第08讲 简单举例（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第08讲 简单举例 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 举例法是通过列举具体、简单的实例来理解抽象数学概念、验证规律或解决复杂问题的方法。其核心是将抽象问题具体化，通过观察实例的共性或特性得出结论。 2.关键要素： 代表性：例子需能反映问题的本质特征 全面性：考虑不同情况（如特殊值、边界值） 简洁性：选取简单易懂的实例，便于分析 3.核心方法步骤 ①明确问题：确定需要解决的问题或验证的规律 ②选取实例：根据问题特点，选择合适的具体数值或情境 ③分析实例：对所选实例进行计算、观察或推理 ④归纳结论：从实例中总结共性规律，推广到一般情况 ⑤验证结论：用新的实例检验结论的正确性 二、核心题型与技巧 题型1：基础举例型（用实例理解概念） 技巧：选取简单具体的数字或情境，通过实例直接展示概念含义。适用于理解定义、性质等抽象内容。 题型2：规律验证型（用举例法验证数学规律） 技巧：通过多个不同实例验证规律的正确性，注意选取特殊值（如0、1、最大最小值）进行检验。 题型3：简化问题型（用举例法简化复杂问题） 技巧：将复杂问题转化为简单实例，从简单情况入手，逐步发现解题规律。适用于周期问题、排列组合等。 题型4：反向举例型（用反例证明错误结论） 技巧：当需要证明某个结论不成立时，只需举出一个符合条件但与结论矛盾的实例即可。 题型5：综合应用举例型（多步骤问题的分步举例） 技巧：将复杂问题分解为多个简单步骤，每个步骤用举例法逐步解决，最后整合得出结论。 三、常见错误提醒 1.例子不具代表性：仅用特殊值举例导致规律误判 2.举例数量不足：仅举1个例子就得出结论，未验证多种情况 3.忽略特殊情况：未考虑0、1、负数等特殊值 4.实例与问题脱节：举例与原问题条件不符，导致结论无效 5.计算错误：举例过程中出现计算失误，导致错误结论 例题讲解 一、基础举例型 例题1：用举例法说明"互为倒数"的含义。 答案：2和互为倒数（2×=1），3和互为倒数（3×1/3=1），乘积为1的两个数互为倒数。 解析：选取2、3等简单整数，通过计算乘积为1的实例，直观展示倒数的定义，避免抽象概念难以理解的问题。 跟踪练习1：用举例法说明"等边三角形"的特征。 答案：边长为3cm的三角形，三条边都是3cm，三个角都是60°；边长为5cm的三角形，三条边都是5cm，三个角都是60°。结论：等边三角形三条边相等，三个角相等。 二、规律验证型 例题2：验证"偶数+偶数=偶数"这一规律是否成立。 答案：该规律成立。 解析：举例验证：①2+4=6（偶数）②8+12=20（偶数）③0+6=6（偶数，特殊值验证）④100+200=300（偶数，较大数验证）所有举例均符合"和为偶数"，无反例，故规律成立。 跟踪练习2：判断"一个数的倍数一定比它的因数大"是否正确，用举例法说明。 答案：错误。 解析：反例：6的倍数有6、12、18...，6的因数有1、2、3、6，其中6既是6的倍数也是6的因数，两者相等，故结论错误。 三、简化问题型 例题3：有一列数：1,3,5,7,9,1,3,5,7,9...第28个数是几？ 答案：5 解析：用举例法找周期规律：①列举简单项：第1个=1，第2个=3，第3个=5，第4个=7，第5个=9，第6个=1（周期为5）②计算周期：28÷5=5（组）......3（个）③对应位置：第3个数是5，故第28个数是5 跟踪练习3："三天打鱼，两天晒网"，第18天是打鱼还是晒网？ 答案：打鱼 解析：周期为5天（打鱼3天，晒网2天）：列举前10天情况：1(打)、2(打)、3(打)、4(晒)、5(晒)、6(打)、7(打)、8(打)、9(晒)、10(晒)18÷5=3(组)......3(天)，第3天为打鱼，故第18天打鱼。 四、反向举例型 例题4：判断"所有质数都是奇数"是否正确，用举例法说明。 答案：错误 解析：反例：2是质数（只能被1和本身整除），但2是偶数不是奇数，符合质数定义但不符合结论，故原命题错误。 跟踪练习4：小明说"一个数除以分数，结果一定比原数大"，请举反例说明错误。 答案：错误，例如：3÷()=2，2<3 解析：选取3除以，计算结果为2，小于原数3，符合"除以分数"条件但结果比原数小，证明结论错误。 五、综合应用举例型 例题5：鸡兔同笼，共有8个头，26条腿，鸡和兔各有几只？用举例法求解。 答案：鸡3只，兔5只 解析：采用列表举例法： 鸡的数量 兔的数量 总腿数 0 8 32 1 7 30 2 6 28 3 5 26 通过逐步举例调整，找到鸡3只、兔5只时总腿数为26。 跟踪练习5：用举例法找出100以内所有既是2的倍数又是3的倍数的数。 答案：6,12,18,...,96（共16个数） 解析：先列举2的倍数：2,4,6,8,10,12...再从中筛选3的倍数：6,12,18...（发现规律：6的倍数）依次列举6×1=6,6×2=12,...,6×16=96，共16个数。 提升练习 1.用举例法说明"分数的基本性质"（至少举3个例子）。 答案：示例：1/2=2/4=3/6，分子分母同时乘2（1/2=2/4）、乘3（1/2=3/6），分数大小不变。 解析：选取1/2为基础，分别举例分子分母同时乘2、3、4，得到2/4、3/6、4/8，通过计算1÷2=0.5，2÷4=0.5等，验证分数值不变，说明"分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变"。 2.判断"任何数的平方都大于原数"是否正确，用举例法说明。 答案：错误，例如：0²=0，1²=1 解析：举反例：0的平方等于0，1的平方等于1，均不大于原数，因此结论错误。需注意特殊值0和1的情况。 3.用举例法找出"除以5余3，除以7余2"的最小自然数。 答案：23 解析：列举除以5余3的数：3,8,13,18,23,28...从中筛选除以7余2的数：3÷7=0...3（不符）8÷7=1...1（不符）13÷7=1...6（不符）18÷7=2...4（不符）23÷7=3...2（符合）故最小自然数为23。 4.用举例法验证"乘法分配律"：(a+b)×c=a×c+b×c（至少举3个不同类型例子）。 答案：成立，例如：(2+3)×4=20，2×4+3×4=20；(10+5)×2=30，10×2+5×2=30；(0+8)×5=40，0×5+8×5=40。 解析：分别选取整数、包含0的数、不同倍数关系的数进行举例，均验证等式两边结果相等，证明乘法分配律成立。 5.有一串数：1,1,2,3,5,8...，第10个数是多少？用举例法找出规律并解答。 答案：55 解析：列举前几项找规律：第1个数：1第2个数：1第3个数：1+1=2（前两数之和）第4个数：1+2=3（前两数之和）第5个数：2+3=5（前两数之和）发现规律：从第3个数开始，每个数等于前两个数之和依次举例计算：第6个数=5+8=13，第7个数=8+13=21，第8个数=13+21=34，第9个数=21+34=55，第10个数=34+55=89。 6.判断"三角形任意两边之和大于第三边"是否正确，用举例法验证。 答案：正确 解析：举例验证：①等边三角形（3,3,3）：3+3>3②直角三角形（3,4,5）：3+4>5，3+5>4，4+5>3③等腰三角形（2,5,5）：2+5>5，5+5>2所有举例均符合规律，无反例存在，故结论正确。 7.用举例法找出1-100中所有能被"3整除且个位是2"的数。 答案：12,42,72 解析：先列举个位是2的数：2,12,22,32,42,52,62,72,82,92再筛选能被3整除的数：12÷3=4（整除）42÷3=14（整除）72÷3=24（整除）故符合条件的数为12,42,72。 8.小明说："两个数的积一定大于这两个数的和"，请举3个反例说明错误。 答案：反例1：1×1=1，1+1=2（1<2）；反例2：0×5=0，0+5=5（0<5）；反例3：2×1=2，2+1=3（2<3） 解析：选取1、0等特殊值以及较小数字举例，均能得到乘积小于和的情况，证明结论错误。 9.用举例法计算：1+3+5+7+...+19的和。 答案：100 解析：从简单情况举例找规律：1=1²（1项）1+3=4=2²（2项）1+3+5=9=3²（3项）规律：连续奇数之和=项数²原数列共有10项（1到19共10个奇数），故和=10²=100。 10.用举例法说明"商不变的性质"（被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变）。 答案：示例：12÷4=3，(12×2)÷(4×2)=24÷8=3，(12÷2)÷(4÷2)=6÷2=3 解析：通过举例展示被除数和除数同时乘2、除以2，商仍为3，直观说明商不变的性质，注意需强调"0除外"的条件（可举例12÷4=(12×0)÷(4×0)无意义）。 11.有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，从中选1面或2面升上旗杆，分别表示不同信号，一共能表示多少种不同信号？用举例法解答。 答案：9种 解析：分类举例：①选1面旗：红、黄、蓝（3种）②选2面旗（考虑顺序）：红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、蓝黄（6种）共3+6=9种不同信号。 12.用举例法验证"奇数×偶数=偶数"的规律。 答案：规律成立，例如：3×4=12（偶数），5×6=30（偶数），7×2=14（偶数） 解析：选取不同的奇数和偶数相乘，结果均为偶数，且无反例存在，验证规律成立。 13.用举例法找出"个位数字是0的数一定能被2和5整除"的规律。 答案：规律成立，例如：10÷2=5，10÷5=2；20÷2=10，20÷5=4；30÷2=15，30÷5=6 解析：通过10、20、30等实例，均能被2和5整除，证明个位是0的数同时是2和5的倍数。 14.判断"一个数的因数一定比它的倍数小"是否正确，用举例法说明。 答案：错误，例如：6的因数有6，6的倍数有6，6=6 解析：举反例：一个数本身既是自己的因数也是自己的倍数，此时因数等于倍数，故结论错误。 15.用举例法计算：1+2+3+...+100的和。 答案：5050 解析：从简单情况举例找规律：1+2=3=(2×3)÷21+2+3=6=(3×4)÷21+2+3+4=10=(4×5)÷2规律：1+2+...+n=n(n+1)÷2当n=100时，和=100×101÷2=5050。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第08讲 简单举例 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 举例法是通过列举具体、简单的实例来理解抽象数学概念、验证规律或解决复杂问题的方法。其核心是将抽象问题具体化，通过观察实例的共性或特性得出结论。 2.关键要素： 代表性：例子需能反映问题的本质特征 全面性：考虑不同情况（如特殊值、边界值） 简洁性：选取简单易懂的实例，便于分析 3.核心方法步骤 ①明确问题：确定需要解决的问题或验证的规律 ②选取实例：根据问题特点，选择合适的具体数值或情境 ③分析实例：对所选实例进行计算、观察或推理 ④归纳结论：从实例中总结共性规律，推广到一般情况 ⑤验证结论：用新的实例检验结论的正确性 二、核心题型与技巧 题型1：基础举例型（用实例理解概念） 技巧：选取简单具体的数字或情境，通过实例直接展示概念含义。适用于理解定义、性质等抽象内容。 题型2：规律验证型（用举例法验证数学规律） 技巧：通过多个不同实例验证规律的正确性，注意选取特殊值（如0、1、最大最小值）进行检验。 题型3：简化问题型（用举例法简化复杂问题） 技巧：将复杂问题转化为简单实例，从简单情况入手，逐步发现解题规律。适用于周期问题、排列组合等。 题型4：反向举例型（用反例证明错误结论） 技巧：当需要证明某个结论不成立时，只需举出一个符合条件但与结论矛盾的实例即可。 题型5：综合应用举例型（多步骤问题的分步举例） 技巧：将复杂问题分解为多个简单步骤，每个步骤用举例法逐步解决，最后整合得出结论。 三、常见错误提醒 1.例子不具代表性：仅用特殊值举例导致规律误判 2.举例数量不足：仅举1个例子就得出结论，未验证多种情况 3.忽略特殊情况：未考虑0、1、负数等特殊值 4.实例与问题脱节：举例与原问题条件不符，导致结论无效 5.计算错误：举例过程中出现计算失误，导致错误结论 例题讲解 一、基础举例型 例题1：用举例法说明"互为倒数"的含义。 跟踪练习1：用举例法说明"等边三角形"的特征。 二、规律验证型 例题2：验证"偶数+偶数=偶数"这一规律是否成立。 跟踪练习2：判断"一个数的倍数一定比它的因数大"是否正确，用举例法说明。 三、简化问题型 例题3：有一列数：1,3,5,7,9,1,3,5,7,9...第28个数是几？ 跟踪练习3："三天打鱼，两天晒网"，第18天是打鱼还是晒网？ 四、反向举例型 例题4：判断"所有质数都是奇数"是否正确，用举例法说明。 跟踪练习4：小明说"一个数除以分数，结果一定比原数大"，请举反例说明错误。 五、综合应用举例型 例题5：鸡兔同笼，共有8个头，26条腿，鸡和兔各有几只？用举例法求解。 跟踪练习5：用举例法找出100以内所有既是2的倍数又是3的倍数的数。 提升练习 1.用举例法说明"分数的基本性质"（至少举3个例子）。 2.判断"任何数的平方都大于原数"是否正确，用举例法说明。 3.用举例法找出"除以5余3，除以7余2"的最小自然数。 4.用举例法验证"乘法分配律"：(a+b)×c=a×c+b×c（至少举3个不同类型例子）。 5.有一串数：1,1,2,3,5,8...，第10个数是多少？用举例法找出规律并解答。 6.判断"三角形任意两边之和大于第三边"是否正确，用举例法验证。 7.用举例法找出1-100中所有能被"3整除且个位是2"的数。 8.小明说："两个数的积一定大于这两个数的和"，请举3个反例说明错误。 9.用举例法计算：1+3+5+7+...+19的和。 10.用举例法说明"商不变的性质"（被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变）。 11.有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，从中选1面或2面升上旗杆，分别表示不同信号，一共能表示多少种不同信号？用举例法解答。 12.用举例法验证"奇数×偶数=偶数"的规律。 13.用举例法找出"个位数字是0的数一定能被2和5整除"的规律。 14.判断"一个数的因数一定比它的倍数小"是否正确，用举例法说明。 15.用举例法计算：1+2+3+...+100的和。 1 学科网（北京）股份有限公司 $