第09讲 和倍问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第09讲 和倍问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 和倍问题是指已知两个或多个数量的和以及它们之间的倍数关系，求各数量分别是多少的应用题。 关键量：总和（几个数量的总和）、倍数（一个数量是另一个数量的几倍）、一倍数（较小的数量，作为标准量）、几倍数（较大的数量，是一倍数的几倍）。 2.核心公式 ① 一倍数 = 总和 ÷（倍数 + 1） ② 几倍数 = 一倍数 × 倍数 ③ 总和 = 一倍数 ×（倍数 + 1） 二、核心题型与技巧 题型1：基础和倍问题（已知两数和与倍数关系） 技巧：先确定一倍数（较小数），用线段图表示数量关系，再套用公式“一倍数 = 和 ÷（倍数 + 1）”。 例：甲是乙的3倍，甲乙之和为40，乙是一倍数，总和对应（3+1）倍。 题型2：多量和倍问题（三个或以上数量的和倍关系） 技巧：以最小量为一倍数，用线段图表示各数量间的倍数关系，总和对应所有倍数加1的和。 例：甲是乙的2倍，丙是乙的3倍，三数之和为90，乙为一倍数，总和对应（1+2+3）倍。 题型3：含暗和的和倍问题（需先求总和） 技巧：先通过已知条件计算出实际总和，再按基础题型求解。 例：甲有5颗糖，乙给甲3颗后，甲是乙的2倍，此时总和为（原总和不变），需先求原总和或现总和。 题型4：和倍问题中的加减运算（倍数关系含增减） 技巧：先调整总和使倍数关系成立，再求一倍数。 例：甲比乙的2倍多3，甲乙和为24，先从总和中减去3，使甲正好是乙的2倍，再用（24-3）÷（2+1）求乙。 题型5：和倍与差倍综合问题（已知和与倍数差） 技巧：通过倍数关系转化为和倍问题，或联立方程求解。 例：甲是乙的3倍，甲比乙多10，且甲乙和为20，可先用差倍公式求两数，再验证和是否正确。 三、常见错误提醒 1.倍数关系混淆：误将“甲是乙的3倍”理解为“乙是甲的3倍”，导致线段图标错方向。 2.总和计算错误：忽略题目中隐含的总和变化，如“给来给去”问题中总和不变，直接使用变化后的数量求和。 3.忘记加“1”：公式中“倍数+1”漏加1，如“甲是乙的4倍”，总和对应（4+1）倍，误算为4倍。 4.多量问题中标准量选错：三个量时未以最小量为一倍数，导致倍数关系混乱。 5.复杂题型中未画线段图：遇到含加减的倍数关系时，未通过线段图直观表示，导致数量关系不清。 例题讲解 一、基础和倍问题 例题1：果园里有苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数是梨树的3倍，苹果树和梨树各有多少棵？ 答案：梨树30棵，苹果树90棵 解析：设梨树为1倍数，苹果树为3倍数，总和对应3+1=4倍数。 梨树：120÷（3+1）=30（棵），苹果树：30×3=90（棵）。 跟踪练习1：小红和妈妈的年龄和是45岁，妈妈年龄是小红的4倍，小红和妈妈各多少岁？ 答案：小红9岁，妈妈36岁 解析：总和45岁对应4+1=5倍数，小红：45÷5=9（岁），妈妈：9×4=36（岁）。 二、多量和倍问题 例题2：甲、乙、丙三个数的和是60，甲是乙的2倍，乙是丙的3倍，求这三个数。 答案：丙6，乙18，甲36 解析：以丙为1倍数，乙为3倍数，甲为2×3=6倍数，总和对应1+3+6=10倍数。 丙：60÷10=6，乙：6×3=18，甲：18×2=36。 跟踪练习2：学校图书馆有故事书、科技书和漫画书共180本，故事书是科技书的2倍，漫画书是科技书的3倍，三种书各有多少本？ 答案：科技书30本，故事书60本，漫画书90本 解析：科技书为1倍数，总和对应1+2+3=6倍数，科技书：180÷6=30（本）。 三、含暗和的和倍问题 例题3：两筐苹果共重48千克，从第一筐中取出6千克放入第二筐后，第二筐的重量是第一筐的3倍，原来两筐各重多少千克？ 答案：第一筐18千克，第二筐30千克 解析：现总和仍为48千克，现第一筐为1倍数，现第二筐为3倍数，总和对应4倍数。 现第一筐：48÷4=12（千克），原第一筐：12+6=18（千克），原第二筐：48-18=30（千克）。 跟踪练习3：甲、乙两个仓库共有货物72吨，甲仓库运出8吨后，乙仓库的货物是甲仓库的3倍，原来甲、乙仓库各有多少吨？ 答案：24吨，乙48吨 解析：设现甲为x，则乙为2x，则x+3x=64→x=16，甲24吨，乙48吨。 四、含加减运算的和倍问题 例题4：学校买来足球和篮球共45个，足球的个数比篮球的2倍多3个，足球和篮球各有多少个？ 答案：篮球14个，足球31个 解析：从总和中减去3个，使足球正好是篮球的2倍，此时总和=45-3=42（个），篮球=42÷（2+1）=14（个），足球=14×2+3=31（个）。 跟踪练习4：果园里桃树和杏树共38棵，桃树比杏树的3倍少2棵，桃树和杏树各有多少棵？ 答案：杏树10棵，桃树28棵 解析：总和加2棵使桃树是杏树的3倍，总和=38+2=40（棵），杏树=40÷（3+1）=10（棵），桃树=10×3-2=28（棵）。 五、和倍与差倍综合问题 例题5：甲、乙两数的和是56，甲比乙大28，且甲是乙的3倍，求甲、乙两数。（用和倍验证） 答案：甲42，乙14 跟踪练习5：两数之和为80，大数是小数的4倍，且大数比小数多48，求两数。 答案：小数16，大数64 解析：和倍法：小数=80÷（4+1）=16，大数=64，差=64-16=48，符合条件。 提升练习 1．玩具厂生产红、黄、白三种小汽车共400辆，红汽车是黄汽车的4倍，白汽车比黄汽车多40辆，三种小汽车各多少辆？ 【答案】红汽车有240辆；白汽车有100辆；黄汽车有60辆 【分析】红汽车是黄汽车的4倍，白汽车比黄汽车多40辆，因此可以将黄汽车的数量看成1份，则红汽车的数量为4份，白汽车的数量为1份多40辆。再结合玩具厂生产红、黄、白三种小汽车共400辆，因此用400辆减去40辆，再除以（4＋1＋1）份，即可求出黄汽车的数量，由此即可解决。 【详解】黄汽车：（400－40）÷（4＋1＋1） ＝360÷6 ＝60（辆） 红汽车：60×4＝240（辆） 白汽车：60＋40＝100（辆） 答：红汽车有240辆，白汽车有100辆，黄汽车有60辆。 2．欢欢一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，问欢乐家每人的年龄各是多少岁？ 【答案】欢欢12岁；妈妈36岁；爸爸38岁 【分析】一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，因此可以把欢欢的年龄看成1份，则妈妈的年龄为3份，爸爸的年龄为3份多2岁。因此可以用86岁先减去2岁，再除以总的份数即可求出欢欢的年龄，继而求出爸爸妈妈各自的年龄。 【详解】欢欢：（86－2）÷（1＋3＋3） ＝84÷7 ＝12（岁） 妈妈：12×3＝36（岁） 爸爸：36＋2＝38（岁） 答：欢欢12岁，妈妈36岁，爸爸38岁。 3．李大伯家的猪场里有母猪和小猪共84头，其中小猪的头数是母猪的3倍．母猪和小猪各有多少头？ 【答案】母猪有21头，小猪有63头 【分析】因为小猪的头数是母猪的3倍，所以母猪和小猪共84头，是母猪的4倍，用除法即可得母猪的头数，再求小猪的头数即可． 【详解】母猪：84÷（3+1） =84÷4 =21（头） 小猪：21×3=63（头） 答：母猪有21头，小猪有63头． 4．一部手机和一部电话共2240元，手机的单价是电话机的7倍，手机和电话机的单价各是多少元？ 【答案】手机:1960元  电话机:280元 【分析】根据题意，可得一部手机和一部电话共2240元，手机的单价是电话机的7倍，由和倍公式进一步解答． 【详解】电话机：2240÷（7+1）=280（元） 手机：280×7=1960（元） 答：手机和电话机的单价各是1960元、280元． 5．小明、小红、小玲共有73块糖．如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍．问小红有多少块糖? 【答案】19块 【详解】小玲比小红多3块糖，小明糖数再增加2就等于小红糖数减少2后2倍，所以小明的糖数是小红的2倍少6颗， 有小红+小玲+小明＝小红+(小红+3)+ (2小红－6)＝4小红－3＝73． 所以小红有糖(73+3)÷4＝19块． 6．甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加2，乙做的个数减3，丙做的个数乘2，丁做的个数除以2，四个人做的零件个数正好相等，问四个人各做多少个零件？ 【答案】甲做80个,乙做85个,丙做41个,丁做164个 【分析】 上图可以看出丙做得最少,由于丙做的个数乘2和丁做的个数除以2相等，也就是丙做的2倍和丁的一半相等，即丁做的个数是丙的4倍．甲加上2后是丙的2倍，乙减去3后是丙的2倍，根据这样的倍数关系可以先求出丙做的个数，再分别求出甲、乙、丁做的个数． 【详解】370+2-3=369(个) 2+2+1+4=9 369÷9=41(个) 41×2-2=80(个) 41×2+3=85(个) 41×4=164(个) 答:甲做80个,乙做85个,丙做41个,丁做164个． 7．少先队一、二、三中队共植树200棵,二中队植树的棵数是一中队的2倍多5棵,三中队植树的棵数比一、二中队之和多4棵,三个中队各植树多少棵？ 【答案】一中队31棵,二中队67棵,三中队102棵 【分析】二中队比一中队的2倍多5棵,如果减去5就正好是一中队的2倍,三中队比一、二中队的和多4棵,如减去4就是一、二中队的和,因为二中队比一中队的2倍多5棵,所以还要减去一个5才符合倍数关系．这样,总数就变为200-5-4-5=186(棵),相当于一中队的1+2+1+2=6(倍),这样就可以求出一中队植树的棵数,相应也就可以求出二、三中队植树的棵树了． 【详解】200-5-4-5=186(棵) 1+2+1+2=6 186÷6=31(棵) 31×2+5=67(棵) 31+67+4=102(棵) 答:一中队植树31棵,二中队植树67棵,三中队植树102棵． 8．小航的爸爸比妈妈大4岁，今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和是小航的6倍，那么小航的妈妈今年多少岁？ 【答案】40岁 【详解】今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和刚好是小航的6倍，则小航今年的年龄与父母增加的年龄的和刚好是小航增加年龄的6倍．即“小航今年的年龄”，小航今年的年龄：（岁）．小航父母今年的年龄和：（岁）．小航的爸爸比妈妈大4岁，所以小航的妈妈今年的年龄：（岁）． 9．甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件,如果把甲做的个数加2,乙做的个数减3,丙做的个数乘2,丁做的个数除以2,四个人做的零件个数正好相等,问四个人各做多少个零件? 【答案】80 85 41 164 【详解】 上图可以看出丙做得最少,由于丙做的个数乘2和丁做的个数除以2相等,也就是丙做的2倍和丁的一半相等,即丁做的个数是丙的4倍.甲加上2后是丙的2倍,乙减去3后是丙的2倍,根据这样的倍数关系可以先求出丙做的个数,再分别求出甲、乙、丁做的个数. 370+2-3=369(个) 2+2+1+4=9 369÷9=41(个) 41×2-2=80(个) 41×2+3=85(个) 41×4=164(个) 答:甲做80个,乙做85个,丙做41个,丁做164个. 10．大阅兵中，共有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，各型飞机160余架、装备580台（套），是近几次阅兵中规模最大的一次。其中59个方（梯）队分为徒步方队、装备方队和空中梯队，已知徒步方队的数量比空中梯队的数量多3个，装备方队的数量是徒步方队的2倍多2个。三种方（梯）队各有多少个？ 【答案】 徒步方队有15个， 装备方队有32个，空中梯队有12个 【分析】本题属于三个量的和倍问题，可以通过画线段图来帮助分析。换线段图时，可以先画徒步方队，再画装备方队，最后画空中梯队。根据线段图即可列式解决。 【详解】线段图如下： 徒步方队：（59＋3－2）÷（1＋1＋2） ＝60÷4 ＝15（个） 装备方队：15×2＋2＝32（个） 空中梯队：15－3＝12（个） 答：徒步方队有15个， 装备方队有32个，空中梯队有12个。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第09讲 和倍问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 和倍问题是指已知两个或多个数量的和以及它们之间的倍数关系，求各数量分别是多少的应用题。 关键量：总和（几个数量的总和）、倍数（一个数量是另一个数量的几倍）、一倍数（较小的数量，作为标准量）、几倍数（较大的数量，是一倍数的几倍）。 2.核心公式 ① 一倍数 = 总和 ÷（倍数 + 1） ② 几倍数 = 一倍数 × 倍数 ③ 总和 = 一倍数 ×（倍数 + 1） 二、核心题型与技巧 题型1：基础和倍问题（已知两数和与倍数关系） 技巧：先确定一倍数（较小数），用线段图表示数量关系，再套用公式“一倍数 = 和 ÷（倍数 + 1）”。 例：甲是乙的3倍，甲乙之和为40，乙是一倍数，总和对应（3+1）倍。 题型2：多量和倍问题（三个或以上数量的和倍关系） 技巧：以最小量为一倍数，用线段图表示各数量间的倍数关系，总和对应所有倍数加1的和。 例：甲是乙的2倍，丙是乙的3倍，三数之和为90，乙为一倍数，总和对应（1+2+3）倍。 题型3：含暗和的和倍问题（需先求总和） 技巧：先通过已知条件计算出实际总和，再按基础题型求解。 例：甲有5颗糖，乙给甲3颗后，甲是乙的2倍，此时总和为（原总和不变），需先求原总和或现总和。 题型4：和倍问题中的加减运算（倍数关系含增减） 技巧：先调整总和使倍数关系成立，再求一倍数。 例：甲比乙的2倍多3，甲乙和为24，先从总和中减去3，使甲正好是乙的2倍，再用（24-3）÷（2+1）求乙。 题型5：和倍与差倍综合问题（已知和与倍数差） 技巧：通过倍数关系转化为和倍问题，或联立方程求解。 例：甲是乙的3倍，甲比乙多10，且甲乙和为20，可先用差倍公式求两数，再验证和是否正确。 三、常见错误提醒 1.倍数关系混淆：误将“甲是乙的3倍”理解为“乙是甲的3倍”，导致线段图标错方向。 2.总和计算错误：忽略题目中隐含的总和变化，如“给来给去”问题中总和不变，直接使用变化后的数量求和。 3.忘记加“1”：公式中“倍数+1”漏加1，如“甲是乙的4倍”，总和对应（4+1）倍，误算为4倍。 4.多量问题中标准量选错：三个量时未以最小量为一倍数，导致倍数关系混乱。 5.复杂题型中未画线段图：遇到含加减的倍数关系时，未通过线段图直观表示，导致数量关系不清。 例题讲解 一、基础和倍问题 例题1：果园里有苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数是梨树的3倍，苹果树和梨树各有多少棵？ 跟踪练习1：小红和妈妈的年龄和是45岁，妈妈年龄是小红的4倍，小红和妈妈各多少岁？ 二、多量和倍问题 例题2：甲、乙、丙三个数的和是60，甲是乙的2倍，乙是丙的3倍，求这三个数。 跟踪练习2：学校图书馆有故事书、科技书和漫画书共180本，故事书是科技书的2倍，漫画书是科技书的3倍，三种书各有多少本？ 三、含暗和的和倍问题 例题3：两筐苹果共重48千克，从第一筐中取出6千克放入第二筐后，第二筐的重量是第一筐的3倍，原来两筐各重多少千克？ 跟踪练习3：甲、乙两个仓库共有货物72吨，甲仓库运出8吨后，乙仓库的货物是甲仓库的3倍，原来甲、乙仓库各有多少吨？ 四、含加减运算的和倍问题 例题4：学校买来足球和篮球共45个，足球的个数比篮球的2倍多3个，足球和篮球各有多少个？ 跟踪练习4：果园里桃树和杏树共38棵，桃树比杏树的3倍少2棵，桃树和杏树各有多少棵？ 五、和倍与差倍综合问题 例题5：甲、乙两数的和是56，甲比乙大28，且甲是乙的3倍，求甲、乙两数。（用和倍验证） 跟踪练习5：两数之和为80，大数是小数的4倍，且大数比小数多48，求两数。 提升练习 1．玩具厂生产红、黄、白三种小汽车共400辆，红汽车是黄汽车的4倍，白汽车比黄汽车多40辆，三种小汽车各多少辆？ 2．欢欢一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，问欢乐家每人的年龄各是多少岁？ 3．李大伯家的猪场里有母猪和小猪共84头，其中小猪的头数是母猪的3倍．母猪和小猪各有多少头？ 4．一部手机和一部电话共2240元，手机的单价是电话机的7倍，手机和电话机的单价各是多少元？ 5．小明、小红、小玲共有73块糖．如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍．问小红有多少块糖? 6．甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加2，乙做的个数减3，丙做的个数乘2，丁做的个数除以2，四个人做的零件个数正好相等，问四个人各做多少个零件？ 7．少先队一、二、三中队共植树200棵,二中队植树的棵数是一中队的2倍多5棵,三中队植树的棵数比一、二中队之和多4棵,三个中队各植树多少棵？ 8．小航的爸爸比妈妈大4岁，今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和是小航的6倍，那么小航的妈妈今年多少岁？ 9．甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件,如果把甲做的个数加2,乙做的个数减3,丙做的个数乘2,丁做的个数除以2,四个人做的零件个数正好相等,问四个人各做多少个零件? 10.大阅兵中，共有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，各型飞机160余架、装备580台（套），是近几次阅兵中规模最大的一次。其中59个方（梯）队分为徒步方队、装备方队和空中梯队，已知徒步方队的数量比空中梯队的数量多3个，装备方队的数量是徒步方队的2倍多2个。三种方（梯）队各有多少个？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $