第6章 小专题14 胡不归与阿氏圆&小专题15 主从联动模型-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

小专题十四 胡不归与阿氏圆（答案74） 考点达标训练 素养拓展提升 1.(2023·合肥一模)如图所示，△ABC为等边 4.如图所示，∠ACB=60°，半径为2的⊙O内切 三角形，BD平分∠ABC,AB=2,点E为BD 于∠ACB.P为⊙O上一动点，过点P作PM, 上动点，连接AE,则AE+?BE的最小值 PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足分别为 M,N,求PM+2PN的取值范围. 为() A.1 B.√2 C.3 D.2 第1题图 第2题图 2.几何直观(2024·济南济阳区期末)如图所示， 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+3x一4 与x轴交于A,C两点，与y轴交于点B,若P 是x轴上一动点，Q(0,2),连接PQ,则PC+ √2PQ的最小值是 3.推理能力如图所示，在矩形ABCD中，AD= 5,AB=8,点M从点D运动到点C,运动速度 为每秒5个单位长度，同时点N从点B出发 向点A运动，运动速度为每秒3个单位长度， 当一个点到达终点时，另一个点也停止运动， 求DN+AM的最小值， 数学·精练册潍坊专用 69 小专题十五 主从联动模型（答案74） 考点达标训练 3.如图所示，在等边△ABC中，AB=6,BD⊥ AC,垂足为D,点E为AB边的中点，点F为 1.如图所示，正方形ABCD的边长为5，E为BC 上一点，且BE=2,F为AB边上的一个动点， 直线BD上一点.当点M为BE的中点，点N 连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连 在边AC上，且DN=2NC,点F从BD的中 点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时 接CG,求CG的最小值 针旋转60°得到线段EP,连接FP,当NP十 2MP最小时，求△DPN的面积 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=5,BC=12,D是以点A为圆心，3为半 径的圆上一点，连接BD,M是BD的中点，求 线段CM长度的最小值. 70 优学系赢在中考 4.推理能力◆如图①所示，在△ABC中，BE平分 素养拓展提升」 ∠ABC,CF平分∠ACB,BE与CF交于 5.探究拓展若AC=4,以点C为圆心，2为半径 点D, 作圆，点P为该圆上的动点，连接AP (1)若∠BAC=74°，则∠BDC= (1)如图①所示，取点B,使△ABC为等腰直 (2)如图②所示，∠BAC=90°，作MD⊥BE交 角三角形，∠BAC=90°，将点P绕点A顺时 AB于点M,求证：DM=DE. 针旋转90°得到AP' (3)如图③所示，∠BAC=60°，∠ABC=80°， ①点P'的轨迹是 .(填“线段”或者 若点G为CD的中点，点M在直线BC上，连 “圆”) 接MG,将线段GM绕点G逆时针旋转90°得 ②CP'的最小值是 GN,连接DN,当DN最短时，直接写出 (2)如图②所示，以AP为边作等边△APQ(点 ∠MGC的度数. A,P,Q按照顺时针方向排列)，在点P运动 过程中，求CQ的最大值 数学·精练册潍坊专用 71.∠AOB+∠ACB=180°，.∠OAC+∠OBC=180°， :DE=√EC2+DC=√(3+5)+8=8√2， .∠OAC=∠OBC=90°. ,AB=AC=2√3，∴.OB=r=2,∴.CO=2OB=4, DN+号AM≥8反.5DN+号AM的最小值为8反. .OP=2,∴.PC的最小值为OC-r=4一2=2. 4.解：作MH⊥NP于点H,作MF⊥BC于点F,如图①所示 ,PM⊥AC,PN⊥CB,.∠PMC=∠PNC=90°， ∴.∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°， ∴.∠MPH=180°-∠MPN=60°， aHP=PM·eos∠MPH=PM·cos60r=ZPM, ∴PN+PM=PN+HP=NH. ,MF=NH,∴.当MP与⊙O相切时，MF的长取得最大值和 6.解：(1)①22 最小值. ②90° 如图①所示，此时MF的长有最大值， 连接OC交⊙O于点P,此时PC的长最小，点O是AB的中 连接OP,OG,OC,可得四边形OPMG是正方形， 点，.OA=OB=3.在Rt△BCO中，∠OBC=90°，OB=3, ..MG=OP=2. BC=4,∴.OC=√OB2+BC2=5, 在Rt△COG中，CG=OG·tan60°=2√5， .PC=OC-OP=5-3=2.∴.PC的最 .CM=CG+GM=2+2√3. 小值为2. (2)4 在Rt△CMF中，M=CM·sin∠ACB=(2+25)X 2=3+ (3),四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°. √3，.HN=MF=3+3, 在△ADE和△DCF中， PM+2PN=2(2PM+PN)-2HN=6+25. AD=DC, ∠ADE=∠DCF, 如图②所示，此时MF的长有最小值， DE=CF, 过点M作MF⊥BC于点F,如图②所示，则四边形MFNH为 ∴.△ADE≌△DCF(SAS), 矩形，NH=MF. ∴.AE=DF,∠DAE=∠FDC. 由上知CG=23,MG=2,∴.CM=2√3-2， :∠ADE=90°， ∴.∠ADP+∠CDF=90°， Mr=HN=CM·sn∠MCP=(2g-2)x-g-. ∴.∠ADP+∠DAE=90°， :.PM+2PN-2(2PM+PN)-2HN-6-2/5. ∴.∠APD=180°-90°=90° 连接AC,BD交于点O,如图所示 ∴.6-23≤PM+2PN≤6+25. ,点P在运动中保持∠APD=90°， ∴.点P的运动路径是以AD为直径的圆的DPO, M 六点P的运动路径长为90πX? 180 =元 小专题十四胡不归与阿氏圆 1.c 2.6 B C下N ① ② 3.解：延长CB到E,使BE=3,连接NE,DE,如图所示， D 小专题十五主从联动模型 1解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段 AB上运动，点G也一定在直线轨迹上运动. 如图所示，将△EFB绕点E旋转60°，使A EF与EG重合，延长HG交CD于点N, 则△EFB≌△EGH,.BE=EH, E B ∠BEH=60°，∠GHE=90°，.△EBH为 BE 3 AD=5, AD=方，设点M、点N运动时间为t秒. 等边三角形，点G在垂直于HE的直线 .BN_3t_3 HN上. 由题意，得DM=5t,BN=3t,心DM5=5' 作CM⊥HN,则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM,可知四 腮删 边形HEPM为矩形， ∴.∠PEC=180°-∠PEH-∠BEH=180°-90°-60°=30°， .四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=∠C=∠ADM=90°， '.∠EBN=∠ADM, PC= 2CE= △FBNAADM,:E号 则CM=MP+CP=HE+号EC=2+号-号.即cG的最小 37 EN=号AM,DN+AM=DN+EN≥DE. 3 值为2 74 2.解：取AB的中点O,连接OM,AD, OC,如图所示.：M是BD的中点， .OM∥AD,OM= A0.:AD- 3 M(H) 3,∴.OM= 2· ∠ACB=90° 9 AC=5,BC=12,AB=13,.C0= .:C0-OM≤cM≤ 13 (3)如图②所示，过点G作GQ⊥DC,且GQ=GC,连接QN .∠BAC=60°，∠ABC=80°，∴.∠ACB=40°， CO+OM,即5≤CM≤8； .∠BCD=20° ∴.CM长度的最小值为5. 将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN, 3.解：以M为顶点，MP为一边，作 .MG=GN,∠MGN=90°=∠QGC, ∠PML=30°，ML交BD于点G,过 .∴.∠MGC=∠QGN. 点P作PH⊥ML于点H,设MP交 D(F) 又.GQ=GC,MG=GN, BD于点K,如图所示 '.△MGC≌△NGQ(SAS), .∠Q=∠MCG=20°， 在Rt△PMH中，HP= 2 MP, .点N在直线QN上运动，.当DN⊥QN时，DN有最小值为 DN', “NP+2MP最小即NP+HP最 连接N'G并延长交BC于点T,连接N'M',设NQ与BC的交 小，此时点N,P,H共线 点为H,如图②所示. ·将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,点F在射线 DN'⊥QN,BC⊥NQ,∴.DN'∥BC,∠BHQ=90°， QD上运动， ∴∠N'DG=∠BCD,∠THN'=90. 点P在MP上运动，F是主动点，P是从动点，E为定点， 点G是CD的中点，.DG=CG ∠FEP=60°，则F,P轨迹的夹角∠QKP=∠FEP=60°， 又，∠DGN'=∠CGT, .∠BKM=60°. .△DN'G≌△CTG(ASA), ∴.TG=GN',∴.TG=GN'=GM' ,∠ABD=30°，.∠BMK=90° ∠TM'N'=90°，∴点M与点H重合. ∠PML=30°，.∠BML=60°，.∠BML=∠A, .GM'=GN',∠M'GN'=90°， .ML∥AC, ∴.∠GN'M'=45°，.∠QGN'=25. .∠HNA=180°-∠PHM=90°. :∠QGC=∠M'GN'=9o°， :BD⊥AC,∴.∠BDC=∠HNA=∠PHM=9O°， .∠M'GC=∠QGN'=25°， ∴.四边形GHND为矩形，.DN=GH. .当DN最短时，∠MGC的度数为25. 在等边△ABC中，AB=6,BD⊥AC,CD=3. 5.解：(1)①圆 又DN=2NC,点E为AB的中点，点M为BE的中点， ②4√2-2 ND=2,BM=号，BD=AB·simA=6Xsin60°=35. (2)以AC为边作等边△ACD,连接DQ,CP,如图所示， △APQ和△ACD是等边三角形，AP=AQ,AC=AD= 在Rt△BGM中，MG=1 BM=号，BG=aM·a30=8 CD=4,∠PAQ=∠CAD=60°， .∠DAQ=∠CAP. MH-MG+GH-4.GD-BD-G (AD-AC, 4 在△ADQ和△ACP中，{∠DAQ=∠CAP, 在Rt△MHP中，HP=MH·tan30°=11 AQ=AP, 12 ∴.△ADQ≌△ACP(SAS),∴.DQ=CP=2. 当C,D,Q三点共线时，CQ有最大值为CD十DQ=4+2=6. PN-HN-HP-GD-HP-4 3 Q SawN=2PN·DN=4y3 D 31 4.解：(1)1279 (2)证明：如图①所示，过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于 点H. :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,DG⊥AB于点G,DH⊥ AC于点H, 第23讲与圆有关的位置关系 ∴.DH=DG 1.D2.C3.BCD4.2/13 'MD⊥BE 5.解：(1)证明：FA=FE, ∴.∠MDE=∠A=90°， ∴∠FAE=∠AEF. ∴.∠AMD+∠AED=180°. :∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角， .∠AMD+∠DMG=180°，∴.∠DMG=∠AED .∠FAE=∠BCE 又.∠DGM=∠DHE=90°，∴.△DMG≌△DEH(AAS) :∠AEF=∠CEB, .DM=DE. ·∠CEB=∠BCE. 75