小专题十四 胡不归与阿氏圆&小专题十五 主从联动模型-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

小专题十四胡不 考点达标训练 1.(2023·合肥一模)如图所示，△ABC为等边 三角形，BD平分∠ABC,AB=2,点E为BD 上动点，连接AE,则AE+7BE的最小值 为() A.1 B.√2 C.3 D.2 第1题图 第2题图 2.几何直观◆(2024·济南济阳区期末)如图所示， 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+3x一4 与x轴交于A,C两点，与y轴交于点B,若P 是x轴上一动点，Q(0,2),连接PQ,则PC+ √2PQ的最小值是 3.推理能力如图所示，在矩形ABCD中，AD= 5,AB=8,点M从点D运动到点C,运动速度 为每秒5个单位长度，同时点N从点B出发 向点A运动，运动速度为每秒3个单位长度， 当一个点到达终点时，另一个点也停止运动， 求DN+AM的最小值， 数学·精练册SD 归与阿氏圆（答案P67) 素养拓展提升 4.如图所示，∠ACB=60°，半径为2的⊙O内切 于∠ACB.P为⊙O上一动点，过点P作PM, PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足分别为 M,N,求PM+2PN的取值范围. A 69 小专题十五 主从联动模型（答案P67) 考点达标训练 3.如图所示，在等边△ABC中，AB=6,BD⊥ AC,垂足为D,点E为AB边的中点，点F为 1.如图所示，正方形ABCD的边长为5，E为BC 上一点，且BE=2,F为AB边上的一个动点， 直线BD上一点.当点M为BE的中点，点N 连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连 在边AC上，且DN=2NC,点F从BD的中 点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时 接CG,求CG的最小值. 针旋转60°得到线段EP,连接FP,当NP十 2MP最小时，求△DPN的面积 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=5,BC=12,D是以点A为圆心，3为半 径的圆上一点，连接BD,M是BD的中点，求 线段CM长度的最小值. 70 优学案赢在中考 4.推理能力如图①所示，在△ABC中，BE平分 ∠ABC,CF平分∠ACB,BE与CF交于 点D, (1)若∠BAC=74°，则∠BDC= (2)如图②所示，∠BAC=90°，作MD⊥BE交 AB于点M,求证：DM=DE. (3)如图③所示，∠BAC=60°，∠ABC=80°， 若点G为CD的中点，点M在直线BC上，连 接MG,将线段GM绕点G逆时针旋转90°得 GN,连接DN,当DN最短时，直接写出 ∠MGC的度数. 数学·精练册SD 素养拓展提升 5.探究拓展若AC=4,以点C为圆心，2为半径 作圆，点P为该圆上的动点，连接AP (1)如图①所示，取点B,使△ABC为等腰直 角三角形，∠BAC=90°，将点P绕点A顺时 针旋转90°得到AP. ①点P'的轨迹是 .(填“线段”或者 “圆”) ②CP'的最小值是 (2)如图②所示，以AP为边作等边△APQ(点 A,P,Q按照顺时针方向排列)，在点P运动 过程中，求CQ的最大值. 71小专题十四胡不归与阿氏圆 1.c 2.6 3.解：延长CB到E,使BE=3,连接NE,DE,如图所示， E B -设点M,点N运请时同为：称 AD=5,AD 由题意得DN=,BN=3,小BN-兰-， 船器 ,四边形ABCD是矩形，.∠ABC=∠C=∠ADM=90°， ,.∠EBN=∠ADM, ÷△EBND△ADM,心AMAD5' EN BE 3 AM,DN+号AM=DN+EN≥DE ·EN=3 DE=-√EC2+DC2=√(3+5)+82=8V2, ∴DN+号AM≥8E.DN+子AM的最小值为8vE. 4.解：作MH⊥NP于点H,作MF⊥BC于点F,如图①所示. ,PM⊥AC,PN⊥CB,.∠PMC=∠PNC=90°， .∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°， .∴.∠MPH=180°-∠MPN=60°， ∴HP=PM·cos∠MPH=PM·cos60=2PM, ∴PN+2PM=PN+HP=NH. .MF=NH,∴.当MP与⊙O相切时，MF的长取得最大值和 最小值. 如图①所示，此时MF的长有最大值. 连接OP,OG,OC,可得四边形OPMG是正方形， .'.MG=OP=2. 在Rt△COG中，CG=OG·tan60°=2√3， ∴.CM=CG+GM=2+2√3. 在Rt△CM中，MF=CM·sim∠ACB=(2+2W5)X 2=3+ √5，.HN=MF=3+√5， PM+2PN=2(2PM+PN）=2HN=6+23. 如图②所示，此时MF的长有最小值 过点M作MF⊥BC于点F,如图②所示，则四边形MFNH为 矩形，NH=MF. 由上知CG=23,MG=2,∴.CM=2√3-2， aAMF-HN=CM.sin∠MCF-(2g-2)x9-8-vg。 ∴PM+2PN=2(号PM+PN）=2HN=6-23. .6-2wW3≤PM+2PN≤6+2W. H ① 小专题十五主从联动模型 1.解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段 6 AB上运动，点G也一定在直线轨迹上 运动. 如图所示，将△EFB绕点E旋转60°，使 EF与EG重合，延长HG交CD于点N, 则△EFB≌△EGH,∴.BE=EH, ∠BEH=60°，∠GHE=90°，.△EBH 为等边三角形，点G在垂直于HE的直 线HN上. 作CM⊥HN,则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM,可知四 边形HEPM为矩形， .∠PEC=180°-∠PEH-∠BEH=180°-90°-60°=30°， 3 ∴PC=2CE=2×(5-2)=2, 3 CM=MP+CP=HE+2EC=2+2F?.即CG的最2 值为子 2.解：取AB的中点O,连接OM,AD, D OC,如图所示..M是BD的中点， ∴OM∥AD,OM=2AD.:AD= 3,OM=).:∠ACB=90 AC=5,BC=12,∴.AB=13, 3.:CO-OM<CM≤C0+OM,即5≤CM≤8， .C0=2 ∴.CM长度的最小值为5. 3.解：以M为顶点，MP为一边，作 ∠PML=30°，ML交BD于点G,过 点P作PH⊥ML于点H,设MP交 BD于点K,如图所示. 在Rt△PMH中，HP= 2 MP, 0 M “NP+2MP最小即NP+HP最B H 小，此时点N,P,H共线 将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,点F在射线 QD上运动， 点P在MP上运动，F是主动点，P是从动点，E为定点， ∠FEP=60°，则F,P轨迹的夹角∠QKP=∠FEP=60°， ∴.∠BKM=60° .∠ABD=30°，.∠BMK=90°. .∠PML=30°，.∠BML=60°，∴.∠BML=∠A, ∴.ML∥AC, ∴.∠HNA=180°-∠PHM=90°. ,BD⊥AC,∴.∠BDC=∠HNA=∠PHM=90°， .四边形GHND为矩形，.DN=GH. :在等边△ABC中，AB=6,BD⊥AC,.CD=3. 又：DN=2NC,点E为AB的中点，点M为BE的中点， ND=2,BM=3,BD=AB·sinA=6Xsin6o°=3Vg, 在Rt△BGM中，MG=号BM=,BG=BM·cos30-35 4 aMH=Mc+GH-￥，GD=BD-BG-9yg 4 在Rt△MHP中，HP=MH·tan30°=1yE, 12, PN-HN-HP-GD-HP, 3 ÷Saw=2PN·DN=4g5 3 4.解：(1)127° (2)证明：如图①所示，过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于 点H. BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,DG⊥AB于点G,DH⊥ AC于点H, ∴.DH=DG MD⊥BE, .∠MDE=∠A=90°， .∴.∠AMD+∠AED=180°. '∠AMD+∠DMG=18O°，∴∠DMG=∠AED. 又.∠DGM=∠DHE=90°，.△DMG≌△DEH(AAS), .'DM=DE. ① ② (3)如图②所示，过点G作GQ⊥DC,且GQ=GC,连接QN! .∠BAC=60°，∠ABC=80°，∴.∠ACB=40°， ∴.∠BCD=20 ,将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN, .MG=GN,∠MGN=90°=∠QGC, ∴.∠MGC=∠QGN. 又.GQ=GC,MG=GN, ∴.△MGC≌△NGQ(SAS), ..∠Q=∠MCG=20°， ∴.点N在直线QN上运动，.当DN⊥QN时，DN有最小值为 DN', 连接N'G并延长交BC于点T,连接N'M',设NQ与BC的交 点为H,如图②所示. :DN'⊥QN,BC⊥NQ,∴.DN'∥BC,∠BHQ=90°， .∠N'DG=∠BCD,∠THN'=90°. ,点G是CD的中点，∴DG=CG 又.∠DGN'=∠CGT, ∴.△DN'G≌△CTG(ASA), .TG=GN,.TG=GN'=GM', ∴.∠TM'N'=90°，∴.点M与点H重合. .GM'=GN',∠M'GN'=90°， .∠GN'M'=45°，∴∠QGN'=25°. ,∠QGC=∠M'GN'=90°， ∴.∠M'GC=∠QGN'=25°， ∴.当DN最短时，∠MGC的度数为25° 5.解：(1)①圆 ②4√2-2 (2)以AC为边作等边△ACD,连接DQ,CP,如图所示. ,'△APQ和△ACD是等边三角形，，AP=AQ,AC=AD CD=4,∠PAQ=∠CAD=60°， ∴.∠DAQ=∠CAP, IAD-AC 在△ADQ和△ACP中，{∠DAQ=∠CAP， AQ=AP, .△ADQ≌△ACP(SAS),.DQ=CP=2. 当C,D,Q三点共线时，CQ有最大值为CD+DQ=4十2=6. 0 第23讲与圆有关的位置关系 1.D2.C3.D4.213 5.解：(1)证明：FA=FE, .∠FAE=∠AEF. :∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角， ∴.∠FAE=∠BCE. ,'∠AEF=∠CEB: .∠CEB=∠BCE ,CE平分∠ACD, .∠ACE=∠DCE AB是直径， .∠ACB=90°， ∴.∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°， .∠CDE=90°， .CD⊥AB (2)由(1)知，∠BEC=∠BCE, .BE=BC. ,AF=EF,FM⊥AB, ∴.MA=ME=2,AE=4, .圆的半径OA=OB=AE-OE=3, ∴.BC=BE=OB-OE=2. 在△ABC中，AB=6,BC=2,∠ACB=90°， .AC=WAB2-BC2=√/62-2=42. 6.解：(1)，∠BAE=∠CAD, ∴.∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD, 即∠EAD=∠BAC. 又∠ADE=∠ACB,AD=AC, .△ADE≌△ACB(ASA), ·AE=AB. AB=8, .AE=8. (2)证明：如图所示，连接BO并延长交⊙O于点F,连接AF, BF是⊙O的直径， .∠BAF=90°， ∴.∠AFB+∠ABF=90° .·∠AFB=∠ACB, ∴.∠ACB+∠ABF=90° 在△ADC中，AD=AC, ∴.∠ACB=∠ADC, .2∠ACB+∠CAD=180°」 由(1)知AE=AB, .∠AEB=∠ABE, ∴.2∠ABE+∠BAE=180°. ,∠BAE=∠CAD, ∴.∠ACB=∠ABE, .∠ABE+∠ABF=90°， 即∠OBE=90. OB为⊙O的半径 .EB是⊙O的切线 7.A8.27 9.解：(1)证明：连接BG,如图所示， 根据题意可知AD=AE,BE=BF 又AB=BC, ..CF=AE=AD. BC=2AD, ∴.BF=BE=AD=AE=CF .AD∥BC, .四边形ABFD是平行四边形， ∴.∠BFD=∠DAB=60°. :BG=BE, △BFG是等边三角形， ∴.GF=BF, ..GF=BF=FC, ,'.G在以BC为直径的圆上， .∠BGC=90°， ∴.CG为EF所在圆的切线， (2)过D作DH⊥AB于点H,如图所示， 68