第4章 小专题10 中点常见图形及辅助线作法-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

AE=AG 在△AEF和△AGF中，{∠1=∠2， AF-AF .∴.△AEF≌△AGF(SAS), ∴∠AFE-∠AFG. ∠B=60°，∴.∠BAC+∠ACB=120°， 小专题九角平分线常见图形及辅助线作法 :∠2+∠3=日(ZBAC+∠ACB) 1.C2.B3.15 =60°. 4.解：如图所示，在AC上截取CE=CB,连接DE ∠AFE=∠2+∠3， ,∠ACB的平分线CD交AB于点D, ∴.∠AFE=∠CFD=∠AFG=60, ∴.∠BCD=∠ECD, ∴.∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°， 在△CBD与△CED中， ∴.∠CFD=∠CFG. CB=CE, 在△CFG和△CFD中， ∠BCD=∠ECD, ∠CFG=∠CFD, CD-CD, FC=FC, ∴.△CFG≌△CFD(ASA), ∴.△CBD≌△CED(SAS), ∠3=∠4， ∴.BD=ED,∠B=∠CED ..CG=CD,..AC=AG+CG=AE+CD. ,'∠B=2∠A,∠CED=∠A十∠ADE, 8.解：【基本运用】(1)△ACE是等腰三角形.理由如下： ∴.∠CED=2∠A, 在长方形ABCD中，DC∥AB, .∠A=∠EDA,.AE=ED,∴.AE=BD, .∠ACD=∠BAC. ..BD=AC-CE=AC-BC=16-9-7. 由折叠性质可知∠B'AC=∠BAC, 5.解：作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,如 .∠ACD=∠B'AC, 图所示. ..AE-CE, 在Rt△ABC中，BC=√AB2-AC=12. ∴.△ACE是等腰三角形 :点O为∠ABC与∠CAB的平分线的交点， 【类比探究】(2)BD=DE十CE.理由如下： OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC, BO平分∠ABC, ∴.∠ABO=∠CBO. ..OE=OD=OF, DE∥BC, AC.BC-AC.OE+C OF+AB OD 1 ∴.∠CBO=∠BOD, ∴.∠ABO=∠BOD, 2×13×0D+2×12×0D+2×5×0D=号×5×12， 1 .BD=OD. 解得OD=2,即点O到边AB的距离为2. 同理：CE=OE 又OD=DE+OE, ..BD=DE+CE. 【拓展提升】(3)证明：如图所示，延长AE,BC交于点F. ,'AD∥BC, ∴.∠D=∠DCF,∠DAF=∠F ,AE平分∠BAD, 6.解：延长BE交AC的延长线于点F,如图所示 .∠DAF=∠BAF, AD平分∠BAC, .∠F=∠BAF, .∠BAE=∠CAE. ∴.AB=BF. BE⊥AD 在△ADE和△FCE中， ,.∠AEB=∠AEF=90° |∠D=∠DCF, 在△AEB和△AEF中， ∠DAF=∠F, |∠BAE=∠CAD, DE=CE, AE-AE, ∴.△ADE≌△FCE(AAS),∴.AE=FE. ∠AEB=∠AEF 又AB=BF,.AE⊥BE ∴.△AEB≌△AEF(ASA), 小专题十中点常见图形及辅助线作法 ∴.AB=AF,BE=FE 1.D2.C3.D4.40°5.106.6 .'AB=4,AC=3,..AF=AB=4,CF=1. 7.解：(1)证明：如图所示，连接DE.AD⊥BC,∴∠ADB=90°. :∠BAC=90rSam=号AB·AP=号X4X4=8, 又E为AB的中点，∴.DE=AE=BE .CD=AE, 1 六S△AEF=2 SAABF=4. ∴.DE=CD ,AC:CF=3:1, 又DG⊥EC,∴.EG=CG (2)过点E作EM⊥BC于点M,如图 3 ·△ACE的面积=SaME=3. 所示. 7.证明：如图所示，在AC上截取AG=AE,连接FG. AD⊥BC,EM⊥BC,∴.EM∥AD. ,AD是∠BAC的平分线，CE是∠BCA的平分线， E为AB的中点，，EM是△ABD的 中位线， ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. 66 BM=AD=3, AB=EA, ∠ABM=∠EAF. :AB=10DE-号AB=5, BM=AF, ∴.△ABM≌△EAF(SAS), .DM=4. .AM=EF,∠BAM=∠E .CD=AE=DE=5,..CM=CD+DM-9, .AD=DM,∴.AM=2AD,∴.EF=2AD ∴.CE=√/32+92=310. .'∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE 8.解：(1)EF⊥AC.理由如下：连接AE,EC,如图所示 ∴.∠APE=∠BAE=90°，.EF⊥AD. :∠BCD=90°，点E是BD的中点， 第18讲等腰三角形与直角三角形 CE-BD. 1.C2.C3.C4.D5.666.6或127.60 8.解：(1)证明：AD∥BC,∴.∠EAD=∠B. :∠BAD=90°，点E是BD的中 ∠B=∠D,∴.∠EAD=∠D,.BE∥CD.∠E=∠ECD 1 点，AE=2BD, (2)△BCE是等边三角形，理由如下： CE平分∠BCD,.∠BCE=∠ECD .'.AE=CE. .EBCD,.∠ECD=∠E=60°， 点F是AC的中点，.EF⊥AC ∴.∠B=180°-∠E-∠BCE=60°， (2②)EP=古AC,理由如下：∠BCD=90,点E是BD的中点， .∠B=∠BCE=∠E, ∴.△BCE是等边三角形 六.CE=DE=zBD,∠ECD=∠CDE. 9.C10.48 11.解：(2)题图②的结论是BM2+NC2+BM·NC=MN ∠BAD=90°，点E是BD的中点，∴AE=DE= D, 证明：AB=AC,∠BAC=60°， ∴.∠EAD=∠ADE: ∴.△ABC是等边三角形， .∠ADC=45°， ∴.∠ABC=∠ACB=60°. ∴.∠AEC=∠AEB+∠BEC=∠EAD+∠ADE+∠ECD+ 如图①所示，以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=60°，在 ∠EDC=2∠ADE+2∠CDE=2(∠ADE+∠CDE) BK上截取BQ=CN,连接QA,QM,过点Q作QH⊥BC,垂 2∠ADC=90°. 足为H. 'AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ, “点F是AC的中点，EF= 2AC. .△ACN≌△ABQ(SAS), 9.D ∴.AN=AQ,∠CAN=∠QAB 10.解：【探究发现】AC=BMAC∥BM 又.∠CAN+∠BAM=30°， 【初步应用】如图①所示，延长AD到点M,使DM=AD,连 ∴.∠BAM+∠QAB=30°， 接BM. 即∠QAM=∠MAN, 由(1)可知，△MDB≌△ADC(SAS), 又AM=AM, ∴.BM=AC=8. ∴.△AQM≌△ANM(SAS), 在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM, ∴.MN=QM. .12-8<AM<12+8, .∠ABQ=60°，∠ABC=60°， 即4<2AD<20,.2<AD<10 .∠QBH=60°， 即BC边上的中线AD的取值范围为2<AD<10. .∠BQH=30°， BH-BQ.QH 2 BQ, .HM-BM+BH-BM+7 BQ. 在Rt△QHM中，QH+HM=QM, 即（停a)'+(M+号o)°=Q, 整理得BM2+BQ2+BM·BQ=QM2. ① ② .BM2+NC2+BM·NC=MN2. 【探究提升】EF=2AD,EF⊥AD.理由如下： 题图③的结论是BM+NC2-BM·NC=MN2 如图②所示，延长AD到点M,使得DM=AD,连接BM. 证明：如图②所示，以点B为顶点在△ABC外作∠ABK= 由(1)知△BDM≌△CDA(SAS), 30°，在BK上截取BQ=CN,连接QA,QM,过点Q作QH⊥ ∴.BM=AC. BC,垂足为H. AC=AF,∴.BM=AF ,AB=AC,∠C=∠ABQ CN=BQ; 04 由(1)可知AC∥BM, ∴.∠BAC+∠ABM=180° .△ACN≌△ABQ(SAS), AE⊥AB,AF⊥AC,.∠BAE=∠FAC=90° ∴AN=AQ,∠CAN=∠QAB. ∴.∠BAC+∠EAF=180°， 又.∠CAN+∠BAM=60°， B H/M ∴.∠ABM=∠EAF. .∠BAM+∠QAB=60°，即 在△ABM和△EAF中， ∠QAM=∠MAN. ② 67小专题十 中点常见图形及辅助线作法（答案P66) 考点达标训练 AB的中点，连接EF,OE,若∠EAF=50°，则 ∠OEF= 1.几何直观◆(2024·菏泽鲁西新区质检)如图所 示，在平面直角坐标系中，已知△ABC,AB= AC=13,点B,C的坐标分别是(8,12)， (8,2),则点A的坐标是() A.(3,6) B.(-4,5) 第4题图 第5题图 C.(-4,6) D.(-4,7) 5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8, D,E分别为AC,BC上的点，AD=CE=2, F,G分别为AE,BD的中点，连接FG,则FG 的长度是 6.(2024·济宁兖州区期中)如图所示，在正方形 第1题图 第2题图 ABCD中，E为AB边的中点，G,F分别为 2.(2023·赤峰中考)如图示，在Rt△ABC中， AD,BC边上的点，若AG=2,BF=4, ∠ACB=90°，AB=10,BC=6.点F是AB的 ∠GEF=90°，则GF的长为 中点，连接CF,把线段CF沿射线BC方向平 移到DE,点D在AC上.则线段CF在平移过 程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和 面积分别是( A.16,6 B.18,18 7.(2023·温州模拟)如图所示，在△ABC中， C.16,12 D.12,16 AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中 3.如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交 线，DG⊥CE于点G,CD=AE, BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E, (1)求证：CG=EG 点M,N为垂足，若BD-号，DE=2,BC=, (2)若AB=10,AD=6,求CE的长. 则AC的长为() A. 2 B.33 2 C36 D.310 2 2 4.(2024·德州武城质检)如图所示，在Rt△AEB 和Rt△AFB中，∠AEB=∠AFB=90°，O为 数学·精练册潍坊专用 51 8.推理能力》如图所示，在四边形ABCD中， 【初步应用】如图②所示，在△ABC中，若 ∠BCD=∠BAD=90°，E,F分别是对角线 AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取 BD,AC的中点. 值范围. (1)请判断线段EF与AC的位置关系，并说明 【探究提升】如图③所示，AD是△ABC的中 理由 线，过点A分别向外作AE⊥AB,AF⊥AC, (2)若∠ADC=45°，请判断EF与AC的数量 使得AE=AB,AF=AC,延长DA交EF于 关系，并说明理由， 点P,判断线段EF与AD的数量关系和位置 关系，请说明理由， 素养拓展提升 9.(2024·滨州惠民模拟)如图所示，在△ABC 中，点E是BC的中点，点D是△ABC外一 点，AD⊥BD,且AD平分∠BAC,连接DE. 若AB=10,DE=2,则AC的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 10.应用意识为了进一步探究三角形中线的作 用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做 了如下尝试：如图①所示，在△ABC中，AD 是BC边上的中线，延长AD到点M,使 DM=AD,连接BM. 【探究发现】图①中AC与BM的数量关系是 ,位置关系是 52 优学案赢在中考