第六章 反比例函数（必备知识+6大易错+易错训练）（知识清单）数学北师大版九年级上册

第六章 反比例函数 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 五、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 易错01　根据反比例函数的定义求参数 易错总结 1. 忽略“k≠0”：误将形如y = \frac{k}{x}（k为常数）直接判定为反比例函数，漏看k≠0的限制。 2. 混淆函数形式：对y = kx^{-1}等等价形式不熟悉，错判函数类型。 3. 参数范围考虑不全：求参数时，仅满足形式却未验证k的取值是否符合题意。 解题技巧 1. 紧扣定义形式：确认函数为y = \frac{k}{x}（k≠0）或y = kx^{-1}（k≠0）的形式。 2. 双重验证参数：先根据定义列方程求参数，再代入验证k≠0。 3. 结合题意分析：若函数有实际背景，需额外保证自变量、函数值的合理性。 例1：（2025九年级下·全国·专题练习）若是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、利用平方根解方程 【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，且， ， 故答案为：． 易错02　已知反比例函数分布的象限求参数范围 易错总结 1. 混淆k的符号与象限的关系：误将“k>0时图象在一、三象限”记反，导致参数符号判断错误。 2. 忽略“k≠0”前提：求范围时只考虑象限对应的k符号，漏了k≠0的基本限制。 3. 增减性与象限绑定错误：误将不同象限内的增减性当成整个定义域的性质，导致参数分析偏差。 解题技巧 1. 对应象限定k号：根据图象所在象限，直接确定k的正负（一、三象限→k>0；二、四象限→k<0）。 2. 验证k的非零性：结合定义，确保求出的参数使k≠0。 3. 结合增减性细化：若涉及增减性，需明确“同一象限内y随x的变化”，再对应k的符号。 例2：（24-25九年级上·全国·期末）若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查反比例函数的图象．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； 故答案为：． 易错03　已知反比例函数的增减性求参数 易错总结 1. 忽略“同一象限”前提：误将“y随x增大而减小/增大”当成整个定义域的性质，未限定同一象限，导致参数判断错误。 2. 混淆k的符号与增减性的关系：错记“k>0时，同一象限内y随x增大而减小；k<0时则相反”的对应关系。 3. 漏验k≠0：求参数时只满足增减性对应的k符号，未验证k≠0的基本条件。 解题技巧 1. 锁定“同一象限”：看到增减性描述，先明确是“同一象限内”的变化规律。 2. 符号对应规律：根据增减性定k的符号（减→k>0；增→k<0）。 3. 双重验证：求参数后，既要保证k的符号符合增减性，也要确认k≠0。 例3：（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数是常数，的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一，三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二，四象限，在每一象限内，随的增大而增大． 根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 易错04　实际问题与反比例函数的图象问题 易错总结 1. 忽略实际意义的限制：图象漏画自变量、函数值的正半轴范围（实际问题中常为正数）。 2. 混淆图象与实际量的对应：误将图象上的点与实际情境中的量对应错误，导致分析偏差。 3. 忽略k的实际意义：求k时未结合实际背景验证其正负（实际问题中k常为正）。 解题技巧 1. 限定变量范围：根据实际情境，确定自变量、函数值的取值范围（如正数），只画对应象限的图象。 2. 结合情境析点：将图象上的点对应实际量（如“x=2对应时间2小时”），再分析关系。 3. 验证k的合理性：求k后，结合实际意义确认其符号与数值是否符合题意。 例4：（2025·辽宁大连·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限；根据实际意义以及函数的解析式，可判断图象是双曲线，根据以及自变量的取值范围即可进行判断； 【详解】，F为常数， 的图象是双曲线，且双曲线的图象在第一、三象限， ， 双曲线的图象在一象限, 故选：． 易错05　反比例函数中利用k值求图形的面积 易错总结 1. 忽略k的绝对值：计算面积时忘记用|k|，直接代入k的值，导致面积为负数。 2. 记错面积公式：混淆了"矩形面积等于|k|"和"三角形面积等于|k|/2"。 3. 找不到"关键点"：不会从复杂图形中，找出在双曲线上的点，并向坐标轴作垂线。 4. 多算或少算：对由多个基本图形组合成的复杂图形，面积计算容易出错。 解题技巧 1. 核心思路：牢记过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。 2. 解题步骤： - 找：找到双曲线上的点P(x, y) - 作：过P作x轴、y轴的垂线 - 算：利用矩形或三角形面积公式结合|k|求解 3.  复杂图形：通过"割补法"将复杂图形分解成几个能用|k|计算的基本图形，再求和或差。 例5：（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是（   ） ①与的面积相等； ②四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为； ③与始终相等； ④当点A是的中点时，点一定是的中点 A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数系数所表示的意义，对①②③④分别进行判断． 【详解】解：设A点坐标为，则P点坐标为，B点坐标为， ①A、为上的两点，则，正确； ②四边形的面积，只有时，即，四边形的面积始终等于矩形面积的一半才能成立，故选项错误； ③只有当的横纵坐标相等时，，错误； ④当点A是的中点时，即，即， 此时点坐标为，即，， 故当点A是的中点时，点一定是的中点，正确． 故选：B． 易错06　反比例函数与几何图形的综合问题 易错总结 1. 坐标关系不清：不会利用几何图形的性质（如中点、垂直、距离）来表示点的坐标。 2. 联立方程出错：解一次函数与反比例函数的方程组时，计算失误或漏根。 3. 忽略图像位置：不结合函数图像所在象限分析，导致求出的解不符合几何图形的实际位置。 4. 面积计算复杂：面对组合图形时，不知如何分割或补全，导致面积计算错误。 解题技巧 1. 核心思路："以点为桥，坐标为媒"。把几何图形的性质转化为点的坐标关系。 2. 解题步骤： - 设点：设出函数图像交点或关键点的坐标。 - 列关系式：根据几何性质（如平行、垂直、距离、面积）列出关于坐标的方程。 - 求坐标：联立函数解析式，解方程组求出点的坐标。 - 算结果：将求出的坐标代入，计算最终要求的长度、面积等。 例6：（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．      (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由四边形是矩形，所以，，，由折叠可知，，，所以； （2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以，解之可得，将点代入反比例函数解析式可得，； ②由待定系数法可得，，令，解得或，则；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；利用待定系数法可得，，及直线的解析式，令，解得，则，时，的周长最小． 【详解】（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 关于折叠得到， ，， ； （2）①，， ， 由折叠可知，， 在中，， ， ， ， 关于的反比例函数图象经过点， ， 该反比例函数解析式为； ②设直线的解析式为：， ，， ， 解得， ， 令，解得或， ； ； 由折叠可知，， 如图，延长至点，使得，则， 连接交于点，点即为所求；    设直线的解析式为：， ，解得， ， 同理可得直线的解析式为：， 令，解得， ， ， 即时，的周长最小． 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟悉的形式的反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若双曲线的图像分布在第二、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像的分布与系数符号的关系，掌握反比例函数图像的分布规律是解题的关键．根据图像分布在第二、四象限。则，从而求解m的取值范围． 【详解】解：双曲线的图像分布在第二、四象限， , ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 5．（2024·山西·模拟预测）学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据函数图象结合各选项逐一判断即可． 【详解】解：由函数图象得随的增大而减小，且满足反比例函数关系， A、当时，，不符合图象，错误； B、当时，，不符合图象，错误； C、，则当时，，错误；, D、，当时，，正确； 故选：D． 6．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上），公共点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若两个正方形的面积之和是，且，则的值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设，， 由题意得：， ∵正方形与（其中边，分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）已知函数是关于的反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数“一般地，形如（是常数，）的函数叫做反比例函数”，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键．根据反比例函数的定义可得，由此即可得． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象，掌握反比例函数的系数与图象分布关系是解决问题的关键．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象的分支位于第一、三象限， ， ． 故答案为：． 9．（2025·四川成都·模拟预测）已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的正负，进而确定m的取值范围． 【详解】解：∵两点在双曲线上，且， ∴反比例函数图象在二、四象限， ∴，解得：． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 mL． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及从图象中获取信息、待定系数法确定函数关系式，数形结合，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． 根据题意压强p与汽缸内气体体积V成反比例函数，设，代入点可得，再求两种气压下对应气体体积即可求解． 【详解】由图可知，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）成反比例函数关系， 设， ∵函数图象过点， ∴，解得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ， 气体体积压缩了L． 故答案为：20． 11．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，可证明轴，得到；再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∴； ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，坐标为，双曲线经过点A和的中点D，连接，，则 ． 【答案】8 【分析】过点D作于点E，延长交x轴于点F，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，根据，得出，根据，得出，求出A点的纵坐标为4，D点的纵坐标为2，证明，根据平行线分线段成比例，得出，得出，设，则，求出，根据两个点在反比例函数图像上，得出，求出m的值，得出答案即可． 【详解】解：过点D作于点E，延长交x轴于点F，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，如图所示： ∵点C在x轴上，坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴A点的纵坐标为4，D点的纵坐标为2， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵点A、D均在反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何综合，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题 13．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 【详解】解：延长交轴于， 轴， 垂直于轴，即， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为1， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为3， 矩形的面积为． 14．（24-25九年级上·全国·期末）已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了正比例函数和反比例函数的定义，掌握基本定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据反比例函数的定义求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的正比例函数； （2）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的反比例函数． 15．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数的性质得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小得到，进而解不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴，解得， 即k的取值范围是； （2）解：∵反比例函数图象经过第一象限的两点，，且， ∴，解得， 又∵， ∴a的取值范围是． 16．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，对角线轴，边所在的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求和的函数表达式． (2)是x轴上一动点，当是以为斜边的直角三角形时，点的坐标为_______． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质、菱形的性质、勾股定理的运用，掌握利用菱形对角线平行、边长相等的性质确定点的坐标以求解函数表达式，结合勾股定理列方程求轴上动点的坐标是解题的关键. （1）由图形的对称性知，点、关于对称，则 点的坐标为，进而求解； （2）由，即，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， 四边形为菱形，轴， 由图形的对称性可知，点关于对称． 又点B的坐标为，点C的坐标为， 点的坐标为． 将点的坐标分别代入，得解得 ． 将点的坐标代入：，得， 解得． 故和的解析式分别为：，． （2）或， 设点的坐标为． 由点的坐标，得． 由题意，得， 即， 解得． 故点的坐标为或． 18．（2022九年级下·广东佛山·竞赛）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． (1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． (2)求的值． (3)求开机50分钟时热水器中水的温度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数关系式，求反比例函数关系式， 对于（1），将点代入关系式，解方程组求出解即可； 对于（2），将点代入反比例函数求出关系式，再令可得答案； 对于（3），先求出直线关系式，再求出时函数值即可. 【详解】（1）解：当时，将点代入直线关系式，得 ， 解得， ∴直线关系式为； （2）解：将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数. 当时，（分）， 所以； （3）解：当时，直线的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 所以开机50分钟时热水器中水的温度是70℃. 19．（2022·河南南阳·三模）如图，已知点在y轴上，在x轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反比例函数在第一象限内的图象恰好经过点C，D． (1)直接写出：点D的坐标， ； (2)将正方形绕点B按顺时针方向旋转，当点C的对应点落在x轴上时，判断点D的对应点是否落在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)点D的坐标为，2 (2)没有，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及了全等三角形的判定与性质、旋转等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）作轴，证即可求解； （2）根据题意作图，可求出的坐标为：，据此即可验证； 【详解】（1）解：作轴，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵反比例函数在第一象限内的图象经过点D． ∴； （2）解：如图所示： ∵， ∴； 由旋转可知：； ∴， ∴的坐标为：； ∵， ∴点D的对应点不落在反比例函数的图象上． 20．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）在矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)若，当点F运动到边的中点时， ①则点E的坐标为______； ②连接、，则和的关系是______； (2)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，若F是的三等分点，求此时反比例函数的解析式． 【答案】(1)①；②，； (2)反比例函数为： 【分析】（1）①先求出点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出点坐标即可；②证明是的中点，再结合三角形的中位线的性质即可得证； （2）如图，过点作轴，交于点，则四边形为矩形，可得，，由F是的三等分点，可得或，再分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：①∵矩形中，， ∴，， 当点F运动到边的中点时：， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与边交于点E， ∴， ∴； ∴； ②，，理由如下：如图：连接，    ∵，，， ∴， ∴为的中点； ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，. （2）解：如图，过点作轴，交于点，则四边形为矩形， ∴，，    ∵F是的三等分点， ∴或， 当时，则，， ∴，， ∴反比例函数为：， ∵， ∴，即， ∴， 同理：四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； 当时，则，， ∵， ∴，与，互相矛盾，舍去， ∴综上：反比例函数为：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第六章反比例函数 思维导图 y=x/k形如k为常数，k0)的画数称为反比例@数 反比例函数的定义 待定系数法确定反比例函数关系式 确定反比例函数的关系式 1画反比例楹数的图象的基本步骤：列表、描点、连线 2反比例晒数的图象特征：反比制晒数的图象是双曲线，它有两 个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二.四象限 反比例函数的图象和性质 当k0时，双曲线的两个分支分别位于第一，三 象限，在每个象限内，y值随×值的增大而减小 反比例函数 3.反比例☒数的性质 当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四 象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大 反比例函数中的比例系数k的几何意义 1基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用 函数的图象和性质等知识解决题 2一股步案如下：(1)审清题意(2)由题目中的已知条件，列出方程，求 出待定系数3)写 函敌解析 ,并注意 式中变量的取值范围(4) 利用反比例函数解决实际问题 利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题 3.反比例函数在其他字科中的应用 知识清单 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy=k ,或表示为y=,其中k是不等于零的常数， 一般地，形如y= 一(k为常数，飞≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变 量x的取值范围是不等于0的一切实数， 特别说明：（1)在y=中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以自变量x的取值 范围是x≠0，函数y的取值范围是y≠0.故函数图象与x轴、y轴无交点. 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k (2)y=二(k≠0)可以写成y=a1(永≠0)的形式，自变量x的指数是一1，在解决有关自变量指数问 x 题时应特别注意系数k≠0这一条件 (3)y=仁(k≠O)也可以写成=的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k,从而得到 反比例函数的解析式 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y=止中，只有一个待定系数k,因 此只需要知道一对x、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： (1)设所求的反比例函数为：y= (k≠0)： (2)把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； (3)解方程求出待定系数k的值： k (4)把求得的k值代回所设的函数关系式y= 中 三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： (1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时， 只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； (2)描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； (3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接， 切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相 交； 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反 比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴 特别说明：(1)若点(，b)在反比例函数y=二的图象上，则点(-，一b)也在此图象上，所以反比例函 数的图象关于原点对称： (2)在反比例函数y=《(k为常数，k≠0)中，由于x≠0且y≠0，所以两个分支都无限接近但永远不能 达到x轴和y轴. 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.反比例函数的性质 (1)如图1，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增 大而减小： (2)如图2，当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增 大而增太： 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函 数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推 断出k的符号 四、反比例函数y=《(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线y=《(k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为风。 过双曲线y=冬(k≠0》上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 要点诠释：只要函数式己经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围 成的面积始终是不变的 五、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题， 2.一般步骤如下：(1)审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. (2)由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数 (3)写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围 (4)利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 (1)当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数： (2)当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； (3)在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； (4)电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 易错总结 易错O1根据反比例函数的定义求参数 易错总结 1.忽略“k≠0”：误将形如y=ac{k{x}(k为常数)直接判定为反比例函数，漏看k≠0的限制。 2.混淆函数形式：对y=kx1}等等价形式不熟悉，错判函数类型。 3.参数范围考虑不全：求参数时，仅满足形式却未验证k的取值是否符合题意。 解题技巧 l.紧扣定义形式：确认函数为y=fack{x(k≠0)或y=kx^{1}(k≠0)的形式。 2.双重验证参数：先根据定义列方程求参数，再代入验证k≠0。 3.结合题意分析：若函数有实际背景，需额外保证自变量、函数值的合理性。 例1：(2025九年级下.全国专题练习)若y=(m-2)x㎡-5是反比例函数，那么m的值是 易错02己知反比例函数分布的象限求参数范围 易错总结 1.混淆k的符号与象限的关系：误将“k心0时图象在一、三象限”记反，导致参数符号判断错误。 2.忽略“k≠0”前提：求范围时只考虑象限对应的k符号，漏了k≠0的基本限制。 3.增减性与象限绑定错误：误将不同象限内的增减性当成整个定义域的性质，导致参数分析偏差。 解题技巧 1.对应象限定k号：根据图象所在象限，直接确定k的正负（一、三象限→k>0;二、四象限→k<0)。 2.验证k的非零性：结合定义，确保求出的参数使k≠0。 3.结合增减性细化：若涉及增减性，需明确“同一象限内y随x的变化”，再对应k的符号。 例2：(2425九年级上全国期末)若反比例函数y=2-k的图象位于第一、第三象限，则的取值范围 是 易错03已知反比例函数的增减性求参数 易错总结 1.忽略“同一象限”前提：误将“y随x增大而减小增大”当成整个定义域的性质，未限定同一象限，导 致参数判断错误。 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.混淆k的符号与增减性的关系：错记“k>0时，同一象限内y随x增大而减小；k<0时则相反”的对应 关系。 3.漏验k≠0：求参数时只满足增减性对应的k符号，未验证k≠0的基本条件。 解题技巧 1.锁定“同一象限”：看到增减性描述，先明确是“同一象限内”的变化规律。 2.符号对应规律：根据增减性定k的符号（减→k>0;增→k<0)。 3.双重验证：求参数后，既要保证k的符号符合增减性，也要确认k≠0。 例3：(2425九年级上贵州铜仁期末)若函数y=m+2的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小， 则m的取值范围是」 易错04实际问题与反比例函数的图象问题 易错总结 1.忽略实际意义的限制：图象漏画自变量、函数值的正半轴范围（实际问题中常为正数）。 2.混淆图象与实际量的对应：误将图象上的点与实际情境中的量对应错误，导致分析偏差。 3.忽略k的实际意义：求k时未结合实际背景验证其正负（实际问题中k常为正）。 解题技巧 1.限定变量范围：根据实际情境，确定自变量、函数值的取值范围（如正数），只画对应象限的图象。 2.结合情境析点：将图象上的点对应实际量（如“x=2对应时间2小时”)，再分析关系。 3.验证k的合理性：求k后，结合实际意义确认其符号与数值是否符合题意。 例4：(2025辽宁大连模拟预测)受到压力为F(N)(F为常数F>0)的物体，所受的压强P(P)与受力面 积S(m)的函数表达式为P=5,则这个函数的图象为() AP AP A D 0 易错05反比例函数中利用k值求图形的面积 易错总结 1.忽略k的绝对值：计算面积时忘记用k,直接代入k的值，导致面积为负数。 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.记错面积公式：混淆了"矩形面积等于k和"三角形面积等于k2"。 3.找不到"关键点"：不会从复杂图形中，找出在双曲线上的点，并向坐标轴作垂线。 4.多算或少算：对由多个基本图形组合成的复杂图形，面积计算容易出错。 解题技巧 1.核心思路：牢记过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为k,三角形面积为k2。 2.解题步骤： ·找：找到双曲线上的点P(么，y) ·作：过P作x轴、y轴的垂线 ·算：利用矩形或三角形面积公式结合k求解 3.复杂图形：通过"割补法"将复杂图形分解成几个能用k计算的基本图形，再求和或差。 例5：(24-25九年级上河南阶段练习)如图，两个反比例函数y=上和y=上（其中k>k,>0)在第一象 限内的图象依次是C和C2,设点P在C上，PC⊥x轴于点C,交C,于点A,PD⊥y轴于点D,交C,于点 B,下列说法正确的是() 木y CC R 0 ①△ODB与aOCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积始终等于矩形OCPD面积的一半，且为k,-k2; ③PA与PB始终相等； ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点 A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 易错06反比例函数与几何图形的综合问题 易错总结 1坐标关系不清：不会利用几何图形的性质（如中点、垂直、距离)来表示点的坐标。 2.联立方程出错：解一次函数与反比例函数的方程组时，计算失误或漏根。 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.忽略图像位置：不结合函数图像所在象限分析，导致求出的解不符合几何图形的实际位置。 4.面积计算复杂：面对组合图形时，不知如何分割或补全，导致面积计算错误。 解题技巧 1.核心思路："以点为桥，坐标为媒。把几何图形的性质转化为点的坐标关系。 2.解题步骤： ·设点：设出函数图像交点或关键点的坐标。 ·列关系式：根据几何性质（如平行、垂直、距离、面积）列出关于坐标的方程。 ·求坐标：联立函数解析式，解方程组求出点的坐标。 -算结果：将求出的坐标代入，计算最终要求的长度、面积等。 例6：(24-25八年级下.浙江绍兴·期末)如图，在坐标系中有一矩形0ABC,满足A10,0,C(0,8),点D为 AB上一点，△BCD关于CD折叠得到△ECD,点E落于边OA上. B 0 A (1)求OE的长度； 2)若y关于x的反比例函数y=《(k≠0)图象经过点D,与CD另一交点记为点F； ①求该反比例函数解析式； ②在CE上有一动点P,当点P坐标为多少时，△PDF的周长最小？ 易错训练 一、单选题 1.(24-25九年级下·湖南长沙开学考试)若函数y=(m+1)xm-2是反比例函数，则m的值为() A.0 B.1 C.-1或1 D.-V3或 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25九年级上安徽合肥阶段练习)若双曲线y=2-m的图像分布在第二、四象限，则m的取值范围 是() A.m<2 B.m>2 C.m=2 D.m>-2 3.(2526九年级上安微六安阶段练习》反比例函数y=m+2的图像在每一个象限内，y都随x的增大而 增大，则m的取值范围是() A.m>2 B.m>0 C.m>-2 D.m<-2 24-25九年级上广东广产州期末)如图，已知两个反比例函数C:y和C,:y三3在第一象限内 象，设点P在C上，PC⊥x轴于点C,交C,于点A,PD⊥y轴于点D,交C,于点B,则四边形PAOB的面 积为() IB 3 A. B. 2 c D.2 5.(2024山西模拟预测)学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地.根据物 理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N)一定时，人和木板对地面的压强P(单位：Pa)是木板 面积S(单位：m2)的反比例函数，它的图象如图所示.下列说法正确的是() ◆PPa 600 0 A.当S≤1m2时，P≤600Pa B.当S≥lm时，P≥600Pa C.当S=0.5m2时，P=300Pa D.当0<S≤0.5m2时，P≥1200Pa 6.(25-26九年级上·山东淄博阶段练习)如图所示，正方形ABCD与AEFG(其中边BC,EF分别在x, y轴的正半轴上)，公共点A在反比例函数y=的图象上，直线DG与X,y轴分别相交于点M,V.若 形的面积之和是)，且MD三4GN，则k的准 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F E A C A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题 7.(25-26九年级上额南阶段练习)已知函数y=是关于x的反比例函数，则k的值为 8.(24-25九年级上安徽合肥期末)若反比例函数y=2-k的图象的分支位于第一、三象限，则的取值 范围是」 9.(2025四川成都模拟预测)己知A-1,,B2,,}两点在双曲线y=m+1上，且片>，则m的取值 范围是 10.(24-25九年级上·内蒙古包头·期末)在恒温下，气体对汽缸壁的压强p(kPα)与汽缸内气体体积V (mL)的函数关系如图所示.若压强由75kPa加压到100kPa,则气体体积压缩了mL. A pkPa 100 100 ViL 11.(2425九年级上广东河源阶段练习)如图，点A在反比例函数片=18x>0)的图象上，过点4作 8 AB⊥x轴，垂足为B,交反比例函数y,=O(x>O)的图象于点C,P为y轴上一点，连接PA、PC,则 △APC的面积为 12.(25-26九年级上·安徽合肥阶段练习)如图，平行四边形ABC0的顶点O为坐标原点，点C在x轴上， 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 坐标为3,0，双曲线y=经过点A和BC的中点D,连接4D,S.0=3,则k= C 三、解答题 13.(24-25九年级上甘肃兰州期末)如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=3之上，且AB∥x轴， C,D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，求它的面积. OD C 14.(24-25九年级上全国期末)已知函数y=(3+m)x- (1)若y是x的正比例函数，求m的值. (②)若y是x的反比例函数，求m的值. 15.(23-24九年级上安微宿州阶段练习)已知反比例函数y=-4的图象位于第一、三象限。 x (1)求k的取值范围； (2)若a>0,此函数的图象经过第一象限的两点(a+5,y),(2a+1,2),且片<y2,求a的取值范围. 16.(24-25九年级上安徽毫州期末)已知反比例函数y=2a+8 (a为常数). ()若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当x>0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围， 17.(2025九年级上全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B的坐标为(-1,0)， 顶点C的坐标为-5，小，对角线AC∥x轴，边AB所在的直线y=x+b与反比例函数，=《(k>0)的图象在 第一象限内交于点A. 10/12