第7章 小专题16 借助对称解决线段和差最值问题-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

小专题十六 借助对称解决线段和差最值问题（答案32） 类型①两条线段和最小问题 类型2n条线段和最小问题(n≥3) 1.(2024·济宁任城区模拟)如图所示，已知等边3.如图所示，边长为a的等边△ABC中，BF是 △ABC的边长为4，P,Q,R分别为边AB, AC上的中线且BF=b,点D在BF上，连接 BC,AC上的动点，则PR+QR的最小值 AD,在AD的右侧作等边△ADE,连接EF, 是() 求△AEF周长的最小值.（用含a,b的式子 表示) A.22 B.2 C.23 D.3√2 2.已知：正方形ABCD,点P为对角线AC上 一点 (1)如图①所示，Q为CD边上一点，且∠BPQ= 90°，求证：PB=PQ. (2)如图②所示，若正方形ABCD的边长为2， E为BC的中点，求PB+PE的最小值. 4.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=4,AD= 3,E,F分别为AB,DC上的两个动点，且EF⊥ AC,求AF+FE+EC的最小值. 150 优学秦赢在中考 类型3两条线段差最大问题 6.(1)如图①所示，点P为直线1上一个动点，点 A,B是直线1外同侧的两个定点，连接PA, 5.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6, PB,AB.若AB=2,则PA一PB的最大值 点O是对角线BD的中点，E是AB边上一 为 点，且AE=1,P是CD边上一点，求|PE一 (2)如图②所示，在四边形ABCD中，AB= PO的最大值. AD,∠BAD=90°，对角线AC⊥BD,垂足为 点O,OA=2OC,点E为OC的中点，点F在 AB上，且BF=3AF,点P为BD上一动点， 连接PE,PF.若AC=6,求PF一PE的最 大值 数学·讲练册潍坊专用 151.AC=DH,.'.DG=AC,.'.EF=2AC 又DF∥BE,∴，四边形DBEF是平行四边形 M (2),四边形DBEF是平行四边形， ∴.DF=EB. 又DF=FG,.FG=EB 2 'DC∥AE,∴∠HFG=∠E. 在△FGH和△EBM中， B |∠FGH=∠EBM=90°， ① FG=EB, 【例4】解：(1)△AOB向下平移2个单位长度后得到△A1O1B1, ∠HFG=∠E 如图所示，点A1的坐标为(2,0)，点O1的坐标为(0，一2)，点B ∴.△FGH≌△EBM(ASA),.FH=ME 的坐标为(3，一2). 5.B6.B (2)分别画出点B,点O绕点A顺时针旋转90°的对应点， 7.(3,3) 如图所示，△AO2B2即为所求作的三角形. 点O2的坐标为(0,4)点B2的坐标为(0,1) (3)过点C作x轴的对称点P,连接AP,与x轴的交点即为 81(.4g) 10.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求 AM十CM最小时点M的位置，如图所示， 由图可得，点B1的坐标为(3,2) 点M的坐标为(-2,0). (2)如图所示，△A,B1C2即为所求 点C,运动到点C,所经过的路径长为90xX2 =元 -1-- 180 A: -i -------{- 012345 【变式训练4】解：(1)△A1B1C1如图所示，B1的坐标为(2,3). 11.解：(1)证明：在△ABE和△CBD中， (2)△AB,C2如图所示，B2的坐标为(-3,0) AB=BC,∠ABE=∠CBD,BE=BD, (3):AB=√2+2=√5，∠BAB2=90°， ∴.△ABE≌△CBD(SAS), .AE=CD,∠FAB=∠BCD 小点B旋转到点B,的过程中所经过的路径长为90m,5_5 180 元 F是Rt△ABE斜边AE的中点， ..AE=2BF,..CD=2BF. BF-7AE-AF, .∴.∠FAB=∠FBA.∴.∠FBA=∠BCD. B、. '∠FBA+∠FBC=90°， .∠FBC+∠BCD=90°.∴.BF⊥CD. (2)①BF⊥CD ②证明：如图所示，延长BF到点G,使FG=BF,连接AG .AF=EF,∠AFG=∠EFB,FG=BF, 【中考真题演练】 .△AGF≌△EBF(SAS), 1.C .∠FAG=∠FEB,AG=BE 2.A ∴.AG∥BE. 3.20W5-16 .∠GAB+∠ABE=180° 4.证明：(1)：△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处， .∠ABC=∠EBD=90°， .△ADF≌△AGF, .∴.∠ABE+∠DBC=180°， .∠GAB=∠DBC ..AD=AG,∠AGF=∠ADF=90°， .BE=BD, .∠AGE=∠ADC=90 ..AG=BD. 在Rt△ADC和Rt△AGE中， 在△AGB和△BDC中， (AC=AE, ,'AG=BD,∠GAB=∠DBC,AB=CB, AD-AG ∴·.△AGB≌△BDC(SAS), ..Rt△ADC≌Rt△AGE(HL), ..CD=BG. .∠ACD=∠E BG=2BF 在矩形ABCD中，对角线相等且互相平分，∴.OA=OB, ..CD=2BF. .∠CAB=∠ABD. 小专题十六借助对称解决线段和差最值问题 又，DC∥AB,.∠ACD=∠CAB, 1.C ∴.∠ABD=∠ACD,∴.∠ABD=∠E, 2.解：(1)证明：如图①所示，连接PD,在正方形ABCD中， .DB∥FE ∠DAC=∠BAC. 32 在△APB和△APD中， ,GA⊥AC,∴.△ACG为直角三角形 (AB=AD, .CD=AB=4,AD=3,..AC=5. ∠BAC=∠DAC, .EF=BH=AG, AP=AP, ∴.△APB≌△APD(SAS), AG=15 ∴.∠ABP=∠ADP. ∠ABC=∠ADC=90°，.∠PBC=∠PDC. cc=AG+aC-√+-25， 41 ,∠BPQ=∠BCD=90°， ∴.∠PBC+∠PQC=180°. GC+EF-空+=10， 又：∠PQD+∠PQC=180°， .AF+FE+EC的最小值为10. ∴.∠PQD=∠PBC, ∴∠PDC=∠PQD,.PD=PQ,∴PQ=PB. (2)如图②所示，连接ED交AC于点P,连接BP,同理可证 BP=PD,PB十PE=PD+PE,则DE的长度即为PB十PE G< 的最小值。 2BC1,∠BCD=90°，六DE=CD 5.解：如图所示，连接OE,过点O作OH⊥AB于点H. √22+1严=√5， D .PB十PE的最小值为√5. 下 D 0 B .四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠OHB=90°，∴.OH∥AD OB-OD,AH-HB2,OH-AD-3.AE-1, 3.解：如图所示，，△ABC,△ADE都是等边三角形， EH=AH-AE=1,∴OE=√EH+OH=√2+32= ∴.AB=AC=a,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°， I0,.|PE一OP|≤EO=√10，∴.|PE一OP|的最大值 ∴.∠BAD=∠CAE, 为√10. ∴.△BAD≌△CAE(SAS), 6.解：(1)2 ∴.∠ABD=∠ACE, (2)如图所示，作点E关于BD的对称点E',连接FE并延长交 1 BD于点P'. AF-CF-2a,BF-6, ∴.∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，BF⊥AC, ∴.点E在射线CE上运动（∠ACE=30). 作点A关于直线CE的对称点M,连接FM交CE于E',此时 AE+FE的值最小. .CA=CM,∠ACM=60°， 此时F,E,P共线，PF一PE有最大值为FE' .△ACM是等边三角形， .AC=6,OA=2OC,OA+OC=AC,∴.OA=4,OC=2.又.点 ∴.AM=AC. BF⊥AC, E为0c的中点，0E=20C=1,根据对称性得OE .FM=BF=6, OE=1. .△AEF周长的最小值=AF ,AB=AD,∠BAD=90°，AC⊥BD, FE'+AF'-AF+FM-za+6 ∴.△AOB为等腰直角三角形，∴.AB=√2AO=4√2 ,BF=3AF,AF+BF=AB,.AF=√2， 4.解：如图所示，过点B作BH∥EF交CD于点H,过点A作 作FH⊥AC于点H. AG∥EF,且使AG=EF,连接GE, :△AOB为等腰直角三角形，∠BAE=45, .四边形AGEF是平行四边形，.AF=GE,∴.当G,E,C三点 共线时，AF十EC最小. 即△AFH也为等腰直角三角形，“AH=FH=2AF三 :EF⊥AC,∴.BH⊥AC.:∠HBC+∠BCA=90°，∠BCA+ ∴.HE=A0-AH-OE'=4-1-1=2,∴FE'= ∠ACH=90°， √FH+HEr=√+2=√5. ∴.∠HBC=∠ACH, 故PF一PE的最大值为√5 ∴tan∠HBC=tan∠ACD,即gC=CD.】 第26讲图形的相似 :AB-6,AD-8,C-C- 4,六BH 【重点知识梳理】 周①a:h=c·d②比例线段③c④此例中项⑤5,1 vBc+Cm-+()-5. ⑥成比例⑦相似比⑧相等⑨成比例⑩相似比①相似比 ∴.AF+EF+EC≥GC+BH. 的平方②相等®成比例④相等⑤成比例⑥相等 33-