第六章 反比例函数（必备知识+9大题型+分层训练）（复习讲义）数学北师大版九年级上册

第六章 反比例函数（复习讲义） 1. 了解反比例函数的定义，体会反比例函数各知识模块之间的整体联系。 2. 能用待定系数法确定反比例函数的关系式。 3. 理解反比例函数图象的基本画法（列表、描点、连线），掌握其图象特征（双曲线、所在象限与k的关系），并能利用图象性质（不同象限内y随x的变化规律）分析函数变化。 4. 理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能用“图象上点向坐标轴作垂线所围矩形/三角形面积与k的关系”解决相关问题。 5. 能利用反比例函数解决实际问题：掌握“建立模型→列方程求k→确定关系式→分析变量取值→解决问题”的步骤，体会其在实际中的应用价值。 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 五、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 题型一　根据定义判别是否反比例函数 【例1】下列关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．形如的函数叫作反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、是反比例函数，故本选项符合题意； D、不是反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫做反比例函数，据此即可求解 【详解】解：A．是的一次函数，故该选项不符合题意； B．是的反比例函数，故该选项符合题意； C．是的正比例函数，故该选项不符合题意； D．是的二次函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A、不是反比例函数，故A选项符合题意； B、是反比例函数，故B选项不符合题意； C、是反比例函数，故C选项不符合题意； D、是反比例函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查的是反比例函数的识别，形如的函数是反比例函数，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：①；②；③；④；⑤．其中是反比例函数的有④；⑤，共2个， 故选：B 题型二　判断(画)反比例函数图象 【例2】反比例函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查反比例函数的图象的性质，根据反比例函数的，可知反比例函数的图象是双曲线且在第一、三象限，根据各选项的图象和图象所在的象限判断即可． 【详解】解：反比例函数的大致图象是双曲线，且在第一、三象限， A选项，是正比例函数图象，故A选项不符合题意； B选项：是正比例函数图象，故B选项不符合题意； C选项：是双曲线，且在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：是双曲线，但是在第二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-1】某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解． 【详解】解：由矩形的面积可得，， ∴， ∴是反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限， 故选：． 【变式2-2】反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：， 则函数在第二、四象限． 故选：B 【变式2-3】当时，反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查的是反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键，根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故选C． 题型三　由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例3】已知反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的图象、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查正比例和反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 【变式3-1】如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，根据一个交点结合对称性即可求得另一个交点． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【变式3-3】如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵B的坐标为， ∴A的坐标为， 故答案为：． 题型四　比较反比例函数值或自变量的大小 【例4】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】将点，，分别代入，求出，，的值，再比较即可． 【详解】解：将，，分别代入， 得：，，， 解得：，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 【变式4-1】已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象性质，即可解答． 【详解】解：， ， 图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， 当时，的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【变式4-2】反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围为__________． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数解析式，再根据的取值判断即可； 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 当时，， 当时，，， ∴时，的范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，数形结合是解题的关键． 【变式4-3】若点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的范围是_______________． 【答案】 【分析】由的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】由反比例函数（是常数）可知图象位于一、三象限，每一象限内y随x的增大而减小． ∵点都在反比例函数（是常数）的图象上，且， ∴点不在同一象限， ∴点第一象限，点在第三象限． ∴， ∴． 故答案为：． 题型五　已知反比例函数的解析式求图象和性质 【例5】已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．其图象经过点 B．其图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能灵活运用反比例函数的性质进行判断是解此题的关键． 根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可． 【详解】解：A．∵，∴图象经过点，故本选项正确，不符合题意； B．∴，∴图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； C．∵图象在第二、四象限，∴当时，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； D．当时，；当时，；故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式5-1】已知反比例函数图象，如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．随的增大而减小 C．若矩形面积为8，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，，则 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、根据图形面积求比例系数（解析式）、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断． 【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形面积为8，则，而，所以，所以C选项正确； D、图象上两个点的坐标分别是，，则，所以D选项错误． 故选：C． 【变式5-2】已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．当，y的值随x值的增大而增大 B．图象必经过点， C．图象是轴对称图形，也是中心对称图形 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】B 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可． 【详解】解：A、∵，∴每个象限内y随着x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、当时，，所以图象必经过点，故本选项错误，符合题意； C、反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确，不符合题意； D、∵，∴图象分别位于第二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； 故选：B ． 【变式5-3】下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A．点、均在其图象上 B．双曲线分布在第一、三象限 C．该函数图象上有两点，B ，若，则 D．当时，x的取值范围是 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查反比例函数的性质，将点代入解析式求解即可判断A选项，根据图象在一三象限即可判断B，根据性质在一三象限上随增大而减小即可判断C，根据增减性即可判断D． 【详解】解：由题意可得， 当时，，当时，，故A正确，不符合题意， ∵，∴图像在一三象限，故B正确，不符合题意， ∵没确定，的正负，故无法判断函数值的大小，故C错误，符合题意， ∵当时，即，解得，∴当时，，故D正确，不符合题意， 故选：C． 题型六　已知反比例函数的定义求函数的解析式 【例6】已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 【变式6-1】已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 【答案】(1) (2)28 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据正比例与反比例的定义设，，得到与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式进行计算即可． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例 设， 当时，；当时， 解得：， （2）解：由（1）可知，，则 当时，． 【变式6-2】已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、正比例函数的定义、用反比例函数描述数量关系 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 【变式6-3】已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、用反比例函数描述数量关系、正比例函数的性质 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 题型七　一次函数与反比例函数的交点问题 【例7】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求和的值； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)在反比例函数的图象上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． 【答案】(1)，； (2)或； (3)当或时，；当时，． 【分析】（1）将点A代入反比例函数，求得，将点B代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数和一次函数， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）得反比例函数和一次函数， 联立得， 解得或， ∴， 根据图象可知，，， 当时，或； （3）解：∵，， ∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴当或时，， 当时，根据图象可得， 综上所述，当或时，；当时，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【变式7-1】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为3，求的面积； (3)在（2）的条件下，根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题∶反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及数形结合思想的运用． (1)依据点在反比例函数图象上，即可得到m的值； (2) 过点A作轴于点H，过点作轴于点D，设， 依据，即可得出；根据直线为，将、代入，即可得到t的值； (2)根据函数图象，即可得到的解集是∶ 或． 【详解】（1）解：将点代入中得：，解得， ． （2） 过点A作轴于点H，过点作轴于点D，设， ， ， ， 点在， ， 直线为，将、代入得： ， 化简整理得：， 解得：，（舍去，因为点A在点 B的左侧）， ， ， ， ． （3）， 的解集是：或． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P在x轴上，求的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的综合，轴对称的性质； （1）把点B坐标分别代入反比例函数和一次函数的表达式求出k，b的值即可； （2）求出点A坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可； （3）作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P，证明的最大值为，求出坐标，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数和一次函数的图象上， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）把代入得：， ∴， ∴， 由函数图象得，不等式的解集为：或 ； （3）如图，作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P， 由对称性可知， ∴， 在x轴上任意取一点N，若点N是x轴上异于点P的点，则， ∵， ∴的最大值为， ∵， ∴ ∴的最大值． 题型八　利用反比例函数解决实际问题 【例8】小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1） 解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2） 解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3） 解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 【变式8-1】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) (3)气体的体积应不少于． 【分析】本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义． （1）设出反比例函数解析式，把坐标代入可得函数解析式； （2）把代入（1）得到的函数解析式，可得； （3）把代入得到即可． 【详解】（1）解：设， 由题意知， 所以， 故； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 所以为了安全起见，气体的体积应不少于． 【变式8-2】电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量． 注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压． (1)求出关于的函数解析式； (2)当伏时，______欧； (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】(1)关于的函数解析式是； (2)130； (3)电子体重秤可称的最大质量是115千克． 【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图①可知：函数的图象经过点，，然后即可求得关于的函数解析式； （2）根据伏和题目中的数据，可以计算出此时的值； （3）根据反比例函数的性质和电压表量程为0-6伏，可以得到该电子体重秤可称的最大质量． 【详解】（1）由图①可知：函数的图象经过点，， ∴， 解得， 即关于的函数解析式是； （2）∵，伏，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧， ∴， 解得， 即当伏时，欧， 故答案为：130； （3）∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵电压表量程为0-6伏， ∴当时，取得最小值10， ∴当取得最小值10时，取得最大值115即该电子体重秤可称的最大质量是115千克． 【变式8-3】盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】 本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 题型九　特殊反比例函数的图象和性质 【例9】（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②、③如图： （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 【变式9-1】（24-25九年级上·广西贵港·期中）（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【答案】(1)0；图见详解 (2)①减小②下，1；③ (3)2024 【分析】本题考查反比例函数的图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，根据图象得到函数的性质是解题的关键． （1）将代入解析式求出函数值即可；将图中的点用平滑的曲线进行连接即可； （2）根据图象可分别求解①②③小题； （3）将点代入解析式，结合进行计算即可． 【详解】（1）解：当时：， ； 如图： 故答案为：0； （2）解：如图， ①当时，随增大而减小； ②， 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到； ③的图象关于原点对称， 的图象关于对称． 故答案为：减小；下，1；； （3）解：把，代入函数得： ，， ∵， ． 【变式1-2】（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … … － － －1 －2 4 █ 4 2 1 … (1) ； (2)请画出函数的图象；    (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向 平移 个单位长度而得到的； ③图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)减小；右，； 【分析】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． （1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得 ， ， 故答案为：； （2）解：函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称. 故答案为： 减小；右，； . 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）下列函数，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数或，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】：解：A. 是正比例函数，不符合题意；     B. 当时，不是反比例函数，不符合题意；     C. 是反比例函数，符合题意；     D. 不是反比例函数，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则k的取值是（    ） A．5 B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的解析式的求法．将代入即可得到答案． 【详解】解：将代入可得， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知点是反比例函数图象上的两点，若，则有（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．的图象在二、四象限，因为，A在第四象限，B在第二象限，所以． 【详解】解：∵图象在二、四象限， 且， ∴A在第四象限，B在第二象限， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限内 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．若点都在该函数的图象上，且，则 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由可得比例系数是，图象分布在第二、第四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， 故A、B、D都是错误的， C是正确的， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26九年级上·北京·阶段练习）请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而减小： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查函数的图象和性质，对于反比例函数，当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，由此可解． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴该函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，某反比例函数的图象过点，则此反比例函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象、求反比例函数的解析式，设反比例函数的解析式是，由函数图象可知点在函数图象上，可得：，解得：，从而可知反比例函数的解析式是． 【详解】解：设反比例函数的解析式是， 由函数图象可知点在函数图象上， ， 解得：， 反比例函数的表达式是． 7．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可． 本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：函数的图象与直线交于点和点， ， ， 根据中心对称性质，得， 故答案为：． 8．（2024·安徽·模拟预测）如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数比较大小，解题关键是树立数形结合思想，准确利用图象求解． 利用两个函数交点求解即可． 【详解】解： ∵函数与的图象相交于点，两点， ∴由图象得，当或时，函数的图象在上面， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正确进行计算是解题关键． （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）把代入函数关系式，即可求得x的值． 【详解】（1） 解：设， 当时，，则， 解得， ∴； （2） 解：当时，代入，得， 解得， ∴当时，x的值为3． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，反比例函数的图象经过点，若一次函数的图象经过该反比例函数图象上的点． (1)求反比例函数解析式 (2)求一次函数图象与x轴的交点C坐标 (3)点P为反比例函数图像上一点，的面积为3，求点P坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2)点C的坐标为 (3)点或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象及性质是解题的关键； （1）利用待定系数法可进行求解； （2）由（1）可得反比例函数解析式为，然后把点代入得m的值，进而求出一次函数解析式，最后问题可求解； （3）设点，然后可知的高为，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）可知：反比例函数解析式为， ∴，即 ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， 令，则有，解得：， ∴点C的坐标为； （3）解：设点，由（2）可知：， ∴， 解得：或， ∴点或． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川眉山·期中）关于函数有如下结论： ①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限； ③每个象限内，函数值随的增大而增大； ④若、、为双曲线上的三点，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可． 【详解】①当时，，则函数图象一定经过点，故①正确； ②∵，∴函数图象在第一、三象限，即②正确； ③∵，∴函数值分别在第一象限和第三象限中，随的增大而减小，即③错误； ④、、为双曲线上的三点， ∴， ∴，故④正确． 即①②④三个正确； 故选：C． 2．（24-25九年级下·河南开封·期末）点，，在反比例函数图象上，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据反比例函数的解析式，确定其增减性，再分象限，分别比较相关函数值的大小，再得出结论． 【详解】解：， ， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵点，，在反比例函数图象上， ∴，在第二象限，在第四象限， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入即可求得k的值． 【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵，轴， ∴B的横坐标为，轴， ∴， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）函数 和 在同一坐标系中的图象可以大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，分和两种情况找出反比例函数图象与一次函数图象经过的象限是解题的关键，当时，可得出反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限；当时，可得出反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限， 当时，， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，符合题意的只有选项， 故选：． 5．（2025·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，涉及了勾股定理，求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质等．设点B的坐标为，则，点，从而得到，再由勾股定理可得，可判定A；当时， ，可判定B；过点F作于点G，则，根据，可得，，从而得到点，进而得到，可判断C；若为边长1的正方形，可得，可判断D． 【详解】解：如图， 设点B的坐标为，则， ∵四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点， ∴点， ∴， ∴， ∴， 当，即时，k越小，的长越大，故A选项错误； 当时， ，， ∴ ， 即的大小与有关，不是定值，故B选项错误； ∵矩形面积为16， ∴， 如图，过点F作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， ∴点， 把点代入，得： ，故C选项正确； ∵为边长1的正方形， ∴， ∴， 此时当时，取得最小值，为0，故D选项错误． 故选：C 二、填空题 6．（2025·山东青岛·模拟预测）若和是反比例函数图象上的两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数图象与性质，由是反比例函数图象上的点，可得反比例函数为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴反比例函数为， ∵是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：． 故答案为： 7．（24-25九年级上·全国·期中）反比例函数的图象在每一象限内y值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数的图象在每一象限内y值随x值的增大而增大，得出，再解得，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内y值随x值的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为： 8．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）某滑动变阻器的电功率与电阻满足反比例函数关系，图象如图所示．小峰同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式． 先利用待定系数法求出函数解析式，再求出时，的值． 【详解】解：设， 当时，， 当时，， ∵当从增加到时，电功率减少了， ∴，解得：， ∴， 当时，（）， 故答案为：． 9．（2025·广东东莞·一模）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，设，则，，根据反比例函数的性质，列出方程计算即可． 【详解】解：点，的横坐标都是，，平行于轴，点在上，且其横坐标为， 设， ，， 反比例函数的图象经过点，， ， 解得， ， ， 故答案为：． 10．（2024九年级下·江苏南京·竞赛）已知反比例函数与正比例函数交于、两点，点在轴上，，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】该题考查了正反比例函数综合，勾股定理，直角三角形的性质，先求出、两点坐标，勾股定理求出，再求出，即可解答． 【详解】解：联立， 解得或， ， ， ∵， ∴为直角三角形，为中线， ∴， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 12．（2024·北京·三模）如图1，直线与反比例函数的图像交于点和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将沿直线翻折，点O落在第一象限内的点E处，与反比例函数的图像交于点F，请求出点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式为，把代入即可得到结论； （2）设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式为，求得点，点，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到，把代入中即可得到结论； 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数y的图像交于点和点， ∴把代入得，， ， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得，； （2）设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，，当时，， ∴点，点， ， 是等腰直角三角形， ， ∵将沿直线翻折， ∴四边形是正方形， ， ， 把代入中得，， ； 【点睛】本题考查了反比例函数性质、一次函数表达式的求解、图形折叠的性质等知识点，解题的关键在于准确运用待定系数法求解函数表达式，理解并应用图形折叠前后对应点的坐标关系，通过点的坐标求解相关参数，进而解决几何问题． 13．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），连接，与轴交于点，且，过点B作x轴的垂线，垂足为N，求的比值． 【答案】(1)的值为2 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出，求出值即可； （2）过点分别作轴的垂线，垂足为点，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，再利用三角形相似的性质得到，最后求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 解得； 所以，的值为2． （2）解：过点分别作轴的垂线，垂足为点， 由（1）可知，点，则，， ， ， ， ， 当时，， ， ， ，     所以，在中，． 14．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2） 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将R表示为I的函数， 根据反比例函数的增减性求出R的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 15．（2024·山西·模拟预测）下面是小明同学的数学学习笔记，请按要求完成相应的任务． 我们今天学习了反比例函数的图象和性质，我仿照反比例函数的研究方法，对函数的图象和性质进行了深入研究，我的思考如下： 反比例函数的研究思路：在知道反比例函数的定义及一般形式的基础上，先通过描点法画出某些具体函数的图象，然后观察函数图象并结合函数表达式总结规律，从而得到反比例函数的性质． 模仿这样的研究思路，我决定对函数的性质进行研究． 首先用描点法去分别画出函数和的图象． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … — 6 3 2 1 … … — a 3 2 b … 通过描点、连线得到如下图像 然后，观察图像得到函数的性质有： 性质一：函数的图象由两条曲线组成，故可以称作双曲线； 性质二：函数的图象是由函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度得到的； …… 任务： (1)填空：__________，__________． (2)在上述研究过程中，涉及到的数学思想有__________．（多选） A．分类讨论思想    B．统计思想    C．数形结合思想    D．类比思想 (3)①根据所画图象再写一条函数的性质； ②如图3所示为函数的图象，请仿照函数的性质二写出一条函数的性质． (4)已知函数与函数的图象交于A，B两点，点A在点B的左侧，请在图2中画出函数的图象，连接OA，OB，并直接写出的面积以及不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)函数的图象与轴交点为；函数的图象与轴无限靠近，但不相交（答案不唯一）；函数是由图象沿向右平移个单位； (4)；不等式的解集为或． 【分析】本题考查了新定义函数，反比例函数，掌握函数图象与性质是解题的关键． （）把和，分别代入即可求解； （）即可数学思想方法即可求解； （）根据函数图象即可求解； 根据函数图象平移即可求解； （）设直线与轴交于点，由题意联立方程，解得，，则，，根据函数图象即可求出不等式的解集，由得当，则，然后通过的面积为，再代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，； 故答案为：，； （2）解：在上述研究过程中，涉及到的数学思想有：数形结合思想和类比思想， 故选：； （3）解：函数的图象与轴交点为；函数的图象与轴无限靠近，但不相交； 函数是由图象沿向右平移个单位； （4）解：如图，设直线与轴交于点， 由题意联立方程：，解得：，， ∴，， ∴根据图象可得不等式的解集为或， 由得当， ∴， ∴， ∴的面积为 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第六章反比例函数（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.了解反比例函数的定义，体会反比例函数各知识模块之间的整体联系。 2.能用待定系数法确定反比例函数的关系式。 3.理解反比例函数图象的基本画法（列表、描点、连线），掌握其图象特征（双曲线、所在象限与k的关 系)，并能利用图象性质（不同象限内y随x的变化规律）分析函数变化。 4.理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能用“图象上点向坐标轴作垂线所围矩形三角形面积与k的 关系”解决相关问题 5能利用反比例函数解决实际问题：掌握“建立模型→列方程求k→确定关系式→分析变量取值→解决问题” 的步骤，体会其在实际中的应用价值。 知识图谱梳理 因基础 y=X/k形如(k为常数，k0的函数称为反比例函数 反比例函数的定义 待定系数法确定反比例函数关系式 确定反比例函数的关系式 1画反比制利函数的图象的基本步赛：列表、描点、连线 2反比例函数的图象待征：反比例函数的图象是双曲线，它有两 个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限 反比例函数的图象和性质 当k0时，双曲线的两个分支分别位于第 象限，在每个象限内，y值随x值的帽大而减小 反比例函数 3反比侧函数的性质 当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四 象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大 任意一点作x轴，y轴的垂线，所得矩开形的面积为 k的绝对值，三角形的面积k的绝对值的一半 反比例函数中的比例系数k的几何意义 1基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用 函数的图象和性质等知识解决题 2一股步骤如下： (1)审清题意(2)由题目中的已知条件，列出方程，天 出待定系数(3)写出函数解析式，并注意解析式中变里的取值范围(4) 利用反比例函数解决实际问题 利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题 3.反比例函数在其他学科中的应用 教材要点精析·夯重点 1/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy=k ，或表示为y=,其中k是不等于零的常数 般地，形如y=k (k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变 量x的取值范围是不等于0的一切实数， 特别说明：()在y=中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以自变量x的取 值范围是x≠0，函数y的取值范围是y≠0.故函数图象与x轴、y轴无交点. =k(k≠0)可以写成y=众1(k≠0)的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数问 (2)y=二 题时应特别注意系数k≠·这一条件。 (3)y=(k≠0)也可以写成y=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k,从而得到 反比例函数的解析式 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y=上中，只有一个待定系数k,因 此只需要知道一对x、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： (1)设所求的反比例函数为：y=二(k≠0)； (2)把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程： (3)解方程求出待定系数k的值； (4)把求得的k值代回所设的函数关系式y=《 中 三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： (1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时， 只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数： (2)描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； (3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接， 切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相 2/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 交： (4)反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当 k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反 比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 特别说明：（1)若点(a,b)在反比例函数y=的图象上，则点(-4，-b)也在此图象上，所以反比例函 数的图象关于原点对称； (2)在反比例函数y=(k为常数，k≠0)中，由于x≠0且y≠0，所以两个分支都无限接近但永远不能 达到x轴和y轴。 3.反比例函数的性质 (1)如图1，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增 大而减小 (2)如图2，当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增 大而增大 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函 数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推 断出k的符号. 四、反比例函数y=《(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线y=上(k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为内. 3/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过双曲线y=冬(k≠0)》上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为因 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围 成的面积始终是不变的 五、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题， 2.一般步骤如下：(1)审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示 (2)由题目中的己知条件，列出方程，求出待定系数 (3)写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. (4)利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题 3.反比例函数在其他学科中的应用 (1)当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； (2)当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数： (3)在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； (4)电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 考点题型突破，拓思维 题型一根据定义判别是否反比例函数 【例1】下列关系式中，y是x的反比例函数的是() A.y=5x B.Y=3 C.y=1 D.y=x2-3 【变式1-1】下列关系式中，y是x的反比例函数的是() 3 3 A.y=x-1 B.y= C.y=-x D.y=-2x2 5 【变式1-2】下列函数不是反比例函数的是() Ay025 B.y=-2025x1 C.y=2025 D.y=2025 【交式3】下列函数：①v=2:②y,®y中+L:④y=:⑤y.其中是反比例函数 的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二判街（画反比例函数图象 【例2】反比例函数y=8的大致图象是() 【变式2-1】某中学要在校园内划出一块面积是50m'的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为x 米和y米，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是() 【变式2-2】反比例函数y=2的大致图象是() 【变式2.3】当a>b时，反比例函数y=a-b的图象大致是（) 题型三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例3】已知反比例函数y=《(k≠0)与正比例函数y=2x图象的一个交点坐标为(2,4)，则另一个交点坐标 为 【变式3-1】如图，正比例函数片与反比例函数相交于点E(-1,2),则它们的另一个交点坐标是 5/21 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-2】在平面直角坐标系x0y中，若点(2,4)是函数y=k,x(k,≠0)和y=上（飞，≠0）的图象的一个交点， 则这两个函数图象的另一个交点的坐标是」 【变式33】如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，若点B的坐标为 (-2,-,则点A的坐标是 题型四比较反比例函数值或自变量的大小 【例4】若点Ax2,B(x,-,C(x4都在反比例函数y=8的图象上，则X,X,的大小关系是 【变式4-1】己知实数x、y满足y=2,当x>1时，y的取值范围是 【变式4-2】反比例函数y=《的图象经过点(-1,2)，当y≤2时，x的取值范围为 【变式43】若点4m,y,Bm+2,,都在反比例函数y=2+1(k是常数)的图象上，且y<,则m的 范围是 题型五己知反比例函数的解析式求图象和性质 【例5】已知反比例函数y=-3 下列结论不正确的是() A.其图象经过点(1,3) B.其图象位于第二、四象限 6/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.当x<0时，y随x的增大而增大D.当x>-1时，y>-3 【变式5-1】已知反比例函数y=《图象，如图所示，下列说法正确的是() B A.k>0 B.y随x的增大而减小小 C.若矩形OABC面积为8，则k=-8 D.若图象上两个点的坐标分别是M(-3,y),N(-1,y2),则>y2 【变式5-2】已知反比例函数y=-2，下列说法错误的是(） A.当x<0,y的值随x值的增大而增大 B.图象必经过点(1,2) C.图象是轴对称图形，也是中心对称图形 D.图象分别位于第二、四象限内 【变式53】下列关于反比例函数y=4,说法不正确的是() A.点(2,2)、(L,4)均在其图象上 B.双曲线分布在第一、三象限 C.该函数图象上有两点A(x,y),BB(x2,y2),若x<x2,则月<y D.当y<-2时，x的取值范围是-2<x<0 题型六己知反比例函数的定义求函数的解析式 【例6】已知y=y+y2,若乃与x2成正比例关系，与x成反比例关系，且当x=-1时，y=3;x=1时， y=-5 (I)求y与x的函数关系式： (2)求x=-2时，y的值. 【变式6-1】己知函数y=y+2,其中y与x成正比例，与x-3成反比例，当x=2时，y=16;当x=4 时，y=20.求： 7/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ()y关于x的函数解析式及定义域； (2)当x=5时的函数值， 【变式6-2】己知y=片-2，并且与x成正比例与(x-2)成反比例，当x=-2时，y=-7;当x=3时， y=13 (I)求y关于x的函数解析式： (2)求当x=5时的函数值 【变式6-3】已知y=+y2,若片与x-1成正比例，与x+1成反比例，当x=0时，y=-5;当x=2时， y=1. (I)求y与x的函数关系式： (2)求当x=-2时，y的值. 题型七一次函数与反比例函数的交点问题 【例7】如图，一次函数y=-r+6与反比例函数y=k≠0)的图象交于A(2,-1),B两点. (I)求b和k的值； (2)请直接写出关于x的不等式-x+b>《的解集； ③)在反比例函数y=《的图象上任取两点C(x,y和D(x,,),若x<,试确定片和马的大小关系，并 写出判断过程. 【变式7-1】如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=”的图象相交于A,B两点（点A在点B的左侧）， 与x轴相交于点C,已知点A(1,4,连接OB. 8/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求反比例函数的解析式： (2)若aB0C的面积为3，求△A0B的面积： (③)在(2)的条件下，根据图象，直接写出”>+b的解集， 【变式72】刻图，在平面宜角坐标系中，一次函数y=x+b与反比例函数y=k≠0交于4m6, B(4,-3)两点. (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (②直接写出不等式)x +b>《的解集： (3)点P在x轴上，求PA-PB的最大值， 题型八利用反比例函数解决实际问题 【例8】小丽家饮水机中水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y(℃)与开机 时间x(min满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温y℃)与开机时间xmin)成反比例关系， 当水温降至20℃时，根据图中提供的信息，解答问题， A(C) 100- 20 010 x(min) (I)当0≤x≤10时，求水温y(℃)关于开机时间x(min) (2)求图中t的值。 9/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步70mi回到家时，饮水机中水的温度， 【变式8-l】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kP)是气体体积V(m)的 反比例函数，其图象如图所示。 Ap/kPa 200 150 A(0.8,120) 100 50 1LLL上 0 0.511.522.5V/m3 (1)求这个函数的解析式： (2)当气体体积为1.5m3时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到 0.01m3) 【变式8-2】电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体 重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系式为 R,=km+b（其中k,b为常数，0≤m≤120)，其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏， 定值电阻R的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为U。,该度数可以换算为人的质 量m. 注：①导体两端的电压U,导体的电阻R,通过导体的电流I,满足关系式I= R ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻R两端的电压+定值电阻R 两端的电压=总电压。 R,(欧的 踏板 240 R 120m(千克) 图0 图② (I)求出R关于m的函数解析式； 10/21