第20讲 周期问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第20讲 周期问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征循环重复出现的现象 周期：连续两次出现相同特征所经过的次数或长度 关键要素：周期长度（每组中事物的个数）、总数量（事物的总个数）、余数（总数量除以周期长度的剩余部分） 2. 核心公式 ① 总量关系公式：总数 = 周期长度 × 组数 + 余数 ② 位置确定公式： 若余数 > 0：第n个事物对应周期中的第"余数"个事物 若余数 = 0：第n个事物对应周期中的最后一个事物 ③ 周期个数公式：组数 = 总数 ÷ 周期长度（商） ④ 余数计算：余数 = 总数 % 周期长度（取余运算） 二、核心题型与技巧 题型1：图形周期问题（根据图形排列规律判断指定位置图形） 技巧：先找出图形排列的周期（循环出现的一组图形），确定周期长度，再用"总数÷周期长度"计算余数，根据余数判断指定位置的图形。 题型2：数字周期问题（数字串或数列中的周期规律） 技巧：分析数字排列规律，确定周期长度，通过除法计算余数，根据余数确定指定位置的数字。注意区分"数字本身"和"数字的位置"两种周期类型。 题型3：日期周期问题（计算星期几、月份日期等） 技巧：以7天为周期（星期周期），计算总天数，用"总天数÷7"求余数，根据余数推算星期几。注意：跨月计算时要考虑各月天数差异（大月31天，小月30天，二月平年28天、闰年29天）。 题型4：报数周期问题（按规律报数确定指定位置的人或数） 技巧：确定报数周期（每人报数个数或每轮报数人数），计算总次数与周期的关系，通过余数确定指定位置的报数人或报数值。 题型5：运算周期问题（根据周期性运算规律求结果） 技巧：先计算前几次运算结果，找出结果的循环周期，再用"总次数÷周期长度"求余数，根据余数确定最终结果。 三、常见错误提醒 1.周期起点判断错误：将第一个事物前的部分误认为周期起点，如"△○□△○□..."中周期起点是"△"而非第一个图形前的空白处。 2.周期长度计算错误：漏算或多算周期中的事物数量，如"ABCABCAB"中周期长度是3而非8。 3.余数处理错误：当余数为0时，错误地认为对应周期中第0个事物，正确应为周期中最后一个事物。 4.跨周期计算错误：日期计算中忽略大月、小月、闰年等特殊情况，导致总天数计算错误。 5.复合周期混淆：对于有多重周期的问题（如同时存在图形周期和颜色周期），没有分别分析各周期规律。 例题讲解 一、图形周期问题 例题1：一串图形按"△○□△○□△○□..."的规律排列，请问第25个图形是什么？前30个图形中共有多少个"△"？ 跟踪练习1：一串珠子按"2红3蓝1黑"的顺序排列，第48颗珠子是什么颜色？前50颗珠子中蓝色珠子有多少颗？ 二、数字周期问题 例题2：有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7...第58个数是多少？前58个数的和是多少？ 跟踪练习2：有一列数：2，3，1，2，3，1，2，3，1...第200个数是多少？前200个数的和是多少？ 三、日期周期问题 例题3：2023年10月1日是星期日，请问2023年12月25日是星期几？ 跟踪练习3：2024年1月1日是星期一，请问2024年3月8日是星期几？（2024年是闰年） 四、报数周期问题 例题4：30名同学站成一排，按"1，2，3，1，2，3..."的顺序依次报数，最后一名同学报几？报"1"的同学共有多少人？ 跟踪练习4：15名同学围成一圈，从1号同学开始按"1，2，3，4，1，2，3，4..."的顺序报数，请问第38次数是谁报的？ 五、运算周期问题 例题5：根据规律"1，1，2，3，5，8，13，21..."（斐波那契数列），请问第20个数是奇数还是偶数？前20个数中共有多少个偶数？ 跟踪练习5：规定运算规则：a※b=(a+b)×(a-b)，求2※3※3※3...※3（共10次运算）的结果。 提升练习 1．有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？ 2．课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？ 3．甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？ 4．如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？ 5．如下图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？ 6．桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？ 7．有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？ 8．奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？ 9．同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？ 10．小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？ 11．有、、三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停秒钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，分钟后第二次同时开始鸣叫，此时蜂鸣器已是第次鸣叫了．问：最初同时开始鸣叫后的多少秒与第一次同时结束鸣叫？ 12．紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，，在9后面写2，，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？ 13．实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？ 14．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？ 15．正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米．甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如下图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）．操场四周栽了多少棵树？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第20讲 周期问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征循环重复出现的现象 周期：连续两次出现相同特征所经过的次数或长度 关键要素：周期长度（每组中事物的个数）、总数量（事物的总个数）、余数（总数量除以周期长度的剩余部分） 2. 核心公式 ① 总量关系公式：总数 = 周期长度 × 组数 + 余数 ② 位置确定公式： 若余数 > 0：第n个事物对应周期中的第"余数"个事物 若余数 = 0：第n个事物对应周期中的最后一个事物 ③ 周期个数公式：组数 = 总数 ÷ 周期长度（商） ④ 余数计算：余数 = 总数 % 周期长度（取余运算） 二、核心题型与技巧 题型1：图形周期问题（根据图形排列规律判断指定位置图形） 技巧：先找出图形排列的周期（循环出现的一组图形），确定周期长度，再用"总数÷周期长度"计算余数，根据余数判断指定位置的图形。 题型2：数字周期问题（数字串或数列中的周期规律） 技巧：分析数字排列规律，确定周期长度，通过除法计算余数，根据余数确定指定位置的数字。注意区分"数字本身"和"数字的位置"两种周期类型。 题型3：日期周期问题（计算星期几、月份日期等） 技巧：以7天为周期（星期周期），计算总天数，用"总天数÷7"求余数，根据余数推算星期几。注意：跨月计算时要考虑各月天数差异（大月31天，小月30天，二月平年28天、闰年29天）。 题型4：报数周期问题（按规律报数确定指定位置的人或数） 技巧：确定报数周期（每人报数个数或每轮报数人数），计算总次数与周期的关系，通过余数确定指定位置的报数人或报数值。 题型5：运算周期问题（根据周期性运算规律求结果） 技巧：先计算前几次运算结果，找出结果的循环周期，再用"总次数÷周期长度"求余数，根据余数确定最终结果。 三、常见错误提醒 1.周期起点判断错误：将第一个事物前的部分误认为周期起点，如"△○□△○□..."中周期起点是"△"而非第一个图形前的空白处。 2.周期长度计算错误：漏算或多算周期中的事物数量，如"ABCABCAB"中周期长度是3而非8。 3.余数处理错误：当余数为0时，错误地认为对应周期中第0个事物，正确应为周期中最后一个事物。 4.跨周期计算错误：日期计算中忽略大月、小月、闰年等特殊情况，导致总天数计算错误。 5.复合周期混淆：对于有多重周期的问题（如同时存在图形周期和颜色周期），没有分别分析各周期规律。 例题讲解 一、图形周期问题 例题1：一串图形按"△○□△○□△○□..."的规律排列，请问第25个图形是什么？前30个图形中共有多少个"△"？ 答案：第25个图形是"△"；前30个图形中共有10个"△" 解析：观察可知图形以"△○□"为一个周期，周期长度为3。 ① 25 ÷ 3 = 8（组）……1（个），余数为1，对应周期中第1个图形"△"； ② 30 ÷ 3 = 10（组），正好10个完整周期，每个周期有1个"△"，共10×1=10（个）。 跟踪练习1：一串珠子按"2红3蓝1黑"的顺序排列，第48颗珠子是什么颜色？前50颗珠子中蓝色珠子有多少颗？ 答案：第48颗是黑色；前50颗中蓝色珠子有24颗 解析：周期为"2红3蓝1黑"，周期长度=2+3+1=6（颗）。 ① 48 ÷ 6 = 8（组），余数为0，对应周期中最后一个颜色"黑"； ② 50 ÷ 6 = 8（组）……2（颗），8个完整周期有8×3=24（颗）蓝珠子，余下2颗为红色，故共有24颗蓝珠子。 二、数字周期问题 例题2：有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7...第58个数是多少？前58个数的和是多少？ 答案：第58个数是8；前58个数的和是258 解析：数列以"1，4，2，8，5，7"为周期，周期长度=6。 ① 58 ÷ 6 = 9（组）……4（个），余数为4，对应周期中第4个数"8"； ② 每个周期的和=1+4+2+8+5+7=27，前9个周期的和=27×9=243，余下4个数的和=1+4+2+8=15，总和=243+15=258。 跟踪练习2：有一列数：2，3，1，2，3，1，2，3，1...第200个数是多少？前200个数的和是多少？ 答案：第200个数是2；前200个数的和是400 解析：数列以"2，3，1"为周期，周期长度=3。 ① 200 ÷ 3 = 66（组）……2（个），余数为2，对应周期中第2个数"3"； ② 每个周期的和=2+3+1=6，前66个周期的和=6×66=396，余下2个数的和=2+3=5，总和=396+5=401。 三、日期周期问题 例题3：2023年10月1日是星期日，请问2023年12月25日是星期几？ 答案：星期一 解析：① 计算总天数：10月有31天，10月1日到10月31日有31-1=30天；11月有30天；12月1日到12月25日有25天。总天数=30+30+25=85（天）。 ② 周期分析：每周7天为一个周期，周期起点为星期日（对应第1天）。 ③ 85 ÷ 7 = 12（周）……1（天），余数为1，对应周期中第1天，即星期日。 跟踪练习3：2024年1月1日是星期一，请问2024年3月8日是星期几？（2024年是闰年） 答案：星期四 解析：① 计算总天数：1月有31天，1月1日到1月31日有31-1=30天；2024年是闰年，2月有29天；3月1日到3月8日有8天。总天数=30+29+8=67（天）。 ② 67 ÷ 7 = 9（周）……4（天），周期起点为星期一（第1天），余数4对应周期中第4天，即星期四。 四、报数周期问题 例题4：30名同学站成一排，按"1，2，3，1，2，3..."的顺序依次报数，最后一名同学报几？报"1"的同学共有多少人？ 答案：最后一名同学报"3"；报"1"的同学共有10人 解析：报数周期为"1，2，3"，周期长度=3。 ① 30 ÷ 3 = 10（组），余数为0，对应周期中最后一个数"3"； ② 每个周期有1人报"1"，10个周期共有10×1=10（人）。 跟踪练习4：15名同学围成一圈，从1号同学开始按"1，2，3，4，1，2，3，4..."的顺序报数，请问第38次数是谁报的？ 答案：第38次数是14号同学报的 解析：报数周期为"1，2，3，4"，周期长度=4；人数周期为15人一圈。 ① 先确定第38次数对应的数字：38 ÷ 4 = 9（组）……2（个），对应数字"2"； ② 确定报数的同学：38 ÷ 15 = 2（圈）……8（人），从1号开始第8人是8号同学。 五、运算周期问题 例题5：根据规律"1，1，2，3，5，8，13，21..."（斐波那契数列），请问第20个数是奇数还是偶数？前20个数中共有多少个偶数？ 答案：第20个数是奇数；前20个数中共有6个偶数 解析：观察数列奇偶性规律：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶...，周期为"奇，奇，偶"，周期长度=3。 ① 20 ÷ 3 = 6（组）……2（个），余数为2，对应周期中第2个，是奇数； ② 每个周期有1个偶数，6个周期有6个偶数，余下2个数都是奇数，故共有6个偶数。 跟踪练习5：规定运算规则：a※b=(a+b)×(a-b)，求2※3※3※3...※3（共10次运算）的结果。 答案：-8 提升练习 1．有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？ 【答案】余数是1，商的末位数字是5 【详解】余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5），因为…1，所以这个数除以6后余数是1；因为，所以这个数除以6后商的末位数字是5． 2．课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？ 【答案】“34”是乙报的，“71”是丙报的 【详解】根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了34次．因为是4个人在报数，所以报4次就要重复一遍，也就是说是以4为一个周期重复的．34里面有8个周期还余2次，所以“34”应是重复8遍以后第二个人报的，即乙报的．…3，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的． 3．甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？ 【答案】75厘米 【详解】在前30厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘米内的是：4，2，因此60厘米一个周期：（1+3+5+4+2）×300/60=75厘米 . 4．如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？ 【答案】15号 【详解】这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他走到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…10，因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子. 5．如下图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？ 【答案】4天 【详解】根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156（个）位置．156÷8=19……4，就是说，每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置. 要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置. 8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回到原来“1”号位置. 6．桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？ 【答案】一角  五角 【详解】…1 …2 所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的． 7．有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？ 【答案】黄色  绿花最多  红花最少  67朵 【分析】这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有（朵）花．因为……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少． 【详解】解法一：……6 红花有：（朵） 绿花有：（朵） 红花比绿花少：（朵） 解法二：……6 一个周期少的：（朵） （朵） 余下的6朵中还有5朵红花，所以（朵）. 8．奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？ 【答案】欢 【详解】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为…3，所以28个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢”字． 9．同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？ 【答案】第8个 【详解】第一次1～2报数，报2的是第2，4，6，8，10，12这几个同学，这些同学再1～2报数，报2的是第4，8，12这三名同学，最后这三名同学再1～2报数，就只剩下第8个同学是报2，所以最先玩的这个同学是这列中的第8个． 10．小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？ 【答案】星期四 【详解】21天内，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期．…2，所以方方第100次取奶是星期四． 11．有、、三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停秒钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，分钟后第二次同时开始鸣叫，此时蜂鸣器已是第次鸣叫了．问：最初同时开始鸣叫后的多少秒与第一次同时结束鸣叫？ 【答案】383秒 【详解】14分钟即秒，根据题意可知在840秒内蜂鸣器已经鸣叫了42次，也停了42次，那么蜂鸣器每一次鸣叫加停止的时间为秒，所以蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为：秒，那么蜂鸣器每次鸣叫持续秒，蜂鸣器每次鸣叫持续秒， 则、两个蜂鸣器每次鸣叫加停止的时间分别为秒和秒， 由于，所以经过391秒之后与要第二次同时开始鸣叫，由于在此时与都停止鸣叫了8秒，所以与第一次同时结束鸣叫是在最初开始鸣叫之后的第秒． 12．紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，，在9后面写2，，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？ 【答案】6   11995 【分析】根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……除了开始的“1989”四个数字外，其余按“286884”周期出现，周期数为6个． 【详解】因为，所以，第l999个数字是6． 这1999个数字的和是： 13．实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？ 【答案】2 【详解】昨晚8点至今早8点，共经历(分钟)，，说明从今早8点整起，7分钟，7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好跳到“0”位，指针共跳了102次． 由于每次跳9格，所以共跳了(格)．每20格一圈，，因此从“0”位开始，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨晚8点时指针所指处：，因此昨晚8点整时指针正指着2． 14．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？ 【答案】白灯 【详解】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯． 15．正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米．甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如下图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）．操场四周栽了多少棵树？ 【答案】24棵 【分析】封闭型植树问题,时间一定，路程比等于速度比 【详解】甲走了两个边长加上4个间距，乙走了两个边长减去4个间距，所以甲比乙多走了8个间距，而甲的速度是乙的2倍，所以走的路程也是乙的两倍，所以乙走了8个间距，所以一圈一共有8+8×2=24个间距，所以操场一圈一共有24个间距．操场四周一共栽了24棵树． 1 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