第5章 二次函数（单元测试·提升卷）数学苏科版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列表达式中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则 3．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 5．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．  B．  C．D．   6．对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．抛物线的顶点坐标是 ． 8．二次函数，其中，则的取值范围是 ． 9．如果函数是二次函数，那么k的值一定是 ． 10．已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 11．将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 12．如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 13．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 14．如图，抛物线与轴交于点A，顶点B在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为 ． 15．一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 16．当时，二次函数的最大值为8，则 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 18．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交于点E． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 19．如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在抛物线上． (1)求m的值． (2)将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，求抛物线的顶点坐标． 21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件；每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件衬衫降价元． (1)降价后每件衬衫利润为___________元，平均每天可售出___________件． (2)该商场平均每天最多盈利多少元？盈利最多时应降价多少元？ 22．已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标为 ；函数的图象与轴的交点坐标为 ； (2)在平面直角坐标系中画函数图象．（把顶点坐标和图象与轴交点坐标填在表格中，再完善表格） … … … … (3)该抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为 ． (4)当时，直接写出二次函数中值的取值范围是 ． 23．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，点O是坐标原点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B画直线，交抛物线于点D，交y轴正半轴于点E． ①若点C与点E之间的距离为m，点D的横坐标为n，求m与n之间的数量关系； ②过点A作的平行线交直线于点F，当时，求点D的坐标． 25．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 26．已知抛物线（其中，且为常数）与轴交于，两点（点在点左侧），抛物线（其中，且为常数）． (1)直接写出，两点的坐标； (2)淇淇说：“无论为何值，抛物线的顶点坐标都不变．”请对淇淇的说法进行说理； (3)已知抛物线经过点； ①求抛物线的解析式； ②点在抛物线上，且点，关于抛物线的对称轴对称，连接．若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 27．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．点在点左边，设点的横坐标为，矩形的周长为． ①______； ②在①的条件下，求关于的关系式（不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点（点在点的上方）．若，直接写出点的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列表达式中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数，熟练掌握形如，其中c为常数，且的函数是二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：．自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； ．，关系式不是整式，故不是二次函数，故该选项不符合题意； ． ，关系式不是整式，故不是二次函数，故该选项不符合题意； ．，是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，即可得出正确答案． 【详解】解：， 顶点坐标为，函数图象开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 若，则， 综上可知，选项D结论正确，选项A，B，C结论错误， 故选：D． 3．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性．先根据二次函数的解析式求出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为． 故选：A． 4．小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解题的关键． 先求二次函数的顶点D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入得到，所以，又，进而求得杯子的高度． 【详解】解：如图： ∵， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∵， ∴B点的横坐标为， 把代入，得到， ∴， ∴． 故选：D． 5．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题是关于一次函数和二次函数的图象，根据各选项一次函数的图象和二次函数的图象得到，的正负，然后相比较解答即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相吻合； B、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； C、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾. D、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； 故选：A． 6．对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而可得，，求出，即可判断①；根据抛物线图象与轴有两个交点即可判断②；由图象可得，时，，即可判断③；由图象可得，当时，，即可判断④；由图象可得，当时，二次函数有最小值为，即可判断⑤；由图象可得，当时，随的增大而减小，即可判断⑥；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线图象与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； 由图象可得，时，，故，故③错误； 由图象可得，当时，，故，故④正确； 由图象可得，当时，二次函数有最小值为， ∴为任意实数，，即，故⑤正确； 由图象可得，当时，随的增大而减小，故⑥正确； 综上所述，正确的有①②④⑤⑥，共个， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，将抛物线的解析式利用配方法转化为顶点式是解题的关键． 已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 8．二次函数，其中，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出当时，，继而分别求出当时，， 当时，，即可解答． 【详解】解：二次函数中， ，抛物线开口向上，对称轴， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，． 故答案为：． 9．如果函数是二次函数，那么k的值一定是 ． 【答案】0 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得； 故答案为：0． 10．已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算和时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为： 11．将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握平移方法是解题的关键．根据左加右减，上加下减的方法计算即可． 【详解】解：由题意可得， 平移后得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 12．如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据铅球落地时的水平距离为，可得点的坐标是，把点的坐标代入，求出，可得抛物线的解析式是，当时，对应的函数值就是高度． 【详解】解：铅球落地时的水平距离为， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 当时，可得：， 铅球出手时离地面的高度是． 故答案为：． 13．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，的横坐标分别为和， ∴根据图像可知当时，的取值范围为， 故答案为：． 14．如图，抛物线与轴交于点A，顶点B在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求出A、B的坐标，从而求出，根据是等腰直角三角形即可求出a． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，则中的， 令，则， ∴，， 令，则， ∴，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：1． 15．一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，根据题意可得二次函数关于y轴对称，则对称轴为y轴，根据对称轴计算公式可推出函数解析式，进而可求出点A，点B和点P的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数是“偶函数”， ∴二次函数关于y轴对称， ∴二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点P的坐标为， 在中，当时，， ∴（不妨设点A在点B左边）， ∴， 故答案为：． 16．当时，二次函数的最大值为8，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)，6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数与图形面积，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，求解即可． （2）先求出B点的坐标，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 可得， 解得：， ∴， 顶点坐标是； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∴． 18．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交于点E． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，关键是对二次函数性质的应用． （1）根据抛物线解析式求出B，C坐标，再用待定系数法求直线的解析式； （2）设，则，然后根据得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可； 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或． 19．如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了二次函数的相关知识，包含求二次函数图像与x轴的交点，以及三角形面积公式与二次函数的综合应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识 （1）令求解x的值，即可求解点的坐标； （2）设点，再根据，结合三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：令，即， 解得，， ∴点的坐标为； （2）解：设点， 由（1）知，， ∴， 即，解得， ∴， 当时，即， 整理可得，解得， 此时点的坐标为； 当时，即， 整理可得， ∴， ∴，， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或． 20．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在抛物线上． (1)求m的值． (2)将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线的性质以及点的平移和翻折变换． （1）先求出点A的坐标，再根据点的平移规律得到点B的坐标，最后将点B的坐标代入抛物线的解析式中，求解m的值； （2）先将抛物线的解析式化为顶点式，得到其顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求出抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解：对于抛物线，令， 可得， ∴点A的坐标为， ∵点A向右平移4个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得． （2）解：由（1）可知，则抛物线的解析式为， 将其化为顶点式：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线是抛物线沿x轴翻折得到的， ∴抛物线的顶点坐标为． 21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件；每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件衬衫降价元． (1)降价后每件衬衫利润为___________元，平均每天可售出___________件． (2)该商场平均每天最多盈利多少元？盈利最多时应降价多少元？ 【答案】(1)元，平均每天可售出件； (2)该商场平均每天最多盈利1250元，盈利最多时应降价15元． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理清数量关系，正确列出二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据每件衬衫降价元后利润减少元，销量增加件即可解题；题意可得每天的销售量，然后由“每天盈利每天销售量每件盈利”进行解答； （2）设每件衬衫应降价元，每天盈利元，根据“每天售出件数每件盈利每天盈利”，列出函数解析式求出最大值即可． 【详解】（1）解：降价后每件衬衫利润为元，平均每天可售出件． （2）解：设每件衬衫应降价元，每天盈利元， ， ， ∵， ∴当时，最大， 答：该商场平均每天最多盈利元，盈利最多时应降价15元． 22．已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标为 ；函数的图象与轴的交点坐标为 ； (2)在平面直角坐标系中画函数图象．（把顶点坐标和图象与轴交点坐标填在表格中，再完善表格） … … … … (3)该抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为 ． (4)当时，直接写出二次函数中值的取值范围是 ． 【答案】(1)；， (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，图形的对称，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）将二次函数的解析式化成顶点式即可得顶点坐标，令，求解一元二次方程即可得函数的图象与轴的交点坐标； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据对称性，先求出该抛物线关于轴对称的抛物线的顶点坐标，即可得新抛物线的表达式； （4）先求出当时，对应的值，然后观察函数图象，即可确定所求． 【详解】（1）解：， 该二次函数的顶点坐标为， 令，即， 解得，， 函数的图象与轴的交点坐标为，； 故答案为：；，． （2）解：完善表格如下： … … … 0 … 将表格数据描点连线画出如下函数图象： （3）解：该抛物线的顶点坐标为， 该抛物线关于轴对称的抛物线的顶点坐标为， 该抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为； 故答案为：． （4）解：当时，， 当时，二次函数中值的取值范围是． 故答案为：． 23．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 24．抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，点O是坐标原点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B画直线，交抛物线于点D，交y轴正半轴于点E． ①若点C与点E之间的距离为m，点D的横坐标为n，求m与n之间的数量关系； ②过点A作的平行线交直线于点F，当时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点D的坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数表达式及二次函数图象与性质． （1）用待定系数法求二次函数表达式即可； （2）①先求出，则，即可得出结论；②先求，作轴，取中点N，连接，则是的中位线，进而求出F点的坐标为，代入直线解析式求出结论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，． ∴C点坐标为， 将，代入抛物线解析式，得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①如图1，点D的横坐标为n，则D点坐标为，点B坐标为，    ∴设，代入B，D两点坐标, ， 解得：， ， ∴， ∴， 即； ②∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴令，解得或， ∴A点坐标为， ∵， 设直线的解析式为， 把点代入解析式，得， ∵， ∴设直线的解析式为， 把A点坐标代入上式，得：， ∴， ∴， ∵， ∴点F是的中点， 作轴，取中点N，连接， ∴是的中位线，如图2所示，    设D点坐标为， ∴， ∴，， ∴， ∴F点的坐标为， ∵点F在直线上， ∴将点F坐标代入中， 得：， 解得（舍去）或， ∴点D的坐标为． 25．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②该矩形周长的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 26．已知抛物线（其中，且为常数）与轴交于，两点（点在点左侧），抛物线（其中，且为常数）． (1)直接写出，两点的坐标； (2)淇淇说：“无论为何值，抛物线的顶点坐标都不变．”请对淇淇的说法进行说理； (3)已知抛物线经过点； ①求抛物线的解析式； ②点在抛物线上，且点，关于抛物线的对称轴对称，连接．若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)具体见解析 (3)或 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，令，则，解出方程，方程的两个解分别为，两点的横坐标，即可获解； （2）把抛物线的解析式化为顶点式，则易看出顶点坐标，发现与k无关，即可进行说理； （3）①将点P的坐标代入抛物线的解析式中，得到关于k的方程，求出的解析式，则可知道抛物线的解析式； ②根据点与点关于抛物线的对称轴对称，及易知对称轴为，可求得 ，再根据线段与抛物线只有一个公共点，分和两种情况，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：令，则，解得，， 由于抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， ∴，； （2）解：淇淇的说法正确， 理由：对于抛物线，将其化为顶点式为， ∴抛物线的顶点坐标为，与k无关， 因此淇淇的说法正确． （3）解：①∵抛物线经过点， 将点P的坐标代入抛物线的解析式中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ②由（2）可知，抛物线的对称轴为直线， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴点Q的坐标为， 当时，抛物线开口向上，要使线段与抛物线只有一个公共点，则抛物线经过点或， 若抛物线经过点，将代入，得，解得； 若抛物线经过点，将代入，得，解得，而当时，线段与抛物线的左侧还会有一个交点； ∴当时，． 当时，抛物线开口向下，要使线段与抛物线只有一个公共点，则抛物线的顶点坐标为， 将代入，得，解得． 综上所述，当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 27．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．点在点左边，设点的横坐标为，矩形的周长为． ①______； ②在①的条件下，求关于的关系式（不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点（点在点的上方）．若，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）①求出对称轴，求出两点的坐标，进而求出点坐标，两点间的距离求出即可；②根据矩形的周长公式，即可求得答案； （3）过点D作轴于点K，根据二次函数的性质可知，当时矩形的周长最大，此时，可证明N与原点重合，Q点与C点重合，求得，即得，设，则，即得，求出n的值，即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：把，，代入抛物线，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， M点的横坐标为m，轴，轴，轴， ∴，点与点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴； ②∵ ， ∵， 矩形的周长， 即； （3）解：过点D作轴于点K， 由， 当时矩形的周长最大， 设直线解析式为；， 将，代入，得， 解得，， 直线解析式为， ∵M点的横坐标为，抛物线的对称轴为， N应与原点重合，Q点与C点重合， ， 把代入，解得， ， ， ， ， 设， 则， ， 解得或， 或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章二次函数能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的) 题号 1 2 3 5 6 答案 D D A D A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7.（-1,4) 8.-4≤y<-7 9.0 10.< 11.y=-5x2-20x-22 12. 13.-2<x<4 14.1 15.8 16子或 三、解答题（本大题共11小题，17.18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小 题9分，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 【详解】(1)解：将A(-1,0),C(0,-3)代入y=x2-bx+c, 0=1+b+c 可得 c=-3 b=2 解得： c=-3 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=x2-2x-3=(x-12-4, 顶点坐标是1，-4；3分 (2)解：令y=0,则0=x2-2x-3, 解得：x=3或x=-1, .B(3,0, 54c=5AB-0C=)x4×3=6.…7分 1 2 2 18. 【详解】(1)解：令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=-1,x2=3, .A-1,0,B(3,0), 令x=0,则y=3, C(0,3, 设直线BC的解析式为y=kx+bk≠O), 3k+b=0 则 b=3 k=-1 解得 b=3, .直线BC的解析式为y=-x+3;3分 (2)解：设Dm,-m2+2m+3), :DE∥y轴， .E(m,-m+3, .DE=-m2+2m+3-(-m+3=-m2+3m, DE=2, -m2+3m=2, 解得m1=1,m2=2, 2/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 点D的坐标为1,4)或(2,3).7分 19. 【详解】(1)解：令y=0,即-x2+4x=0, 解得x1=0,x2=4, .点A的坐标为4,0)；2分 (2)解：设点P(x,y), 由(1)知，0A=4, .5.w-x8 即×4×=8，解得=4， y=4, 当y=4时，即-x2+4x=4, 整理可得x2-4x+4=0,解得x=2, 此时点P的坐标为2,4)： 当y=4时，即-x2+4x=-4, 整理可得x2-4x-4=0, x 4±6-4×1x-4_4±32_4牡4W2-2士22， 2×1 2 2 x1=2+2V2,x2=2-2V2, 此时点P的坐标为2+2V2,-4或2-2V2,-4: 综上，点P的坐标为2,4)或(2+22，-4或(2-22，-4.…8分 20. 【详解】(1)解：对于抛物线C:y=x2+2mx-m+1,令x=0, 可得y=-m+1, 点A的坐标为(0，-m+1), 点A向右平移4个单位长度得到点B, 3/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 点B的坐标为4-m+1, :点B(4,-m+1)在抛物线y=x2+2mx-m+1上， .-m+1=42+2m×4-m+1,解得m=-2.…4分 (2)解：由(1)可知m=-2,则抛物线C的解析式为y=x2-4x+3, 将其化为顶点式：y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-22-1, ∴抛物线C的顶点坐标为2，-1)， :抛物线C,是抛物线C沿x轴翻折得到的， 抛物线C,的顶点坐标为2，.8分 21. 【详解】(1)解：降价后每件衬衫利润为(40-x)元，平均每天可售出(20+2x)件.2分 (2)解：设每件衬衫应降价x元，每天盈利y元， y=(40-x)(20+2x), =-2x2+60x+800 =-2(x-15)+1250, -2<0, .当x=15时，y=1250最大， 答：该商场平均每天最多盈利1250元，盈利最多时应降价15元.8分 22. 【详解】(1)解：y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ·该二次函数的顶点坐标为(-1，-4， 令y=0,即(x+1)2-4=0, 解得x=-3,x3=1, :函数的图象与x轴的交点坐标为(-3,0)，(1,0)； 故答案为：（-1，-4)；(-3,0），(1,0).…2分 (2)解：完善表格如下： 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -3 2 -1 0 1 0 -3 -4 -3 0 … 将表格数据描点连线画出如下函数图象： 3 3 -2 2454分 2 (3)解：：该抛物线的顶点坐标为-1，-4)， ·该抛物线关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为-1,4)， ·该抛物线关于x轴对称的抛物线的表达式为y=-(x+1+4=-x2-2x+3; 故答案为：y=-x2-2x+3.6分 (4)解：当x=2时，y=22+2×2-3=5, :当-2<x<2时，二次函数y=x2+2x-3中y值的取值范围是-4≤x<5. 故答案为：-4≤x<5.…8分 23. 【详解】(1)解：：点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动， .BO =4tcm; :P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动， .AP 2tcm, .AB =10cm, ∴.PB=(10-2tcm, 故答案为：4t;(10-2t.…2分 (2)解：由题意得：(10-2t)2+(4)=102, 5/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 解得：t=0,t2=2: .当1=0或2时，PQ的长度等于10cm;5分 g有5-0a-0-2刘-护+20-〔-引25， 2 2 .-4<0, 当3时 BPQ的面积最大8分 24. 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+x+ca≠0)与y轴负半轴交于点C,点B坐标为2,0)，0C=30B. ∴.C点坐标为(0，-6)， [0=4a+2+c 将B(2,0),C(0,-6)代入抛物线解析式，得： c=-6 a=1 c=6 .抛物线的解析式为y=x2+x-6;…2分 (2)解：①如图1，点D的横坐标为n,则D点坐标为n,n2+n-6),点B坐标为(2,0)， D F E B C 图1 .设yBD=cr+b,代入B,D两点坐标， [2k+b=0 k+b=n2+n-6' 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [k=n+3 解得： b=-2n-6' ygD=(n+3)x-2n-6, .yE=0E=-2n-6, .CE=m=0E+0C=-2n-6--6), 即m=-2n;5分 ②：抛物线y=x2+x-6与x轴交于点A,B, 令x2+x-6=0,解得x=-3或x=2, A点坐标为-3,0)， :C(0,-6), 设直线BC的解析式为y=kx-6, 把点B(2,0)代入解析式，得k=3, :AF∥BC, .设直线AF的解析式为y=3x+b, 把A点坐标-3,0)代入上式，得：0=-9+b, b=9, .yAF=3x+9, FB=FD 点F是BD的中点， 作DM⊥x轴，取BM中点N,连接FN, :FN是△BDM的中位线，如图2所示， 7112 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D MA NO B C 图2 设D点坐标为n,n2+n-6, FN BN BF 1 DM BM BD2' .FN=IDM-t-6,BN-3BM=(2-)=2-m 2 2 2 2 :ON=BN-OB=2-”-2=-n+2 2 21 F点的坐标为 n+2n2+n-6 2,2 :点F在直线AF上， .将点F坐标代入y=3x+9中， 得： n+2 +-632P9 2 解得n=1+31(舍去)或n=1-31, 点D的坐标为1-51,27-35T.8分 25 【详解】(1)解：：y=x2+bx+c与x轴交于0(0,0)、A(6,0), c=0 36+6b+c=0 b=6 解得： c=0 ·抛物线的表达式为：y=x2-6x;2分 8/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)y=x2-6x=(x-3)2-9, B3,-9, 设E(m,m2-6m,则D3,m2-6m), BD=m2-6m-(-9=m2-6m+9,EF=2(3-m=6-2m, ①：BD+EF=8, m2-6m+9+2(3-m=8, 解得：m=7（舍去)或m=1, E(1,-5);5分 ②C(3,3 .直线0C解析式为y=x, .H(m,m, :EH m-(m2-6m=7m-m2, 设矩形EFGH周长为C, C2EF+EBe26-2m+7m-m=-2m+10m+12=-2m-+90<m<3L 2 :当m=时，C的最大值为 2·8分 26. 【详解】(1)解：令y=0,则ax(x+1=0,解得x=0,x2=-1, 由于抛物线C与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）， .A-1,0),B(0,0);2分 (2)解：淇淇的说法正确， 理由：对于抛物线C,:y=kx2+2kx+k-1,将其化为顶点式为 y=kx2+2x+k-1=k(x2+2x+1-1=k(x+12-1, ∴.抛物线C,的顶点坐标为-1，-，与k无关， 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因此淇淇的说法正确。4分 (3)解：①抛物线C,经过点P(-3,1, 将点P的坐标代入抛物线C,的解析式中，得1=（-3)k+2×(-3)k+k-1, 解得k=2 1 :抛物线C,的解析式为y=2+x- 2 2 ②由(2)可知，抛物线C,的对称轴为直线x=-1, :点P(-3,1)与点0关于抛物线C,的对称轴对称， .点Q的坐标为1，)， 当a>0时，抛物线C开口向上，要使线段P9与抛物线C只有一个公共点，则抛物线C经过点P(-3,1或 0(1,1), 若抛物线G经过点P(-3,,将P(-3,代入y=axx+,得1=ax(-3)x-3+1,解得a= 若抛物线C经过点Q1小，将01代入7=a:小，得=811+小，解得a令面当a=,线 段PQ与抛物线C的左侧还会有一个交点； 当a>0时， a2 1 6 当a<0时，抛物线C开口向下，要使线段PQ与抛物线C只有一个公共点，则抛物线G的顶点坐标为 将2别代入=x+小，得1=a》*小 解得a=-4. .1 综上所述，当二≤a<二或a=-4时，线段P9与抛物线G只有一个公共点.9分 6 2 27. 9a-3b+c=0 【详解】(1)解：把A(-3,0),B(1,0),C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c,得a+b+c=0, C=3 a=-1 解得b=-2, c=3 10/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列表达式中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则 3．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 5．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．  B．  C．D．   6．对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．抛物线的顶点坐标是 ． 8．二次函数，其中，则的取值范围是 ． 9．如果函数是二次函数，那么k的值一定是 ． 10．已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 11．将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 12．如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 13．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 14．如图，抛物线与轴交于点A，顶点B在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为 ． 15．一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 16．当时，二次函数的最大值为8，则 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 18．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交于点E． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 19．如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在抛物线上． (1)求m的值． (2)将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，求抛物线的顶点坐标． 21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件；每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件衬衫降价元． (1)降价后每件衬衫利润为___________元，平均每天可售出___________件． (2)该商场平均每天最多盈利多少元？盈利最多时应降价多少元？ 22．已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标为 ；函数的图象与轴的交点坐标为 ； (2)在平面直角坐标系中画函数图象．（把顶点坐标和图象与轴交点坐标填在表格中，再完善表格） … … … … (3)该抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为 ． (4)当时，直接写出二次函数中值的取值范围是 ． 23．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，点O是坐标原点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B画直线，交抛物线于点D，交y轴正半轴于点E． ①若点C与点E之间的距离为m，点D的横坐标为n，求m与n之间的数量关系； ②过点A作的平行线交直线于点F，当时，求点D的坐标． 25．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 26．已知抛物线（其中，且为常数）与轴交于，两点（点在点左侧），抛物线（其中，且为常数）． (1)直接写出，两点的坐标； (2)淇淇说：“无论为何值，抛物线的顶点坐标都不变．”请对淇淇的说法进行说理； (3)已知抛物线经过点； ①求抛物线的解析式； ②点在抛物线上，且点，关于抛物线的对称轴对称，连接．若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 27．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．点在点左边，设点的横坐标为，矩形的周长为． ①______； ②在①的条件下，求关于的关系式（不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点（点在点的上方）．若，直接写出点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $