第7章 第26讲 图形的相似-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

第26讲 图形的相似（答案P33) ◆◆0◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 重点知识梳理 》◆◆◆◆0◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 定义：在四条线段a,b,c,d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 即① ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称② a-c 基本性质：号一台ad=⑤ .当b=c时，b2=ad,那么b是a,d的 ④ 阳质合比性质合-今66.d不为0 等比性质：号-合=…-分-6d,…,都不等于0)十本十网 .-c 比例 b+d+…+n =(b十 n 线段 d+…+n≠0) 黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果AC是线段AB和BC 期A把-⑤ 的比例中项，且ACBC ≈0.618，则点C叫做线段AB的黄金分割点 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段⑥ 平行线分线 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线 段成比例 段成比例 图 ◆温馨提示：求两条线段的比时，对这两条线段要统一长度单位 的 定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫 似 相似 做⑦ ,相似比为1的两个多边形全等 多边 〔1.相似多边形的对应角⑧ ,对应边⑨ 形 性质2.相似多边形周长的比等于⑩ 3.相似多边形面积的比等于① 定义：各角对应② ,各边对应③ 的两个三角形叫做相似三角形 〔1.两角对应④ 的两个三角形相似 2.两边对应⑤ 且夹角6 的两个三角形相似 判定 3.三边对应⑩ 的两个三角形相似 4.斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 相似 〔1.相似三角形的对应角⑧ ,对应边⑨ 三角 2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于@ 形 性质 3.相似三角形周长的比等于@ 4.相似三角形面积的比等于②② ◆名师点拨：判断两个三角形是否相似首先看是否存在平行线或能否作出相关的平行线， 再看是否存在两组对应角相等.若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比 例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例 52 优+学秦赢在中考 [1.将实际问题转化为相似三角形问题 步骤2.找出一对相似三角形 3.根据相似三角形的性质，表示出相应的量，并求解 应用 1.利用光的反射定律求物体的高度 常考类型2.利用影子计算建筑物的高度，同一时刻，物高与影长成正比例 3.构造相似三角形计算不能直接测量的物体的高度或宽度 【随手一练1】(2023·郑州二模)凸透镜成像的原理如图所示，AG∥亿∥HC.若缩小的实像 相似 三角是物体的子，则物体到焦点F,的距离与焦点F:到凸透镜的中心线GH的距离之比为（焦 形 点F1和F2关于O点对称)( 物体缩小的实像 物 焦点F 焦点入D B号 C.2 「定义：如果两个图形不仅是⑧ 图形，而且对应顶点的连线相交于④ ,那 图 么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似因 ,这时的相似比又称 为西 比 的相 1.两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图 形上对应点到位似中心的距离之比等于②⑦ 性质 2.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形上的对 应点的坐标的比等于⑧ 1.确定位似四 画位似 位似图形的 2.连接图形各顶点与位似中心的线段（或延长线） 变换步骤 3.按位似比进行取点 与位 4.顺次连接各点，所得的图形就是所求图形 似图 ◆温馨提示：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，利用位似的方 形 法，可以把一个多边形放大或缩小.位似图形所有对应点的连线相交于位似中心 【随手一练2】（多选题）如图所示，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的 2倍得到△A'B'C',下列说法正确的是( A.AO:OA'=1:2 B.AC∥A'C C.S△ABc:S△A'B'C=1：2 D.A,O,A'三点在同一条直线上 数学·讲练册潍坊专用 153 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆( 典型例题剖析 》◆◆◆◆00◆0◆◆00◆◆◆00◆◆◆00◆◆00◆◆◆000◆0 命题点1】平行线分线段成比例 2.判定三角形相似常按以下思路进行： 「有平行截线—用平行线的性质，找等角 方法指导→ 岁 另一对等角 有一对等角，找 应用平行线分线段成比例解决问题的方法： 这个角的两边对应成比例 三 (1)若已知条件中有平行，求两条线段的比 夹角相等 角 有两边对应 时，常考虑应用平行线分线段成比例求解； 第三边也对应成比例 形成比例，找 (2)应用时，看清平行线组，找准平行线组 有一对直角 相 截得的对应线段和对应边， 一对锐角相等 似直角三角形，找 斜边、直角边对应成比例 【例1】(2024·菏泽三模)如图 的 顶角相等 思 所示，AD∥BE∥CF,若AB= 等腰三角形，找{一对底角相等 路 4,BC=8,DE=3,则DF的长 底和腰对应成比例 是() 3.对于利用相似三角形性质的计算问题， A.1.5 B.6 C.9 D.12 通常利用相似三角形的性质通过比值或比例关 【变式训练1】(2023·北京中考) 系式求解。 如图所示，直线AD,BC交于点 【例2】(2024·泰安中考)如图所 O,AB∥EF∥CD.若AO=2, 示，AB是⊙O的直径，AH是 B OF=1,FD=2,则 EC的值 ⊙O的切线，点C为⊙O上任意 为 一点，点D为AC的中点，连接 BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F 命题点2】相似三角形的判定及性质 若DF=1,tanB=号，则AE的长为 【变式训练2】(2023·辽宁 方法指导→ 中考)如图所示，平行四边 1.常见的相似三角形的基本类型有以下 形ABCD的对角线AC, 几类： BD相交于点O,过点B 作BE∥AC,交DA的延长线于点E,连接OE, 交AB于点F,则四边形BCOF的面积与△AEF 的面积的比值为 BC∥DE ∠1=∠B A型图 命题点3】平面直角坐标系中的位似变换 方法指导→ 在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个 ABI/DE ∠A=∠D AB⊥AC,AD⊥BC X型图 双垂直型图 顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0,1)，所 154 优+学秦赢在中考 A.(-4,8) B.(8,-4) 对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点， C.(-8,4) D.(4,-8) 它们的相似比为k 以坐标原点为位似中心的位似变换，若没 有限定方向或象限，则通常有两种情况，相应 地，对应点的坐标也有两种情况. O A 0 【例3】（九上教材P34综合练习T13变式）(2024· 例3图 变式训练3图 浙江中考)如图所示，在平面直角坐标系中， 【变式训练3】(2024·枣束庄市中区三模)如图所 △ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点 示，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形， O.若点A(一3,1)的对应点为A'(一6,2)，则点 P是位似中心，若点B的坐标为(2,4)，点E的 B(一2,4)的对应点B'的坐标为() 坐标为（一1,2），则点P的坐标为 中考真题演练 8考点1)相似的性质与判定 EF,EF交AC于点G.下列结论错误的 1.(2023·东营中考，7,3分)如图所示，△ABC 是( ) 为等边三角形，点D,E分别在边BC,AB上， A若8器-A铝则EF∥BD ∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD B.若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,则 的长为() EF∥BD A.1.8B.2.4 C.3 D.3.2 C.若EF∥BD,CE=CF,则∠EAC=∠FAC D.若AB=AD,AE=AF,则EF∥BD 第1题图 第2题图 B 2.(2023·威海中考，9,3分)如图所示，四边形 第3题图 第4题图 ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方 4.结论开放(2024·滨州中考，13,3分)如图所 式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点 示，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC H处，折痕为DE;使CB边落在CD边上，点 上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个 B落在点G处，折痕为CF.若矩形HEFG与 条件可以是 .(写出一种情况即可) 原矩形ABCD相似，AD=1,则CD的长 5.(2024·济宁中考，15,3分)如图所示，△ABC 为() 中，AB=AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的 A.√2-1 B.√5-1 角平分线. C.√2+1 D.√5+1 (1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 3.推理能力(2024·威海中考，9,3分)如图所 BA,BC于点E,F 示，在□ABCD中，对角线AC,BD交于点O, (2)以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC 点E在BC上，点F在CD上，连接AE,AF, 于点G. 数学·讲练册潍坊专用 155 (3)以点G为圆心，EF长为半径画弧，与(2) 8考点2)位似图形 中所画的弧相交于点H. 7.(2021·东营中考，9,3分)如图所示，在 (4)画射线AH. △ABC中，A,B两个顶点在x轴的上方，点C (5)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线 的坐标是(1,0)，以点C为位似中心，在x轴 AH于点M. 的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把 (6)连接MC,MB.MB分别交AC,AD于 △ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的 点N,P 横坐标是a,则点B的对应点B'的横坐标 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 是( (只填序号) A.-2a+3 ①BD=CD;②∠ABM=15°；③∠APN= B.-2a+1 ∠ANP;④AM=B AD=2:⑤MC2=MN·MB C.-2a+2 D.-2a-2 A H M 8.(2023·烟台中考，10,3分)如图所示，在平面 直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为 1个单位长度，以点P为位似中心作正方形 6.(2023·泰安中考改编，24,12分)如图所示， PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律作 △ABC和△CDE均是等腰直角三角形， 下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正 ∠BAC=∠DCE=90°，点E在线段AC上， 方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(一3,0)， BC,DE相交于点F,连接BE,BD,作EH⊥ A1(-2,1),A2(-1,0),A3（一2，一1)，则顶点 BD,垂足为点H,交BC与点G. A1的坐标为( (1)若点H是BD的中点，求∠BED的度数， (2)求证：△EFGp△BFD. BC BE (3)求证：GC-GE1 -- A.(31,34) B.(31,-34) C.(32,35) D.(32,0) 9.(2022·潍坊中考，15,3分) 《墨子·天文志》记载：“执规 矩，以度天下之方圆.”度方 知圆，感悟数学之美.如图所 示，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的 交点为位似中心，作它的位似图形A'B'CD',若 A'B':AB=2:1,则四边形AB'CD'的外接圆 的周长为 156 优+学秦赢在中考在△APB和△APD中， ,GA⊥AC,∴.△ACG为直角三角形 (AB=AD, .CD=AB=4,AD=3,..AC=5. ∠BAC=∠DAC, .EF=BH=AG, AP=AP, ∴.△APB≌△APD(SAS), AG=15 ∴.∠ABP=∠ADP. ∠ABC=∠ADC=90°，.∠PBC=∠PDC. cc=AG+aC-√+-25， 41 ,∠BPQ=∠BCD=90°， ∴.∠PBC+∠PQC=180°. GC+EF-空+=10， 又：∠PQD+∠PQC=180°， .AF+FE+EC的最小值为10. ∴.∠PQD=∠PBC, ∴∠PDC=∠PQD,.PD=PQ,∴PQ=PB. (2)如图②所示，连接ED交AC于点P,连接BP,同理可证 BP=PD,PB十PE=PD+PE,则DE的长度即为PB十PE G< 的最小值。 2BC1,∠BCD=90°，六DE=CD 5.解：如图所示，连接OE,过点O作OH⊥AB于点H. √22+1严=√5， D .PB十PE的最小值为√5. 下 D 0 B .四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠OHB=90°，∴.OH∥AD OB-OD,AH-HB2,OH-AD-3.AE-1, 3.解：如图所示，，△ABC,△ADE都是等边三角形， EH=AH-AE=1,∴OE=√EH+OH=√2+32= ∴.AB=AC=a,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°， I0,.|PE一OP|≤EO=√10，∴.|PE一OP|的最大值 ∴.∠BAD=∠CAE, 为√10. ∴.△BAD≌△CAE(SAS), 6.解：(1)2 ∴.∠ABD=∠ACE, (2)如图所示，作点E关于BD的对称点E',连接FE并延长交 1 BD于点P'. AF-CF-2a,BF-6, ∴.∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，BF⊥AC, ∴.点E在射线CE上运动（∠ACE=30). 作点A关于直线CE的对称点M,连接FM交CE于E',此时 AE+FE的值最小. .CA=CM,∠ACM=60°， 此时F,E,P共线，PF一PE有最大值为FE' .△ACM是等边三角形， .AC=6,OA=2OC,OA+OC=AC,∴.OA=4,OC=2.又.点 ∴.AM=AC. BF⊥AC, E为0c的中点，0E=20C=1,根据对称性得OE .FM=BF=6, OE=1. .△AEF周长的最小值=AF ,AB=AD,∠BAD=90°，AC⊥BD, FE'+AF'-AF+FM-za+6 ∴.△AOB为等腰直角三角形，∴.AB=√2AO=4√2 ,BF=3AF,AF+BF=AB,.AF=√2， 4.解：如图所示，过点B作BH∥EF交CD于点H,过点A作 作FH⊥AC于点H. AG∥EF,且使AG=EF,连接GE, :△AOB为等腰直角三角形，∠BAE=45, .四边形AGEF是平行四边形，.AF=GE,∴.当G,E,C三点 共线时，AF十EC最小. 即△AFH也为等腰直角三角形，“AH=FH=2AF三 :EF⊥AC,∴.BH⊥AC.:∠HBC+∠BCA=90°，∠BCA+ ∴.HE=A0-AH-OE'=4-1-1=2,∴FE'= ∠ACH=90°， √FH+HEr=√+2=√5. ∴.∠HBC=∠ACH, 故PF一PE的最大值为√5 ∴tan∠HBC=tan∠ACD,即gC=CD.】 第26讲图形的相似 :AB-6,AD-8,C-C- 4,六BH 【重点知识梳理】 周①a:h=c·d②比例线段③c④此例中项⑤5,1 vBc+Cm-+()-5. ⑥成比例⑦相似比⑧相等⑨成比例⑩相似比①相似比 ∴.AF+EF+EC≥GC+BH. 的平方②相等®成比例④相等⑤成比例⑥相等 33- ⑦成比例⑧相等⑨成比例四相似比①相似比 ②相似比的平方 【随手一练1】A ⑧相似④一点西中心团位似⑦相似比⑧k或一飞 四中心 【随手一练2】ABD ① 【典型例题剖析】 ,BG⊥CF,.△BGC是直角三角形 【例小0【变式训练】号 '点M是BC的中点，MB=CM=GM=2BC=3, 【例215【变式训练21号 点G在以点M为圆心，3为半径的圆上 当A,G,M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得 【例3】A【变式训练3】(-2,0) AG+GM>AM, 【中考真题演练】 当A,G,M三点共线时，AG+GM=AM,此时，AG+GM取得 1.C2.C 最小值. 3.D 在Rt△ABM中，AM=√AB2+BM=√4+3=5，.AG+ 4.∠ADE=∠C(答案不唯一)5.①②⑤ GM的最小值为5. 6.解：(1)，△ABC,△CDE均是等腰直角三角形， ②如图②所示，过点M作MN∥AB交FC于点N, .∠ACB=∠ABC=45°，∠CED=∠CDE=45°， .∠CFE=180°-∠ACB-∠CED=90°. CE-CD,.EF-DF-DE.BH-DH,EH L BD, ,BE=DE,EF=2BE,∴cos∠BED=EF M ∴.∠BED=60°. ② (2)证明：由(1)得∠CFE=90°，.CF⊥DE, MN CM 1 ∴.∠BFD=∠EFG=∠BHE=90° :.△CMNO△CBF,BF-CB=2 ∠BGH=∠EGF,∴∠DBF=∠FEG,∴△EFG∽△BFD 设AF=x,则BF=4-x,MN=2BF=2(4-x). (3)证明：如图所示，作BQ∥AC,交EH的延长线于点Q, AF AG :△B0Q0△co,÷8e-8.∠Q=∠cEH,∠QaE= :MN/AB,△AFG∽△MNG,M-GM 由①可知AG+GM的最小值为5，即AM=5.又.GM=3, ∠AB器-瓷 :AG=2,小1 x (4-x) ,解得x=1,即AF=1. 2 设∠FEG=∠DBF=a,由(I)知BC是DE的垂直平分线， .'BE=BD, ∴.∠EBF=∠DBF,∴.∠AEB=∠ACB+∠EBF=45°+a, 由的结论可狗能-C,设DE=)期AE-6-y, 1 y ∠CEH=∠CED+∠FEG=45°+a, ∴.∠AEB=∠CEH,.∠Q=∠QBE, 6一义，解得y1=3+5,y2=3-5. BE-B0瓷8器 0<3+√5<6,0<3-√5<6，.DE=3+√5或DE=3-√5. 小专题十八手拉手模型 Q 1.B 2.证明：(1).AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, ∴.∠AEB=∠AFD=90° ,四边形ABCD是平行四边形， .∠ABE=∠ADF,.△ABE∽△ADF. (2).AG=AH, 7.A8.A ∴.∠AGH=∠AHG,.∠AGB=∠AHD, 9.4√2元 .△ABE∽△ADF,.∠BAG=∠DAH 小专题十七一线三等角模型 |∠AGB=∠AHD, 1.B2.4.83.5 在△BAG与△DAH中，{AG=AH, 4.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∠BAG=∠DAH, .∠A=∠D=90°，∴.∠CED+∠DCE=90 ∴.△BAG≌△DAH(SAS),.AB=AD. .EF⊥CE,∴.∠CED+∠AEF=90°， :四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, .∠DCE=∠AEF,.△AEFC∽△DCE. ,四边形ABCD是菱形. (2)①连接AM,如图①所示. 3.解：(1)证明：如图①所示，连接AF,AG 34