小专题十六 借助对称解决线段和差最值问题-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

小专题十六 借助对称解决线段和差最值问题（答案） 考点达标训练 5.运算能力(2024·长沙质检)如图所示，已知 1.如图所示，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4, 8 A(2,y1),B(4,y2)为反比例函数y=图象 E,F分别是AD,BC的中点，点P,Q在EF 上的两点，动点P(x,0)在x轴正半轴上运动， 上，且满足PQ=2,则四边形APQB周长的最 当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点 小值为( ) P的坐标是 y A.10 B.12 C.14 D.16 2.推理能力》如图所示，在四边形ABCD中， 6.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC,BD ∠BAD=a,∠B=∠D=90°，在BC,CD上分 交于点O,AC=6,BD=8,点E为OA的中 别找一点M,N,当△AMN周长最小时，则 点，点F为BC上一点，且BF=3CF,点P为 ∠MAN的度数为() BD上一动点，连接PE,PF,求|PF一PE|的 最大值 B.2a-180° C.180°-a D.a-90° 3.几何直观如图所示，正方形ABCD的边长为 2,点E是CD的中点，点P是对角线AC上的动 点，则PD十PE的最小值= 4.(2024·成都中考)如图所示，在平面直角坐标 系xOy中，已知A(3,0),B(0,2),过点B作y 轴的垂线l,P为直线1上一动点，连接PO, PA,则PO十PA的最小值为 78 优学系赢在中考 素养拓展提升 8.应用意识【提出问题】如图①所示，点A,B分 7.探究拓展如图①所示，在等边△ABC中，点 别是直线1同侧的两个点，如何在1上找到一 D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接 个点C,使得这个点到点A,B的距离的和 BE,CD,点M,N,P分别是BE,CD,BC的 最短？ 中点. 【分析问题】如图②所示，若A,D两点在直线1 (1)观察猜想：在图①中，△PMN的形状 的异侧，则容易知道连接AD,与直线l交于一 是 点，根据“两点之间线段最短”，该点即为点C (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋 因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B 转到图②的位置，△PMN的形状是否发生改 (或A)移到直线1的另一侧的点D处，且保证 变？并说明理由， DC=BC(或DC=AC)即可. (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由 【解决问题】 旋转，若AD=1,AB=3,求△PMN的周长的 (1)在图①中确定点C的位置（要求尺规作图， 最大值. 不写作法，保留作图痕迹) (2)如图③所示，在菱形ABCD中，AB=4, ∠ABC=60°，E是BC边的中点，P是对角线 AC上的一个动点，则PB+PE的最小 值为 (3)已知△ABC的面积为12，BC=4,求 △ABC周长的最小值， B 数学·精练册SD 79∴.△ACE≌△CBD(ASA), .BD=CE. 点E是BC的中点， .BC=2CE=2BD, ∴.AC=2BD (2)证明：如图①所示，过点G作GH⊥AB于点H,连接HF BD∥AC, ∴.∠FBD=∠FGA,∠D=∠FAG :点F是AD的中点， ..AF=DE. ∴.△AGF≌△DBF(AAS), ..AG=BD,BF=GF. .AC=BC,∠ACB=90° ∴.∠CAB=∠ABC=45° GH⊥AH, ∴△AHG是等腰直角三角形， 兰1c-普n AH= ,∠BHG=∠BCG=90°，BF=GF, FH=FC=BF=号BG, ∴.∠FBH=∠FHB,∠FBC=∠FCB, ∴∠GFH=∠FBH+∠FHB=2∠FBH,∠GFC=∠FBC+ ∠FCB=2∠FBC, ∴.∠HFC=∠GFH+∠GFC=2∠FBH+2∠FBC 2∠ABC=90° .FM⊥BG, ∴.∠BFM=90°， ∴.∠HFM=∠CFN 设∠CBG=x,则∠ABG=45°-x,∠CGB=90°-x, ∴.∠HMF=∠BFM+∠FBM=135°-x. CN平分∠ACB, ∠GCN=∠ACB=45, ∴.∠CNF=∠CGN+∠GCN=135°-x, ∴.∠HMF=∠CNF, ∴.△HFM≌△CFN(AAS), ∴.HM=CN, .AM=AH+HM ∴AM-号8D+CN, ① 2 (3)如图②所示，过点D作DH⊥AC交AC的延长线于点H 连接FH, .BD∥AC,∠ACB=90°， .∠BCH=∠CBD=90. ,DH⊥AC, ∴四边形BCHD是矩形， ..BC=DH=AC. 点F是AD的中点，且AF=AC, ..AD=2AF=2DH=2FH=2DF, .△FDH是等边三角形， ∴.∠DFH=∠FDH=60 ∴.∠BDA=∠DAH=30° ∴.∠FHA=∠FAH=30° 由旋转的性质可得FQ=FP,∠PFQ=60°=∠DFH, .∠DFQ=∠HFP, ∴.△DFQ≌△HFP(SAS), .∠FDQ=∠FHP=30°， .点Q在直线DQ上运动， 设直线DQ交FH于K,则DK⊥FH,FK=号FH, ∠FDK=2∠FDH=30°， .∠BDQ=60° 由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值， .∠DBQ=30°. 设AC=DH=6a,则AH=√3DH=65a, ..BD=CH=AH-AC=63a-6a, :.DQ-zBD-3:5a-3a. .BQ=√5DQ=9a-3√5a. 在Rt△DFK中，FK=2FH=2DH=3a, DK=√DF-FKz=3√5a, ..QK=DK-DQ=3a. 在Rt△FQK中，由勾股定理得FQ=√JFK2+QK2=3√2a, ,△DFQ≌△HFP, .PH=DQ=3√5a-3a, ∴.CP=CH-PH=3√3a-3a. ∴.由折叠的性质可得TQ=BQ=9a-3√3a. FT≤FQ+TQ, 品<0+ FT ·当点Q在线段FT上时，CP此时有最大值，最大值 为FQ+TQ CP &E的最大值为F0+TQE32a十9a-33ae CP 3√3a-3a √6+√2+2W3 2 小专题十六借助对称解决线段和差最值问题 1.B2.B3.54.55.(6,0) 6.解：在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,∴.AO=CO=3,BO= DO=4, ∴.AB=BC=CD=DA=5. 点P为BD上的一动点，E为OA的中点， 作点E关于BD的对称点E',连接PE',FE',如图①所示， ∴.PE=PE'.在△PFE'中，PF-PE=PF-PE'<FE', 则当点P,F,E三点共线时，PF一PE取最大值，.PF一PE= PF-PE'=FE'. A B 取BC的中点H,连接HO,如图②所示. :BF=3CF,点E是OA的中点，∴点F是HC的中点，点E 是0C的中点，FE=号H0. H0-号BCFE-号H0-号BC- 5 4 7.解：(1)等边三角形 (2)△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形， 理由如下：连接CE,BD,如图所示， .'AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°， ∴.把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△ACE, .BD=CE,∠ABD=∠ACE. 由题意可得PM/CE,PM=CE,PN/BD,PN=号BD, .PM=PN,∠BPM=∠BCE,∠CPN=∠CBD, 70 ∴.∠BPM+∠CPN=∠BCE+∠CBD=∠ACB+∠ACE+ ∠ABC-∠ABD=60°+60°=120°， .∠MPN=60°，.△PMN为等边三角形 (3).PN= 2BD,当BD的值最大时，PN的值最大 ,AB一AD≤BD≤AB+AD(当且仅当点B,A,D共线时取等 号)， .BD的最大值为1+3=4，.PN的最大值为2， ,.△PMN的周长的最大值为6. 8.解：(1)如图①所示，点C即为所求， (2)2√7 (3).△ABC的面积为12，BC=4,∴.BC边上的高为6， .△ABC的顶点A可看作是与BC距离为6的直线上一点. 如图②所示，作点B关于直线1的对称点D,连接DC,与直线1 的交点即为点A, 此时，AB+AC=AD+AC=DC=√JBC2+BD W√/42+122=4W10, 即△ABC周长的最小值为4√10+4. 第26讲图形的相似 1.D2.D3.D4.B5.(6-2a,-2b)6.20 7.25+2 8.证明：(1)，四边形ABCD是菱形， .AB=BC,AC⊥BD. 又.∠ABC=60°， ,∴.△ABC是等边三角形， .'.AB=AC. ,点F为BC的中点， .AF⊥BC, .∠BOC=∠BFE=90°. 又，'∠EBF=∠CBO, .△BEFC∽△BCO. (2),BO⊥AC,AF⊥BC, .CG⊥AB, ∴.∠BGE=∠AGE 又.AC=BC, ..BG=AG. 在△BEG和△AEG中， BG=AG, ∠BGE=∠AGE GE=GE, ∴.△BEG≌△AEG(SAS) 9.D10.(1)1(2)7 11.解：(1)如图①所示，设AB平移到EF,EF在地面上形成的影 子为MN. 0 .AB∥CD, ∴.△OAB∽△OCD: △OEF∽△OMN, △OEBp△OMD, "器黑骺咒器. OE OB OE 乐语 EF=AB, ..MN=CD. ∴.沿着AB方向平移铅笔时，CD的长度不变 (2)①如图②所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆， 当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ. 此时AB所在位置为AH ②80 12.解：(1)证明：BD是⊙O的直径， ∠BFD=90°. ∠C=90°， ∴.∠BFD=∠C .BF=BF, ∴.∠BEC=∠BDF, .△BCE△BFD, 器器 ∴.BC·DF=BF·CE (2)连接DE,过点E作EH⊥BD于点H,如图所示. .∠C=90°，tan∠BFC=√5， =5. ∴.BC=√5CF. '∠A=∠CBF, ∴.90°-∠A=90°-∠CBF,即∠ABC=∠BFC, ∴.tan∠ABC=tan∠BFC=√5， =5, .∴.AC=√5BC=√5X(√5CF)=5CF .AC-CF=AF=45, ∴.5CF-CF=45, .CF=√5， .BC=√5CF=5,AC=5CF=5√5， .AB=√BC2+AC=√52+(55)2=5√6. 由(1)知△BCE∽△BFD, ∴.∠CBE=∠DBF, ∴.∠CBE-∠FBE=∠DBF-∠FBE,即∠CBF=∠EBA. ,∠A=∠CBF, .∠A=∠EBA, ..AE-BE, ∴.BH=AH= 2AB-5/ 2· ,∠BEH=90°-∠EBA=90°-∠CBF=∠BFC, ,'.tan∠BEH=tan∠BFC=√5， 5√6 BH 2 “册-5，即Ea=5, /30 ..EH= 2 BD是⊙O的直径， .∠BED=90°， ∴.∠EDH=90°-∠DEH=∠BEH,