第18讲 重叠问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第18讲 重叠问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 重叠问题是研究两个或多个集合之间公共部分的数量关系问题，也称为包含与排除问题。 关键量： 单个集合数量（如集合A的数量、集合B的数量） 重叠部分数量（两个或多个集合的公共部分） 总数量（合并后的总数量，不重复计算重叠部分） 2. 核心公式 两个集合的基本公式： 总数量 = 集合A数量 + 集合B数量 - 重叠部分数量 即：A∪B = A + B - A∩B 三个集合的基本公式： 总数量 = 集合A数量 + 集合B数量 + 集合C数量 - A与B重叠数量 - A与C重叠数量 - B与C重叠数量 + A、B、C共同重叠数量 即：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C 已知总数量和重叠部分，求单个集合数量： 集合A数量 = 总数量 + 重叠部分数量 - 集合B数量 二、核心题型与技巧 题型1：两个集合的基础重叠问题 技巧：直接应用公式"总数量 = 集合A数量 + 集合B数量 - 重叠部分数量"，明确识别哪个部分是重叠部分。 题型2：三个集合的重叠问题 技巧：使用三个集合的公式，注意不要遗漏最中间的共同重叠部分，可借助韦恩图帮助理解。 题型3：已知总数量求重叠部分 技巧：反向应用公式"重叠部分数量 = 集合A数量 + 集合B数量 - 总数量"，适用于已知各部分数量和总数量，求重叠部分。 题型4：隐藏重叠部分的问题 技巧：先找出题目中隐含的重叠关系，明确哪些部分被重复计算，再应用相应公式。 题型5：重叠问题的综合应用 技巧：结合其他数学知识（如计数、排列组合）解决复杂重叠问题，可分步计算，先求出单一集合数量，再逐步处理重叠部分。 三、常见错误提醒 1.重复计算重叠部分：在计算总数量时，忘记减去重叠部分，导致结果偏大。 2.漏算共同重叠部分：在三个集合问题中，容易忘记加上最中间的共同重叠部分。 3.混淆"包含"与"排除"的关系：不清楚何时应该相加，何时应该相减。 4.无法识别隐藏的重叠关系：对于未明确说明重叠部分的题目，找不到重叠关系。 5.单位不一致：在实际问题中，各部分数量的单位不统一，导致计算错误。 例题讲解 一、两个集合的基础重叠问题 例题1：四年级（1）班有42名同学，其中25人参加了数学兴趣小组，23人参加了语文兴趣小组，有15人两个小组都参加了。这个班有多少名同学没有参加任何兴趣小组？ 跟踪练习1：一个班有38名学生，其中20人喜欢绘画，25人喜欢唱歌，有12人既喜欢绘画又喜欢唱歌。那么既不喜欢绘画也不喜欢唱歌的学生有多少人？ 二、三个集合的重叠问题 例题2：学校组织课外活动，有40名同学参加。其中25人参加了篮球活动，20人参加了足球活动，15人参加了排球活动；有10人既参加了篮球又参加了足球，8人既参加了篮球又参加了排球，5人既参加了足球又参加了排球；有3人三项活动都参加了。只参加一项活动的同学有多少人？ 跟踪练习2：某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人；每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？ 三、已知总数量求重叠部分 例题3：把两根各长30厘米的绳子结成一根长50厘米的绳子，打结部分长多少厘米？ 跟踪练习3：两块木板各长90厘米，钉成一块长160厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？ 四、隐藏重叠部分的问题 例题4：四年级有100名学生，其中有10人既不会骑自行车也不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳。既会骑自行车又会游泳的有多少人？ 跟踪练习4：某班有45名学生，其中20人参加了数学比赛，18人参加了作文比赛，10人两项比赛都没参加。两项比赛都参加的有多少人？ 五、重叠问题的综合应用 例题5：一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？只会英语的有多少人？ 跟踪练习5：某班有学生46人，其中会弹钢琴的有12人，会弹古筝的有14人，两样都会的有4人。两样都不会的有多少人？只会弹古筝的有多少人？ 提升练习 1.某班有45名学生，其中25人喜欢吃苹果，22人喜欢吃香蕉，13人既喜欢吃苹果又喜欢吃香蕉。那么既不喜欢吃苹果也不喜欢吃香蕉的学生有多少人？ 2.把两根长度分别为45厘米和35厘米的铁棒焊接成一根长70厘米的铁棒，焊接部分的长度是多少厘米？ 3.某班有50名学生参加期末考试，语文得优的有30人，数学得优的有28人，两门都得优的有15人。两门都没得优的有多少人？ 4.三年级有120名学生，其中参加作文竞赛的有55人，参加数学竞赛的有65人，两项竞赛都参加的有20人。两项竞赛都不参加的有多少人？ 5.一个班有42名学生，他们都参加了语文或数学兴趣小组，其中参加语文兴趣小组的有25人，参加数学兴趣小组的有28人。只参加语文兴趣小组的有多少人？只参加数学兴趣小组的有多少人？ 6.某学校开设了音乐、美术和体育三门选修课，每个学生至少选修一门。已知选修音乐的有35人，选修美术的有30人，选修体育的有25人，同时选修音乐和美术的有10人，同时选修音乐和体育的有8人，同时选修美术和体育的有5人，三门都选修的有3人。这个学校共有多少名学生？ 7.在1到100的自然数中，能被2或3整除的数有多少个？ 8.一个旅行社有员工36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？ 9.四年级（2）班有45名学生，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文竞赛，12人两项竞赛都参加了。只参加一项竞赛的有多少人？ 10.某班有学生50人，参加数学小组的有25人，参加英语小组的有20人，两个小组都参加的有5人。两个小组都不参加的有多少人？ 11.在一次运动会中，某班有30人参加比赛，其中参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，两项都参加的有多少人？ 12.有A、B两个正方形，A的边长为5厘米，B的边长为4厘米，将它们重叠放置，重叠部分的面积为6平方厘米。这个组合图形的面积是多少平方厘米？ 13.一个班有48名学生，其中28人喜欢打篮球，30人喜欢踢足球，两种运动都不喜欢的有8人。两种运动都喜欢的有多少人？ 14.在1到50的自然数中，能被3或5整除的数有多少个？ 15.某班有学生52人，参加语文考试的有30人，参加数学考试的有35人，两门都参加的有20人。两门都没参加的有多少人？ 16.把三个长都是30厘米的纸条粘在一起，形成一个长80厘米的纸条。每个接头处的长度都相同，每个接头处的长度是多少厘米？ 17.某学校有学生1200人，其中爱好体育的有800人，爱好文艺的有600人，两样都不爱好的有100人。两样都爱好的有多少人？ 18.一个班有45名学生，其中25人参加了数学小组，20人参加了语文小组，10人两个小组都参加了。只参加一个小组的有多少人？ 19.某班有50名学生，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰，46人会打乒乓球。可以肯定这个班至少有多少名学生四项都会？ 20.在一个车间里，有80名工人，其中会操作车床的有55人，会操作铣床的有45人，两样都不会的有10人。两样都会的有多少人？只会操作车床的有多少人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第18讲 重叠问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 重叠问题是研究两个或多个集合之间公共部分的数量关系问题，也称为包含与排除问题。 关键量： 单个集合数量（如集合A的数量、集合B的数量） 重叠部分数量（两个或多个集合的公共部分） 总数量（合并后的总数量，不重复计算重叠部分） 2. 核心公式 两个集合的基本公式： 总数量 = 集合A数量 + 集合B数量 - 重叠部分数量 即：A∪B = A + B - A∩B 三个集合的基本公式： 总数量 = 集合A数量 + 集合B数量 + 集合C数量 - A与B重叠数量 - A与C重叠数量 - B与C重叠数量 + A、B、C共同重叠数量 即：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C 已知总数量和重叠部分，求单个集合数量： 集合A数量 = 总数量 + 重叠部分数量 - 集合B数量 二、核心题型与技巧 题型1：两个集合的基础重叠问题 技巧：直接应用公式"总数量 = 集合A数量 + 集合B数量 - 重叠部分数量"，明确识别哪个部分是重叠部分。 题型2：三个集合的重叠问题 技巧：使用三个集合的公式，注意不要遗漏最中间的共同重叠部分，可借助韦恩图帮助理解。 题型3：已知总数量求重叠部分 技巧：反向应用公式"重叠部分数量 = 集合A数量 + 集合B数量 - 总数量"，适用于已知各部分数量和总数量，求重叠部分。 题型4：隐藏重叠部分的问题 技巧：先找出题目中隐含的重叠关系，明确哪些部分被重复计算，再应用相应公式。 题型5：重叠问题的综合应用 技巧：结合其他数学知识（如计数、排列组合）解决复杂重叠问题，可分步计算，先求出单一集合数量，再逐步处理重叠部分。 三、常见错误提醒 1.重复计算重叠部分：在计算总数量时，忘记减去重叠部分，导致结果偏大。 2.漏算共同重叠部分：在三个集合问题中，容易忘记加上最中间的共同重叠部分。 3.混淆"包含"与"排除"的关系：不清楚何时应该相加，何时应该相减。 4.无法识别隐藏的重叠关系：对于未明确说明重叠部分的题目，找不到重叠关系。 5.单位不一致：在实际问题中，各部分数量的单位不统一，导致计算错误。 例题讲解 一、两个集合的基础重叠问题 例题1：四年级（1）班有42名同学，其中25人参加了数学兴趣小组，23人参加了语文兴趣小组，有15人两个小组都参加了。这个班有多少名同学没有参加任何兴趣小组？ 答案：9名 解析：参加兴趣小组的同学数量 = 参加数学小组的人数 + 参加语文小组的人数 - 两个小组都参加的人数 = 25 + 23 - 15 = 33（名） 没有参加任何兴趣小组的同学数量 = 全班总人数 - 参加兴趣小组的人数 = 42 - 33 = 9（名） 跟踪练习1：一个班有38名学生，其中20人喜欢绘画，25人喜欢唱歌，有12人既喜欢绘画又喜欢唱歌。那么既不喜欢绘画也不喜欢唱歌的学生有多少人？ 答案：5人 解析：喜欢绘画或唱歌的学生数量 = 喜欢绘画的人数 + 喜欢唱歌的人数 - 既喜欢绘画又喜欢唱歌的人数 = 20 + 25 - 12 = 33（人） 既不喜欢绘画也不喜欢唱歌的学生数量 = 全班总人数 - 喜欢绘画或唱歌的学生数量 = 38 - 33 = 5（人） 二、三个集合的重叠问题 例题2：学校组织课外活动，有40名同学参加。其中25人参加了篮球活动，20人参加了足球活动，15人参加了排球活动；有10人既参加了篮球又参加了足球，8人既参加了篮球又参加了排球，5人既参加了足球又参加了排球；有3人三项活动都参加了。只参加一项活动的同学有多少人？ 答案：18人 解析：参加至少一项活动的人数 = 25 + 20 + 15 - 10 - 8 - 5 + 3 = 30（人） 只参加篮球的人数 = 25 - 10 - 8 + 3 = 10（人） 只参加足球的人数 = 20 - 10 - 5 + 3 = 8（人） 只参加排球的人数 = 15 - 8 - 5 + 3 = 5（人） 只参加一项活动的人数 = 10 + 8 + 5 = 23（人） 跟踪练习2：某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人；每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？ 答案：35人 解析：设参加两科的人数为x，参加一科的人数为y，则有： x + y = 50（总人数） 2x + y = 28 + 23 + 20 = 71（总人次） 两式相减得：x = 21 但题目要求"每人最多参加两科"，所以参加两科的最多人数为： (28 + 23 + 20) ÷ 2 = 35.5，取整数35人 三、已知总数量求重叠部分 例题3：把两根各长30厘米的绳子结成一根长50厘米的绳子，打结部分长多少厘米？ 答案：10厘米 解析：打结部分长度 = 第一根绳子长度 + 第二根绳子长度 - 结成后绳子的长度 = 30 + 30 - 50 = 10（厘米） 跟踪练习3：两块木板各长90厘米，钉成一块长160厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？ 答案：20厘米 解析：重合部分长度 = 第一块木板长度 + 第二块木板长度 - 钉成后木板的长度 = 90 + 90 - 160 = 20（厘米） 四、隐藏重叠部分的问题 例题4：四年级有100名学生，其中有10人既不会骑自行车也不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳。既会骑自行车又会游泳的有多少人？ 答案：48人 解析：会骑自行车或会游泳的学生数量 = 总人数 - 既不会骑自行车也不会游泳的人数 = 100 - 10 = 90（人） 既会骑自行车又会游泳的人数 = 会骑自行车的人数 + 会游泳的人数 - 会骑自行车或会游泳的人数 = 65 + 73 - 90 = 48（人） 跟踪练习4：某班有45名学生，其中20人参加了数学比赛，18人参加了作文比赛，10人两项比赛都没参加。两项比赛都参加的有多少人？ 答案：3人 解析：参加至少一项比赛的人数 = 总人数 - 两项比赛都没参加的人数 = 45 - 10 = 35（人） 两项比赛都参加的人数 = 参加数学比赛的人数 + 参加作文比赛的人数 - 参加至少一项比赛的人数 = 20 + 18 - 35 = 3（人） 五、重叠问题的综合应用 例题5：一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？只会英语的有多少人？ 答案：两样都会的有10人，只会英语的有14人 解析：至少会一种语言的人数 = 总人数 - 两样都不会的人数 = 36 - 4 = 32（人） 两样都会的人数 = 会英语的人数 + 会法语的人数 - 至少会一种语言的人数 = 24 + 18 - 32 = 10（人） 只会英语的人数 = 会英语的人数 - 两样都会的人数 = 24 - 10 = 14（人） 跟踪练习5：某班有学生46人，其中会弹钢琴的有12人，会弹古筝的有14人，两样都会的有4人。两样都不会的有多少人？只会弹古筝的有多少人？ 答案：两样都不会的有24人，只会弹古筝的有10人 解析：至少会一样乐器的人数 = 会弹钢琴的人数 + 会弹古筝的人数 - 两样都会的人数 = 12 + 14 - 4 = 22（人） 两样都不会的人数 = 总人数 - 至少会一样乐器的人数 = 46 - 22 = 24（人） 只会弹古筝的人数 = 会弹古筝的人数 - 两样都会的人数 = 14 - 4 = 10（人） 提升练习 1.某班有45名学生，其中25人喜欢吃苹果，22人喜欢吃香蕉，13人既喜欢吃苹果又喜欢吃香蕉。那么既不喜欢吃苹果也不喜欢吃香蕉的学生有多少人？ 答案：11人 解析：喜欢吃苹果或香蕉的学生数量 = 喜欢吃苹果的人数 + 喜欢吃香蕉的人数 - 既喜欢吃苹果又喜欢吃香蕉的人数 = 25 + 22 - 13 = 34（人） 既不喜欢吃苹果也不喜欢吃香蕉的学生数量 = 总人数 - 喜欢吃苹果或香蕉的学生数量 = 45 - 34 = 11（人） 2.把两根长度分别为45厘米和35厘米的铁棒焊接成一根长70厘米的铁棒，焊接部分的长度是多少厘米？ 答案：10厘米 解析：焊接部分长度 = 第一根铁棒长度 + 第二根铁棒长度 - 焊接后铁棒的长度 = 45 + 35 - 70 = 10（厘米） 3.某班有50名学生参加期末考试，语文得优的有30人，数学得优的有28人，两门都得优的有15人。两门都没得优的有多少人？ 答案：7人 解析：至少一门得优的人数 = 语文得优的人数 + 数学得优的人数 - 两门都得优的人数 = 30 + 28 - 15 = 43（人） 两门都没得优的人数 = 总人数 - 至少一门得优的人数 = 50 - 43 = 7（人） 4.三年级有120名学生，其中参加作文竞赛的有55人，参加数学竞赛的有65人，两项竞赛都参加的有20人。两项竞赛都不参加的有多少人？ 答案：20人 解析：至少参加一项竞赛的人数 = 参加作文竞赛的人数 + 参加数学竞赛的人数 - 两项竞赛都参加的人数 = 55 + 65 - 20 = 100（人） 两项竞赛都不参加的人数 = 总人数 - 至少参加一项竞赛的人数 = 120 - 100 = 20（人） 5.一个班有42名学生，他们都参加了语文或数学兴趣小组，其中参加语文兴趣小组的有25人，参加数学兴趣小组的有28人。只参加语文兴趣小组的有多少人？只参加数学兴趣小组的有多少人？ 答案：只参加语文兴趣小组的有14人，只参加数学兴趣小组的有17人 解析：两个小组都参加的人数 = 参加语文兴趣小组的人数 + 参加数学兴趣小组的人数 - 总人数 = 25 + 28 - 42 = 11（人） 只参加语文兴趣小组的人数 = 参加语文兴趣小组的人数 - 两个小组都参加的人数 = 25 - 11 = 14（人） 只参加数学兴趣小组的人数 = 参加数学兴趣小组的人数 - 两个小组都参加的人数 = 28 - 11 = 17（人） 6.某学校开设了音乐、美术和体育三门选修课，每个学生至少选修一门。已知选修音乐的有35人，选修美术的有30人，选修体育的有25人，同时选修音乐和美术的有10人，同时选修音乐和体育的有8人，同时选修美术和体育的有5人，三门都选修的有3人。这个学校共有多少名学生？ 答案：70名 解析：总人数 = 选修音乐的人数 + 选修美术的人数 + 选修体育的人数 - 同时选修音乐和美术的人数 - 同时选修音乐和体育的人数 - 同时选修美术和体育的人数 + 三门都选修的人数 = 35 + 30 + 25 - 10 - 8 - 5 + 3 = 70（名） 7.在1到100的自然数中，能被2或3整除的数有多少个？ 答案：67个 解析：能被2整除的数有50个（100÷2=50） 能被3整除的数有33个（100÷3≈33） 既能被2整除又能被3整除（即能被6整除）的数有16个（100÷6≈16） 能被2或3整除的数 = 能被2整除的数 + 能被3整除的数 - 既能被2整除又能被3整除的数 = 50 + 33 - 16 = 67（个） 8.一个旅行社有员工36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？ 答案：10人 解析：至少会一种语言的人数 = 总人数 - 两样都不会的人数 = 36 - 4 = 32（人） 两样都会的人数 = 会英语的人数 + 会俄语的人数 - 至少会一种语言的人数 = 24 + 18 - 32 = 10（人） 9.四年级（2）班有45名学生，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文竞赛，12人两项竞赛都参加了。只参加一项竞赛的有多少人？ 答案：24人 解析：只参加数学竞赛的人数 = 参加数学竞赛的人数 - 两项竞赛都参加的人数 = 26 - 12 = 14（人） 只参加作文竞赛的人数 = 参加作文竞赛的人数 - 两项竞赛都参加的人数 = 22 - 12 = 10（人） 只参加一项竞赛的人数 = 只参加数学竞赛的人数 + 只参加作文竞赛的人数 = 14 + 10 = 24（人） 10.某班有学生50人，参加数学小组的有25人，参加英语小组的有20人，两个小组都参加的有5人。两个小组都不参加的有多少人？ 答案：10人 解析：至少参加一个小组的人数 = 参加数学小组的人数 + 参加英语小组的人数 - 两个小组都参加的人数 = 25 + 20 - 5 = 40（人） 两个小组都不参加的人数 = 总人数 - 至少参加一个小组的人数 = 50 - 40 = 10（人） 11.在一次运动会中，某班有30人参加比赛，其中参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，两项都参加的有多少人？ 答案：9人 解析：两项都参加的人数 = 参加田赛的人数 + 参加径赛的人数 - 参加比赛的总人数 = 16 + 23 - 30 = 9（人） 12.有A、B两个正方形，A的边长为5厘米，B的边长为4厘米，将它们重叠放置，重叠部分的面积为6平方厘米。这个组合图形的面积是多少平方厘米？ 答案：35平方厘米 解析：A正方形的面积 = 5×5 = 25（平方厘米） B正方形的面积 = 4×4 = 16（平方厘米） 组合图形的面积 = A正方形的面积 + B正方形的面积 - 重叠部分的面积 = 25 + 16 - 6 = 35（平方厘米） 13.一个班有48名学生，其中28人喜欢打篮球，30人喜欢踢足球，两种运动都不喜欢的有8人。两种运动都喜欢的有多少人？ 答案：18人 解析：至少喜欢一种运动的人数 = 总人数 - 两种运动都不喜欢的人数 = 48 - 8 = 40（人） 两种运动都喜欢的人数 = 喜欢打篮球的人数 + 喜欢踢足球的人数 - 至少喜欢一种运动的人数 = 28 + 30 - 40 = 18（人） 14.在1到50的自然数中，能被3或5整除的数有多少个？ 答案：23个 解析：能被3整除的数有16个（50÷3≈16） 能被5整除的数有10个（50÷5=10） 既能被3整除又能被5整除（即能被15整除）的数有3个（50÷15≈3） 能被3或5整除的数 = 能被3整除的数 + 能被5整除的数 - 既能被3整除又能被5整除的数 = 16 + 10 - 3 = 23（个） 15.某班有学生52人，参加语文考试的有30人，参加数学考试的有35人，两门都参加的有20人。两门都没参加的有多少人？ 答案：7人 解析：至少参加一门考试的人数 = 参加语文考试的人数 + 参加数学考试的人数 - 两门都参加的人数 = 30 + 35 - 20 = 45（人） 两门都没参加的人数 = 总人数 - 至少参加一门考试的人数 = 52 - 45 = 7（人） 16.把三个长都是30厘米的纸条粘在一起，形成一个长80厘米的纸条。每个接头处的长度都相同，每个接头处的长度是多少厘米？ 答案：5厘米 解析：三个纸条共有2个接头，设每个接头处的长度为x厘米 总长度 = 三个纸条长度之和 - 2个接头处的长度 80 = 30×3 - 2x 80 = 90 - 2x 2x = 10 x = 5（厘米） 17.某学校有学生1200人，其中爱好体育的有800人，爱好文艺的有600人，两样都不爱好的有100人。两样都爱好的有多少人？ 答案：300人 解析：至少爱好一样的人数 = 总人数 - 两样都不爱好的人数 = 1200 - 100 = 1100（人） 两样都爱好的人数 = 爱好体育的人数 + 爱好文艺的人数 - 至少爱好一样的人数 = 800 + 600 - 1100 = 300（人） 18.一个班有45名学生，其中25人参加了数学小组，20人参加了语文小组，10人两个小组都参加了。只参加一个小组的有多少人？ 答案：25人 解析：只参加数学小组的人数 = 参加数学小组的人数 - 两个小组都参加的人数 = 25 - 10 = 15（人） 只参加语文小组的人数 = 参加语文小组的人数 - 两个小组都参加的人数 = 20 - 10 = 10（人） 只参加一个小组的人数 = 只参加数学小组的人数 + 只参加语文小组的人数 = 15 + 10 = 25（人） 19.某班有50名学生，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰，46人会打乒乓球。可以肯定这个班至少有多少名学生四项都会？ 答案：9名 解析：不会游泳的人数 = 50 - 35 = 15（人） 不会骑自行车的人数 = 50 - 38 = 12（人） 不会溜冰的人数 = 50 - 40 = 10（人） 不会打乒乓球的人数 = 50 - 46 = 4（人） 至少有一项不会的最多人数 = 15 + 12 + 10 + 4 = 41（人） 四项都会的最少人数 = 总人数 - 至少有一项不会的最多人数 = 50 - 41 = 9（人） 20.在一个车间里，有80名工人，其中会操作车床的有55人，会操作铣床的有45人，两样都不会的有10人。两样都会的有多少人？只会操作车床的有多少人？ 答案：两样都会的有30人，只会操作车床的有25人 解析：至少会一样的人数 = 总人数 - 两样都不会的人数 = 80 - 10 = 70（人） 两样都会的人数 = 会操作车床的人数 + 会操作铣床的人数 - 至少会一样的人数 = 55 + 45 - 70 = 30（人） 只会操作车床的人数 = 会操作车床的人数 - 两样都会的人数 = 55 - 30 = 25（人） 1 学科网（北京）股份有限公司 $