第四章 一次函数 重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第四章 一次函数（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列各曲线中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可. 【详解】解：A、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y有唯一确定的值与其对应，y是x的函数，故A符合题意； B、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y可能有多个值与其对应，y不是x的函数，故B不符合题意； C、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y可能有两个值与其对应，y不是x的函数，故C不符合题意； D、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y可能有两个值与其对应，y不是x的函数，故D不符合题意. 故选：A. 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质是关键．由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：∵直线的， ∴y随x的增大而减小， ∵点，都在直线上，， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列属于正比例函数关系的是（   ） A．三角形的底边是常数时，它的面积与这条边上的高 B．仓库的粮食总量为常数，每天的销量与销售的天数 C．行驶的路程是常数时，行驶的速度与时间 D．正方形的面积与它的边长 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数关系的识别，理解正比例函数关系的定义是关键． 正比例函数关系可以用数学方程式表示，其中x和y是两个变量，k是一个常数，叫做比例系数，当x增加时，y同样会增加，并且增加的幅度与x的增加幅度相同；当x减少时，y也会减少，并且减少的幅度与x减少幅度相同，即的比值一定，根据定义判定即可． 【详解】解：A、三角形的底边是常数时，它的面积与这条边上的高， ∵，是常数， ∴的比值一定，属于正比例函数关系，符合题意； B、仓库的粮食总量为常数 ，每天的销量与销售的天数， 不成正比例函数关系，不符合题意； C、行驶的路程是常数时，行驶的速度与时间， ∵，路程是常数， ∴速度与时间不成正比例函数关系，不符合题意； D、正方形的面积与它的边长， ∵， ∴正方形的面积与它的边长不成正比例函数关系，不符合题意； 故选：A ． 4．（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键．根据正比例函数（为常数，）的性质，结合图像经过的象限判断的符号，进而分析各选项． 【详解】解：函数（是常数，）的图像经过第二象限， ， 函数的图像经过第二、四象限，的值随的值增大而减小． 当时，；正比例函数的图像是倾斜直线． 所以选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙两车沿相同的路线由地到地匀速前进，两地间的路程为．它们前进的路程为，甲车出发后的时间为，甲、乙两车前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．甲车比乙车晚出发 D．甲车速度比乙车速度快 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据速度等于路程除以时间，结合函数图象可求出甲、乙两车的速度，据此可判断A、B、D，根据函数图象可判断C． 【详解】解：A、由函数图象可知，甲车的速度是，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可知，乙车的速度是，原说法正确，符合题意； C、由函数图象可知，甲车比乙车早出发，原说法错误，不符合题意； D、∵， ∴甲车速度比乙车速度慢，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 6．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数的图象向上平移5个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律（上加下减）及一次函数的性质（图象上点的坐标特征、函数的增减性），解题的关键是熟练掌握一次函数图象平移规律和增减性，准确验证各选项． 先根据“上加下减”的平移规律确定m的值，得到一次函数解析式；再验证选项A的m值是否正确，选项B中代入点的横坐标看纵坐标是否匹配，选项C中结合和函数增减性判断y的范围，选项D中根据k值判断增减性，再通过横坐标大小比较函数值大小，找出错误结论． 【详解】解：根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，正比例函数向上平移5个单位得，故． A、由平移规律计算得，此选项不符合题意； B、将代入，得，故图象经过点，此选项不符合题意； C、∵中，随增大而减小，当时，， ∴时，，此选项不符合题意； D、∵，随增大而减小，又， ∴，此选项符合题意； 故选：D． 7．（2022八年级下·江西·竞赛）如图所示，直线与轴、轴分别交于点和点，点C、D分别为线段、的中点，点为上一动点，当的值最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，最小值为，如图． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称，如图： 点的坐标为．， ∴， 当、、三点共线时，最小，是与轴交点 设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的解析式为． 令，则， 点的坐标为． 故选：A． 8．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴，y轴于点A，B，把直线绕点O逆时针旋转，交y轴于点，交直线于点C，则的面积是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及直角三角形的性质等知识，依据题意，先求出的坐标，再根据直线绕点逆时针旋转求出旋转后的解析式，根据三角形面积公式即可求解，解题的关键是求出把直线绕点逆时针旋转后的解析式． 【详解】解：直线：分别交轴，轴于点， 当时，，当时，， ∴， 点绕点逆时针旋转后的坐标为， 设直线绕点逆时针旋转后的解析式为 ∴， 解得：， ∴， 联立方程组， 解得：， ∴的面积为：， 故选：C． 9．（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）当时，一次函数满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据题意得到当时，一次函数最大值满足，然后根据和分情况讨论分别求出最大值即可． 【详解】解：∵当时，一次函数满足， ∴当时，一次函数最大值满足， 当时，一次函数随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值 解得：， 故此时：； 当时，一次函数随的增大而增大， 当，有最大值， 解得； 故此时：， 综上所述，且． 故选：C． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和、、，…分别在直线和x轴上，，，，… 都是等腰直角三角形，其中，…为其直角顶点，如果点，那么的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、等腰直角三角形的性质及数字规律探究，解题的关键是利用等腰直角三角形直角顶点的横坐标与纵坐标的关系（直角顶点横坐标减去纵坐标等于前一个B点的横坐标），结合一次函数解析式求出各的纵坐标，进而归纳出纵坐标的变化规律． 先将代入直线求，确定直线解析式；利用等腰直角三角形（直角顶点为）的性质，得的横坐标的横坐标（为的纵坐标），结合直线解析式列方程求、的纵坐标；归纳纵坐标的规律，计算的纵坐标． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ ，解得， ∴ 直线解析式为 ∵ 是等腰直角三角形，为直角顶点， ∴ 的横坐标（为），验证成立，且的横坐标为，即 ∵ 是等腰直角三角形，为直角顶点， ∴ 的横坐标的横坐标，即 又∵ 在直线上， ∴ ， 化简得，解得. 同理，的横坐标为，的横坐标， 代入直线解析式得， 化简得，解得. 归纳规律：纵坐标，纵坐标，纵坐标， 故纵坐标. ∴ 的纵坐标. 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，代数式求值． 根据点在函数的图象上，求出，代入计算即可． 【详解】∵点在函数的图象上， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）表示一次函数，则m等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义：形如的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：∵表示一次函数， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．分别令和可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，可求得答案． 【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在中，令，可得， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理可得， ∴或， 故答案为：2或． 14．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）已知直线与轴、轴分别交于、两点，点是轴正半轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点恰好落在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题， 一次函数图象上点的坐标特征，过作于，先求出，，得到的长，再根据折叠的性质得到平分，得到，，则，，在中，利用勾股定理得到的方程，解方程求出即可． 【详解】解：过作于，如图， 对于直线，令，得；令，， ，，即，， ， 又坐标平面沿直线折叠，使点刚好落在轴上， 平分， ，则， ， ， 在中   解得， 点的坐标为； 故答案为：． 15．（24-25八年级下·重庆大足·期末）如图，直线，点、点为轴负半轴上的两点，轴交直线于点，轴交直线于点、相交于点，当时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，设，，则，故有，，，，然后通过，可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设，， ∴， ∵轴交直线于点，、相交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）已知直线分别交轴、轴于点、，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理的运用，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质，轴对称图形的性质（中点坐标）得到线段与直线的交点坐标，再证明三角形全等，得到，运用勾股定理代入计算即可求解． 【详解】解：直线，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点在第一象限内，且纵坐标为4，若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上， ∴点的纵坐标为，轴，，设垂足为点， 如图所示，连接， ∴，即线段与直线的交点的纵坐标为， ∴当时，， 解得，， ∴线段与直线的交点的横坐标为， ∴线段与直线的交点坐标为， ∴，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∵对称， ∴，且， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）关于的函数． (1)和取何值时是关于的一次函数； (2)和取何值时是关于的正比例函数． 【答案】(1)，为任意实数 (2)， 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）解：由一次函数的意义知， 解得：． 当，为任意实数时，函数是关于的一次函数． （2）解：由正比例函数的意义知， 解得：，． 当，时，函数是关于的正比例函数． 18．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、． (1)求点A、B的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数的性质及三角形面积，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0求解即可； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在轴上的点，其纵坐标． 把代入，可得， 解得， 所以． 在轴上的点，其横坐标． 把代入，可得， 所以． 所以； （2）设点的坐标为， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或 ． 19．（24-25八年级下·吉林·期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 【答案】(1)（） (2)升 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键． （1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变量的取值范围； （2）把代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，即， 解得， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为． （2）当时，． 答：当拖拉机工作时，油箱内还剩余油升． 20．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 【答案】(1) (2)图见详解 (3)①0，；②当时，随着的增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格可代值进行求解即可； （2）根据描点连线可作函数图象； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由表格可得： ； 故答案为2； （2）解：根据表格可得图象如下： （3）解：由（2）中图象可得： ①当时，函数有最小值为； ②除了上述性质外，该函数当时，随着的增大而增大． 21．（25-26八年级上·全国·期末）如图①，一条直的公路上依次有A，B，C三个汽车站，，，一辆汽车上午8：00 从距离A站的P地出发，匀速向C站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站．设汽车出发 后离A站，图②中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为 ； (2)求线段 对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）； (3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高到多少可按时到达？请说明理由． 【答案】(1)80 (2) (3)不能，速度至少提高到，理由见解析 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键 （1）由图象可知，休息前汽车行驶的路程为千米，时间为小时，根据速度路程时间解题． （2）先求出点G的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为小时，由，判断并求出速度即可． 【详解】（1）解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为：（千米/小时）． （2）解：休息后按原速度继续前进行驶的时间为：， 点的坐标为， 设线段所表示的与之间的函数关系式为， 则：，解得， 线段所表示的与的函数关系式为：． （3）解：若汽车按原速行驶，则不能按时到达，速度至少提高到 ． 理由如下：由（1），得接到通知前汽车行驶的速度为． 接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶， 则行完全程所需时间为 ． 因为，且， 所以若汽车仍按照原来的速度行驶，则不能按时到达． 若要使其能按时到达，则速度至少提高到 ． 22．（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【答案】(1)8，100 (2) (3)400 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由题意得，再结合图象将代入，得，即可求出a的值；观察函数图象结合题意即可得出b 的值； （2）结合函数图象，可知在上方的部分所对应的x的值即为所求，先得出，当时，，令，解得x的值，再结合函数图象可得答案； （3）当时，，结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值，当时，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意知， 将代入，得， 解得， 由题图知， 故答案为：8，100； （2）解：由（1）知， 由题意知，当时，， 令， 解得，     结合题图知，当时，选择方案一购买更合算； （3）解：当时，，， ∴此时， 结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值， 当时，令， 解得， 答：当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，x的值为400． 23．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 24．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线，直线分别交于点，直线与直线交于点． (1)如图，当时，求的周长； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段围成的区域（不含边界）为． ①结合函数图象，试说明当时，区域内一定有整点； ②若区域内没有整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；②或 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键． （1）分别求出A、B、C的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）①根据当时，直线在y轴的右侧，直线在x轴的下方，直线的图象经过第一、二、三象限，则围成的区域W中必含原点，即可得证； ②由①知，区域内没有整点，则，然后分别画出，，，，的图象，然后然后数形结合即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， 当时，；当时，，解得 ∴，， 又与的交点C的坐标为， ∴，，， ∴的周长为； （2）①证明：当时，直线在y轴的右侧，直线在x轴的下方，直线的图象经过第一、二、三象限， 则围成的区域W中必含原点， ∴当时，区域内一定有整点； ②联立方程组， 解得 ∴， 联立方程组， 解得， ∴， 直线与的交点C的坐标为， 由①知，区域内没有整点，则， 当时，如图， 观察图象发现，此时区域W内无整点； 当时，如图， 观察图象发现，此时区域W内无整点； 当时，如图， 观察图象发现，此时区域W内有整点； 当时，如图， 观察图象发现，此时区域W内无整点； 当时，如图， 观察图象发现，此时区域W内有整点； 综上，当或时，区域W内无整点． 25．（2025·山东青岛·模拟预测）我们约定，在平面直角坐标系中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点的参照线有：，，，（如图1）．如图，正方形在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴和轴上，点在正方形内部． (1)直接写出点的所有参照线：______； (2)若，点在线段的垂直平分线上，且点有一条参照线是，则点的坐标是______； (3)在（2）的条件下，点是边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接，将沿着折叠，点的对应点记为，当点在点的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点的坐标______． 【答案】(1)，，， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合题、勾股定理、翻折变换、点的“参照线”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解； （1）根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，； （2）由题意可知，点的横坐标为3，再利用待定系数法即可解决问题； （3）分两种情形①如图1中，当点在参照线上时，设．②如图2中，当点在参照线上时，设．分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，， 故答案为，，，； （2）解：，点在线段的垂直平分线上， 点的横坐标为3， 又点有一条参照线是， 时，， 点坐标为， 故答案为． （3）解：①如图1中，当点在参照线上时，设． ，，， ， ， 在中， ， ， ， ， ②如图2中，当点在参照线上时，设． ，，， ， 在中， ， ， ， ， 综上可知，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列各曲线中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列属于正比例函数关系的是（   ） A．三角形的底边是常数时，它的面积与这条边上的高 B．仓库的粮食总量为常数，每天的销量与销售的天数 C．行驶的路程是常数时，行驶的速度与时间 D．正方形的面积与它的边长 4．（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙两车沿相同的路线由地到地匀速前进，两地间的路程为．它们前进的路程为，甲车出发后的时间为，甲、乙两车前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．甲车比乙车晚出发 D．甲车速度比乙车速度快 6．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数的图象向上平移5个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 7．（2022八年级下·江西·竞赛）如图所示，直线与轴、轴分别交于点和点，点C、D分别为线段、的中点，点为上一动点，当的值最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴，y轴于点A，B，把直线绕点O逆时针旋转，交y轴于点，交直线于点C，则的面积是（） A． B． C． D． 9．（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）当时，一次函数满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和、、，…分别在直线和x轴上，，，，… 都是等腰直角三角形，其中，…为其直角顶点，如果点，那么的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 12．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）表示一次函数，则m等于 ． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为 ． 14．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）已知直线与轴、轴分别交于、两点，点是轴正半轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点恰好落在轴上，则点的坐标是 ． 15．（24-25八年级下·重庆大足·期末）如图，直线，点、点为轴负半轴上的两点，轴交直线于点，轴交直线于点、相交于点，当时，则 ． 16．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）已知直线分别交轴、轴于点、，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）关于的函数． (1)和取何值时是关于的一次函数； (2)和取何值时是关于的正比例函数． 18．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、． (1)求点A、B的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 19．（24-25八年级下·吉林·期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 20．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 21．（25-26八年级上·全国·期末）如图①，一条直的公路上依次有A，B，C三个汽车站，，，一辆汽车上午8：00 从距离A站的P地出发，匀速向C站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站．设汽车出发 后离A站，图②中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为 ； (2)求线段 对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）； (3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高到多少可按时到达？请说明理由． 22．（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 23．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 24．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线，直线分别交于点，直线与直线交于点． (1)如图，当时，求的周长； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段围成的区域（不含边界）为． ①结合函数图象，试说明当时，区域内一定有整点； ②若区域内没有整点，直接写出的取值范围． 25．（2025·山东青岛·模拟预测）我们约定，在平面直角坐标系中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点的参照线有：，，，（如图1）．如图，正方形在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴和轴上，点在正方形内部． (1)直接写出点的所有参照线：______； (2)若，点在线段的垂直平分线上，且点有一条参照线是，则点的坐标是______； (3)在（2）的条件下，点是边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接，将沿着折叠，点的对应点记为，当点在点的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点的坐标______． 学科网（北京）股份有限公司 $