第5章 二次函数（必备知识+8大易错+易错训练）（知识清单）数学苏科版九年级下册

第5章 二次函数 【清单01】二次函数的概念 一般地，形如 （a，b，c是常数， ）的函数，叫做二次函数 【清单02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： （a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式： （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式： ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x= 顶点 （ ， ） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大 当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小 【清单04】二次函数的平移 二次函数平移遵循“上 下 ，左 右 ”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当 时，就变成了一元二次方程 （a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与 ； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与 ； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与 ． 【清单06】用二次函数的性质解决实际问题 1.利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出 ，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的 或 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 【易错一】利用二次函数的定义求待定系数时忽略“a≠0” 方法技巧总结： 1. 先列等式，求可能值：根据题目条件，比如"函数是二次函数"或"函数经过某点"，列出关于系数的方程。 解出所有可能的解。 2.再用定义，定最终值：检查上一步得到的解。根据二次函数定义，二次项系数  a  不能为0。 【例1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）函数的图象是抛物线，则 ． 【易错二】利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论 方法技巧总结： 1. 先定开口，分情况：二次函数的增减性由开口方向决定。 - 当  a > 0  时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧  y  随  x  增大而减小，右侧则增大。 - 当  a < 0  时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧  y  随  x  增大而增大，右侧则减小。 解题时需分别讨论这两种情况。 2. 再列方程，求解集：在每种开口方向下，结合题目给出的增减性条件，列出关于系数的不等式或方程。 解出每种情况下的系数取值范围。 3. 最后综合，得答案：将所有有效情况的解合并，得出最终的系数取值范围。 【例2】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【易错三】二次函数的图象与系数的关系 方法技巧总结： - 看a：决定抛物线的开口方向和宽窄。 -  a > 0  时，开口向上； a < 0  时，开口向下。 -  |a|  越大，抛物线开口越窄；反之则越宽。 - 看a和b：共同决定对称轴的位置  x = -b/2a 。 - 可以用"左同右异"的口诀记忆：当对称轴在y轴左侧时， a  和  b  符号相同；在右侧时，符号相反。 - 看c：决定抛物线与y轴的交点位置。 - 交点坐标是  (0, c) 。 c > 0  时，交点在y轴正半轴； c < 0  时，在负半轴； c = 0  时，抛物线过原点。 - 看判别式： Δ = b² - 4ac  的值决定抛物线与x轴的交点数量。 -  Δ > 0  时，有两个不同交点； Δ = 0  时，有一个交点； Δ < 0  时，没有交点。 【例3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【易错四】利用二次函数解决实际问题中最值问题 方法技巧总结： 1. 设变量，建模型：先设自变量，通常是问题中要求最大化或最小化的量。 然后根据题目中的等量关系，列出函数解析式  y = ax² + bx + c 。 2. 求顶点，得最值：二次函数的最值出现在顶点处。 - 当  a > 0  时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值。 - 当  a < 0  时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值。 最值对应的自变量值为  x = -b/2a ，将其代入解析式可得最值。 3. 验范围，做取舍：检查顶点横坐标是否在自变量的实际取值范围内。 - 若在范围内，顶点处即为最值点。 - 若不在，则需根据函数增减性，在取值范围的端点处寻找最值。 【例4】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【易错五】二次函数中线段、周长、面积最值问题 方法技巧总结： 1. 线段/周长最值：“转化模型”优先 单线段最值用“顶点法”，如抛物线上点到定直线距离，设点坐标代入距离公式，转化为二次函数求顶点；多线段和最值用“对称转化”，如“将军饮马”模型，作定点关于对称轴/坐标轴的对称点，连对称点与另一定点，与抛物线交点即所求，线段长为最小值。 2. 面积最值：“底高公式+函数转化” 三角形面积优先选平行于坐标轴的边为底，如以x轴上线段为底，高为抛物线上点纵坐标绝对值，代入面积公式得二次函数，开口向下时顶点纵坐标即最大面积；多边形面积用“割补法”拆为三角形/矩形，分别表示面积再合并，转化为二次函数求最值。 【例5】（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【易错六】二次函数中等腰三角形、直角三角形存在性问题 方法技巧总结： 1.等腰三角形存在性问题 这类问题通常需要"两圆一线"的思路来确定点的位置： - 两圆：以已知线段的两个端点为圆心，线段长度为半径画圆，圆与抛物线的交点即为满足条件的点。 - 一线：作已知线段的垂直平分线，这条直线与抛物线的交点也是满足条件的点。 计算时，利用两点间距离公式。设出抛物线上点的坐标(x, y)，再把它代入二次函数表达式。然后根据"腰"的不同组合列方程求解。 2.直角三角形存在性问题 这类问题的关键是利用勾股定理或斜率乘积为-1来判断垂直关系。 - 固定直角顶点：先假设三个顶点中的一个为直角顶点。 - 计算边长：分别计算出三条边的长度的平方（避免开方）。 - 列方程求解：根据勾股定理列出等式。 - 验证结果：将解出的坐标代入二次函数，验证是否在抛物线上。 【例6】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式2-2】（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)求的面积； (3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【易错七】二次函数中特殊四边形存在性问题 方法技巧总结： 1. 平行四边形的存在性 平行四边形的关键是对角线互相平分。 设出三个已知点和一个未知点的坐标。 根据中点坐标公式，利用对角线中点重合的性质列方程求解。 这种方法比用对边平行或相等的性质计算更简洁。 2. 菱形、矩形、正方形的存在性 这类问题通常是在平行四边形的基础上增加特殊条件。 - 菱形：在平行四边形的基础上，增加"邻边相等"的条件。 - 矩形：在平行四边形的基础上，增加"邻边垂直"的条件。 - 正方形：在平行四边形的基础上，同时满足"邻边相等"和"邻边垂直"。 【例7】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【易错八】二次函数中的新定义型综合问题 方法技巧总结： 1. 精读定义，抓住本质 这类问题会给出一个教材上没有的新定义。比如"关联点"、"伴随函数"、"和谐三角形"等。你需要做的第一件事，就是逐字逐句地阅读和分析这个定义。把定义里的关键词、条件和数学表达式都划出来，确保完全理解。 2. 转化定义，建立联系 理解新定义后，下一步是把它"翻译"成我们学过的知识。通常是转化为函数、方程或几何关系。例如，新定义可能等价于"两点之间的距离等于某个值"，或"某个函数的函数值恒大于零"。这个转化过程是解题的桥梁。 3. 运用定义，求解验证 完成转化后，就可以运用我们熟悉的方法来解题了。比如，设点的坐标，代入二次函数表达式，然后根据转化后的条件列方程或不等式求解。最后，一定要把解出来的结果代回原题的新定义中，验证是否符合所有条件。 【例8】（24-25九年级下·浙江杭州·期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： (2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数，在时有最小值，则（   ） A．5 B．5或 C．5或 D．或 3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 4．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）已知函数 是关于x 的二次函数，则m= ． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）当时，二次函数的最大值为8，则 ． 6．（2026九年级·河北·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点，对称轴为直线，则以下结论中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧一元二次方程有实数根；⑨若都是该抛物线上的点，则；⑩（m为任意实数）． 三、解答题 7．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 8．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长m，篱笆长m．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商店销售一种成本40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克（月销售量大于0）．设销售价为x元/千克，月销售利润为y元． (1)若时，月销售量为________千克，销售利润为________元； (2)求y关于x的函数关系式并直接写出x的取值范围； (3)求月销售利润的最大值及此时的销售价． 10．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由； (3)已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由． 11．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图1，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折，得到四边形，若四边形为菱形，求点的坐标； (3)如图2，点是位于第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值，以及此时点的坐标． 12．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，已知抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． (1)用含的代数式表示，． (2)如图2，点与点关于抛物线的对称轴对称，点为对称轴上且位于顶点下方的一点，连接，，，若． ①直接写出点的坐标； ②过点作轴的平行线，交抛物线于点，（点在点左侧），将该抛物线沿直线翻折，翻折后抛物线的顶点为，若四边形是正方形，求的值． (3)如图3，若，点，是抛物线上两动点（点在点左侧），运动过程中始终保持，当时，连接，，直接写出四边形的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 二次函数 【清单01】二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【清单02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【清单04】二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【清单06】用二次函数的性质解决实际问题 1.利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 【易错一】利用二次函数的定义求待定系数时忽略“a≠0” 方法技巧总结： 1. 先列等式，求可能值：根据题目条件，比如"函数是二次函数"或"函数经过某点"，列出关于系数的方程。 解出所有可能的解。 2.再用定义，定最终值：检查上一步得到的解。根据二次函数定义，二次项系数  a  不能为0。 【例1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．根据二次函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 【易错二】利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论 方法技巧总结： 1. 先定开口，分情况：二次函数的增减性由开口方向决定。 - 当  a > 0  时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧  y  随  x  增大而减小，右侧则增大。 - 当  a < 0  时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧  y  随  x  增大而增大，右侧则减小。 解题时需分别讨论这两种情况。 2. 再列方程，求解集：在每种开口方向下，结合题目给出的增减性条件，列出关于系数的不等式或方程。 解出每种情况下的系数取值范围。 3. 最后综合，得答案：将所有有效情况的解合并，得出最终的系数取值范围。 【例2】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：0或3． 【易错三】二次函数的图象与系数的关系 方法技巧总结： - 看a：决定抛物线的开口方向和宽窄。 -  a > 0  时，开口向上； a < 0  时，开口向下。 -  |a|  越大，抛物线开口越窄；反之则越宽。 - 看a和b：共同决定对称轴的位置  x = -b/2a 。 - 可以用"左同右异"的口诀记忆：当对称轴在y轴左侧时， a  和  b  符号相同；在右侧时，符号相反。 - 看c：决定抛物线与y轴的交点位置。 - 交点坐标是  (0, c) 。 c > 0  时，交点在y轴正半轴； c < 0  时，在负半轴； c = 0  时，抛物线过原点。 - 看判别式： Δ = b² - 4ac  的值决定抛物线与x轴的交点数量。 -  Δ > 0  时，有两个不同交点； Δ = 0  时，有一个交点； Δ < 0  时，没有交点。 【例3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②，由时及与的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④；根据一元二次方程根与系数的关系，结合与的数量关系可判断⑤． 【详解】解：①对称轴在轴右侧， 、异号， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， ，故②正确； ③， ， 当时，， ， ，故③正确； ④根据图象知，当时，有最小值； 当为实数时，有 ， （为任意实数），故④正确； ⑤方程可转化为， 方程的两个之和为， ， 方程的两根之和为，故⑤错误； 故正确的由①有②③④，共个， 故选：C． 【易错四】利用二次函数解决实际问题中最值问题 方法技巧总结： 1. 设变量，建模型：先设自变量，通常是问题中要求最大化或最小化的量。 然后根据题目中的等量关系，列出函数解析式  y = ax² + bx + c 。 2. 求顶点，得最值：二次函数的最值出现在顶点处。 - 当  a > 0  时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值。 - 当  a < 0  时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值。 最值对应的自变量值为  x = -b/2a ，将其代入解析式可得最值。 3. 验范围，做取舍：检查顶点横坐标是否在自变量的实际取值范围内。 - 若在范围内，顶点处即为最值点。 - 若不在，则需根据函数增减性，在取值范围的端点处寻找最值。 【例4】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． (2)降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 【分析】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式． （1）设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论； （2）设降价元，该超市的利润最大，利润为．根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值． 【详解】（1）解：设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． （2）解：设降价元，该超市的利润最大，利润为． 时，利润取得最大值，且最大值为2000元． 答：降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 【易错五】二次函数中线段、周长、面积最值问题 方法技巧总结： 1. 线段/周长最值：“转化模型”优先 单线段最值用“顶点法”，如抛物线上点到定直线距离，设点坐标代入距离公式，转化为二次函数求顶点；多线段和最值用“对称转化”，如“将军饮马”模型，作定点关于对称轴/坐标轴的对称点，连对称点与另一定点，与抛物线交点即所求，线段长为最小值。 2. 面积最值：“底高公式+函数转化” 三角形面积优先选平行于坐标轴的边为底，如以x轴上线段为底，高为抛物线上点纵坐标绝对值，代入面积公式得二次函数，开口向下时顶点纵坐标即最大面积；多边形面积用“割补法”拆为三角形/矩形，分别表示面积再合并，转化为二次函数求最值。 【例5】（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）连接交对称轴于点，由关于对称轴对称得，进而得到，可知当三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）过点作轴 ，交于点，设点，则， 可得，进而根据三角形面积公式求出与的函数解析式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 【易错六】二次函数中等腰三角形、直角三角形存在性问题 方法技巧总结： 1.等腰三角形存在性问题 这类问题通常需要"两圆一线"的思路来确定点的位置： - 两圆：以已知线段的两个端点为圆心，线段长度为半径画圆，圆与抛物线的交点即为满足条件的点。 - 一线：作已知线段的垂直平分线，这条直线与抛物线的交点也是满足条件的点。 计算时，利用两点间距离公式。设出抛物线上点的坐标(x, y)，再把它代入二次函数表达式。然后根据"腰"的不同组合列方程求解。 2.直角三角形存在性问题 这类问题的关键是利用勾股定理或斜率乘积为-1来判断垂直关系。 - 固定直角顶点：先假设三个顶点中的一个为直角顶点。 - 计算边长：分别计算出三条边的长度的平方（避免开方）。 - 列方程求解：根据勾股定理列出等式。 - 验证结果：将解出的坐标代入二次函数，验证是否在抛物线上。 【例6】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 【变式2-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 【变式2-2】（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)求的面积； (3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)； (3)存在满足条件的 点，其坐标为或． 【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）联立求出，则，过顶点作 轴的平行线与直线交于点，求出，所以，然后由即可求解； （）设，则，，，然后分当和当两种情况，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：联立， 解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图， 过顶点作轴的平行线与直线交于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下， ∵，，点为抛物线上的一个动点， ∴设， ∴， ， ， 由于以为直角边的直角三角形， 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点； 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点， 综上可知：点的坐标为或． 【易错七】二次函数中特殊四边形存在性问题 方法技巧总结： 1. 平行四边形的存在性 平行四边形的关键是对角线互相平分。 设出三个已知点和一个未知点的坐标。 根据中点坐标公式，利用对角线中点重合的性质列方程求解。 这种方法比用对边平行或相等的性质计算更简洁。 2. 菱形、矩形、正方形的存在性 这类问题通常是在平行四边形的基础上增加特殊条件。 - 菱形：在平行四边形的基础上，增加"邻边相等"的条件。 - 矩形：在平行四边形的基础上，增加"邻边垂直"的条件。 - 正方形：在平行四边形的基础上，同时满足"邻边相等"和"邻边垂直"。 【例7】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【易错八】二次函数中的新定义型综合问题 方法技巧总结： 1. 精读定义，抓住本质 这类问题会给出一个教材上没有的新定义。比如"关联点"、"伴随函数"、"和谐三角形"等。你需要做的第一件事，就是逐字逐句地阅读和分析这个定义。把定义里的关键词、条件和数学表达式都划出来，确保完全理解。 2. 转化定义，建立联系 理解新定义后，下一步是把它"翻译"成我们学过的知识。通常是转化为函数、方程或几何关系。例如，新定义可能等价于"两点之间的距离等于某个值"，或"某个函数的函数值恒大于零"。这个转化过程是解题的桥梁。 3. 运用定义，求解验证 完成转化后，就可以运用我们熟悉的方法来解题了。比如，设点的坐标，代入二次函数表达式，然后根据转化后的条件列方程或不等式求解。最后，一定要把解出来的结果代回原题的新定义中，验证是否符合所有条件。 【例8】（24-25九年级下·浙江杭州·期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： (2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】本题考查二次函数背景下新定义类问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，利用待定系数法即可求解； （2）①设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，，得出进行求解即可； ②根据题意可知，需要分三种情况讨论，I、当且和Ⅱ、当且以及当进行分析求解． 【详解】（1）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，     ∵， ∴的顶点坐标为； （2）①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴或．            ②∵的解析式为：， ∴当时，， 当时，， 当时，， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， I、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或 （舍）； Ⅱ、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或（舍）： Ⅲ、当时，， 函数的最大值为，函数的最小值为； ∴， 解得（舍）； 综上，a的值为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的二次项系数不为，最高次数为次，得出，即可求解． 【详解】解：由二次函数定义得， 解得． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数，在时有最小值，则（   ） A．5 B．5或 C．5或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的增减性和对称性，注意分类讨论是解题的关键．结合二次函数的图象增减性，对称性，分和两种情况分别进行讨论即可． 【详解】解：当时， 二次函数的开口向上， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 当时， 二次函数的开口向下， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∵二次函数的自变量x的取值范围为， ∴当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 综上，或， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想．根据函数图象即可判断①②；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，进而对结论③④进行判断． 【详解】解：由图象可知，当时，，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线与x轴的交点是和，其中， ∴对称轴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确． 故正确的有3个． 故选：B． 二、填空题 4．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）已知函数 是关于x 的二次函数，则m= ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（，，为常数且）可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：或， 又∵， ∴， 综上所述：， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）当时，二次函数的最大值为8，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 6．（2026九年级·河北·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点，对称轴为直线，则以下结论中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧一元二次方程有实数根；⑨若都是该抛物线上的点，则；⑩（m为任意实数）． 【答案】②③④⑤⑧⑩ 【分析】本题的解题思路是先确定的符号，再利用对称轴、函数值、判别式等信息分析各结论． 【详解】解：结论①：抛物线开口向上，所以；对称轴，可得；抛物线与轴交点在负半轴，所以，则，结论①错误； 结论②：当时，，由图象可知时，所以，结论②正确； 结论③：对称轴为，所以当时的函数值与x=0时的函数值相等，时，所以，结论③正确； 结论④：，所以，结论④正确； 结论⑤：抛物线与轴交点在负半轴，所以，结论⑤正确； 结论⑥：抛物线与轴有两个交点，所以，即，结论⑥错误； 结论⑦：抛物线过点，所以，即，又因为，代入得，结论⑦错误； 结论⑧：一元二次方程的判别式，由，所以，有实数根，结论⑧正确； 结论⑨：点关于对称轴的对称点为，因为抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，，所以，结论⑨错误； 结论⑩：因为抛物线的对称轴为，且开口向上，所以当时，函数取得最小值，所以对于任意实数，即，结论⑩正确． 所以正确的是②③④⑤⑧⑩． 故答案为：②③④⑤⑧⑩． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、判别式等性质，结合这些性质分析系数符号、函数值符号以及方程的根的情况是解题的关键． 三、解答题 7．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 8．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长m，篱笆长m．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)；； (2)当时，的最大值为800． 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵墙长， ∴， 解得，， ∴； 矩形面积 ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵， ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商店销售一种成本40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克（月销售量大于0）．设销售价为x元/千克，月销售利润为y元． (1)若时，月销售量为________千克，销售利润为________元； (2)求y关于x的函数关系式并直接写出x的取值范围； (3)求月销售利润的最大值及此时的销售价． 【答案】(1)450，6750； (2)； (3)售价为70元时，利润最大为9000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一种成本40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，进行列式计算，即可作答． （2）根据销售利润=单价利润×销售量，进行列式计算，即可作答． （3）由（2）得，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：依题意，（千克）， （元）， ∴当时，月销售量为450千克，销售利润为6750元； （2）解：依题意，， ∴， 则， 即； （3）解：由（2）得， ∵ ∴开口方向向下， 在对称轴为直线时，取最大值， 且， ∴售价为70元时，利润最大为9000元． 10．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由； (3)已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)，存在最大值 (3)的周长有最小值 【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，周长问题，待定系数法求解析式； （1）用待定系数法即可求解； （2）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据点是抛物线上任意一点，设，，求得，作直线，过点作于点，进而得出，根据，当在上时，即当重合时，取得最小值，的周长有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在最大，理由如下， ∵， ∴， ，当时，，则， 设，， 如图所示， ∵ ， ∴当时，取得最大值为， ，则； （3）解：的周长有最小值， ∵点是抛物线上任意一点，设， ∵， ∴， ， 如图，作直线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，即当重合时，取得最小值，即的周长有最小值． 的周长有最小值，． 11．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图1，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折，得到四边形，若四边形为菱形，求点的坐标； (3)如图2，点是位于第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值，以及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)最大值4，点的坐标为 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；设直线，代入即可求解； （2）由题意得，设点坐标为，则，求解即可； （3）设点，则点的坐标为，得，即可求解. 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， ； 设直线．将点，代入可得． ， ； （2）如图1，将沿翻折，得到四边形． ，，四边形为菱形， ， 点在直线上， 可设点坐标为． ， ，解得或（舍去）， 点； （3）如图2， 点在抛物线上， 可设点， 点的坐标为， ， ， 抛物线开口向下， 当时，线段有最大值，最大值为4，此时点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质的应用，菱形的性质，一次函数的性质，翻折等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求最值是解题的关键． 12．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，已知抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． (1)用含的代数式表示，． (2)如图2，点与点关于抛物线的对称轴对称，点为对称轴上且位于顶点下方的一点，连接，，，若． ①直接写出点的坐标； ②过点作轴的平行线，交抛物线于点，（点在点左侧），将该抛物线沿直线翻折，翻折后抛物线的顶点为，若四边形是正方形，求的值． (3)如图3，若，点，是抛物线上两动点（点在点左侧），运动过程中始终保持，当时，连接，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)，； (2)①点的坐标为；②； (3)． 【分析】（1）利用抛物线与轴交点式，将、两点代入，展开后对比系数得出、与的关系． （2）①通过对称性得到角相等，推出直线的表达式，结合对称轴求出点横坐标，代入表达式得坐标；②根据菱形与正方形的关系，结合抛物线方程、根与系数关系及正方形条件列方程求解． （3）先确定抛物线表达式，求出长度，取中点构造平行四边形，利用平行四边形面积关系，结合点坐标求出相关三角形面积，进而得到四边形面积． 【详解】（1）解：抛物线过，， 该抛物线的函数表达式为， 即， ，； （2）解：①如图1，连接交轴于点． 由对称性知， ， ， 直线的函数表达式为， ，， 点的横坐标为， 将代入中，得， 点的坐标为； ②如图2，由轴对称性可知四边形为菱形． 当时，菱形为正方形， 设点的坐标为，点的坐标为， 在中，令， 得， 则，是该一元二次方程的两个根， ，， 故， 当时，， ， ， 化简，得， ， 解得（，舍去）， 故； （3）解：， 抛物线为， 则点的坐标为， ， 如图3，取的中点，连接，， ， ，， 四边形、四边形均为平行四边形， ， ， 过点作轴的垂线，过点作轴的平行线，两直线交于点， 设点，则点， 将点代入二次函数的表达式，得 ， 解得， ，， 的中点为， 连接，则， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括抛物线表达式的确定、对称性的应用、菱形与正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及三角形面积的计算等，熟练掌握二次函数的性质和相关几何图形的判定与性质是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $