专题14 反比例函数特殊四边形存在性的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题14 反比例函数中特殊四边形存在性的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形存在性问题 类型二、菱形存在性问题 类型三、矩形存在性问题 类型四、正方形存在性问题 压轴专练 类型一、平行四边形存在性问题 例1-1．（点顺序不确定）如图，在平面直角坐标系中，，点在线段上，且点的横坐标为3，点A的坐标为．过点作轴，、分别与反比例函数的图像相交于点、，，连接． (1)点的坐标为 ；所在直线的函数表达式为 ； (2)求反比例函数表达式和点的坐标； (3)点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质、等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． （1）如图：过点A作轴于G，根据等腰三角形的性质求出D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）如图：延长交x轴于H，作于F，证明，可求，即可求，再由C点在反比例函数图象上，可求； （3）设，根据平行四边形的对角线分三种情况分别求n的值即可． 【详解】（1）解：如图：过点A作轴于G， ∵点， ∴， ∴， ∴， 设所在直线的函数的解析式为， ∴， ∴， ∴直线为． 故答案为：． （2）解：如图：延长交x轴于H，作于F， ∵轴， ∴轴， ∵点B在线段上，且点B的横坐标为3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵C点在反比例函数图象上， ∴． （3）解：设， 当为平行四边形的对角线时，，解得：， ∴； 当为平行四边形的对角线时，， 解得：（舍）； 当MC为平行四边形的对角线时， 解得：， ∴； 综上所述：N点坐标为或． 例2-2．（点顺序确定）如图1，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点是直线上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接． (1)求反比例函数表达式； (2)若直线上存在点G，它到直线的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，点Q是反比函数上一点，连接，，若四边形是平行四边形，则点Q的坐标为________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求出直线的解析式，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）先求出的坐标，进而求出的长，设，作于点，连接，进而得到，，根据等积法，列出方程进行求解即可； （3）先确定平移规则，设向右平移个单位，再向上平移个单位得到，求出，根据平行四边形的性质和平移思想，求出点坐标，再代入到反比例函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得， ∴， ∴当时，， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2， ∴， 把点A的坐标代入反比例函数解析式中，得， ∴， ∴； （2）∵轴，与y轴交于点E，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴设，则：，， 作于点，则：， ∴，解得：或， ∴或； （3）∵，设直线交轴与点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵将沿射线方向平移一定的距离后，得到， ∴设向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是点向左平移5个单位得到的， ∴点向左平移个单位，得到点，∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象和反比例函数的图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，平行四边形的性质，图形的平移，勾股定理等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 变式1-1．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N的坐标为或或 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长； （2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设，，由，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标； （3）由题意得：，，，设，分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点D， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， 则； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则， ∵ ， ∴，解得：， 则点M坐标为； （3）解：存在； 由题意得：，，，设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即， 综上，N的坐标为或或． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)所有符合条件的点的坐标为或或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题； （3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于， 对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； （2）解：设，则， ，， ， ， 解并经检验得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时，， ； （3）解：所有符合条件的点的坐标为或或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接、．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形； (3)点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，当四边形为平行四边形时，求出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）分是以为斜边和以为直角边的等腰直角三角形，两种情况进行讨论求解即可． （3）根据四边形为平行四边形，得到，，列式计算即可． 【详解】（1）解：把点A、B的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴一次函数表达式为：； 把点C的坐标代入上式得：， 故点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①当是以为斜边的等腰直角三角形， ∴为直角， 过点D作于点H，如下图所示：    设点E的坐标为，则点， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得（舍去），． 经检验是原方程的解； ②当是以为直角边的等腰直角三角形时，如图，    ∵点E的坐标为，则点， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 经检验是原方程的解； 综上：当或时，是等腰直角三角形． （3）∵四边形为平行四边形，    ∴， ∵点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 经检验：是原方程的解， ∴． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，解分式方程，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 类型二、菱形存在性问题 例2-1．（点的顺序确定）如图1，正方形中，．过A点作轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)y，点E的坐标为； (3)存在，点Q的横坐标为或3或或. 【分析】（1）由正方形性质可得，利用同角的余角相等得出，再利用即可证得结论； （2）先求得，代入，求得，可得，当时，，即可求得答案； （3）利用待定系数法可得直线 的解析式为，进而可得直线 的解析式为，设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别列方程组求解即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设反比例函数的表达式为，把代入，得， ∴y， 当时，， ∴点E的坐标为； （3）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为，把代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线l的解析式为，把代入得， 解得：， ∴直线l的解析式为， ∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点， ∴设， 又， 当为对角线时， ， 解得：， ∴； 当为对角线时， ， 解得：或（舍去）， ∴； 当为对角线时， ， 解得：或， ∴ 或； 综上所述，在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标为或3或或． 【点睛】此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等． 例2．（点的顺序不确定）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标是 【分析】（）利用一次函数求出点坐标，再利用等腰三角形的性质得到点坐标，进而求出点坐标，最后代入反比例函数的表达式求出即可求解； （）当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，结合函数图象即可求解； （）存在点，使四边形为菱形．连接与交于点，由菱形的性质可得，即得点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数的表达式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点， ∵轴于点， ∴点的横坐标为, 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴由图象可得的取值范围为； （3）解：存在点，使四边形为菱形． 连接与交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 把代入反比例函数得， ， ∴点的坐标是， ∴反比例函数图象上存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标是． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，菱形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 变式2-1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点在第四象限，且轴于点A，轴于点，一次函数的图象分别交轴、轴于点，点，且，． (1)求反比例函数的表达式 (2)请写出当取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值？ (3)点是反比例函数图象上一个动点，连接，，并把沿翻折得到四边形，求出使四边形为菱形时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据一次函数解析式求出，，根据，得出点P的横坐标为，把代入得出点P的纵坐标为，即，根据，求出，得出，代入反比例函数解析式求出m的值，即可得出反比例函数解析式； （2）先求出一次函数图象与反比例函数图象的另外一个交点的坐标，然后根据函数图象得出x的取值范围即可； （3）根据菱形的性质得出，，说明点N为的中点，根据，，得出，根据轴，得出轴，说明点的纵坐标为，代入反比例函数解析式求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的纵坐标为，即， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为：． （2）解：根据解析（1）可知：， ∴一次函数的解析式为：， 令， 解得：或， 把代入得：， ∴反比例函数图象与一次函数图象的另外一个交点的坐标为， ∴根据函数图象可知：当或时，一次函数的值不大于反比例函数的值； （3）解：设交于点N； ∵四边形为菱形， ∴，， 即点N为的中点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，菱形的性质，求一次函数解析式，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． 变式2-2如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点（点在点左边），过两点作直线，与双曲线的另一交点为，过作直线的平行线交双曲线于点． (1)则点坐标为 ，点坐标为 ，并求直线的解析式； (2)如图2，点在轴负半轴上，连接，交直线于点，连接，且，将线段在轴上移动，得到线段（如图3），请求出的最大值； (3)如图4，点在轴上，在平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）联立方程组即可得出点的坐标，利用待定系数法先求出直线的解析式，再求出的解析式即可； （2）设，先表示出，再求出，结合，求出，从而得出，将点向上平移4个单位长度，得到点，设点、关于轴对称，则，连接并延长交轴于点，即可得解； （3）设，，分三种情况：当为对角线时，当为边时，菱形为时，当为边时，菱形为时；分别利用菱形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：联立方程组， 解得：或， ∵点在点左边， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为：， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵点、关于原点对称，， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴设， 令直线交轴于， ， 在中，当时，，即， ∴， ∴， 联立， 解得：或， ∴， ∴， 作于，连接、，则，， 设，， 由勾股定理得：，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，则， 如图，将点向上平移4个单位长度，得到点，则，则为平行四边形， ∴， 设点、关于轴对称，则，连接并延长交轴于点， ， ∴的最大值为； （3）解：由（2）可得：，， 设，， ∵以点为顶点的四边形是菱形， ∴当为对角线时，， 解得：，即， 当为边时，菱形为时，， 解得：或，即或； 当为边时，菱形为时，， 解得：或（不符合题意，舍去），即； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理、菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 变式2-3 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根（）． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，反比例函数的图象的一个分支经过点E，求k的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N有多少个，并写出其中一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，符合条件的点N有4个，、，或 【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出、的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标； （2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值； （3）假设存在，设点M的坐标为，分别以为边、为对角线来考虑．根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为． ∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0， ∴点E的横坐标为． ∵点E为直线上一点， ∴． 将点代入中， 得：，解得：； （3）解：假设存在，设点M的坐标为， 以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分三种情况（如图所示）： ①以线段为边，且点N在直线右侧时， ∵，，E为线段的中点， ∴， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 解得：，， ∴或， ∵，， ∴或； ②以线段为边，且点N在直线左侧时，， ∴． 解得，． ∴． ∵，， ∴． ③以线段为对角线时，， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，即． 综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个， 坐标为、，或．（写到一个即可） 【点睛】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用因式分解法解一元二次方程；（2）求出点E的坐标；（3）分线段为边、为对角线两种情况来考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，分别以给定的线段为边和为对角线考虑，根据菱形的性质找出关于点M坐标的方程是关键 类型三、矩形存在性问题 例3-1．（点的顺序不确定）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，分别过点，作轴，轴平行线，交于点，的面积为16． (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，直接写出点，的坐标． 【答案】(1)，； (2)点，的坐标分别为：，或，或，或，． 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、矩形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据的面积为16求出，进一步利用待定系数法即可求出答案； （2）分四种情况画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ， 解得： 把代入，得， ． 正比例函数解析式为： 在反比例函数的图象上， ． 反比例函数解析式为：． （2）设， 由（1）可知，，， 由矩形的性质和中点坐标公式得到， ①如图，当为边，点在轴正半轴时，四边形为矩形， 则 解得， ∴， ②如图，当为边，四边形为矩形，点在轴负半轴时， 则 解得， ∴， ③如图，当为对角线时，则， ∴ ∴ ∴， ∴，或， 综上可知，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，点，的坐标分别为：，或，或，或， 例3-2．（点的顺序确定）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知 (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点未在图中画出是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，当四边形为矩形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标______． 【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为：； (2)或； (3)或 【分析】把点B的坐标代入反比例函数表达式，得出反比例函数解析式；把点B的坐标代入，求出b的值，得到一次函数的解析式； 求出点，设，根据可得，由点D是反比例函数图象上的一个动点，即可得点D的坐标； 分两种情况：①当点M在x轴上时，②当点M在y轴上时，根据矩形的性质分别求解即可． 本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法确定函数解析式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【详解】（1）解：点是反比例函数与一次函数的交点， ，， 反比例函数和一次函数的表达式分别为：； （2）解：一次函数中，当时，， ， 设， ， ， ， 点在上， 或1， 故点或 （3）解：存在点M，N，使得四边形是矩形，理由如下： ①当点M在x轴上时，如图，设点M的坐标为， 过点B作轴于点G， ， ， ：CB， ， ， ， ， ， 点M的坐标为； ②当点M在y轴上时，过点B作轴于点H，如图， 设点M的坐标为， ， ， ， ， ， ， ：BQ， ， ， 点M的坐标为， 存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，点M的坐标分别为或， 故答案为：或 变式3-1 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)如图，点在反比例函数（）的图象上，且在点的左侧，连接并延长交轴于点，连接，，若，求的面积； (3)若点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的面积是； (3)存在，，． 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据点的坐标即可求得；由与的图象的交点关于原点对称可得点的坐标； （2）由推得，设，则，再由点在的图象上可求得点坐标，从而可由得解； （3）由直线的解析式求出过点且与垂直的直线的解析式，可得直线与轴的交点及直线与轴的交点坐标，这两点即为点，再结合矩形性质、两点间距离、一次函数求出对应的点坐标即可． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为， 点的坐标为， ， ， 与的图象的交点关于原点对称， 点与点关于原点对称， ； （2）解：，， ， 又， ， ， 设，则， 又在的图象上， ， ， ， ； （3）解：存在点，，使得四边形是矩形，，，理由如下： 设直线的解析式为，把代入， 则， 直线的解析式为， 设过点且与垂直的直线交y轴于点E，作轴于点N，作于点M， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，即 设过点且与垂直的直线的解析式为， 将代入可得， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为（与点E重合）， 四边形是矩形， ，且，， 设的解析式为，的解析式为， 当时，， 即的解析式为， 此时， 设， 则， 解得，即， 当时，同理可得． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、反比例函数图象与性质、求一次函数表达式、两点间距离、矩形的性质，解题关键是分类讨论找出对应点，坐标． 变式3-2几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 【答案】(1) (2)2或3 (3)7或3 【分析】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可； （2）设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，则，设点坐标为，则①，②,解得，或，，则或；证明直线与x轴的夹角为；证明得到即可求解； （3）联立方程组求得，，进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵将反比例函数的图像向左平移3个单位， ∴平移后的函数解析式为， ∵当时，， ∴平移后的图像与y轴的交点坐标； （2）解：设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，如图， 则，设点坐标为， 则①，②, 解得，或，， 则或； 如图，在直线取一点，过T作轴于S， 则，，， ∴，满足直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半， ∴，即直线与x轴的夹角为； ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 即的值为2或3； （3）解：解方程组，得或（舍去）， ∴； 解方程组，得或（舍去）， ∴， ∴， ∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ∴， ∴， ∵直线与两条曲线交于G、H， ∴当点H在点G右上方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； ∴当点H在点G左下方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； 综上，满足条件的b值为7或3． 【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键． 变式3-3 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的纵坐标为3 (1)求点A的坐标和k的值； (2)如图2，点C在反比例函数的图象上，且在点B的左侧，连接并延长交x轴于点D，连接，，若，求的面积； (3)若点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)9 (3)存在，或 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据点的坐标即可求得；由与的图象的交点关于原点对称可得点的坐标； （2）由推得，设，则，再由点在的图象上可求得点坐标，从而可由得解； （3）由直线的解析式求出过点且与垂直的直线的解析式，可得直线与轴的交点及直线与轴的交点坐标，这两点即为点，再结合矩形性质、利用点的平移即可求解对应的点坐标． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ， 与的图象的交点关于原点对称， 点与点关于原点对称， ； （2）解：，， ， 又， ， ， 设，则， 又在的图象上， ， ， ， ； （3）解：存在点，，使得四边形是矩形，理由如下： 设直线的解析式为，把代入， 则， 直线的解析式为， 设过点且与垂直的直线交y轴于点E，作轴于点N，作于点M， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即 设过点且与垂直的直线的解析式为， 将代入可得 ∴， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为（与点E重合）， 四边形是矩形， ，且， ∴点向点的平移方式与点向点的平移方式与距离一样， ∵，，， ∴； 当时，同理可得． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、相似三角形的判定与性质，平移的性质、矩形的性质，解题关键是分类讨论找出对应点，坐标． 类型四、正方形存在性问题 例4-1．（点顺序不确定）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 例4-2．（点顺序确定）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质与平行四边形的性质； （1）把代入，即可求解； （2）设，，根据，，为对角线，利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据矩形的性质可得，，得出直线的解析式为，分两种情况讨论，当在点右侧时，当在点左侧时，设，根据正方形的性质，全等三角形的性质，得出的坐标，进而代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵在的图象上， ∴， ∴ （2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时， ∴为的中点，则， ∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵，，为对角线 ∴ 解得： ∴ ∴ （3）解：∵矩形的顶点， ∴， 直线的解析式为， 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵点为线段上的一个动点， 设，则,， ∴， ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ 如图所示，当在点左侧时， 同理可得， ∴ 设， ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述， 变式4-1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②4 (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）①根据的横坐标，结合函数图象，即可求解； ②根据一次函数求得的坐标，进而根据，即可求解； （3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）①∵，， 根据函数图象可得当时，或；     ②由得点为， 即的面积为4； （3）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 变式4-2．如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．    (1)求n的值． (2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标． (3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）先求出B的坐标，然后把B的坐标代入求解即可； （2）设，则可求，然后根据三角形面积公式列出方程求解即可； （3）分以为边，为对角线讨论即可． 【详解】（1）解：∵点B横坐标为2，且B在直线上， ∴， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知， 设， ∵轴， ∴D的横坐标为c， 又D在的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或； （3）解：设，则 一、以为边时， ①如图，四边形为正方形，    则，C和E的纵坐标相同， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去），（舍去）， ∴，， ∴； ②如图，四边形为正方形，    则，D和E的纵坐标相同， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 二、以为对角线时， 如图，四边形为正方形，    则是中点，，M和E的纵坐标相同 ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去），，（舍去） ∴，，或， ∴或 综上，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系． 变式4-3．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与且的面积相等，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，并在左侧作正方形，当顶点F或顶点N恰好落在直线上，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M点坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式，再将代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式； （2）过点C、E分别作轴，轴，连接，利用A、C坐标求得，进而得到；根据的面积且与的面积相等，可知，进而得到，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可； （3）设，分两种情况讨论：当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，过点D作交于点H，通过证明，确定点，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标；当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，同理可得：，确定点N的坐标，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，点代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入中， ， 解得：， ， 将代入， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：如图，过点C、E分别作轴，轴，连接，    ∵， ， ， ∵的面积且与的面积相等， ∴E点在过D点且与平行的直线上，即， ， 设， 则      解得，（不合题意，舍去） ， ∴； （3）解：设， 如图，当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点， 过点D作交于点H，   ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得， 如图，当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，    同理可得：， ，， ，解得：或， 点M在点D左侧，， 综上所述：M点坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定及性质，属于反比例函数几何综合题，难度较大． 1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，．    (1)点C的坐标为______； (2)将平移至第一象限内的，若、恰好落在反比例函数的图像上， ①求k的值； ②直线的解析式； ③设直线交y轴于点D，若在x轴上存在的一点Q，在反比例函数的图像上存在的一点P，使得四边形是平行四边形，则点Q的坐标为______，点P的坐标为______． 【答案】(1) (2)①②③ 【分析】（1）过点作轴，证明，得到，进而得出点的坐标即可； （2）①设为，表示出、的坐标，再利用两个点均在反比例函数上，得到两个点的横纵坐标之积相等，求出值即可；②待定系数法求出函数解析式即可；③利用中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴， 过点作轴于点，    ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①由图可知，是由向右平移得到的，设， 则：， ∵、恰好落在反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴； ③∵，当时，， ∴， 设， ∵四边形是平行四边形，， ∴，解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，平移以及反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握平移的特点，平行四边形对角线互相平分，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点B、C在第二象限内． (1)求点B的坐标； (2)将正方形以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)或或 【分析】（1）过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出，从而得出，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标； （2）设反比例函数解析式为，根据平移的性质找出点的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论； （3）先求出点的坐标，再分三种情况，利用平行四边形的对角线中点坐标相同建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示．    ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴ ∴点的坐标为； （2）解：存在点Q满足题意. 设反比例函数解析式为， 由题意得：点坐标为，点坐标为， ∵点和在该比例函数图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数解析式为． （3）解：假设存在，设点P的坐标为，点Q的坐标为． 由（2）知， ①当与是对角线时， ∴ ∴， ②当与是对角线时， ∴， ∴， ． ③当与是对角线时， ∴， ∴， ∴ 综上所述，符合题意的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键． 3．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，已知点坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，顺次连接，，．    (1)求的值及点的坐标； (2)点为轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点，使得，，，四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)的坐标为或或 【分析】（1）根据矩形的性质以及点坐标为，求得的坐标，即可得出反比例函数解析式； （2）依据、的坐标联立方程，应用待定系数法即可求得直线的解析式，再根据三角形面积公式即可求解； （3）根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）点坐标为，为中点， ， ， 反比例函数解析式为， 把代入得：，即， （2）， 设直线的解析式为， 解得： 直线的解析式为， 当时，，当时，， 直线经过点， 设，， ， 的面积等于的面积， ， ， 或 （3）由题意得：，，， 设， 分三种情况考虑：①当四边形为平行四边形时，可得，， 解得： ，，即； ②当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； ③当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即，    综上，的坐标为或或． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，以及三角形，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 4．已知：如图1，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过C、D两点． (1)求点C的坐标并直接写出、的值； (2)如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点D作轴，垂足为点H，交的图象于点E，点M为y轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）作轴于，作轴于，则，证明，求出；将代入可得；同理可得，从而可得，再利用待定系数法求解即可； （3）求得，结合勾股定理可得，设，，根据菱形的性质，分两种情况：当为对角线时，此时；当为边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图：作轴于，作轴于，则， ， ∵在平面直角坐标系中点，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； 将代入可得：，即； 同理可得：， ∴，， ∴，即， 将代入可得：，即； （2）解：∵在平面直角坐标系中点，， ∴垂线为直线， 如图：作点关于垂线的对称点，连接，并延长交垂线于，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最大，为， 由（1）可得， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：存在， 由（1）可得：，，， 当时，，即， ∴， 设，， ∵点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形， ∴当为对角线时，此时， 则， 解得：，即， 当为边时， 同理可得：或， 解得：或， 此时或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、反比例函数综合、菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 5．如图，直线与反比例函数图象的交点分别为P，Q，且点P的坐标为，过点P作轴，垂足为B．直线与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)求k的值； (2)若点D是反比例函数图象上的一点，且在点P的右侧，连接，若，求点D的坐标； (3)若M为y轴上一个动点，N为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将点代入，求得，将点坐标代入求得； （2）过点D作轴，先求得，再根据的几何意义求得，再求得，设，则得，再求解即可得答案； （3）分为矩形的边和对角线，分别画出图形，构造直角三角形，通过勾股定理来解决问题． 【详解】（1）解：直线过点， ， ， ， 过点， ； （2）解：过点D作轴， 在一次函数中令，得， ， ，轴， ， 点P、D在函数的图象上，轴，轴， ， ， ， 设， 则， 解得：或， 点D在点P的右侧， ， ； （3）解：将与联立方程组得： ，解得：或， ， 设， ，，， 当以M，N，P，Q为顶点的四边形为矩形时， 如图，当是矩形的边时， 若时，则， ， 解得：， ； 若时，则， ， 解得：， ； 如图，当是矩形的对角线时， 则时，则， ， 解得：， ，， 综上：或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，矩形的性质，反比例函数的几何意义，勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，并通过勾股定理建立方程解决问题． 6．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2． (1)求k和b的值； (2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标； (3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)点C的坐标为或 (3)点C的坐标为或 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为，将点A，B的坐标分别代入，即可得到结论； （2）由（1）得，求得直线的函数表达式为，设．①当点M在线段上时；②当点M在线段的延长线上时；③，知，则点M不在线段的延长线上，于是得到结论； （3）设点C的坐标为，①当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，②当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得， ∴点B的坐标为， 将点A，B的坐标分别代入，得， 解得， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴直线的函数表达式为， ∵直线与直线交于点M， ∴点M在直线上， 设， ①如图1，当点M在线段上时， ∵， ∴， 由相似比及线段长度与坐标的关系，得， ∴， 解得， ∴点M的坐标为， 此时直线的函数表达式为x， 由得（负值舍去）， ∴点C的坐标为； ②如图2，当点M在线段的延长线上时， ∵， ∴同①，得， ∴， 解得， ∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为，由得（负值舍去）， ∴点C的坐标为； ③由，知，则点M不在线段的延长线上， 综上所述，点C的坐标为 或； （3）设点C的坐标为，且， ①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线， 分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N， 则， ∴， 即， 化简，得， 解得，（（与点B重合，舍去）， ∴点C ； ②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q， 则， ∴， ∴， 化简，得， 解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）； ∴点C的坐标为 ， 综上所述，点C的坐标为 或 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 反比例函数中特殊四边形存在性的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形存在性问题 类型二、菱形存在性问题 类型三、矩形存在性问题 类型四、正方形存在性问题 压轴专练 类型一、平行四边形存在性问题 例1-1．（点顺序不确定）如图，在平面直角坐标系中，，点在线段上，且点的横坐标为3，点A的坐标为．过点作轴，、分别与反比例函数的图像相交于点、，，连接． (1)点的坐标为 ；所在直线的函数表达式为 ； (2)求反比例函数表达式和点的坐标； (3)点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 例2-2．（点顺序确定）如图1，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点是直线上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接． (1)求反比例函数表达式； (2)若直线上存在点G，它到直线的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，点Q是反比函数上一点，连接，，若四边形是平行四边形，则点Q的坐标为________． 变式1-1．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接、．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形； (3)点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，当四边形为平行四边形时，求出点M的坐标． 类型二、菱形存在性问题 例2-1．（点的顺序确定）如图1，正方形中，．过A点作轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 例2．（点的顺序不确定）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式2-1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点在第四象限，且轴于点A，轴于点，一次函数的图象分别交轴、轴于点，点，且，． (1)求反比例函数的表达式 (2)请写出当取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值？ (3)点是反比例函数图象上一个动点，连接，，并把沿翻折得到四边形，求出使四边形为菱形时点的坐标． 变式2-2如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点（点在点左边），过两点作直线，与双曲线的另一交点为，过作直线的平行线交双曲线于点． (1)则点坐标为 ，点坐标为 ，并求直线的解析式； (2)如图2，点在轴负半轴上，连接，交直线于点，连接，且，将线段在轴上移动，得到线段（如图3），请求出的最大值； (3)如图4，点在轴上，在平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-3 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根（）． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，反比例函数的图象的一个分支经过点E，求k的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N有多少个，并写出其中一个的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、矩形存在性问题 例3-1．（点的顺序不确定）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，分别过点，作轴，轴平行线，交于点，的面积为16． (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，直接写出点，的坐标． 例3-2．（点的顺序确定）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知 (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点未在图中画出是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，当四边形为矩形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标______． 变式3-1 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)如图，点在反比例函数（）的图象上，且在点的左侧，连接并延长交轴于点，连接，，若，求的面积； (3)若点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-2几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 变式3-3 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的纵坐标为3 (1)求点A的坐标和k的值； (2)如图2，点C在反比例函数的图象上，且在点B的左侧，连接并延长交x轴于点D，连接，，若，求的面积； (3)若点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、正方形存在性问题 例4-1．（点顺序不确定）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 例4-2．（点顺序确定）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式4-1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 变式4-2．如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．    (1)求n的值． (2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标． (3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标． 变式4-3．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与且的面积相等，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，并在左侧作正方形，当顶点F或顶点N恰好落在直线上，直接写出点M的坐标． 1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，．    (1)点C的坐标为______； (2)将平移至第一象限内的，若、恰好落在反比例函数的图像上， ①求k的值； ②直线的解析式； ③设直线交y轴于点D，若在x轴上存在的一点Q，在反比例函数的图像上存在的一点P，使得四边形是平行四边形，则点Q的坐标为______，点P的坐标为______． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点B、C在第二象限内． (1)求点B的坐标； (2)将正方形以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，已知点坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，顺次连接，，．    (1)求的值及点的坐标； (2)点为轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点，使得，，，四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图1，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过C、D两点． (1)求点C的坐标并直接写出、的值； (2)如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点D作轴，垂足为点H，交的图象于点E，点M为y轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，直线与反比例函数图象的交点分别为P，Q，且点P的坐标为，过点P作轴，垂足为B．直线与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)求k的值； (2)若点D是反比例函数图象上的一点，且在点P的右侧，连接，若，求点D的坐标； (3)若M为y轴上一个动点，N为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出M的坐标． 6．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2． (1)求k和b的值； (2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标； (3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$