第7章 小专题16 借助对称解决线段和差最值问题-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

AM=号D+cGY √6+√2+2W3 2 小专题十六借助对称解决线段和差最值问题 1.B2.B3.54.55.(6,0) 6.解：在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,∴.AO=CO=3,BO= DO=4, ∴.AB=BC=CD=DA=5. 点P为BD上的一动点，E为OA的中点， (3)如图②所示，过点D作DH⊥AC交AC的延长线于点H, 作点E关于BD的对称点E',连接PE,FE',如图①所示， 连接FH, PE=PE'.在△PFE'中，PF-PE=PF-PE'<FE', .BD∥AC,∠ACB=90°， 则当点P,F,E三点共线时，PF一PE取最大值，∴.PF一PE= ∴.∠BCH=∠CBD=90° PF-PE'=FE'. DH⊥AC, ∴.四边形BCHD是矩形， ∴.BC=DH=AC :点F是AD的中点，且AF=AC, ..AD-2AF=2DH-2FH-2DF, △FDH是等边三角形， ∴.∠DFH=∠FDH=60°， LD ∴.∠BDA=∠DAH=30°， 取BC的中点H,连接HO,如图②所示， ∴.∠FHA=∠FAH=30° :BF=3CF,点E是OA的中点，点F是HC的中点，点E 由旋转的性质可得FQ=FP,∠PFQ=60°=∠DFH, .∠DFQ=∠HFP, 是0C的中点FE'=号H0, ∴.△DFQ≌△HFP(SAS) 1 H0=BCFE'=H0=BC=号 4 ∴.∠FDQ=∠FHP=30°， 点Q在直线DQ上运动， 7.解：(1)等边三角形 (2)△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形， 1 设直线DQ交FH于K,则DK⊥FH,FK= FH, 理由如下：连接CE,BD,如图所示. ,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°， ∠FDK=∠FDH=30, ∴.把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△ACE .∠BDQ=60°. ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE. 由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值， 由愿意可得PM/CE,PM=CE,PN/BD,PN= 2 BD. ∠DBQ=30°. ∴.PM=PN,∠BPM=∠BCE,∠CPN=∠CBD, 设AC=DH=6a,则AH=√3DH=6√3a, .∠BPM+∠CPN=∠BCE+∠CBD=∠ACB+∠ACE+ ∴.BD=CH=AH-AC=6√a-6a, ∠ABC-∠ABD=60°+60°=120°， .DQ-BD-3a-30 .∠MPN=60°，∴.△PMN为等边三角形 ∴.BQ=√3DQ=9a-3√3a. (③)：PN=2BD,当BD的值最大时，PN的值最大 在R△DFK中，FK=FH=合DH=3a, ,AB一AD≤BD≤AB十AD(当且仅当点B,A,D共线时取等 号)， .DK=√DFa-FK=3V3a, .BD的最大值为1+3=4，.PN的最大值为2， :.QK=DK-DQ=3a ∴.△PMN的周长的最大值为6. 在Rt△FQK中，由勾股定理得FQ=√FK+QK-3√2a, △DFQ≌△HFP, ∴.PH=DQ=33a-3a, ∴.CP=CH-PH=3√3a-3a, .由折叠的性质可得TQ=BQ=9a-3√3a. .'FT≤FQ+TQ, 8.解：(1)如图①所示，点C即为所求 部<+ B CP 当点Q在线段FT上时，8部比时有最大值，最大值 为FQ+TQ CP 部的最大值为070=3a+3@= (2)27 CP 3v3a-3a (3).△ABC的面积为12，BC=4,∴.BC边上的高为6， .78 ∴.△ABC的顶点A可看作是与BC距离为6的直线上一点. ∴∠BFD=∠C. 如图②所示，作点B关于直线L的对称点D,连接DC,与直线l :BF=BF, 的交点即为点A, .∠BEC=∠BDF, 此时，AB+AC=AD十AC=DC=√/BC2+BD2= .△BCE△BFD, √42+122=410， BC CE 即△ABC周长的最小值为4/10+4. “B-DF .BC·DF=BF·CE 第26讲图形的相似 (2)连接DE,过点E作EH⊥BD于点H,如图所示， 1.D2.D3.D4.B5.(6-2a,-2b)6.20 :∠C=90°，tan∠BFC=5, 7.2√5+2 8.证明：(1)四边形ABCD是菱形， 8-5 .AB=BC,AC⊥BD .BC=√5CF. 又，∠ABC=60°， 0 .∠A=∠CBF, .△ABC是等边三角形， .90°-∠A=90°-∠CBF,即 ..AB=AC. 点F为BC的中点， ∠ABC=∠BFC, ∴.AF⊥BC, .tan∠ABC=tan∠BFC=√5， ∠BOC=∠BFE=90°. C-, 又∠EBF=∠CBO, ∴.△BEF∽△BCO. ∴.AC=√5BC=5X(W5CF)=5CF. (2).BO⊥AC,AF⊥BC, .AC-CF=AF=45, ∴.CG⊥AB, .5CF-CF=4√5， .∠BGE=∠AGE .CF=√5， 又AC=BC, ..BC=5CF-5,AC=5CF-55, ..BG-AG 在△BEG和△AEG中， AB=√BC2+AC=√52+(5√5)2=5V6. BG=AG, 由(1)知△BCE∽△BFD, ∠BGE=∠AGE, .∠CBE=∠DBF, GE=GE, .∠CBE-∠FBE=∠DBF-∠FBE,即∠CBF=∠EBA .△BEG≌△AEG(SAS), '∠A=∠CBF, 9.AC10.(1)1(2)7 .∠A=∠EBA, 11.解：(1)如图①所示，设AB平移到EF,EF在地面上形成的影 .'.AE=BE 子为MN. .AB∥CD, 六BH=AH=2AB-56 2 △OABD△OCD, .∠BEH=90°-∠EBA=90°-∠CBF=∠BFC, △OEF∽△OMN, ∴.tan∠BEH=tan∠BFC=√5， △OEBc∽△OMD, ..AB_OB EF_OE OBOE 5√6 CD OD'MN OM'OD OM 器，即品 熙0 .EF=AB, E BD是⊙O的直径 ∴.MN=CD .∠BED=90°， .沿着AB方向平移铅笔时，CD的长度不变. .∠EDH=90°-∠DEH=∠BEH； ∴.tan∠EDH=tan∠BEH=√5， √30 -5脚品 EH =√5， √6 DH=2' (2)①如图②所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆， BD-DH+BH5 =36, 2 2 当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ. 此时AB所在位置为AH. ∴.⊙O的直径为3√6 ②80 小专题十七 一线三等角模型 12.解：(1)证明：，BD是⊙O的直径， 1.B2D3.A4号 5.2 ∴.∠BFD=90°. 6.证明：(1)在△ABC中，AB=AC, ∠C=90°， .∠B=∠C 79小专题十六 借助对称解决线段和差最值问题（答案8） 考点达标训练 5.运算能力(2024·长沙质检)如图所示，已知 1.如图所示，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4, 8 A(2,y1),B(4,y2)为反比例函数y=图象 E,F分别是AD,BC的中点，点P,Q在EF 上的两点，动点P(x,0)在x轴正半轴上运动， 上，且满足PQ=2,则四边形APQB周长的最 当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点 小值为( ) P的坐标是 y A.10 B.12 C.14 D.16 2.推理能力》如图所示，在四边形ABCD中， 6.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC,BD ∠BAD=a,∠B=∠D=90°，在BC,CD上分 交于点O,AC=6,BD=8,点E为OA的中 别找一点M,N,当△AMN周长最小时，则 点，点F为BC上一点，且BF=3CF,点P为 ∠MAN的度数为() BD上一动点，连接PE,PF,求|PF一PE|的 最大值 B.2a-180° C.180°-a D.a-90° 3.几何直观如图所示，正方形ABCD的边长为 2,点E是CD的中点，点P是对角线AC上的动 点，则PD十PE的最小值= 4.(2024·成都中考)如图所示，在平面直角坐标 系xOy中，已知A(3,0),B(0,2),过点B作y 轴的垂线l,P为直线1上一动点，连接PO, PA,则PO十PA的最小值为 78 优学系赢在中考 素养拓展提升 8.应用意识【提出问题】如图①所示，点A,B分 7.探究拓展如图①所示，在等边△ABC中，点 别是直线1同侧的两个点，如何在1上找到一 D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接 个点C,使得这个点到点A,B的距离的和 BE,CD,点M,N,P分别是BE,CD,BC的 最短？ 中点. 【分析问题】如图②所示，若A,D两点在直线1 (1)观察猜想：在图①中，△PMN的形状 的异侧，则容易知道连接AD,与直线l交于一 是 点，根据“两点之间线段最短”，该点即为点C (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋 因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B 转到图②的位置，△PMN的形状是否发生改 (或A)移到直线1的另一侧的点D处，且保证 变？并说明理由， DC=BC(或DC=AC)即可. (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由 【解决问题】 旋转，若AD=1,AB=3,求△PMN的周长的 (1)在图①中确定点C的位置（要求尺规作图， 最大值. 不写作法，保留作图痕迹) (2)如图③所示，在菱形ABCD中，AB=4, ∠ABC=60°，E是BC边的中点，P是对角线 AC上的一个动点，则PB+PE的最小 值为 (3)已知△ABC的面积为12，BC=4,求 △ABC周长的最小值， B 数学·精练册潍坊专用 79