专题6 动态探究题-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

2k+b=3,解 k=一2 AE-6-1.QE-/AQ-AEF-65-1. 6k'+b=1, b=4, 又OP=2t, “直线AB所对应的一次函数的表达式为y=一2x十4 s-×24×(6s-8）-2+6v O TC K 0 ① ② (2)在x轴上存在一点P,使△ABP周长的值最小， 作点A(2,3)关于x轴的对称点A'(2,一3)，连接A'B交x轴于 ⊙ ⑦ 点P,连接AP,如图②所示. 当3<t<3.6时，过O作OF⊥AB,垂足为F,如图④所示， .A(2,3),B(6,1), ∴.PQ=18-(2t+3t)=18-5t, .AB=√(2-6)2+(3-1)7=2√5， 同理可得BF=2OB=3, ∴当AP+BP最小时，△ABP周长最小. ∴.OF=√OB2-BFz=3√5， 点A,A'关于x轴对称，∴AP=A'P, ∴.当点A',P,B共线时，AP+BP最小，△ABP周长也最小 1 S=2×33×18-5)=- a+2nws A'(2,-3),B(6,1), ∴.A'B=√(2-6)2+(-3-1)7=42， [36ro<s. ∴.AP+BP=A'P+BP=A'B=4√2， 综上所述，S= 2322+63(2<t≤3) ∴.△ABP周长的最小值为4√2+2√5. 专题六动态探究题 3t+273(3<t<3.6) 【高分精准突破】 【例1】解：(1)x2-5x-6=0,解得x1=6,x2=-1. (3)存在.点N的坐标为(2,4十2√3)，(2,2√3-4)，(-2,2√5)， OA的长度是x2-5x一6=0的根， (2,) .OA=6. 【变式训练1】解：(1)证明：：AB=AC, '△OAB是等边三角形， ∴.OA=OB=AB=6,∠OAB=∠AOB=∠ABO=60° ∴.∠B=∠C. ,DE⊥BC, 过点A作AC⊥x轴，垂足为C,如图①所示， ∴.∠BED=∠CED=90°， 在Rt△AOC中，∠AOC=60°， .∠B+∠F=∠C+∠EDC=90°， .∠OAC=30°， ∴.∠F=∠EDC. 00=20A=7×6=3. :∠ADF=∠EDC, .AC=√OA-0C=√62-32=35， ∴.∠F=∠ADF, ..AD=AF. .点A的坐标为(3,3√3). eo器-子 @猜想PF-2,证明如图四所示，过点A作AG/BC交EF于 点G,则AG⊥DF, ∴.△AGDO△CED, 80提-片 .AF=AD, ① ② ∴.GF=GD, (2)当0<t≤2时，过P作PD⊥x轴，垂足为点D,如图②所示， -8品0 GD 2m ∴.OP=2t,OQ=3t,∠OPD=30° (3)设∠ABC=∠ACB=∠ACF=a, ∴.OD=t, 在Rt△FAP和Rt△FCE中，∠FAP=∠FCE=2a, ∴PD=√OP-0D2=√(2t)2-t=V3, ∴.cos∠FAP=cos∠FCE, ∴s-20·pD-2×3×1-23r. AP CE ·AF-CF 当2<t≤3时，过Q作QE⊥OA,垂足为点E,如图③所示， .AD=AF, ∠A=60°，∠AQE=30°. AP CE 又AQ=12-3t, AD CF' 45 如图②所示，过点F作FM∥BC交CA的延 M、 ,∴.重叠部分的面积=S四边形OMBN=S正方形OGBH一2S△OGM 长线于点M. =4-2×(4-2√3) .'∠ACB=∠ACF=∠M, =4√5-4. .'.CF=MF, 【热点题型演练】 同理AM=AF=AD, ② 带器品品 MD 2AD 2m 1A2台或46 3.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=90°. :∠ABE=∠DAF, 【例2】解：(1)ACBD4AB .∠AOE=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠DAF= (2)AC2+BD2=2AB2+2AD2.理由如下： ∠BAD=90°， 如图所示，过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB ∴.AF⊥BE. 的延长线于点F, (2)如图①所示，延长AF交CD于点G. ∴.∠DEA=∠DEB=∠CFB=90° GD∥AB, ,四边形ABCD是平行四边形， .△GDFC∽△ABF ∴.AB=CD,AD∥BC,AD=BC, :DF=合BF,AB=2,AD=3, .∠DAE=∠CBF. 在△DAE和△CBF中， 器器 I∠DAE=∠CBF, ∠DEA=∠CFB, GD=AB=×2=1. AD=BC, '∠BAE=∠ADG=9O°，∠ABE=∠DAG, .△DAE≌△CBF(AAS), ..AE=BF,DE=CF. ÷铝-mABE=mDAG-90-子 在Rt△DBE中，DB2=DE2十BE2=DE2+(AB-AE)2, AE= 1 2 在Rt△CAF中，AC2=CF2+AF2=CF2+(AB+BF)2, 3AB=3X2=3, ..AC2+BD2=DE2+(AB-AE)2+CF2+(AB+BE)2 27 =2DE2+AB2-2AB·AE+AE2+AB2+2AB·AE+AE2 .DE=AD-AE=3-3=3, =2(DE2+AE2)+2AB2 =2AD2+2AB2, DE的长是子 .'.AC2+BD2=2AB2+2AD2. (3)如图②所示，延长AF交CD于点H, (3)EF的长度为√46. ·四边形ABCD是正方形， 【变式训练2】解：操作发现：(1)44 .AB=AD,∠ADH=90° ②s=s 设AB=AD=2m, HD∥AB, 类比探究：证明：四边形ABCD是正方形， ∴.△HDF∽△ABF ∴.AC⊥BD,OB=OC=OD=OA,∠OBC=∠OCD=45° '∠FOE=∠BOC,∴.∠EOB=∠FOC, DF-2BF .△EOB≌△FOC(ASA),∴.BE=CF, .HF HDDF1 .BE+DF=CF+DF=CD. “A-AB-BF=2 .CD=√2OC,.BE+DF=√2OC 拓展延伸：过点O作OG⊥AB于点G,OH⊥BC于点H,如图 HD=AB=合X2m= 所示. ∴.AH=√AD2+HD2=√(2m)2+m2=√5m, 同(2)可知四边形OGBH是正方形， 2 2 ..BG=BH,OG=OH. 六AF=1千2AH=3AH= 3n, .'BM=BN,∴.GM=NH 2W5 ,∠OGM=∠OHN=90°， AF 5 '.△OGM≌△OHN(SAS), :AD 2m3’ ∴.SAOGM=SAOHN,∠GOM=∠NOH. 的作为 :∠M0N=609,·∠G0M=z×(90° 60)=15°. 由(1)可知OG=2,S正方形0GBH=4, tan∠COM=tanl5-GM 0G=2-5, .GM=2X(2-3)=4-2√5， ∴Sam=20G.GM=×2×(4-2g)=4-2g, 4.解：(1)证明：△ABC为等边三角形， .∠A=60°，AB=AC 46 ,MA绕点M逆时针旋转120°得到MD ∴.DM=AM,∠AMD=120°， :将C(0,一2)的坐标代入，得一4a=-2,解得a=2 .∠DMB=60. .'AN=BM,∠DMB=∠A=60°， 抛物线的两数表达式为y=合z+1D(c一)， ∴.△ANM≌△MBD(SAS), .'.MN=DB 即=2--2 (2)四边形AFBD为平行四边形，理由如下： (2)过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点A作AK1 ,AB=AC,∠BAC=90°， x轴交BC的延长线于点K,如图所示. ∠ABC=45. :MA绕点M逆时针旋转90得到MD, '.MA=MD,∠MAD=∠MDA=45°，∠DMA=∠DMB=90°， ∴.∠MAD=∠ABF=45°， 则AD∥BF 在△ANM和△MBD中， MA=DM, ∠MAN=∠DMB, AN=MB, ∴.AK∥DG, ∴.△ANM≌△MBD(SAS), .△AKE∽△DFE ∴.∠AMN=∠MDB AE⊥MN, DF DE AKAE' .∠AMN+∠MAE=90°. ,∠MDB+∠MBD=90°， AE AK ∴.∠DBM=∠MAF, 器限 设直线BC的函数表达式为y=kx十b1, .DB∥AF, ∴.四边形AFBD为平行四边形 4k+b1=0, 1 (3)如图所示，过点A作∠BAG=45°，使AG=CB,连接GM, b1=-2, 解得 2 b1=-2, GC,BG,过点G作GO⊥CB,交CB的延长线于点O. .AB=AC=4,∠BAC=90°， ∴直线BC的函数表达式为y=2x一2， ∴.∠ABC=∠ACB=45°， .A(-1,0), ,∴.∠GAM=∠BCN=45°. 5 .AN=BM, y=-2- 2 ..AM=CN. 又，AG=CB, ·AK=5 2 '.△GAM≌△BCN(SAS), ∴.GM=BN, 设n(7a-音m-2)则rla,m-2小， 1 ∴.BN+CM=GM+CM≥CG, 1 .当点G,M,C三点共线时，BN十CM的值最小，最小值为CG 2m+2= 2m2+2m. 的长 1 .'∠GAM=∠ABC=45°， Γ2m2+2m 5n2人、 .AG∥BC,∴.四边形ACBG是平行四边形， 5m= 5(m-2)2+4 5 .AC∥BG, .∠BAC=∠ABG=90°， 当m=2时，有最大值，最大值是号 ∴.∠GBO=180°-∠ABG-∠ABC=45°， .∠BG0=45°， 【变式训练1】解：(1)由抛物线的函数表达式知OC=4, ..OG=0B, ,'tan∠CBA=4,则OB=1, 即点B(1,0). ..GB=√2OB=√2OG, ∴.OG=OB=2√2， 由题意得一6+4=6， a+b+4=0, ∴.OC=6√2 在Rt△GOC中，GC=/(2√2)2+(6√2)2=4√5， 程台一 .BN+CM的最小值为4√5 则抛物线的函数表达式为y=一x2-3x十4. (2)由抛物线的函数表达式知，点A,B,C的坐标分别为（一4,0）， G 10,0,40,则点F(合，2， 由点A,C的坐标，得直线AC的函数表达式为y=x+4. 0- B 设点P(x,-x2-3x十4)，则点D(x,x+4), 专题七二次函数综合题 则PD=一x2一3x十4-x一4=一x2-4x, 【高分精准突破】 当x=一2时，PD取得最大值，则点E(一2,0)，D(一2,2)，则 【例1】解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x十1)(x-4). MN=2. 47专题六 动态探究题（答案P45) ◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆●◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●( 高分精准突破 ◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆●◆◆◆◆ 类型①动点探究题 【自主解答】 【例1】几何直观(2024·黑龙江中考)如图所示， 在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB 在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元 二次方程x2一5x一6=0的根，动点P从点O出 发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA一AB 运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的 速度沿折线OB一BA运动，P,Q两点同时出发， 相遇时停止运动.设运动时间为t秒(0<t<3.6), △OPQ的面积为S. (1)求点A的坐标. (2)求S与t的函数关系式. (3)在(2)的条件下，当S=6√3时，点M在y轴 上，坐标平面内是否存在点N,使得以点O,P, M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写 【变式训练1】推理能力(2024·赤峰中考)数学 出点N的坐标；若不存在，说明理由. 课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨 论，提出探究问题.如图①所示，在△ABC中， AB=AC,点D是AC上的一个动点，过点D作 DE⊥BC于点E,延长ED交BA的延长线于 点F 0 请你解决下面各组提出的问题： 【思路分析】(1)运用因式分解法解方程求出OA (1)求证：AD=AF. 的长，过点A作AC⊥x轴，垂足为C,根据等边 三角形的性质即可求出AC的长，即可求解， （②)莱究8与20的关系： (2)分0<t≤2,2<t≤3和3<t<3.6三种情况， 某小组探究发现，当设-号时，8E-号当 DF 2 运用三角形面积公式求解即可. AD 4 DF 8 (3)当23=6B时求出1=2，得0P=4,分 5时，DE=5 OP为边和对角线两种情况可得点M的坐标，进 请你继续探究： 而可得存在以点O,P,M,N为顶点的四边形是 0当AD7 提-时，直接写出8肥的位， 菱形. ②当把兴时，路起E的值（Π含m的式f 数学·讲练册潍坊专用 205 表示)，并证明。 【类比探究】 (3)拓展应用：在图①中，过点F作FP⊥AC,垂(2)如图②所示，若四边形ABCD是平行四边 足为点P,连接CF,得到图②，当点D运动到使 形，请说明边长与对角线的数量关系. ∠ACF=乙ACB时，若把-只直接写出的 【拓展应用】 (3)如图③所示，四边形ABCD为平行四边形， 值（用含m,n的式子表示）. 对角线AC,BD相交于点O,点E为AO的中 点，点F为BC的中点，连接EF,若AB=8, BD=8,AC=12,直接写出EF的长度. ② ③ 【思路分析】(1)根据菱形的性质及勾股定理补充 过程，即可求解 (2)过点D作DE⊥AB于，点E,过点C作CF⊥ AB交AB的延长线于点F,根据平行四边形的 性质得AB=CD,AD∥BC,AD=BC,证明 △DAE≌△CBF(AAS),得AE=BF,DE= CF,根据勾股定理得DB2=DE2十BE2=DE2十 (AB-AE)2,AC2=CF2+AF2=CF2+(AB+ BF)2,继而得出AC2十BD2的值即可. (3)由(2)可得AC2+BD2=2AB2+2AD2得出 AD=2√10，过点E,O分别作BC的垂线，垂足 类型2类比拓展探究 分别为M,G,连接OF,根据勾股定理以及已知 条件，分别求得OG,CG,BG的长，根据EM∥OG 【例2】运算能力(2024·达州中考)在学习特殊 的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于 得比Mc-吉CG-30,Mr-子0，银s 边长的√2倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形 的对角线和边长的数量关系探究发现，具体 △COGn△CEM得出EM=0G=号厅，进而 如下： 利用勾股定理，即可求解. (1)如图①所示..四边形ABCD是菱形， 【自主解答】 ∴.AC⊥BD,AO=CO,BO=DO .AB2=AO2+BO2」 又.AC=2AO,BD=2BO, .AB2= 化简整理得AC2十BD2= 请补全上述探究过程。 206 优学秦赢在中考 【变式训练2】推理能力(2024·眉山中考)综合重叠部分的面积.（参考数据：sin15°= 与实践 √6-√2 ,cos15°=6+2 ,tan15°=2-√3) 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴 趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在 正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三 角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化 情况. 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O 处，在旋转过程中： (1)若正方形的边长为4，当一条直角边与对角线 重合时，重叠部分的面积为 ；当一条直角 边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积 为 (2)若正方形的面积为S,重叠部分的面积为S1, 在旋转过程中S1与S的关系为 类比探究：如图①所示，若等腰直角三角板的直 角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边 分别交正方形两边于E,F两点，小宇经过多次 实验得到结论BE十DF=√2OC,请你帮他进行 证明. 拓展延伸：如图②所示，若正方形的边长为4，将 另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合， 在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点 M,斜边交BC于点N,且BM=BN时，请求出 ◆oo◆o◆o00oo0《热点题型演练》oeoo◆0◆o◆o0o0o0o0◆◆◆ 1.几何直观(2024·广元中考)如图①所示，在2.推理能力》如图所示，在四边形ABCD中， △ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿 AD∥BC,BC⊥CD,AD=6cm,BC=10cm, A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B, M是BC上一点，且 图②是点P运动时，△ABP的面积y(cm2)随 BM=4cm,点E从A出 时间x(s)变化的函数图象，则该三角形的斜边 发以1cm/s的速度向D AB的长为() 运动，点F从点B出发以 v/cm 2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达 终点时，另一点也随之停止.设运动时间为t, ② 当t为 时，以A,M,E,F为顶点的四 A.5 B.7 C.3√2 D.23 边形是平行四边形 数学·讲练册潍坊专用 207 3.模型观念(2024·临夏州中考)如图①所示，在4.探究拓展(2024·兰州中考)综合与实践 矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特 合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接 殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题 BE,AF交于点O,且∠ABE=∠DAF. 如图所示，在△ABC中，点M,N分别为AB, 【模型建立】 AC上的动点（不含端点），且AN=BM, (1)求证：AF⊥BE. 【初步尝试】(1)如图①所示，当△ABC为等边 【模型应用】 三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋 (2)若AB=2,AD=3,DF-=号BF,求DE 转120°得到MD,连接BD,则MN=DB,请思 考并证明. 的长 【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后 【模型迁移】 进一步探究：如图②所示，在△ABC中，AB= (3)如图②所示，若矩形ABCD是正方形， AC,∠BAC=90°，AE⊥MN于点E,交BC于 DP吉，求S的位， 2 点F,将MA绕点M逆时针旋转90°得到 MD,连接DA,DB.试猜想四边形AFBD的 形状，并说明理由 【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如 图③所示，在△ABC中，AB=AC=4, ∠BAC=90°，连接BN,CM,请直接写出 BN+CM的最小值. 208 优学秦赢在中考