第6章 小专题13 辅助圓模型-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

90°，∠3=∠2， .∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,∴.∠AFE=∠AGC .△AED∽△CEB. .AE=AC,.△AEF≌△ACG(AAS), (3)四边形OAEB为菱形 ..EF=CG,..EF=BD 理由：∠CAE=90,∠1=30°，：AE=2CE.同理可证， G BE-CE. / ∴OA=OB=AE=BE, .四边形OAEB为菱形 9.A 10.2一√3或2+√3或2 小专题十三辅助圆模型 11.解：(1)如图①所示，过点O作OH⊥BC于点H. OC=OB,OH⊥BC, 1.B2.4+5 3.解：△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,M是AD的 ∴.∠COH=∠BOH,CH=BH. 中点，AD=2,∴MA'=MA=1, .'∠BOC=2∠BCE,.∠BOH=∠BCE. ∴点A'的轨迹是以M点为圆心，MA的长为半径的圆弧。 :∠BOH+∠OBH=90°， 连接CM,与圆的交点即为所求的A',此时A'C的值最小，过点 .∠BCE+∠OBH=90°，.∠CEB=90°， M作MH⊥CD交CD的延长线于点H,如图所示. ∴.BC=√EC2+EB=√5+I=√6. D .C-B “e∠0BH-8股-股 一B √6 .菱形ABCD的边长为2，M为AD的中点，.MD=1. 21 OB6 ,.OB=3,.⊙O的半径为3. .∠A=60°，∴.∠HDM=60°，∠HMD=30°， (2)证法一：如图②所示，过点O作OK⊥BD于点K, HD= 2HM= 2 .在Rt△HMC中，CM= 则BK=DK, .BD=20E, √〉++) =√7，此时A'C=7-1. ..OE=BK. :∠CE0=∠OKB=90°，OC=OB, 4.解：如图所示，取AC的中点O',连接BO',BC,EO',则CO'= ∴.Rt△OEC≌Rt△BKO(HL), 2AC=2. .∠COE=∠OBK, ∴.OC∥BD. 证法二：如图②所示，过点O作OK⊥BD于点K, 则BK=DK, BD=20E,..OE=BK. cos∠COE=O2,cos∠OBK BK OBOC=OB, 0. CE⊥AD,∴∠AEC=90°，.在点D移动的过程中，点E在 ,.cos∠COE=cos∠OBK, ∴.∠COE=∠OBK,.OC∥BD 以AC为直径的圆上运动， .AB是直径，∴.∠ACB=90° 在Rt△ABC中，，AC=4,AB=5, ∴BC=√52-4=3. 在Rt△BCO'中，BO'=√32+22=√13. O'E+BE≥OB,当O',E,B共线时，BE的值最小，最小 值为O'B-OE=√I3-2. ① ② 5.解：CD=AE,∴.BD=CE.在△ABD和△BCE中，AB=BC, 12.解：(1)，CD为直径，.∠CAD=90° ∠ABD=∠BCE,BD=CE,∴.△ABD≌△BCE(SAS), ,∠AFE=∠ADC=60°， ∴∠BAD=∠CBE. ∴.∠ACD=90°-60°=30°，.∠ABD=∠ACD=30° :∠APE=∠ABE+∠BAD, (2)证明：①如图所示，延长AB至点M, ∠APE=∠BPD,∠ABE+∠CBE=60°， 四边形ABCD是圆内接四边形， .∠BPD=∠APE=∠ABC=60°， .∠CBM=∠ADC. .∠APB=120°， 又.∠AFE=∠ADC,∴.∠AFE=∠CBM,.EF∥BC 点P的运动轨迹是圆周角∠APB=120°的圆上的AB,且 ②过点D作DG∥BC交⊙O于点G,连接AG,CG,如图所示. ∠AOB=120°，连接C0,PO,如图所示」 :DG∥BC,∴.BD=CG,BD=CG. .0A=OB,CA=CB,OC=OC, :四边形ACGD是圆内接四边形，∠GDE=∠ACG ∴.△AOC≌△BOC(SSS), :EF∥DG,∴∠DEF=∠GDE,∠DEF=∠ACG. .∠OAC=∠OBC,∠ACO=∠BCO=30°. 73 .∠AOB+∠ACB=180°，.∠OAC+∠OBC=180°， :DE=√EC2+DC=√(3+5)+8=8√2， .∠OAC=∠OBC=90°. ,AB=AC=2√3，∴.OB=r=2,∴.CO=2OB=4, DN+号AM≥8反.5DN+号AM的最小值为8反. .OP=2,∴.PC的最小值为OC-r=4一2=2. 4.解：作MH⊥NP于点H,作MF⊥BC于点F,如图①所示 ,PM⊥AC,PN⊥CB,.∠PMC=∠PNC=90°， ∴.∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°， ∴.∠MPH=180°-∠MPN=60°， aHP=PM·eos∠MPH=PM·cos60r=ZPM, ∴PN+PM=PN+HP=NH. ,MF=NH,∴.当MP与⊙O相切时，MF的长取得最大值和 6.解：(1)①22 最小值. ②90° 如图①所示，此时MF的长有最大值， 连接OC交⊙O于点P,此时PC的长最小，点O是AB的中 连接OP,OG,OC,可得四边形OPMG是正方形， 点，.OA=OB=3.在Rt△BCO中，∠OBC=90°，OB=3, ..MG=OP=2. BC=4,∴.OC=√OB2+BC2=5, 在Rt△COG中，CG=OG·tan60°=2√5， .PC=OC-OP=5-3=2.∴.PC的最 .CM=CG+GM=2+2√3. 小值为2. (2)4 在Rt△CMF中，M=CM·sin∠ACB=(2+25)X 2=3+ (3),四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°. √3，.HN=MF=3+3, 在△ADE和△DCF中， PM+2PN=2(2PM+PN)-2HN=6+25. AD=DC, ∠ADE=∠DCF, 如图②所示，此时MF的长有最小值， DE=CF, 过点M作MF⊥BC于点F,如图②所示，则四边形MFNH为 ∴.△ADE≌△DCF(SAS), 矩形，NH=MF. ∴.AE=DF,∠DAE=∠FDC. 由上知CG=23,MG=2,∴.CM=2√3-2， :∠ADE=90°， ∴.∠ADP+∠CDF=90°， Mr=HN=CM·sn∠MCP=(2g-2)x-g-. ∴.∠ADP+∠DAE=90°， :.PM+2PN-2(2PM+PN)-2HN-6-2/5. ∴.∠APD=180°-90°=90° 连接AC,BD交于点O,如图所示 ∴.6-23≤PM+2PN≤6+25. ,点P在运动中保持∠APD=90°， ∴.点P的运动路径是以AD为直径的圆的DPO, M 六点P的运动路径长为90πX? 180 =元 小专题十四胡不归与阿氏圆 1.c 2.6 B C下N ① ② 3.解：延长CB到E,使BE=3,连接NE,DE,如图所示， D 小专题十五主从联动模型 1解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段 AB上运动，点G也一定在直线轨迹上运动. 如图所示，将△EFB绕点E旋转60°，使A EF与EG重合，延长HG交CD于点N, 则△EFB≌△EGH,.BE=EH, E B ∠BEH=60°，∠GHE=90°，.△EBH为 BE 3 AD=5, AD=方，设点M、点N运动时间为t秒. 等边三角形，点G在垂直于HE的直线 .BN_3t_3 HN上. 由题意，得DM=5t,BN=3t,心DM5=5' 作CM⊥HN,则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM,可知四 腮删 边形HEPM为矩形， ∴.∠PEC=180°-∠PEH-∠BEH=180°-90°-60°=30°， .四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=∠C=∠ADM=90°， '.∠EBN=∠ADM, PC= 2CE= △FBNAADM,:E号 则CM=MP+CP=HE+号EC=2+号-号.即cG的最小 37 EN=号AM,DN+AM=DN+EN≥DE. 3 值为2 74小专题十三 辅助圆模型（答案P73) 考点达标训练 4.推理能力如图所示，AB是半圆O的直径，点 1.（2024·潍坊诸城模拟)如图所示，四边形ABCD C在半圆O上，AB=5,AC=4.D是BC上的 中，DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则 一个动点，连接AD,过点C作CE⊥AD于 BD的长为() 点E,连接BE.求在点D移动的过程中，BE 的最小值。 A.√14 B.√/15 C.3√2 D.2√3 2.(2023·黑龙江中考)如图所示，在Rt△ACB 中，∠BAC=30°，CB=2,点E是斜边AB的 中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得 Rt△AFD,点C,点B旋转后的对应点分别是 点D,点F,连接CF,EF,CE,在旋转的过程 中，△CEF面积的最大值是 5.运算能力，如图所示，等边三角形ABC的边长 为2√3，D,E分别是BC,CA上两个动点，且 CD=AE,连接AD,BE,交点为P点，连接 3.模型观念如图所示，在边长为2的菱形ABCD CP,求CP的最小值. 中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB 边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻 折得到△A'MN,连接A'C,求A'C长度的最 小值. 数学·精练册潍坊专用 67 素养拓展提升 点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请 直接写出点P的运动路径长， 6.(2024·威海模拟)阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知 识解决，可以使问题变得非常容易.我们把这 个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是 两种类型. ①类型一，“定点十定长”：如图①所示，在 △ABC中，AB=AC,∠BAC=44°，D是 △ABC外一点，且AD=AC,求∠BDC的 度数. 解：若以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径 作辅助圆⊙A,则点C,D必在⊙A上，∠BAC 是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可 容易得到∠BDC= ②类型二，“定角十定弦”：如图②所示，在 Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是 △ABC内部的一个动点，且满足∠PAB= ∠PBC,求线段CP长度的最小值. 解：∠ABC=90°， .∠ABP+∠PBC=90°. ∠PAB=∠PBC, .∠BAP+∠ABP=90°， .∠APB= ,(定角) .点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上 请完成后面的过程， (2)【问题解决】 如图③所示，在矩形ABCD中，已知AB=6, BC=8,点P是BC边上一动点（点P不与B, C重合)，连接AP,作点B关于直线AP的对 称点M,则线段MC的最小值为 (3)【问题拓展】 如图④所示，在正方形ABCD中，AD=4,动 点E,F分别在边DC,CB上移动，且满足 DE=CF.连接AE和DF,交于点P.点E从 68 优学案赢在中考