第13讲 数数图形（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第13讲 数数图形 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 数数图形是指通过有序计数或分类计数的方法，数出给定图形中包含的基本图形（如线段、角、三角形、长方形等）的数量。关键在于掌握"不重复、不遗漏"的计数原则，常用方法包括：顺序计数法、分类计数法、公式法、标号法。 2.核心公式 ①线段计数公式：若一条线段上有n个端点（含两个端点），则线段总数为：n×(n-1)÷2 ②角的计数公式：若一个顶点处有n条射线（含两边），则角的总数为：n×(n-1)÷2 ③长方形计数公式：若长方形长边上有a条线段，宽边上有b条线段，则长方形总数为：a×b ④单层三角形计数公式（形如△ABC中，从顶点引出n条线段）：总数为n×(n+1)÷2 二、核心题型与技巧 题型1：数线段（基础直线型） 技巧：标记端点字母（A、B、C...），从左向右依次以每个点为起点，数出后续线段数量，再求和；或直接套用公式n×(n-1)÷2（n为端点数）。 例：线段上有4个端点（A、B、C、D），线段总数=3+2+1=6（条），或4×3÷2=6（条）。 题型2：数角（单顶点型） 技巧：标记射线序号（1、2、3...），从第一条射线开始，依次与后续射线组成角，求和；或套用公式n×(n-1)÷2（n为射线条数）。 例：顶点处有4条射线，角总数=3+2+1=6（个），或4×3÷2=6（个）。 题型3：数三角形（单层锐角/直角三角形） 技巧：基本型：将三角形底边线段数转化为线段计数问题，三角形总数=底边线段数。 分层型：先数出每层独立三角形数量，再数两层组合、三层组合等，逐层相加。 题型4：数长方形（不含正方形） 技巧：先分别计算长方形长边上的线段总数（a）和宽边上的线段总数（b），则长方形总数=a×b（包括单个和组合长方形）。 题型5：数正方形（网格型） 技巧：按边长分类计数： 边长为1的正方形：m×n（m、n为网格行数、列数） 边长为2的正方形：(m-1)×(n-1) ...以此类推，直到边长为k（k≤min(m,n)），总数=1×1+2×2+...+k×k（当m=n时）。 题型6：组合图形计数（含多种基本图形） 技巧：分解图形为基本图形组合，按"单个图形→2个组合→3个组合..."分层计数，或按区域标号分类（如上半部分、下半部分）。 三、常见错误提醒 1.重复计数：数组合图形时，将同一图形按不同分类标准重复计算（如将"由2个小三角形组成的大三角形"同时计入"上层"和"下层"）。 2.遗漏计数：忽略最小单位的组合图形（如数长方形时只数单个，漏数由2个或多个小长方形组成的大长方形）。 3.未按顺序计数：数线段时没有从左到右依次以每个端点为起点，导致混乱（如线段ABCD，漏数AC或BD）。 4.公式应用错误：数正方形时误用长方形公式（长方形含正方形，正方形需按边长分类）。 复杂图形未分解：遇到含重叠、嵌套的图形时，未先分解为独立区域再计数。 例题讲解 题型1：数线段（基础直线型） 例题1：数一数。下图中有( )条直线，( )条线段，( )条射线。 【答案】 1 3 6 【分析】直线没有端点，从而确定直线的条数，线段有2个端点，图中一共有3个点，单个线段有2条，两个线段构成的线段有1条，据此可得线段的条数；因为射线有1个端点，所以用图中点的个数乘2，即为射线的条数。 【详解】由分析可知，直线有1条。 线段： 2＋1＝3（条） 射线： 3×2＝6（条） 所以图中有1条直线，3条线段，6条射线。 跟踪练习1：在一条直线上有A、B、C三点，如下图，图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【答案】 1 6 3 【分析】直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度。据此解答。 【详解】由图可知，直线上有A、B、C三个点，根据直线的特征可知，图中有1条直线；根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线，所以一共有2×3＝6（条）射线；根据线段的特征可知，图中有线段AB、线段AC、线段BC，3条线段。 题型2：数角（单顶点型） 例题2：如图中有( )个角，其中直角有( )个。 【答案】 12 3 【分析】角由一个顶点和两条边组成；先数出基础的角的个数，再通过组合的方法数角的个数，最后把个数相加即可；90度的角是直角，三角尺中最大的角就是直角；由此解答即可。 【详解】如图所示： 单个角有9个； 由2个角组成的角有∠1＋∠2、∠2＋∠3共2个； 由3个角组成的角有∠1＋∠2＋∠3共1个； 9＋2＋1＝12（个） 直角有∠4、∠7、∠6共3个。 则图中有12个角，其中直角有3个。 跟踪练习2：左图中有( )个角。 【答案】8 【分析】从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，依此计算出角的个数即可。 【详解】1＋3＋1＋3＝8（个） 【点睛】熟练掌握角的特点是解答此题的关键。 题型3：数三角形（单层锐角/直角三角形） 例题3：下图中一共有( )个三角形，其中有( )个锐角三角形，有( )个直角三角形，有( )个钝角三角形。 【答案】 6 2 3 1 【分析】单独的小三角形有3个；由两个小三角形组成的三角形有2个；由三个小三角形组成的三角形有1个；把这些数量加起来即可得到总数；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】3＋2＋1＝6（个） 如图：①②是直角三角形，①＋②组成锐角三角形；②＋③组成直角三角形；①＋②＋③组成锐角三角形；③是钝角三角形。所以图中共有6个三角形，其中有2个锐角三角形，3个直角三角形，1个钝角三角形。 跟踪练习3：数一数。 个三角形       　 个三角形 【答案】 13 12 【分析】左数第一个图三角形的总个数＝9个小三角形＋四个小三角形合成的一个稍大的三角形×3个＋整个大的三角形；第二个图三角形的总个数＝3个小三角形＋两个小三角形合成的一个稍大的三角形×5个＋三个小三角形合成的一个稍大的三角形×1个＋四个小三角形合成的一个稍大的三角形×2个＋整个大的三角形。 【详解】9＋3＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 3＋5＋1＋2＋1 ＝8＋1＋2＋1 ＝9＋2＋1 ＝11＋1 ＝12（个） 题型4：数长方形（不含正方形） 例题4：数一数，下面图中一共有多少个长方形？（    ） A．4个 B．5个 C．6个 【答案】B 【分析】长方形是长长方方的，有4条直直的边，由此数出长方形的数量即可。 【详解】由分析得： 图中一共有5个长方形。 故答案为：B 跟踪练习4：数一数，下图中一共有多少个长方形？ 【答案】45个 【分析】长方形的长在AB、BC、CD、DE、EF这条边上，数长边上不同长度线段的数量。单独的小线段有5条（AB、BC、CD、DE、EF）；由两条小线段组成的线段有4条（AC、BD、CE、DF）；由三条小线段组成的线段有3条（AD、BE、CF）；由四条小线段组成的线段有2条（AE、BF ）；由五条小线段组成的线段有1条（AF）。所以长边上的线段总数是5＋4＋3＋2＋1。 长方形的宽在AH或GF 这条边上，数宽边上不同长度线段的数量。单独的小线段有2条；由两条小线段组成的线段有1条。所以宽边上的线段总数是2＋1。 因为长方形是由长和宽方向上的线段组合而成，每一条长边上的线段与每一条宽边上的线段都能组成一个长方形。根据乘法原理，长方形的总数就是长边上的线段总数乘宽边上的线段总数。 【详解】（5＋4＋3＋2＋1）×（2＋1） ＝（9＋3＋2＋1）×3 ＝（12＋2＋1）×3 ＝（14＋1）×3 ＝15×3 ＝45（个） 答：图中一共有45个长方形。 题型5：数正方形（网格型） 例题5：图中有（    ）个正方形。 A．3 B．7 C．6 【答案】B 【分析】正方形是方方正正的，有4条直直的边，由此数出数量即可。 【详解】由分析得： 图中有3个大正方形，有4个小正方形。 3＋4＝7（个） 一共有7个正方形。 故答案为：B 跟踪练习5：数一数，图中一共有( )个正方形。 【答案】30 【分析】观察图形可知，单个的正方形有16个，4个小正方形组成的大正方形有9个，9个小正方形组成的大正方形有4个，16个小正方形组成的大正方形有1个，最后相加求和，据此用列举法有序地求出正方形的总个数。 【详解】4个小正方形组成的大正方形： 9个小正方形组成的大正方形： 16个小正方形组成的大正方形： 16＋9＋4＋1 ＝（16＋4）＋（9＋1） ＝20＋10 ＝30（个） 所以，图中一共有30个正方形。 提升练习 1．下图中，可以数出（    ）条线段。 A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查线段的认识。线段图中相邻两点之间的线段为基础线段，其中基础线段有3条，由两条基础线段组成的线段有2条，由三条基础线段组成的线段有1条，把所有线段条数相加即为答案。 【详解】3＋2＋1＝6（条） 故答案为：C 2．下图中有( )条直线，有( )条射线，有( )条线段。 【答案】 1 6 3 【分析】直线没有端点，是可以无限延伸的；射线只有一个端点可以向一端无限延伸，所以图中每一个端点都可以看作是射线的一个端点，从一个端点向左向、右分别得到两条射线，图中共3个端点；线段有两个端点，任意两点之间的一段都可以看作是一条线段；据此解答。 【详解】图中有1条直线；2×3＝6（条），有6条射线；图中有线段AB、线段AC和线段BC，所以有3条线段。 3．下图是由( )条线段组成的；其中有( )个直角、( )个钝角。 【答案】 5 2 2 【分析】线段是一条直直的线，有限长，有两个端点，可以测量； 角有两条直直的边和一个公共端点，这两条直直的边叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点； 三角板上最大的角就是直角，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角。据此数出图中线段、直角、钝角的数量即可。 【详解】如下图： 是由5条线段组成的；其中有2个直角、2个钝角。 4．数一数图中一共有几条线段？   ( )条 【答案】10 【分析】 如图红色最短的小段有4条，黄色两小段长的有3条，绿色三小段长的有2条，灰色四小段长的有1条，总共是1＋2＋3＋4＝10（条），据此得出结论即可。 【详解】1＋2＋3＋4 ＝3＋3＋4 ＝6＋4 ＝10（条） 故10条。 5．下面的图形中共有多少条线段？ 【答案】10条 【分析】数线段时，可以分类有序思考。从A点出发，可以数出线段AB、AC、AD和AE，一共4条。从B点出发，可以数出线段BC、BD和BE，一共3条。从C点出发，可以数出线段CD和CE，一共2条。从D点出发，可以数出线段DE，只有1条。然后把它们全部加起来即可。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（条） 答：一共有10条线段。 6．下图中有( )条线段。 【答案】9 【分析】本题中的图形包含两部分，一部分是横着的线段，一部分是斜着的线段，不同方向的线段拼在一起不能组成新的线段，因此我们应该把两边分开计数，最后再相加。 【详解】横：3＋2＋1＝6（条） 斜：2＋1＝3（条） 共：6＋3＝9（条） 7．数一数下面图形中各有几个角。 【答案】6个；8个 【分析】在数角的个数时，先一个一个地数出单独角的个数，再数出由两个、三个、……组成的角的个数，最后再相加，即可求出角的总个数。 【详解】图1中，单独的角有3个，由两个角组成的角有2个，由三个角组成的角有1个，所以共有3＋2＋1＝6（个）； 图2中，单独的角有6个，由两个角组成的角有2个，所以共有6＋2＝8（个）。 8．看一看，量一量，下图中有几个平角、几个直角、几个钝角、几个锐角？ 【答案】1个平角；3个直角；2个钝角；4个锐角 【分析】分别依据直角、钝角、锐角和平角的意义：等于90度的角是直角；等于180度的角是平角；大于0度且小于90的度的角是锐角；大于90度且小于180度的角是钝角；借助量角器和三角板即可将图中的角进行分类，并数清每种角的个数。据此解答。 【详解】如下图： 通过测量，上图中， 锐角有：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE共4个； 直角有：∠AOC、∠BOD、∠COE共3个； 钝角有：∠AOD、∠BOE共2个； 平角有：∠AOE1个。 答：图中有1个平角、3个直角、2个钝角、4个锐角。 9．下面的图形中共有多少个角？ 【答案】14个 【分析】 图形如下图所示： 单个的角有：∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8、∠9总的9个角。两个角组成的大角有：∠1和∠2；∠2和∠3，∠5和∠6，∠7和∠8，总的有4个角；三个角组成的大角有：∠1、∠2和∠3，有1个角，总的角就是分别把它们相加即可。 【详解】9＋4＋1＝14（个） 答：图形中共有14个角。 10．数一数下图中各有几个角，并把直角标出来。 【答案】3；5；4； 图见详解 【分析】角有一个顶点和两条边，三角形有3个角，五边形有5个角，正方形有4个角；直角可用三角尺的直角比对判断，用三角尺的顶点对准所测角的顶点，所测角的两条边能与三角尺直角两条边重合的就是直角。 【详解】根据分析，第一个图形有3个角，第二个图形有5个角，第三个图形有4个角；直角标出如下： 11．下图中有( )条线段、( )个直角、( )个锐角、( )个钝角。 【答案】 5 2 5 1 【分析】 直线上任意两点之间的一段叫做线段。线段是直的，可以量出长度，一条线段有两个端点。这样的角是直角，锐角比直角小，钝角比直角大。据此解答。 【详解】根据分析，图中有5条线段、2个直角、5个锐角、1个钝角。 12．数一数，下图中一共有( )个角。 【答案】6 【分析】从图中可知，由1个角组成的角有3个，由2个角组成的角有2个，由3个角组成的角有1个，共有： 3＋2＋1＝6（个）。 【详解】3＋2＋1＝6（个） 数一数，下图中一共有6个角。 13．数一数，下图中共有( )个角。 【答案】10 【分析】由一个点引出两条直直的线所组成的图形是角。由此数出角的数量即可。 【详解】4＋3＋2＋1＝10 图中一共有10个角。 14．图中OA1，OA2，……，都是射线。你能计算出图中共有多少个角吗？ 【答案】190个 【分析】在看图中有多少个角时，首先需要明确“角”的定义。一个角是由两条射线（或线段）与其公共端点组成的图形。根据这个定义，我们可以按照一定的步骤来数图中的角。已知两条射线可以组成一个角，那么三条射线两两相交可以组成3个角，四条射线两两相交可以搭配组成6个角，五条射线两两相交可以搭配组成10个角，六条射线两两相交可以搭配组成15个角，根据搭配规则可以找到规律：条射线可以组成个角。 【详解】当时 （个） 答：图中共有190个角。 15．               有( )个长方形；有( )个正方形；有( )个三角形。 【答案】 3 5 6 【分析】从左往右，第一个图，基本的长方形有2个，由2个基本的长方形组成的长方形有1个，一共有3个； 第二个图，基本的正方形有4个，由4个基本的正方形组成的正方形有1个，一共有5个； 第三个图，基本的三角形有3个，由2个基本的三角形组成的三角形有2个，由3个基本的三角形组成的三角形有1个，一共有6个；据此解决。 【详解】由题意分析得： 有3个长方形；有5个正方形；有6个三角形。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第13讲 数数图形 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 数数图形是指通过有序计数或分类计数的方法，数出给定图形中包含的基本图形（如线段、角、三角形、长方形等）的数量。关键在于掌握"不重复、不遗漏"的计数原则，常用方法包括：顺序计数法、分类计数法、公式法、标号法。 2.核心公式 ①线段计数公式：若一条线段上有n个端点（含两个端点），则线段总数为：n×(n-1)÷2 ②角的计数公式：若一个顶点处有n条射线（含两边），则角的总数为：n×(n-1)÷2 ③长方形计数公式：若长方形长边上有a条线段，宽边上有b条线段，则长方形总数为：a×b ④单层三角形计数公式（形如△ABC中，从顶点引出n条线段）：总数为n×(n+1)÷2 二、核心题型与技巧 题型1：数线段（基础直线型） 技巧：标记端点字母（A、B、C...），从左向右依次以每个点为起点，数出后续线段数量，再求和；或直接套用公式n×(n-1)÷2（n为端点数）。 例：线段上有4个端点（A、B、C、D），线段总数=3+2+1=6（条），或4×3÷2=6（条）。 题型2：数角（单顶点型） 技巧：标记射线序号（1、2、3...），从第一条射线开始，依次与后续射线组成角，求和；或套用公式n×(n-1)÷2（n为射线条数）。 例：顶点处有4条射线，角总数=3+2+1=6（个），或4×3÷2=6（个）。 题型3：数三角形（单层锐角/直角三角形） 技巧：基本型：将三角形底边线段数转化为线段计数问题，三角形总数=底边线段数。 分层型：先数出每层独立三角形数量，再数两层组合、三层组合等，逐层相加。 题型4：数长方形（不含正方形） 技巧：先分别计算长方形长边上的线段总数（a）和宽边上的线段总数（b），则长方形总数=a×b（包括单个和组合长方形）。 题型5：数正方形（网格型） 技巧：按边长分类计数： 边长为1的正方形：m×n（m、n为网格行数、列数） 边长为2的正方形：(m-1)×(n-1) ...以此类推，直到边长为k（k≤min(m,n)），总数=1×1+2×2+...+k×k（当m=n时）。 题型6：组合图形计数（含多种基本图形） 技巧：分解图形为基本图形组合，按"单个图形→2个组合→3个组合..."分层计数，或按区域标号分类（如上半部分、下半部分）。 三、常见错误提醒 1.重复计数：数组合图形时，将同一图形按不同分类标准重复计算（如将"由2个小三角形组成的大三角形"同时计入"上层"和"下层"）。 2.遗漏计数：忽略最小单位的组合图形（如数长方形时只数单个，漏数由2个或多个小长方形组成的大长方形）。 3.未按顺序计数：数线段时没有从左到右依次以每个端点为起点，导致混乱（如线段ABCD，漏数AC或BD）。 4.公式应用错误：数正方形时误用长方形公式（长方形含正方形，正方形需按边长分类）。 复杂图形未分解：遇到含重叠、嵌套的图形时，未先分解为独立区域再计数。 例题讲解 题型1：数线段（基础直线型） 例题1：数一数。下图中有( )条直线，( )条线段，( )条射线。 跟踪练习1：在一条直线上有A、B、C三点，如下图，图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 题型2：数角（单顶点型） 例题2：如图中有( )个角，其中直角有( )个。 跟踪练习2：左图中有( )个角。 题型3：数三角形（单层锐角/直角三角形） 例题3：下图中一共有( )个三角形，其中有( )个锐角三角形，有( )个直角三角形，有( )个钝角三角形。 跟踪练习3：数一数。 个三角形    　 个三角形 题型4：数长方形（不含正方形） 例题4：数一数，下面图中一共有多少个长方形？（    ） A．4个 B．5个 C．6个 跟踪练习4：数一数，下图中一共有多少个长方形？ 题型5：数正方形（网格型） 例题5：图中有（    ）个正方形。 A．3 B．7 C．6 跟踪练习5：数一数，图中一共有( )个正方形。 提升练习 1．下图中，可以数出（    ）条线段。 A．1 B．4 C．6 D．7 2．下图中有( )条直线，有( )条射线，有( )条线段。 3．下图是由( )条线段组成的；其中有( )个直角、( )个钝角。 4．数一数图中一共有几条线段？   ( )条 5．下面的图形中共有多少条线段？ 6．下图中有( )条线段。 7．数一数下面图形中各有几个角。 8．看一看，量一量，下图中有几个平角、几个直角、几个钝角、几个锐角？ 9．下面的图形中共有多少个角？ 10．数一数下图中各有几个角，并把直角标出来。 11．下图中有( )条线段、( )个直角、( )个锐角、( )个钝角。 12．数一数，下图中一共有( )个角。 13．数一数，下图中共有( )个角。 14．图中OA1，OA2，……，都是射线。你能计算出图中共有多少个角吗？ 15．               有( )个长方形；有( )个正方形；有( )个三角形。 1 学科网（北京）股份有限公司 $