之间的关系。 关键量：物体数（被排列的物体总个数）、间隔数（物体之间的空隙数量）、间距（相邻两个物体之间的距离）、总长（排列的总长度）。 2.核心公式 ① 直线型（两端都栽）：间隔数 = 物体数 - 1 ② 直线型（只栽一端）：间隔数 = 物体数 ③ 直线型（两端都不栽）：间隔数 = 物体数 + 1 ④ 封闭型（环形/方形等）：间隔数 = 物体数 ⑤ 总长 = 间距 × 间隔数 ⑥ 间距 = 总长 ÷ 间隔数 ⑦ 间隔数 = 总长 ÷ 间距 二、核心题型与技巧 题型1：直线型间隔问题（两端都栽） 技巧：当两端都有物体时，间隔数比物体数少1，即"间隔数 = 物体数 - 1"，再根据"总长 = 间距 × 间隔数"计算总长度。 公式：总长 = 间距 × (物体数 - 1) 题型2：直线型间隔问题（只栽一端或两端都不栽） 技巧：只栽一端时，间隔数等于物体数；两端都不栽时，间隔数比物体数多1。根据实际情况选择合适公式计算。 公式： 只栽一端：总长 = 间距 × 物体数 两端都不栽：总长 = 间距 × (物体数 + 1) 题型3：封闭型间隔问题（环形/方形等） 技巧：在封闭图形中，物体数等于间隔数，直接使用"总长 = 间距 × 物体数"计算。 公式：总长 = 间距 × 物体数 题型4：锯木头问题（时间间隔） 技巧：锯木头时，锯的次数 = 段数 - 1，总时间 = 每次时间 × 锯的次数。 公式：总时间 = 每次时间 × (段数 - 1) 题型5：爬楼梯问题（楼层间隔） 技巧：从1楼到n楼，实际爬的楼层数 = n - 1，总台阶数 = 每层台阶数 × (目标楼层 - 起始楼层)。 公式：总台阶数 = 每层台阶数 × (目标楼层 - 起始楼层) 三、常见错误提醒 1.混淆间隔数与物体数关系：如在直线两端都栽树时，误将"间隔数=物体数"当作"间隔数=物体数-1"，导致计算错误。 2.封闭型与直线型混淆：如在圆形花坛周围栽树，误用直线型公式"间隔数=物体数-1"，实际应为"间隔数=物体数"。 3.锯木头问题中次数与段数混淆：误将"锯的次数=段数"，实际应为"锯的次数=段数-1"。 4.爬楼梯忽略起始楼层：如从3楼到7楼，误算为爬了7层，实际只爬了4层（7-3=4）。 例题讲解 一、直线型间隔问题（两端都栽） 例题1：在一条长200米的小路一旁植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？ 跟踪练习1：在一条长300米的公路两旁安装路灯，每隔15米安装一盏（两端都安装），一共要安装多少盏路灯？ 二、直线型间隔问题（只栽一端或两端都不栽） 例题2：在一个长100米的游泳池边上插彩旗，每隔10米插一面，只在池的一端插，一共要插多少面彩旗？ 跟踪练习2：在一段长120米的小路两旁栽树，每隔8米栽一棵，两端都不栽，一共要栽多少棵树？ 三、封闭型间隔问题 例题3：一个圆形花坛的周长是180米，在花坛周围每隔6米栽一棵月季花，一共要栽多少棵月季花？ 跟踪练习3：一个正方形操场的边长是80米，在操场四周每隔5米插一面彩旗，四个角都要插，一共要插多少面彩旗？ 四、锯木头问题 例题4：把一根木头锯成5段，每锯一次需要3分钟，一共需要多少分钟？ 跟踪练习4：一根钢管长18米，要把它锯成3米长的小段，每锯一次需要2分钟，全部锯完需要多少分钟？ 五、爬楼梯问题 例题5：小明从1楼爬到4楼需要6分钟，照这样计算，他从1楼爬到7楼需要多少分钟？ 跟踪练习5：小红家住在10楼，她从1楼走到3楼需要40秒，照这样计算，她从1楼走到10楼需要多少秒？ 提升练习 1．在一条长400米的公路一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（两端都安装），一共要安装多少盏路灯？ 2．在一个圆形池塘周围栽树，池塘周长是250米，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？ 3．一根木头长15米，要把它锯成5段，每锯一次需要4分钟，全部锯完需要多少分钟？ 4．小明从1楼走到5楼需要8分钟，照这样计算，他从1楼走到9楼需要多少分钟？ 5．在一条长240米的小路两旁栽树，每隔12米栽一棵（两端都不栽），一共要栽多少棵树？ 6．一个正方形操场的边长是60米，现在要在操场四周每隔4米插一面彩旗，四个角都要插，一共要插多少面彩旗？ 7．在一条公路上每隔50米有一根电线杆，连两端共有25根，这条公路长多少米？ 8．一根钢管要锯成8段，每锯一次需要3分钟，全部锯完需要多少分钟？ 9．一个圆形花坛的周长是150米，现在要在花坛周围每隔5米栽一棵桂花树，每两棵桂花树之间栽2棵月季花，一共要栽多少棵桂花树和月季花？ 10．小红从3楼走到7楼用了12分钟，照这样计算，她从1楼走到10楼需要多少分钟？ 11．在一个长120米、宽80米的长方形操场四周每隔10米插一面彩旗，四个角都要插，一共要插多少面彩旗？ 12．一根木头长24米，要把它锯成4米长的小段，每锯一次需要5分钟，全部锯完需要多少分钟？ 13．在一条长360米的小路一旁栽树，每隔9米栽一棵（只栽一端），一共要栽多少棵树？ 14．一个圆形池塘周围每隔4米种一棵树，共种了60棵树，这个池塘的周长是多少米？ 【详解】4 × 60 = 240（米） 答：这个池塘的周长是240米。 15．在一条公路两旁安装路灯，共安装了102盏路灯，每两盏路灯之间的距离是10米，这条公路长多少米？（两端都安装） 16．一根钢管锯成5段需要8分钟，照这样计算，锯成9段需要多少分钟？ 17．小明从家到学校，每上一层楼需要走16级台阶，他从1楼走到4楼共走了多少级台阶？ 18．在一个正方形池塘四周栽树，每边栽8棵（四个角都栽），一共栽了多少棵树？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $