精品解析：广西壮族自治区 南宁市天桃实验学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋季学期十月单元作业 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：8的相反数是， 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 水是生命之源．为了倡导节约用水，物、业随机抽取了某小区8户家庭上个月家里的用水量（吨）情况，数据为7，9，6，8，8，9，10，9，则这组数据的众数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列：6，7，8，8，9，9，9，10．统计各数值出现次数： 6出现1次，7出现1次，8出现2次，9出现3次，10出现1次，其中9出现的次数最多（3次）， 因此这组数据的众数是9． 故选：C． 3. 4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ） A. 0.439×106 B. 4.39×106 C. 4.39×105 D. 439×103 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105． 故选C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，将线段平移至，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补计算即可． 【详解】∵， ∴+， ∵， ∴=50°， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 5. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式性质，解题关键是掌握：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式性质逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：， ，，，， 即A正确，符合题意；B、C、D不正确，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，A、B、C是上的三点，若，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直接根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴． 故选D． 7. 一次函数y＝kx+3的图象经过点A（1，2），则其解析式为（　　） A. B. y＝﹣x+3 C. y＝x+3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点A（1，2）代入得出方程，解出即可得k值，即可得出解析式． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+3的图象经过点A（1，2）， ∴k+3＝2， 解得k＝﹣1， ∴解析式为y＝﹣x+3． 故选：B． 【点睛】本题考查的是待定系数法求解函数解析式，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法的运用． 8. 木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据题意，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：因为若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平， 所以能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 9. 化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B. 未加入絮凝剂时，净水率为 C. 絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D. 加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从图像上获取信息，能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选项进行判断即可 【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误； B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误； C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误； D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确； 故选：D 10. 如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手开口的距离是，a的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形以及解直角三角形．根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形可得到，进而可求出的值，此题得解． 【详解】解：正六边形的任一内角为， （如图）， ， ． 故选：A． 11. 若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（ ） A. -7 B. 7 C. 3 D. -3 【答案】B 【解析】 【详解】 解：∵m、n是一元二次方程x2－5x－2=0的两个实数根， ∴m+n=5，mn=-2， ∴m+n-mn=5-（-2）=7． 故选：B 12. 如图，正方形的顶点C的坐标是，顶点A，B在第四象限，抛物线的图象经过点B，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及正方形的性质，全等三角形的性质与判定：根据正方形性质，通过证明，得，得出点B的坐标，再代入，即可作答． 【详解】解：如图，过点C作轴于点，过点作的延长线上： ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∵过点C作轴于点， ∴， 即， 则， ∴， ∵点B在第四象限， 即点B的坐标为， 把代入， 即， ∴， 故选：D 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要了解“天目一号气象卫星”的零件安全情况，应采用__________的方式比较合适．（填“抽样调查”或“普查”） 【答案】普查 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和普查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，事关重大的事情必须用普查，而抽样调查得到的调查结果比较近似，但所费人力、物力和时间较少，根据抽样调查和全面调查的特点分析解答即可． 【详解】解：要了解“天目一号气象卫星”的零件安全情况，应采用“普查”的方式比较合适， 故答案为：普查 14. 写出一个使分式有意义的值，可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义，则分母不为0，根据分式有意义的条件得到，即可写出符合题意的答案． 【详解】解：分式有意义，则， ∴， ∴使分式有意义的值，可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点，寸，寸（注：1尺＝10寸），则可得直径的长为______寸．” 【答案】26 【解析】 【分析】根据垂径定理得出的长，设半径为r寸，再利用勾股定理求解． 【详解】 解：连接OA， ， 由垂径定理知，点E是AB的中点， 设半径为r寸， 由勾股定理得， ， 即， 解得：， ， 即圆的直径为26寸． 故答案为：26． 【点睛】本题利用了垂径定理和勾股定理，正确构造直角三角形求出半径长是解题关键． 16. 如图，在中，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为2，则四边形面积的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点，掌握切线的性质得到、当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可证，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，四边形面积有最小值， 在中，， ∴， ∴最小时，的值最小， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解一元二次方程： 【答案】（1）5；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则和方法是解题的关键． （1）直接运用有理数的四则混合运算法则计算即可； （2）直接运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ， ， ，． 18. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于x轴对称的图形； （2）画出绕原点O逆时针旋转的，并写出点的坐标________． （3）求出点B旋转到点B2所经过的路径长． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2）即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）先画出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （2）先画出点A、B、C绕点O逆时针旋转的对应点，再顺次连接即可；根据图形即可写出点的坐标． （3）点B旋转到点B2所经过的路径是以点O为圆心，长为半径，圆心角等于的弧长，求出的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知，点， 故答案为：． 【小问3详解】 ， ． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，画旋转图形，勾股定理及弧长公式，正确作出图形是解题的关键． 19. 为了宣传普及气象科学知识，某市组织“气象小科普员”讲解大赛．规则是参赛选手借助多媒体讲解气象科普知识，评委分别给出“内容陈述”“表达效果”“整体形象”三个项目的成绩（各项目满分为100分），再将“内容陈述”“表达效果”“整体形象”的成绩按5：3：2的比例计算选手的总评成绩．为此，某学校组织了校内选拔赛，下面是甲乙两班8位参赛选手的总评成绩统计表和总评成绩分析表： 表1：各班参赛选手总评成绩统计表 选手编号 班级 1 2 3 4 5 6 7 8 甲班 82 85 93 96 90 83 94 93 乙班 87 96 a 96 87 90 85 87 表2：各班总评成绩分析表 分析项目 班值 平均成绩 中位数 众数 甲班 89.5 91.5 93 乙班 ___ ___ ___ 请根据信息，解决下面问题： （1）若乙班“3号选手”的“内容陈述”“表达效果”“整体形象”三项的成绩分别为90，88，83，请计算乙班“3号选手”的总评成绩； （2）请将表2中乙班的分析数据补充完整； （3）该市除组织个人比赛外，还组织班级团体赛，要求参赛班级各选派4位选手代表班级参赛，若该校计划从甲，乙两个班级中选择一个班级代表学校参赛，你认为学校应该选择哪个班？并说明理由． 【答案】（1）乙班“3号选手”的总评成绩为88分 （2）89.5，87.5，87 （3）选择甲班级代表学校参赛 【解析】 【分析】此题考查了平均数、中位数和众数，解题的关键是正确理解各概念的含义和计算方法． （1）根据加权平均数的计算公式计算即可； （2）根据平均数，中位数和众数的定义解答即可； （3）根据平均数，中位数和众数的意义作出判断即可． 【小问1详解】 解：（分）， 答：乙班“3号选手”的总评成绩为88分； 【小问2详解】 平均成绩：（分）， 成绩排序：85，87，87，87，88，90，96，96， 处于中间的数据为87和88， ∴中位数为， ∵87出现的次数最多， ∴众数为87． 故答案为：89.5，87.5，87； 【小问3详解】 选择甲班级代表学校参赛， 理由如下：∵两个班级平均数相同，甲班的中位数和众数均高于乙班， ∴选择甲班级代表学校参赛． 20. 已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． （1）求证：． （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵线段绕点A逆时针旋转到， ∴， ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定证明即可． （2）根据等边三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵由（1）得是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 21. 某商家为筹备“星际探险”促销活动，批量购进了甲、乙两款精美的飞船模型，两次进货的详细信息如下（单次进货单价保持不变）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 （1）求甲、乙两款飞船模型的进货单价； （2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款飞船模型共100件，若每件甲款飞船模型的售价为120元，每件乙款飞船模型的售价为80元，且销售完这100件飞船模型所获得的利润不低于3600元，则商家最少需购进甲款飞船模型多少件？ 【答案】（1）甲款进货单价为元，乙款为元 （2）商家最少需购进甲款飞船模型件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（求进货单价）和一元一次不等式的应用（利润最值问题），解题关键是根据两次进货的数量与总费用列出方程组，根据利润不低于元的条件列出不等式，进而求解． （1）设甲、乙单价分别为元、元，根据第一次“甲乙”、第二次“6甲乙”列方程组，解方程组得单价； （2）设购进甲件，则乙为件，先算甲、乙每件利润，再根据“总利润”列出不等式，求的最小正整数解． 【小问1详解】 解：设甲款飞船模型的进货单价为元，乙款为元． 根据题意列方程组：， 第一个方程两边同除以2得①， 第二个方程两边同除以6得②， ②得③， ①③得，解得， 将代入②得，解得， 答：甲款进货单价为元，乙款为元． 【小问2详解】 解：由（1）知，甲款每件利润为元，乙款每件利润为元． 设商家购进甲款飞船模型件，则购进乙款为件． 根据题意列不等式： 化简得； 即，解得． 答：商家最少需购进甲款飞船模型件． 22. 综合与实践 【问题情境】我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”． 【建模分析】锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，把锅纵断面的抛物线记为中，把锅盖纵断面的抛物线记为． 【解决问题】 （1）求抛物线的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：锅盖能正常盖上，理由如下： 将底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直居中放入炒菜锅内， 当时，，，， ， 锅盖能正常盖上； 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质。 （1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据炒菜时锅的水位高度是，建立方程求解，即可解题； （3）将底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直居中放入炒菜锅内，得到时，的函数值，进而得到其函数值之差，将差与圆柱形器皿的高进行比较，即可解题。 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 由题知， 解得， 即抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：炒菜时锅的水位高度是， 此时， 将代入中， 有， 解得， 此时水面的直径为； 【小问3详解】 略 23. 阅读与思考 下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 【背景】翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 【任务】 （1）如图2，如图3，已知四边形为等垂四边形，． ①在图2中，若，则的度数为_____________； ②在图3中，若，分别平分，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由； （2）如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①； ②四边形是等垂四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， 即① ∵， ∴②（等量减等量，差相等） ①②得，， 又， ∴四边形是等垂四边形． （2） 如图，四边形即为所作的等垂四边形． 【解析】 【分析】本题考查了新定义“等垂四边形”的理解与应用、三角形内角和定理、四边形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义及基本作图，解题的关键是紧扣等垂四边形“一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形一边垂直”的定义，结合已知条件推导角的数量关系或完成符合定义的图形构造． （1）①：由得，结合求出；根据等垂四边形“一组对角相等”得；再利用四边形内角和为，代入已知角的度数求出； ②：由得内错角，结合角平分线定义得；通过“等量减等量，差相等”推得，进而得出（一组对角相等）；又因（满足顶点连线与四边形一边垂直），故判断四边形为等垂四边形； （2）根据等垂四边形定义，先作（满足顶点连线与一边垂直），再作（满足一组对角相等），连接相关线段得到等垂四边形． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，又， ∴， ∴，又， ∴在四边形中，． 故答案为：。 ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期十月单元作业 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 2. 水是生命之源．为了倡导节约用水，物、业随机抽取了某小区8户家庭上个月家里的用水量（吨）情况，数据为7，9，6，8，8，9，10，9，则这组数据的众数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ） A. 0.439×106 B. 4.39×106 C. 4.39×105 D. 439×103 4. 如图，将线段平移至，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A、B、C是上的三点，若，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 7. 一次函数y＝kx+3的图象经过点A（1，2），则其解析式为（　　） A. B. y＝﹣x+3 C. y＝x+3 D. 8. 木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 9. 化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B. 未加入絮凝剂时，净水率为 C. 絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D. 加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 10. 如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手开口的距离是，a的值是（ ） A. B. C. D. 1 11. 若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（ ） A. -7 B. 7 C. 3 D. -3 12. 如图，正方形的顶点C的坐标是，顶点A，B在第四象限，抛物线的图象经过点B，则a的值为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要了解“天目一号气象卫星”的零件安全情况，应采用__________的方式比较合适．（填“抽样调查”或“普查”） 14. 写出一个使分式有意义的值，可以是____________． 15. 我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点，寸，寸（注：1尺＝10寸），则可得直径的长为______寸．” 16. 如图，在中，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为2，则四边形面积的最小值是_____________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解一元二次方程： 18. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于x轴对称的图形； （2）画出绕原点O逆时针旋转的，并写出点的坐标________． （3）求出点B旋转到点B2所经过的路径长． 19. 为了宣传普及气象科学知识，某市组织“气象小科普员”讲解大赛．规则是参赛选手借助多媒体讲解气象科普知识，评委分别给出“内容陈述”“表达效果”“整体形象”三个项目的成绩（各项目满分为100分），再将“内容陈述”“表达效果”“整体形象”的成绩按5：3：2的比例计算选手的总评成绩．为此，某学校组织了校内选拔赛，下面是甲乙两班8位参赛选手的总评成绩统计表和总评成绩分析表： 表1：各班参赛选手总评成绩统计表 选手编号 班级 1 2 3 4 5 6 7 8 甲班 82 85 93 96 90 83 94 93 乙班 87 96 a 96 87 90 85 87 表2：各班总评成绩分析表 分析项目 班值 平均成绩 中位数 众数 甲班 89.5 91.5 93 乙班 ___ ___ ___ 请根据信息，解决下面问题： （1）若乙班“3号选手”的“内容陈述”“表达效果”“整体形象”三项的成绩分别为90，88，83，请计算乙班“3号选手”的总评成绩； （2）请将表2中乙班的分析数据补充完整； （3）该市除组织个人比赛外，还组织班级团体赛，要求参赛班级各选派4位选手代表班级参赛，若该校计划从甲，乙两个班级中选择一个班级代表学校参赛，你认为学校应该选择哪个班？并说明理由． 20. 已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． （1）求证：． （2）若，求的长度． 21. 某商家为筹备“星际探险”促销活动，批量购进了甲、乙两款精美的飞船模型，两次进货的详细信息如下（单次进货单价保持不变）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 （1）求甲、乙两款飞船模型的进货单价； （2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款飞船模型共100件，若每件甲款飞船模型的售价为120元，每件乙款飞船模型的售价为80元，且销售完这100件飞船模型所获得的利润不低于3600元，则商家最少需购进甲款飞船模型多少件？ 22. 综合与实践 【问题情境】我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”． 【建模分析】锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，把锅纵断面的抛物线记为中，把锅盖纵断面的抛物线记为． 【解决问题】 （1）求抛物线的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 23. 阅读与思考 下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 【背景】翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 【任务】 （1）如图2，如图3，已知四边形为等垂四边形，． ①在图2中，若，则的度数为_____________； ②在图3中，若，分别平分，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由； （2）如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $