第3章 小专题7 二次函数中的几何问题-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

(2)由题意，结合(1)y= 25x-15)2+9, :桥拱弛物线的函数表达式为y=一君，（答案不唯-） 1 六令x=5,则y=一25(6-15)2+9=5. ∴.水火箭距离地面的竖直高度为5m. 4解：1)油图象可设抛物线表达式为)=a(。-智)》， 把(0，)的坐标代入，得 图-a(o-9》, (3)如图②所示，桥甲的桥下水位上升了2m, 由(1)得OF=25m,OE=OB-BE=25-(10-2)=17(m), 解得a=手， ∴.EF=√OF2-OE=√25-17=4√2I(m), 抛物线F→E→G的丽数表达式为)-(x一装) ∴.此时桥甲的水面宽度为8√21m. 桥乙的桥下水位上升了2m, ②当y=5时5=言(-》八， 在y=一云中，令y=-2得-2=一若，船得 2或 x=- 52 2 p(5).c(5). 52 2 =52(m), PG-智-9- .此时桥乙的水面宽度为5√2m. ,∵抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同 小专题七二次函数中的几何问题 .抛物线K→H→Q由抛物线P→E→G向右平移(PG+GK)1.A2.(一2,1)或(2,1) 个单位长度， 3.解：(1)将点A的坐标代入抛物线表达式，得5=一4十c, 地物线K一H小Q为=(2--5-) 则c=9, 即抛物线的表达式为y=一x2+9. 告-10 (2)证明：令y=-x2+9=0,则x=士3，则点B(3,0). 由点A,B的坐标，得直线AB的表达式为y=一x十3. 令：=4，则4=号红-10月， 设点P,Q,D的坐标分别为(x1,一x号+9)，(x2,-x十9)， (x1,一x1+3),由x2=x1十3得x2-x1=3. 解得x1=10-√5（舍），x2=10+√5， ∴.离出发点的水平距离最远为(10十√5)米. 则Sae=号×PDX(a-x)=名X(-i+9+,-3)· (3)设OA=AB=a,A(a,0),B(2a,0), 3 w-（e-}--a+ (x2-x1)=2（-xi+x1+6), yw-g(2a-）》”-c-1u+1 同理可得：S△Ac=2XCDX(xn一xA)=2（-i+x1+6), ∴.L=AM+CM+BN+DN 则83为定组 =音-a+a+.-1+g+2a (3)设点P,Q的坐标分别为 (x1,-x号+9)，(-2x1,-4x+9), 125 =4a2-12a+8 由点P,Q的坐标，得直线PQ的表达式为y=x1(x一x1)一 x+9=xx1-2x1十9， =4(a-》+是 112,3737 则MN=yw=(x1-1)x1-2z+9=-(x1+2)）+4≤' .4>0, 抛物线开口向上， 故MN长度的最大值为 当a=号时，1最短，最短为米。 4.解：(1)由题意得y=a(x-2)2+23, 8x号-30元. 将点A的坐标代入上式，得0=a×(4一2)2十23， ∴当OA-AB-号时，造价最低，最低流价为53元. 解得a=一 2 5.解：(1)25 抛物线y=a-A+的表达式为y=-停+25x (2)以P为原点，平行水面的直线为x轴，建立平面直角坐标 系，如图①所示 (2)由(1)知，y= √3 -2(x-2)2+23, 设桥拱抛物线的函数表达式为y=ax2. ,水面宽MN=10m,拱顶P(抛物线顶点)距离水面4m, 由中点坐标公式得点C(1,√3)， 4 .M(-5,-4),.-4=25a,解得a=一25' 当x=1时y=9(1-2+2wg-3 2, 63 则cE-3-g- 当∠BOD=2∠AOC时，又∠AOC+∠BOD=180°， 2 .∠AOC=60°. (3)①由(2)知，C(1,√3)， .15t=60,解得t=4. 当2∠BOD=∠AOC时， 当y=3时y=-z-22+23= 又∠AOC+∠BOD=180°，.∠AOC=120°..15t=120,解得 则x=2十√2（不合题意的值已舍去）， t=8.综上所述，t的值为4或8. 即点F(2+√2W3). 10.解：(1)证明：∠B=90°，∠B+∠2+∠3=180°， .∠2+∠3=90°. ②设点D(m,0),则点F(m+1,3), 过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线1的对称点F'(m+1, ∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180° 3√)，连接DF',BF',如图所示， :∠1+∠D0102+∠2=180°，∠3+∠010，E+∠4=180， 则BD十BF=BD十BF'≥DF',当D, B,F'共线时，BD十BF=DF'为最小， ∴.∠D0102+∠0102E=180°， ,∴DO1∥O2E. 由定点F',D的坐标，得直线DF的表 (2)如图所示，过点O2作O2MO1E, 达式为y=3V3(x-m), ,∠1=∠2=36°，∠B=120°， 将点B的坐标代入上式，得2√3= .∠3=180°-36°-120°=24° 33(2-m), ∴.∠4=∠3=24° 解得一了， ∠1=∠2=36°，∠1+∠E0102+∠2=180°. .∠E01O2=108. 则点F(3)，点D(告o)小： 同理，∠010203=132° .OM//O E, 则BD+BF的最小值为DF'-√1+(3√3)2=2√7 ∴.∠E01O2+∠01O2M=180°， 5.解：(1)将(-1,0)，(4,5)的坐标分别代人y-x2+mx十n,得 .∠01O2M=72°， 1-m+n=0, ∫m=-2, i6+4m十n=5,六m=-3, ∴.∠MO2O3=∠O1O2O3-∠O1O2M=60° O2M∥O1E,E01∥03F, .抛物线的函数表达式为y=x2一2x一3. .O,M//O:F, (2)(1,2) ∴.∠M02O3+∠O2O3F=180°， (3)如图所示，设直线AB的函数表达式为 ∴∠0203F=120°， y=kx+b, 。k=1, ∴∠5=∠6=2×180-∠0,0，P)=30, ∴.∠C=180°-∠4-∠5=126°. .直线AB的函数表达式为y=x十1. 设D(a,a2-2a-3),则E(a,a十1)， .DE=(a+1)-(a2-2a-3)=-a2+3a+4 B -(。-+(-1a<. :当a=受时，DE的最大值为约 --M (④点N的坐标为1,1D或1,4)或(-1,2)或（号，） 第四章三角形 06 第16讲线段、角、相交线 1.D2.A3.B4.B5.A6.2<AB<8 D 7.解：(1)证明：.DE∥BC,∴.∠C=∠AED.∠EDF=∠C, 小专题八借助垂线段解决线段最值问题 .∠AED=∠EDF,.DF∥AC,.∠BDF=∠A. 1.B2.B (2).∠A=45°，.∠BDF=45° 3.解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=3,∴AC=5. DF平分∠BDE,.∠BDE=2∠BDF=9O°. 连接BD(图略)： ,DE∥BC,.∠B=90°，∴.△ABC是等腰直角三角形 DE⊥AB,DF⊥BC, 8.D ∴.四边形EBFD是矩形，.EF=BD, 9.解：(1)∠AOC+∠BOD=180 当BD最小时，则EF最小. (2)OD平分∠AOB,OB平分∠COD. 又：当BD⊥AC时，BD最小， 理由如下：当旋转时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°， .∠B0C=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45° 此时SE=号AB,BC=号AC·BD, :∠COD=90°，.∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°， :BD=3X4=2.4, .∠BOC=∠BOD=45°，.OB平分∠COD. 5 又∠B0D=46=号∠A0B0D平分∠A0B. 即EF的最小值为2.4. 4.解：过点P作PH⊥AB于点H,如图①所示 (3)由题意，得∠AOB=90°，∠AOC=15t. .∠A=60°，BD⊥AC,.∠ABD=30°， 64小专题七 二次函数中的几何问题（答案P64) 考点达标训练 点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接 1.(2024·德州临邑一模)如图所示，直线y= AC,DQ,PQ.若x2=z+3,求证：SAC S△PDe的值 2x十2与y轴交于点A,与直线y=一2x交 为定值 (3)如图②所示，点P在第二象限，x2= 于点B,以AB为边向右作菱形ABCD,点C 恰与原点O重合，抛物线y=(x-h)2+k的 一2x1,若点M在直线PQ上，且横坐标为 x1一1，过点M作MN⊥x轴于点N,求线段 顶点在直线y=一2上移动若抛物线与菱 MN长度的最大值. 形的边AB,BC都有公共点，则h的取值范围 是() ② A-2h≤ B.-2≤h≤1 C-1eh<号 D-I<A≤ 2.(2024·菏泽单县一模)如图所示，已知⊙P的 1 半径为1，圆心P在抛物线y=4上运动，当 ⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 0 3.推理能力(2024·湖南中考)已知二次函数 y=-x2十c的图象经过点A(一2,5)，点 P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函数的图象上 的两个动点. (1)求此二次函数的表达式 (2)如图①所示，此二次函数的图象与x轴的 正半轴交于点B,点P在直线AB的上方，过 数学·精练册潍坊专用 41 素养拓展提升 5.探究拓展》如图所示，某一次函数与二次函数 4.运算能力(2024·甘肃中考)如图①所示，抛物 y=x2+mx+n的图象交点为A(-1,0), 线y=a(x-h)2十k交x轴于O,A(4,0)两 B(4,5). (1)求抛物线的函数表达式. 点，顶点为B(2,23),点C为OB的中点. (2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与 (1)求抛物线y=a(x-h)2+k的表达式. BC的和最小时，点C的坐标为 (2)过点C作CH⊥OA,垂足为H,交抛物线 (3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一 于点E,求线段CE的长， 动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点 (3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在 E,求线段DE长度的最大值， OC右侧作平行四边形OCFD. (4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点F为 ①如图②所示，当点F落在抛物线上时，求点 直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一 F的坐标； 点，若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正 ②如图③所示，连接BD,BF,求BD+BF的 方形，请直接写出点N的坐标， 最小值。 备用图 42 优学系赢在中考