第5章 二次函数（必备知识+10大题型+分层训练）（复习讲义）数学苏科版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第5章二次函数（复习讲义） 单元目标聚焦·明核心 1.了解二次函数的概念（形如y=ax2+bx+c(a≠0）)，体会二次函数各知识点之间的整体联系。 2.能用二次函数解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）表示函数。 3.理解二次函数的图象及性质，能分析其对称轴、顶点、增减性的特征。 4.能用“上加下减，左加右减”的规律进行二次函数图象的平移。 5理解二次函数与一元二次方程的关系，明确方程的解对应抛物线与ⅹ轴交点的横坐标。 6.能用二次函数的性质解决实际问题：列出解析式后，在自变量取值范围内求其最大值或最小值。 知识图谱梳理因基础 形如y=aX2+bx+C(a,b,c是常数，a≠0)的函数 二次函数的概念 一般式 顶点式 二次函数解析式的三种形式 交点式 对称轴 顶点 二次函数的图象及性质 二次函数 增减性 上加下减，左加右减 二次函数的平移 ax2+bx+C=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+C( a≠0)的图象与x轴交点的横坐标 二次函数与一元二次方程的关系 列出二次函数的解析式 用二次函数的性质解决实际问题 在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出 二次函数的最大值或最小值 1/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 教材要点精析•夯重点 【清单01】二次函数的概念 一般地，形如yx2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数 【清单O2】二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：ya(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h,k)· (3)交点式：ya(x-3)(x-),其中x1,龙是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0. 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=x2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) b 对称轴 X= -2a b 顶点 (2a 4ac-b2 a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 当一2 4ac-b2 当x 6 最值 时，y最小值 4ac-b2 4a 时，y最大值 2a Aa 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 当x以-2 时，y随x的增大而减小： 当x( b 时，y随x的增大而增大； -2a 增减性 当一2 时，y随x的增大而增大 当x2 时，y随x的增大而减小 【清单04】二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下域，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后 的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式. y=ax 向上O【或下<O】平移个单位 y=ax+k 向右(h>0) 【或左h<0】 平移个单位 向右h>0【或左h<O】平移个单位 向上60【或下k<0,】平移个单位 向右(h>0) 【或左(h<0)】 平移个单位 at-向上o0【或下0】平移个单位 y=a(x-h)+k 2119 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 1)二次函数y=2+bx+c(a≠0)，当y0时，就变成了一元二次方程c2+bx+c0(a≠0). 2)ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=a2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标. 3)(1)b2-4ac>0~方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； (2)b2-4ac=0一方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； (3)b2-4ac<0-方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点. 【清单06】用二次函数的性质解决实际问题 1利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 (2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、 最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标 和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利 用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 考点题型突破·拓思维 【题型一】二次函数的定义 【例1】(24-25九年级上·上海青浦·期中)下列函数中属于二次函数的是() A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.y=2x2-1 D.y=x+! X 【变式1-1】(24-25九年级上·广东江门期中)下列函数中，不是二次函数的是（) A.y=-x2 B.y=2(x-1)2+4C.y=x2 D.y=(x-2)2-x2 【变式1-2】(24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中)下列函数中是二次函数的有() ①y=3-V5x,②y=是，@y=x3-50:@y=0+2x1-2x+4r,⑤2r-3w+4=0:⑥2=0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型二】把y=ax2+bx+c化成顶点式 【例2】(24-25九年级下江苏宿迁期中)二次函数y=-x2-2x-5可变形为() 3 3/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4=x-2-4 B.y=-x+-2 c.y=x4旷+6 D.y=x-2+6 【变式2-1】(24-25九年级上黑龙江黑河·期中)二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标是() A.(1,-3 B.（-1,-2 C.(1,-4 D.(0,-3 【变式2-2】(24-25九年级上广东肇庆期中)将二次函数y=-x2-4x+2化为y=a(x+m)2+k的形式，则 () A.a=-1,m=-2,k=6 B.a=-1,m=2,k=6 C.a=1,m=-2,k=-6 D.a=-1,m=2,k=-6 【题型三】二次函数的图象和性质 【例3】（24-25九年级上·山西大同期中)关于抛物线y=x2-4x+4,下列说法错误的是() A.开口向上 B.与y轴交于正半轴 C.对称轴是直线x=2 D.当x>2时，y随x的增大而减小 【变式3-1】(24-25九年级上山东德州期中)对于二次函数y=x2-4x-1的图象，下列叙述正确的是() A.开口向下 B.对称轴为直线x=2 C.顶点坐标为-2，-5 D.当x>2时，y随x增大而减小 变式32】(2425九年级上贵州期中)对二次函数y)+4x+3的性质描述正确的是 A.函数图象开口朝下 B.当x<0时，y随x的增大而减小 C.该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴 D.该函数图象的对称轴在y轴左侧 【题型四】利用二次函数的图象和性质求解 【例4】(24-25九年级上江苏苏州期中)设(-2，y1),-1,y2)2,y3是抛物线y=x2+2x+4上的三点，则 4/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,y2:3的大小关系为 (用“>”连接). 【变式4-1】(25-26九年级上广东·期中)对于二次函数y=x2-4ax+a2+1,当x≥2时，y随x的增大而 增大，己知此二次函数的图象上有一点A(1,m),则m的取值范围为 【变式4-2】(24-25八年级下浙江宁波·期中)已知二次函数y=-x2-2bx+3b(b是常数)，当自变量 1≤x≤5时，函数有最大值为10，则b= 【题型五】二次函数与一元二次方程的交点问题 【例5】(24-25九年级上·江西赣州期中)已知二次函数y=x2-4x-5,则该二次函数图象与y轴交点坐 标为 【变式5-1】(24-25九年级上·甘肃庆阳期中)己知抛物线y=ax2-4a.xr+2(a≠0)与x轴的一个交点坐标为 (-3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为一 【变式5-2】(24-25九年级上·湖南湘西·期中)若二次函数y=x2-4x+m的图像与x轴有两个交点，则m 的取值范围是」 【题型六】画二次函数y=ax2+bx+c的图象 【例6】(24-25九年级上山东济宁期中)将抛物线y=x2-6x+5先向上平移5个单位长度，再向右平移1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是· 【变式6-1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中)抛物线y=-2x2+5可由抛物线y=-2x2向（填上或 下)平移个单位长度得到. 【变式6-2】(24-25九年级上山西大同·期中)将抛物线y=-2x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1 个单位长度，则平移后抛物线的解析式为 【题型七】二次函数的平移 【例7】(23-24九年级上·青海西宁.期中)已知二次函数y=2x2-4x-1 5/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8 65 4 3 2 -7-6-5-4-3-2-10 12345678 -3 (1)用配方法将y=2x2-4x-1化为y=a(x-)2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象： (3)直接写出当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【变式7-1】(24-25九年级上内蒙古呼伦贝尔期中)已知：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满 足如表： 0 0 m 5 3 -L 2 -3-2-19L1 =3 (1)可求得m的值为_： (②)求出这个二次函数的解析式； (3)画出函数图象，并根据图像写出当0<x<2时y的取值范围. 【变式7-2】(24-25九年级上·北京·期中)已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象过点A(0,3),B(2,3) ,C(-1,0. 6/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的表达式： (2)补全表格，画出二次函数的图象： (3)关于该二次函数，下列说法正确的有 ①图象开口朝下，顶点为1,4)： ②当x≤1时，y随x增大而减小； ③当0<x<3时，y的取值范围为0<y<4; ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6. :O 【题型八】待定系数法求二次函数的表达式 【例8】(24-25九年级上·安微蚌埠期中)已知抛物线的顶点坐标为(-1,3)，且经过点(2,12). ()求抛物线对应的函数表达式： (2)当-1≤x≤3时，求函数的最大值. 【变式8-1】(24-25九年级上浙江温州期中)己知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数)，经过点(0,3) ，（-1,3). (1)求抛物线的函数表达式； 7119 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)当-2≤x≤n时，抛物线的最大值与最小值的和为3，求的值， 【变式8-2】(24-25九年级上浙江温州期中)如图，已知抛物线y= +m+a经过点4-6小、2小 (1)求抛物线的表达式， (2)利用函数图象，求当-1<x≤2时，y的取值范围， 【题型九】利用二次函数解决实际问题 【例9】(25-26九年级上广东·期中)已知，如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点 B左方)，与y轴相交于点C,直线BC经过点B、C, VA (I)求AB的长度； (②)点P为直线BC下方抛物线上一点，当四边形ACPB面积最大时，求点P的坐标. 【变式9-1】(24-25九年级上湖北襄阳·期中)某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y (件)是售价x(元/件)的一次函数，该玩具的月销售总利润W=(售价一成本)×月销量，三者有如下数 据 售价x(元/件) 15 20 30 月销量y(件) 500 400 200 销售总利润W(元) 2500 4000 4000 (I)试求y关于x的函数关系式(x的取值范围不必写出)； (②)玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ (3)如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围， 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式9-2】(24-25九年级上·江西赣州期中)如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车 棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m),其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各 开一个1m的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形. 60m A D Im (I)设自行车车棚面积为Sm,车棚宽AB为xm,求S(m)与x(m)之间的函数关系式，并写出自变量x的取 值范围： (2)若车棚面积为285m2,求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值. 【题型十】二次函数与几何图形的综合问题 【例10】(2025海南省直辖县级单位一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线 y=ax2+9 r+Ca≠0)与轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C,其中A-2,0,B(6,0), D为抛物线顶点， YA B\x B 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式： (②)点E在线段BD上方抛物线上运动（不含端点B、D),求SAEDB的最大值及此时点E的坐标 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线L:y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点 B的左侧)，其顶点为C,D是抛物线第四象限上一点， 9/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 备用图 (I)求线段AB的长； (②)若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标. 【变式10-2】如图，抛物线y=mx2+2mx-3m(m≠0与x轴交于点A,点B（点A在点B的左侧)，与y轴 交于点C,连接AC,BC. (1)直接写出点C的坐标（用含m的代数式表示）； (2)若ABC的面积为6，求m的值： (3)在(2)的条件下，将抛物线向右平移h(h>0)个单位，记平移后抛物线中y随x的增大而减小的部分为 H,当直线AC与H总有两个公共点时，求的取值范围 【变式10-3】(2025海南一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+b.x+3(,b是常数，a≠0) 与y轴交于点C. 备用图 10/19 第5章 二次函数（复习讲义） 1. 了解二次函数的概念（形如y=ax²+bx+c(a≠0)），体会二次函数各知识点之间的整体联系。 2. 能用二次函数解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）表示函数。 3. 理解二次函数的图象及性质，能分析其对称轴、顶点、增减性的特征。 4. 能用“上加下减，左加右减”的规律进行二次函数图象的平移。 5. 理解二次函数与一元二次方程的关系，明确方程的解对应抛物线与x轴交点的横坐标。 6. 能用二次函数的性质解决实际问题：列出解析式后，在自变量取值范围内求其最大值或最小值。 【清单01】二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【清单02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【清单04】二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【清单06】用二次函数的性质解决实际问题 1.利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 【题型一】二次函数的定义 【例1】（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如，），逐一判断各选项是否为二次函数即可． 【详解】A．，符合的形式（），是二次函数； B．，展开后为，最高次项为，系数为2，是二次函数； C．，符合的形式（），是二次函数． D．，展开后为，化简后为一次函数，不是二次函数． 故选D． 【变式1-2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义是解题的关键． 先把关系式整理成二次函数的一般形式，再根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：①是二次函数；②不是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数． 综上，二次函数有①③，共2个． 故选B． 【题型二】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例2】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将二次函数化成顶点式即可得． 【详解】解： ， 则二次函数可变形为， 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，将抛物线方程化为顶点式是解题的关键． 由得到二次函数的顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：， 二次函数的顶点坐标是， 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将二次函数化为的形式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将一般式化为顶点式，根据配方法计算即可求解． 【详解】解： ， ∴， 故选：B． 【题型三】二次函数的图象和性质 【例3】（24-25九年级上·山西大同·期中）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．与轴交于正半轴 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图形的性质，根据相关性质一一判断即可； 【详解】解：∵，∴开口向上，故选项A正确，不符合题意； ∵令时，，∴交轴于点，即与轴交于正半轴，故选项B正确，不符合题意； ∵，∴对称轴是直线；故选项C正确，不符合题意； ∵，∴当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D 【变式3-1】（24-25九年级上·山东德州·期中）对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．根据题目中的二次函数的解析式以及二次函数的性质逐项判断各个选项中的说法是否正确，即可解题． 【详解】解： A、， 开口向上，选项错误，不符合题意； B、， 称轴为直线，选项正确，符合题意； C、当时，， 顶点坐标为，选项错误，不符合题意； D、对称轴为直线，二次函数开口向上， 当时，y随x增大而增大，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】（24-25九年级上·贵州·期中）对二次函数的性质描述正确的是（   ） A．函数图象开口朝下 B．当时，随的增大而减小 C．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D．该函数图象的对称轴在轴左侧 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟悉二次函数对称轴、顶点、与轴（轴）交点是解决此类题的关键． ，可判断其开口方向向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，令，得，抛物线与轴交于点，分别判断即可． 【详解】解：．，开口向上，故不符合题意； ．因开口向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，故不符合题意； ．当时，，即与轴交点为在轴正半轴，故不符合题意； ．对称轴为直线，在轴左侧，故符合题意； 故选：． 【题型四】利用二次函数的图象和性质求解 【例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 而离直线的距离最远，在直线上， ． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·广东·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而增大，可得．根据题意有，问题随之得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即． ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，时取最大值， 即， 则，解得， 方程的解不在的取值范围里，不符合题意； 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 【题型五】二次函数与一元二次方程的交点问题 【例5】（24-25九年级上·江西赣州·期中）已知二次函数，则该二次函数图象与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点坐标问题，掌握与y轴的交点坐标的横坐标为0是解题的关键．将代入二次函数求解即可． 【详解】解：将代入二次函数中，则， 故二次函数与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题、根的判别式等知识点，将抛物线与x轴的问题转化成一元二次方程根的问题成为解题的关键． 将抛物线与x轴的交点将问题转化为方程有2个不等实数根，再根据根的判别式列不等式求解即可． 【详解】 解：依题意，当时，方程有个不等实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 【题型六】画二次函数y=ax²+bx+c的图象 【例6】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，二次函数图像平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先把化成顶点式，然后确定顶点坐标为，再把顶点按照题干要求平移得到新的顶点坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴把点向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， ∴平移后得到的抛物线解析式为：． 故答案为． 【变式6-1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）抛物线可由抛物线向 （填上或下）平移 个单位长度得到． 【答案】 上 【分析】本题考查了二次函数图象和几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：抛物线可由抛物线向上平移个单位长度得到， 故答案为：上，． 【变式6-2】（24-25九年级上·山西大同·期中）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故答案为：． 【题型七】二次函数的平移 【例7】（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知二次函数 (1)用配方法将化为的形式；并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)直接写出当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)画图见解析 (3)当时，随的增大而减小 【分析】（）利用配方法求出二次函数的顶点式，进而得到对称轴和顶点坐标； （）利用五点法画图即可； （）根据二次函数的性质解答即可； 本题考查了二次函数的顶点式，画二次函数图象，二次函数的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，，即点，对称点为； 当时，，即点，对称点为； 画函数图象如下： （3）解：当时，随的增大而减小． 【变式7-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知：二次函数中的和满足如表： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 8 … (1)可求得的值为 ； (2)求出这个二次函数的解析式； (3)画出函数图象，并根据图像写出当时的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性得到当和所对应的函数值相等，从而得到的值； （2）设交点式，然后把把代入得求出的值即可； （3）描点作图，由函数图象可直接得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当和所对应的函数值相等， ； 故答案为：； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ， 即抛物线解析式为； （3）解：如图： 由图象可得，当时，． 【变式7-2】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【答案】(1) (2)见解答 (3)①④ 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式； （2）取点描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 【题型八】待定系数法求二次函数的表达式 【例8】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为 (2)在中，当时，有最大值为 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质求最值等知识，熟练掌握待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质求最值的方法是解决问题的关键． （1）根据题意，设出二次函数顶点式，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）由（1）中所求表达式，利用二次函数图象与性质即可求出当时，函数的最大值． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由（1）知抛物线对应的函数表达式为， 抛物线开口向上、对称轴为， 当时，随的增大而增大， 在中，当时，有最大值为． 【变式8-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线（，为常数），经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，抛物线的最大值与最小值的和为3，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的最值问题；解题的关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质与最值． （1）用待定系数法，将两个点的坐标代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求得函数表达式； （2）根据的取值范围，求得抛物线的最大值和最小值，再根据抛物线的最大值与最小值的和为3，即可求得的值； 【详解】（1）解：将和分别代入解析式得：， 解得， ∴； （2）解：当时，，，，， ∵抛物线最大值与最小值的和为3， ∴， ∴，（舍）， 当时，，，，， ∴（舍）， 当时，，，，， ∵抛物线最大值与最小值的和为3， ∴， ∴，（舍）， 综上所述：，． 【变式8-2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）利用配方法得到，根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，当时，y有最小值，当时，的值为1，从而可得结论． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，y有最小值， 当时，的值为1， ∴当时，y的取值范围． 【题型九】利用二次函数解决实际问题 【例9】（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数与x轴的交点问题，二次函数的最值，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）令，求出一元二次方程的根，进而求得； （2）设点，根据B，C坐标，求出的函数关系式，过点P作y轴平行线交于D，设点P坐标，表示出点D坐标，进而求得的长，从而表示出的面积，进而表示出四边形的面积函数关系式，配方求得最大值即可． 【详解】（1）解：由得， ， ，， ，， ； （2）如图1， 设点， 点，， 的解析式是：， 如图，过点P作y轴平行线交于D， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ． 【变式9-1】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据 售价x（元/件） 15 20 30 月销量y（件） 500 400 200 销售总利润W（元） 2500 4000 4000 (1)试求y关于x的函数关系式（x的取值范围不必写出）； (2)玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ (3)如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围． 【答案】(1) (2)成本为10元每件，时月销售总利润最大，最大利润是4500元 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）设成本为m元，根据每件利润数量总利润列方程求解；根据每件利润数量总利润建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）根据题意得到，再转化为利用二次函数图象解一元二次不等式． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为，则， ，解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：设成本为m元， 由题意可得：， 解得（元）， 则， ∵， ∴当时，W有最大值，为4500元； （3）解：由题意得，， 即， 解方程得 令， 由得抛物线开口向上 ∴当时，． 【变式9-2】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 【答案】(1)；； (2)长为，宽为或长为，宽为； (3)； 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽． （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴，， ∴与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． （2）由题意得： 整理得： 解得：，； 当宽，长，符合题意； 当宽，长，符合题意； 答：自行车车棚的长为，宽为；或自行车车棚的长为，宽为； （3）自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ∵ ，， ∴当 时，有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到． 【题型十】二次函数与几何图形的综合问题 【例10】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把抛物线解析式化为顶点式可得；再求出，进而得到直线解析式为；过点E作轴交于F，设，则，则；根据，可得，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；∵抛物线解析式为， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点E作轴交于F， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴的最大值为，此时点的坐标为． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， （2）过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 【变式10-2】如图，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)直接写出点的坐标（用含的代数式表示）； (2)若的面积为6，求的值； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移个单位，记平移后抛物线中随的增大而减小的部分为，当直线与总有两个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，即可求得点坐标； （2）求出的坐标，表示出的面积，由此即可得到答案； （3）平移后的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，当抛物线经过点时，，此时直线与有两个公共点，联立，得到方程，当时，此时直线与有两个公共点，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：在中，令，得， 解得，， ，， ， 由抛物线图象可得：， ， ， 解得：； （3）解：由（2）得 ，， 将抛物线向右平移个单位， 新抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 当抛物线经过点时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， 当时，随的增大而减小， 联立， 解得：，， 此时与直线有两个交点； 联立， ， 直线与总有两个公共点， ， 解得：， 综上所述，当时，直线与总有两个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质；二次函数的平移规则：左加右减，上加下减；采用数形结合的思想进行解题，是解此题的关键． 【变式10-3】（2025·海南·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数，）与轴交于点． (1)如图，若抛物线经过，两点， 求抛物线的解析式； 设抛物线顶点为，求的面积； 点是抛物线对称轴上的动点，则的最小值为______； (2)若抛物线经过，，三点，对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) ；1； (2)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； 求得的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，求得与轴的交点，然后根据求得即可； 找出的最小值为，利用勾股定理即可求得． （2）先求出抛物线的对称轴是直线直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ，解得， 抛物线的解析式为； 抛物线是常数，与轴交于点， ， ， 抛物线顶点， 设直线的解析式为，与轴的交点为， ，解得， 直线的解析式为， ， ， ； 连接交抛物线的对称轴于，此时，的值最小，最小值为， ∵，， 即的最小值为， 故答案为：； （2）由条件可知：抛物线的对称轴是直线， 当时，此时抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， 对于，，都有， ， ， 又， ； 当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 此时， 解得， 又， ； 综上，当或时，都有． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，线段最值问题，勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，正确理解二次函数的定义是解题的关． 【详解】解：、，等式右边含分式，不是二次函数，原选项不符合题意； 、，是二次函数，原选项符合题意； 、，不是二次函数，原选项不符合题意； 、在中，因为没有限定，所以不一定是二次函数，原选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象的顶点坐标是，该函数有最小值，最小值是，故B、C选项错误，不符合题意； ∴函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x 的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知二次函数(m为常数)，函数值y的最大值为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了将一般式化成顶点式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，然后根据函数值y的最大值为列方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口方向向下， ∴当时，函数值y的最大值， ∵函数值y的最大值为， ∴，解得：． 故选B． 4．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【详解】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·天津·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 将一般式转化为顶点式，即可得解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质．根据二次函数的对称轴及增减性求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握变换规律是解题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：由题意得，平移后得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理， 先作点C的对称点，当点三点共线，且时，值最小，再求出点，即可求出直线，然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】解：如图所示，作点C的对称点，可知， 当点三点共线，且时，值最小， 当时，， ∴点. ∵抛物线的对称轴是， ∴点. ∵直线，且， ∴直线. ∵直线经过点， ∴， ∴直线. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点， 则. 故答案为：. 三、解答题 9．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)当时，求的值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， （1）二次函数图象经过点和利用待定系数法求解确定解析式，化为顶点式即可得； （2）将代入函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为， ， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解： 将代入得， ． 10．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象； x … … y … … (2)若点和点都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出t的取值范围为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）列表如下： … … … … 函数图像如下所示： （2）由函数图像可知，当时，． 11．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． 【答案】(1) (2)；面积为 (3) 【分析】1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）令，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先将求的周长最小就转化为求的最小值，确定出最小时的点P的位置，再确定出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴，； ∴， ∴； （3）解： 中， 令，则， ∴或， ∴，； ∵是定值，， 由抛物线的对称性，知点C与点D关于抛物线的对称轴直线对称， ∴，当点B，P，D三点共线时，取得最小值， 连接交直线于点P，此时的值最小，的周长最小． 设直线的解析式为， ， ， ． 当 时，． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)，线段周长问题(二次函数综合)，解题关键是用待定系数法求二次函数的解析式． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，点O是坐标原点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B画直线，交抛物线于点D，交y轴正半轴于点E． ①若点C与点E之间的距离为m，点D的横坐标为n，求m与n之间的数量关系； ②过点A作的平行线交直线于点F，当时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点D的坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数表达式及二次函数图象与性质． （1）用待定系数法求二次函数表达式即可； （2）①先求出，则，即可得出结论；②先求，作轴，取中点N，连接，则是的中位线，进而求出F点的坐标为，代入直线解析式求出结论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，． ∴C点坐标为， 将，代入抛物线解析式，得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①如图1，点D的横坐标为n，则D点坐标为，点B坐标为，    ∴设，代入B，D两点坐标, ， 解得：， ， ∴， ∴， 即； ②∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴令，解得或， ∴A点坐标为， ∵， 设直线的解析式为， 把点代入解析式，得， ∵， ∴设直线的解析式为， 把A点坐标代入上式，得：， ∴， ∴， ∵， ∴点F是的中点， 作轴，取中点N，连接， ∴是的中位线，如图2所示，    设D点坐标为， ∴， ∴，， ∴， ∴F点的坐标为， ∵点F在直线上， ∴将点F坐标代入中， 得：， 解得（舍去）或， ∴点D的坐标为． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向上，对称轴为，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越小，求出点，，到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越小， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出的取值范围是解题的关键．根据一元二次函数的顶点式可知，当时，取得最小值，最小值为，由，可得当或时，，最后结合题意即可得解． 【详解】， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象，二次函数中的正负与图象的关系是解题的关键． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，C，D均不符合题意，B选项符合题意； 当时，一次函数经过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 故选：B ． 4．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由图象开口方向判断出的正负，由对称轴和开口方向得出的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，由抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴直线， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①错误； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 由图象知当时，， ， ， ， 所以②正确； ③抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ， ， 因此③正确； ④由图象可得时，为最大值， ，即， 所以④错误． 综上所述，正确的结论有②③，共2个， 故选：． 5．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）关于二次函数．有下列三个结论： ①若，是该二次函数图象上任意的两个点，则； ②当时，该二次函数的图象与轴始终没有交点； ③若该二次函数的图象与轴交于，两点，且，则或． 以上结论正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程之间的关系等知识，①根据抛物线的对称轴和点的对称性得出结果；②根据方程的根的判别式的取值得出结果； ③根据得出抛物线与x轴有两个公共点，设抛物线与x轴的交点是，，根据得出，进而求得m的范围，两者结合得出结果． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线， ， ，故①正确； ②令，可得， ， 令，即， 解得， 该二次函数的图象与轴始终没有交点，故②正确； ③该二次函数的图象与轴交于，两点， ， ， 或， 设抛物线与轴的交点是，， ， ， ， 或， 或时，，故③不正确． 故选：B． 二、填空题 6．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的图象如图，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解含有的直角三角形，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的点B的坐标是解决本题的关键． 设点，根据，可得，再根据勾股定理与含有的直角三角形求解出a与b的关系，由此可得与的长度，再由菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接交于点D，如图， 设点，即，， ∵四边形为菱形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即，即点， ∵点B在二次函数上， ∴，解得，（舍）， 即，， ∴，， ∴菱形的面积为． 故答案为： ． 8．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：(①；②；③；④，正确的结论有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，二次函数的对称轴，根据图象开口方向，与轴交点及对称轴可判断①；由时，函数有最大值可判断②；由图象与轴的另一个交点在与之间，由此判断③；由二次函数的图象与x轴有两个交点可判断④，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下 ∴， ∵对称轴为直线 ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值，即最大值为， ∴当时，， 即，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，图象与轴的一个交点在与之间， ∴图象与轴另一个交点在与之间， ∴当时， 即，故③正确； 由图象知，二次函数的图象与轴有两个交点， ∴，故④错误． 综上，正确的结论有2个． 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴为直线，分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， ， 整理得：， 解得：； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 解得：(舍去)，(舍去)； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 整理得：， 解得：，； 综上分析可知：a的值为或或； 故答案为：2或或． 10．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合． （1）把，两点代入求出、的值即可； （2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：，， 此拋物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于点， 则， 此时最小，，   拋物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ， 又， 设的解析式为， ， 解得：， 的解析式为， 当时，， ， . 12．（25-26九年级上·天津·阶段练习）（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． （2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． ①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ ②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值． 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）①20元，②每件服装应降价15元时，一天取得最大利润，最大利润为1250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程和函数关系式是解题的关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同可得，再解方程即可； （2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出一元二次方程，解方程经检验后可得答案； ②设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可 【详解】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； ②设每件服装应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵，且降价金额不超过30元且不少于5元， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天能取得最大利润，最大利润为1250元． 13．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 14．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线， ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：． 15．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，抛物线：过点，顶点为Q．抛物线：（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． 【答案】(1)， (2)选择嘉嘉（或淇淇），理由见详解 (3)①直线的解析式为；②直线与轴交点的横坐标为或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，设与轴交点横坐标为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：过点，顶点为， ， 解得， ∴抛物线为， ∴； （2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ， 当时，， ∴过定点， ∴淇淇说法正确； （3）解：①当时，， ∴顶点， 而， 设为， ， 解得， ∴直线的解析式为； ②∵， 到轴的距离为6， 与交点的纵坐标为， 当时（等于6两直线重合不符合题意）， ， ， ∵直线的解析式为， 当时，， 解得， 时，解得， 设与轴交点横坐标为， 则， 解得， 此时直线与轴交点的横坐标为； ， 解得， 此时直线与轴交点的横坐标为． 综上，直线与轴交点的横坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 16．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在点，使的面积最大，面积的最大值为 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等角对等边，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据点A的坐标可得的长，则可得到的长，进而得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出直线的解析式为；过点P作交于E，设，则，可求出，，据此求解即可； （3）分点M在点B上方和点M在点B下方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C在y轴的正半轴， ∴； ∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作交于E，设，则， ∴； ∵ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：如图所示，当点M在B上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在点B下方时，设直线交x轴于F， 设， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $