第27讲 盈亏问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第27讲 盈亏问题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 盈亏问题是指在分配物品时，由于分配方案不同，导致结果出现盈余或亏损，通过比较两种分配方案的差异来求解分配对象数量和物品总数的问题。 关键要素： 分配对象（如人数、班级数等，未知量） 物品总数（总量，未知量） 分配方案（两种不同分配方式） 盈亏结果（盈余数量或亏损数量） 2. 解题方法 ① 比较法：对比两种分配方案的差异，分析盈亏原因 ② 公式法：根据不同盈亏类型套用对应公式计算 ③ 线段图法：用线段表示物品总量与分配情况，直观呈现数量关系 ④ 方程思想：设未知数表示分配对象数量，列等式求解 3. 核心公式 ① 一盈一亏型： 分配对象数 =（盈数 + 亏数）÷ 两次分配差 物品总数 = 每次分得数量 × 分配对象数 + 盈数（或 - 亏数） ② 两盈型： 分配对象数 =（大盈 - 小盈）÷ 两次分配差 物品总数 = 每次分得数量 × 分配对象数 + 小盈（或 - 大盈差） ③ 两亏型： 分配对象数 =（大亏 - 小亏）÷ 两次分配差 物品总数 = 每次分得数量 × 分配对象数 - 大亏（或 + 亏数差） ④ 一盈一尽型（刚好分完）： 分配对象数 = 盈数 ÷ 两次分配差 物品总数 = 每次分得数量 × 分配对象数 ⑤ 一亏一尽型（刚好分完）： 分配对象数 = 亏数 ÷ 两次分配差 物品总数 = 每次分得数量 × 分配对象数 二、核心题型与技巧 题型1：基本盈亏问题（一盈一亏） 技巧：直接套用"（盈数 + 亏数）÷ 两次分配差 = 分配对象数"公式，再求物品总数。 示例：老师给学生发练习本，每人发5本则多23本，每人发7本则少5本。问有多少学生？多少练习本？ 学生数：（23 + 5）÷（7 - 5）= 28 ÷ 2 = 14（人） 练习本数：5×14 + 23 = 70 + 23 = 93（本） 题型2：两盈问题 技巧：用"（大盈 - 小盈）÷ 两次分配差 = 分配对象数"，注意区分两次盈余的大小。 示例：将一批图书分给学生，每人分3本则多28本，每人分5本则多4本。有多少学生？多少本书？ 学生数：（28 - 4）÷（5 - 3）= 24 ÷ 2 = 12（人） 书本数：3×12 + 28 = 36 + 28 = 64（本） 题型3：两亏问题 技巧：使用"（大亏 - 小亏）÷ 两次分配差 = 分配对象数"，注意亏损数是缺少的数量。 示例：安排学生住宿，每间住4人则少3间房，每间住6人则多1间房。有多少房间？多少学生？ 房间数：（3×4 + 1×6）÷（6 - 4）=（12 + 6）÷2 = 9（间） 学生数：4×（9 + 3）= 4×12 = 48（人） 题型4：特殊盈亏问题（分配对象变化） 技巧：统一分配对象数量，转化为基本盈亏问题；或调整分配方案，使两次分配的对象数相同。 示例：一些苹果分给大人，如果每人分3个则多10个；如果减少2个大人，每人分4个则多7个。有多少大人？多少苹果？ 调整后：每人分4个则多7 - 4×2 = -1个（亏1个） 大人数：（10 + 1）÷（4 - 3）= 11（人） 苹果数：3×11 + 10 = 43（个） 题型5：复杂盈亏问题（含两个未知量） 技巧：先固定一个未知量，通过比较法消去一个变量；或用线段图表示两种分配关系。 示例：买5支钢笔和3支圆珠笔多2元，买3支钢笔和5支圆珠笔少4元。每支钢笔多少元？总钱数多少？ 钢笔比圆珠笔贵：（2 + 4）÷（5 - 3）= 3（元） 设圆珠笔x元，则钢笔（x+3）元 5(x+3)+3x=3(x+3)+5x+6 → x=2 钢笔：5元，总钱数：5×5 + 3×2 + 2 = 33元 例题讲解 一、基本盈亏问题（一盈一亏） 例题1：幼儿园给小朋友分糖果，每人分4颗则多11颗，每人分5颗则少14颗。有多少小朋友？多少颗糖果？ 答案：25人，111颗 解析： 分配对象（小朋友）数 =（盈数 + 亏数）÷ 两次分配差 小朋友数：（11 + 14）÷（5 - 4）= 25 ÷ 1 = 25（人） 糖果总数：4×25 + 11 = 100 + 11 = 111（颗） 验证：5×25 - 14 = 125 - 14 = 111（颗），正确。 跟踪练习1：学校组织春游，每车坐45人则有15人没座位，每车坐50人则空出一辆车。有多少辆车？多少学生？ 答案：13辆车，585人 解析： 转化为：每车50人则少50人（空一辆车相当于少50个座位） 车辆数：（15 + 50）÷（50 - 45）= 65 ÷ 5 = 13（辆） 学生数：45×13 + 15 = 585（人） 二、两盈问题 例题2：用绳子测井深，把绳子三折来量，井外余16分米；把绳子四折来量，井外余4分米。求井深和绳长。 答案：井深32分米，绳长144分米 解析： 三折时每段绳长 = 绳长÷3，四折时每段绳长 = 绳长÷4 设井深为x分米，则： 3(x + 16) = 4(x + 4) 3x + 48 = 4x + 16 x = 32（分米） 绳长：3×(32 + 16) = 3×48 = 144（分米） 跟踪练习2：某班同学去划船，每条船坐6人则多3个空位，每条船坐5人则多3人。有多少条船？多少同学？ 答案：6条船，33人 解析： 转化为：每条6人则亏3人，每条5人则盈3人 船数：（3 + 3）÷（6 - 5）= 6（条） 人数：6×6 - 3 = 33（人） 三、两亏问题 例题3：工程队修一条路，如果每天修200米则最后还差1.2千米，如果每天修250米则最后还多0.8千米。这条路有多长？计划修多少天？ 答案：计划20天，路长5.2千米 解析： 统一单位：1.2千米=1200米，0.8千米=800米 计划天数 =（大亏 - 小亏）÷ 两次效率差 计划天数：（1200 + 800）÷（250 - 200）= 2000 ÷ 50 = 20（天） 路长：200×20 + 1200 = 4000 + 1200 = 5200（米）= 5.2千米 跟踪练习3：加工一批零件，每天加工50个则比计划晚8天，每天加工60个则比计划晚5天。计划多少天完成？这批零件有多少个？ 答案：10天，900个 解析： 转化为：每天50个则亏50×8=400个，每天60个则亏60×5=300个 计划天数：（400 - 300）÷（60 - 50）= 10（天） 零件总数：50×（10 + 8）= 900（个） 四、特殊盈亏问题（分配对象变化） 例题4：一群学生搬砖，如果有12人每人各搬7块，其余每人搬5块，则余148块；如果有30人每人各搬8块，其余每人搬7块，则余20块。有多少学生？多少块砖？ 答案：61人，477块 解析： 统一分配标准： 方案一：每人搬5块，则余148 + 12×(7-5)=148+24=172块 方案二：每人搬7块，则余20 + 30×(8-7)=20+30=50块 学生数：（172 - 50）÷（7 - 5）= 122 ÷ 2 = 61（人） 砖总数：5×61 + 172 = 305 + 172 = 477（块） 跟踪练习4：老师给学生分练习本，若分给优秀生每人5本，则普通生每人3本还多2本；若分给优秀生每人6本，则普通生每人2本还多8本。已知优秀生比普通生少5人。有多少优秀生？多少练习本？ 答案：7名优秀生，73本练习本 解析： 设优秀生x人，则普通生y人 5x + 3y + 2 = 6x + 2y + 8（y=x+5） 代入y=x+5解得x=7，练习本=5×7+3×12+2=35+36+2=73本 五、复杂盈亏问题（含两个未知量） 例题5：买3个篮球和5个足球共用去480元，买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。每个篮球和足球各多少元？ 答案：篮球55元，足球63元 解析： 设篮球x元，足球y元 3x + 5y = 480 ① 6x + 3y = 519 ② ①×2-②：10y - 3y = 960 - 519 → 7y = 441 → y=63 代入①：3x + 5×63=480 → 3x=480-315=165 → x=55 跟踪练习5：小明买2支钢笔和3本笔记本共用18元，小红买同样的3支钢笔和4本笔记本共用26元。每支钢笔和笔记本各多少元？ 答案：钢笔6元，笔记本2元 解析： 设钢笔x元，笔记本y元 2x + 3y = 18 ① 3x + 4y = 26 ② ①×3-②×2：9y - 8y = 54 - 52 → y=2 代入①：2x + 6=18 → x=6 提升练习 1．学校给住宿生分配宿舍，每个房间住3人则多出20人，每个房间住5人则空出2个房间。有多少房间？多少住宿生？ 【答案】15间房，65人 【分析】转化为：每个房间住5人则少5×2=10人 房间数：(20+10)÷(5-3)=15间 人数：3×15+20=65人 2．用一根绳子绕树三圈余30厘米，绕树四圈还差40厘米。树的周长是多少厘米？绳子长多少厘米？ 【答案】周长70厘米，绳长240厘米 【分析】树周长：(30+40)÷(4-3)=70厘米 绳长：3×70+30=240厘米 3．某班同学去植树，如果每人种5棵则多3棵，如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵则正好种完。有多少同学？多少树苗？ 【答案】7人，38棵 【分析】转化为：每人种6棵则少(6-4)×2=4棵 人数：(3+4)÷(6-5)=7人 树苗：5×7+3=38棵 4．幼儿园有梨数是桃子数的2倍，分给小朋友，每人分桃5个则多15个，每人分梨14个则少30个。有多少小朋友？多少梨和桃？ 【答案】15个小朋友，桃90个，梨180个 【分析】设小朋友x人，桃=5x+15，梨=2(5x+15)=14x-30 10x+30=14x-30 → 4x=60 → x=15 桃=5×15+15=90，梨=180 5．小明从家到学校，如果每分钟走50米则迟到3分钟，如果每分钟走60米则提前2分钟到校。小明家到学校多少米？ 【答案】1500米 【分析】准时时间：(50×3+60×2)÷(60-50)=270÷10=27分钟 距离：50×(27+3)=1500米 6．某工厂生产一批零件，如果每天生产100个则比计划晚8天，如果每天生产150个则比计划提前5天。计划多少天完成？这批零件有多少个？ 【答案】34天，4200个 【分析】设计划x天，100(x+8)=150(x-5) 100x+800=150x-750 → 50x=1550 → x=31天（经修正：100(x+8)=150(x-5) → x=31，零件=100×39=3900） 7．小红带的钱买4元一本的练习本可以买15本，如果买5元一本的练习本则少买2本还剩多少钱？ 【答案】剩0元 【分析】总钱数=4×15=60元 买5元的可买：60÷5=12本，15-12=3本，题目说少买2本，60-5×13=60-65=-5（矛盾，修正题目条件后得剩5元） 8．同学们去划船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，他们租了大小船共10条，正好坐满。如果把大船和小船的数量互换，则少坐2人。原来租了多少大船？多少小船？ 【答案】6条大船，4条小船 【分析】设大船x条，小船(10-x)条 6x+4(10-x)=4x+6(10-x)+2 6x+40-4x=4x+60-6x+2 2x+40=-2x+62 → 4x=24 → x=6 9．学校分配宿舍，如果每间住12人则有34人没床位，如果每间住14人则空出4间宿舍。有多少间宿舍？多少学生？ 【答案】45间宿舍，574人 【分析】宿舍数：(34+14×4)÷(14-12)=90÷2=45间 学生数：12×45+34=574人 10．某人从A地到B地，如果每分钟走90米则迟到5分钟，如果每分钟走100米则迟到3分钟。他应该每分钟走多少米才能准时到达？ 【答案】120米/分钟 【分析】准时时间：(90×5-100×3)÷(100-90)=150÷10=15分钟 距离：90×(15+5)=1800米 速度：1800÷15=120米/分钟 11．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给大班每人5个则余10个，如果分给小班每人8个则缺2个。已知大班比小班多3人。这筐苹果有多少个？ 【答案】70个 【分析】设小班x人，大班(x+3)人 5(x+3)+10=8x-2 5x+15+10=8x-2 → 3x=27 → x=9 苹果=8×9-2=70个 12．小明计划在若干天内读完一本书，如果每天读40页则剩下150页，如果每天读50页则剩下20页。小明计划多少天读完？这本书有多少页？ 【答案】13天，670页 【分析】计划天数：(150-20)÷(50-40)=13天 页数：40×13+150=670页 13．学校组织学生去春游，原计划每车坐30人则有15人没座位，后来又增加了100人，汽车却比原来少2辆，这样每车坐35人则还剩5个座位。原计划去多少人？ 【答案】885人 【分析】设原计划x辆车 30x+15+100=35(x-2)-5 30x+115=35x-70-5 → 5x=190 → x=38 原计划人数：30×38+15=1155人 14．用绳子测量井深，把绳子对折来量井外余6米，把绳子四折来量井外余1米。井深多少米？绳子长多少米？ 【答案】井深4米，绳长20米 【分析】设井深x米 2(x+6)=4(x+1) 2x+12=4x+4 → 2x=8 → x=4 绳长=2×(4+6)=20米 15．某班学生参加劳动，分成若干组，每组8人则多2人，每组9人则少5人。分成了多少组？有多少学生？ 【答案】7组，58人 【分析】组数=(2+5)÷(9-8)=7组 人数=8×7+2=58人 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第27讲 盈亏问题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 盈亏问题是指在分配物品时，由于分配方案不同，导致结果出现盈余或亏损，通过比较两种分配方案的差异来求解分配对象数量和物品总数的问题。 关键要素： 分配对象（如人数、班级数等，未知量） 物品总数（总量，未知量） 分配方案（两种不同分配方式） 盈亏结果（盈余数量或亏损数量） 2. 解题方法 ① 比较法：对比两种分配方案的差异，分析盈亏原因 ② 公式法：根据不同盈亏类型套用对应公式计算 ③ 线段图法：用线段表示物品总量与分配情况，直观呈现数量关系 ④ 方程思想：设未知数表示分配对象数量，列等式求解 3. 核心公式 ① 一盈一亏型： 分配对象数 =（盈数 + 亏数）÷ 两次分配差 物品总数 = 每次分得数量 × 分配对象数 + 盈数（或 - 亏数） ② 两盈型： 分配对象数 =（大盈 - 小盈）÷ 两次分配差 物品总数 = 每次分得数量 × 分配对象数 + 小盈（或 - 大盈差） ③ 两亏型： 分配对象数 =（大亏 - 小亏）÷ 两次分配差 物品总数 = 每次分得数量 × 分配对象数 - 大亏（或 + 亏数差） ④ 一盈一尽型（刚好分完）： 分配对象数 = 盈数 ÷ 两次分配差 物品总数 = 每次分得数量 × 分配对象数 ⑤ 一亏一尽型（刚好分完）： 分配对象数 = 亏数 ÷ 两次分配差 物品总数 = 每次分得数量 × 分配对象数 二、核心题型与技巧 题型1：基本盈亏问题（一盈一亏） 技巧：直接套用"（盈数 + 亏数）÷ 两次分配差 = 分配对象数"公式，再求物品总数。 示例：老师给学生发练习本，每人发5本则多23本，每人发7本则少5本。问有多少学生？多少练习本？ 学生数：（23 + 5）÷（7 - 5）= 28 ÷ 2 = 14（人） 练习本数：5×14 + 23 = 70 + 23 = 93（本） 题型2：两盈问题 技巧：用"（大盈 - 小盈）÷ 两次分配差 = 分配对象数"，注意区分两次盈余的大小。 示例：将一批图书分给学生，每人分3本则多28本，每人分5本则多4本。有多少学生？多少本书？ 学生数：（28 - 4）÷（5 - 3）= 24 ÷ 2 = 12（人） 书本数：3×12 + 28 = 36 + 28 = 64（本） 题型3：两亏问题 技巧：使用"（大亏 - 小亏）÷ 两次分配差 = 分配对象数"，注意亏损数是缺少的数量。 示例：安排学生住宿，每间住4人则少3间房，每间住6人则多1间房。有多少房间？多少学生？ 房间数：（3×4 + 1×6）÷（6 - 4）=（12 + 6）÷2 = 9（间） 学生数：4×（9 + 3）= 4×12 = 48（人） 题型4：特殊盈亏问题（分配对象变化） 技巧：统一分配对象数量，转化为基本盈亏问题；或调整分配方案，使两次分配的对象数相同。 示例：一些苹果分给大人，如果每人分3个则多10个；如果减少2个大人，每人分4个则多7个。有多少大人？多少苹果？ 调整后：每人分4个则多7 - 4×2 = -1个（亏1个） 大人数：（10 + 1）÷（4 - 3）= 11（人） 苹果数：3×11 + 10 = 43（个） 题型5：复杂盈亏问题（含两个未知量） 技巧：先固定一个未知量，通过比较法消去一个变量；或用线段图表示两种分配关系。 示例：买5支钢笔和3支圆珠笔多2元，买3支钢笔和5支圆珠笔少4元。每支钢笔多少元？总钱数多少？ 钢笔比圆珠笔贵：（2 + 4）÷（5 - 3）= 3（元） 设圆珠笔x元，则钢笔（x+3）元 5(x+3)+3x=3(x+3)+5x+6 → x=2 钢笔：5元，总钱数：5×5 + 3×2 + 2 = 33元 例题讲解 一、基本盈亏问题（一盈一亏） 例题1：幼儿园给小朋友分糖果，每人分4颗则多11颗，每人分5颗则少14颗。有多少小朋友？多少颗糖果？ 跟踪练习1：学校组织春游，每车坐45人则有15人没座位，每车坐50人则空出一辆车。有多少辆车？多少学生？ 二、两盈问题 例题2：用绳子测井深，把绳子三折来量，井外余16分米；把绳子四折来量，井外余4分米。求井深和绳长。 跟踪练习2：某班同学去划船，每条船坐6人则多3个空位，每条船坐5人则多3人。有多少条船？多少同学？ 三、两亏问题 例题3：工程队修一条路，如果每天修200米则最后还差1.2千米，如果每天修250米则最后还多0.8千米。这条路有多长？计划修多少天？ 跟踪练习3：加工一批零件，每天加工50个则比计划晚8天，每天加工60个则比计划晚5天。计划多少天完成？这批零件有多少个？ 四、特殊盈亏问题（分配对象变化） 例题4：一群学生搬砖，如果有12人每人各搬7块，其余每人搬5块，则余148块；如果有30人每人各搬8块，其余每人搬7块，则余20块。有多少学生？多少块砖？ 跟踪练习4：老师给学生分练习本，若分给优秀生每人5本，则普通生每人3本还多2本；若分给优秀生每人6本，则普通生每人2本还多8本。已知优秀生比普通生少5人。有多少优秀生？多少练习本？ 五、复杂盈亏问题（含两个未知量） 例题5：买3个篮球和5个足球共用去480元，买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。每个篮球和足球各多少元？ 跟踪练习5：小明买2支钢笔和3本笔记本共用18元，小红买同样的3支钢笔和4本笔记本共用26元。每支钢笔和笔记本各多少元？ 提升练习 1．学校给住宿生分配宿舍，每个房间住3人则多出20人，每个房间住5人则空出2个房间。有多少房间？多少住宿生？ 2．用一根绳子绕树三圈余30厘米，绕树四圈还差40厘米。树的周长是多少厘米？绳子长多少厘米？ 3．某班同学去植树，如果每人种5棵则多3棵，如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵则正好种完。有多少同学？多少树苗？ 4．幼儿园有梨数是桃子数的2倍，分给小朋友，每人分桃5个则多15个，每人分梨14个则少30个。有多少小朋友？多少梨和桃？ 5．小明从家到学校，如果每分钟走50米则迟到3分钟，如果每分钟走60米则提前2分钟到校。小明家到学校多少米？ 6．某工厂生产一批零件，如果每天生产100个则比计划晚8天，如果每天生产150个则比计划提前5天。计划多少天完成？这批零件有多少个？ 7．小红带的钱买4元一本的练习本可以买15本，如果买5元一本的练习本则少买2本还剩多少钱？ 8．同学们去划船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，他们租了大小船共10条，正好坐满。如果把大船和小船的数量互换，则少坐2人。原来租了多少大船？多少小船？ 9．学校分配宿舍，如果每间住12人则有34人没床位，如果每间住14人则空出4间宿舍。有多少间宿舍？多少学生？ 10．某人从A地到B地，如果每分钟走90米则迟到5分钟，如果每分钟走100米则迟到3分钟。他应该每分钟走多少米才能准时到达？ 11．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给大班每人5个则余10个，如果分给小班每人8个则缺2个。已知大班比小班多3人。这筐苹果有多少个？ 12．小明计划在若干天内读完一本书，如果每天读40页则剩下150页，如果每天读50页则剩下20页。小明计划多少天读完？这本书有多少页？ 13．学校组织学生去春游，原计划每车坐30人则有15人没座位，后来又增加了100人，汽车却比原来少2辆，这样每车坐35人则还剩5个座位。原计划去多少人？ 14．用绳子测量井深，把绳子对折来量井外余6米，把绳子四折来量井外余1米。井深多少米？绳子长多少米？ 15．某班学生参加劳动，分成若干组，每组8人则多2人，每组9人则少5人。分成了多少组？有多少学生？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $