第3章 小专题6 抛物线形实际问题-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

小专题六 抛物线形实际问题（答案P13) 类型①建立二次函数模型解决运动问题 2.应用意识(2024·武汉中考)16世纪中叶，我 国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级 1.(2023·温州中考)在一次足球训练中，小明从 火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物 球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路 线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火 线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时， 箭第二级，火箭第二级沿直线运行 球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。 OB为2.44m,现以O为原点建立如图所示的 如图所示，以发射点为原点，地平线为x轴，垂 平面直角坐标系。 直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标 (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断 系，分别得到抛物线y=a.x2十x和直线y= 球能否射进球门.（忽略其他因素） (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、 2x十b.其中，当火箭运行的水平距离为 最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正 9km时，自动引发火箭的第二级 后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正 (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km, 上方2.25m处？ ①直接写出a,b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火 箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置之 间的距离。 x/m (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点 与发射点的水平距离超过15km. y/km (火箭第二级的引发点) (发射点)0 (地平线)9（落地点）xm 数学·讲练册潍坊专用 77 类型2建立二次函数模型解决建筑设施问题 4.(2023·深圳中考节选)蔬菜大棚是一种具有 出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使 3.新情境(2024·陕西中考)一条河上横跨着一 得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使 座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索 用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或 L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直 多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空 于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为 间.如图所示，某个温室大棚的横截面可以看 x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面 作由矩形ABCD和抛物线AED构成，其中 直角坐标系. AB=3m,BC=4m,取BC的中点O,过点O 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物 作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED 线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的 于点E,若以O点为原点，BC所在直线为x 距离OC=100m,AO=BC=17m,缆索L1的 轴，OE所在直线为y轴建立如图示的平面 最低点P到FF'的距离PD=2m.(桥塔的粗 直角坐标系，则E(0,4): 细忽略不计) (1)如图①所示，为了保证蔬菜大棚的通风性， (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式 该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF',且EF= 2.6m,FO<OD,求FO的长 LPGT,SMNR,若FL=NR=m,求两个正 y/m 方形装置的间距GM的长. (2)如图②所示，在某一时刻，太阳光线透过A x/m 点恰好照射到C点，此时大棚截面的影子为 BK,求BK的长 78 优学秦赢在中考4 m=一3 当CM是对角线时，同理可得： 解得 1-2=b-1, n=- 8 解得6-1， 3 4一 a-2= a=-6, “直线CD的函数表达式为y1=一3x一3， 4 即点N(-1,-4)(不合题意舍去)； 当MN是对角线时，同理可得： “D点在反比例函数y=名的图象上， b=-1-2, b=-3, ,解得 14 4-品与 la=- 3 .k=-20. 故点N(-3,专) (2)C(-2,0), 把z=-2代人=-2x<0),得y=29=10, 20 综上，点N的坐标为1,0或(-3，-)月 小专题五二次函数图象与系数的关系及应用 ∴.把菱形ABCD沿y轴的正方向平移10个单位长度后，点C 1.B2.A3.B 落在双曲线y=(x<0)上 4.-3≤y≤6 (3)由图象，知当x≤-5时，y1≥y2 5.D6.B7.①②③④ 小专题四一次函数与反比例函数的综合问题 小专题六抛物线形实际问题 1.解：(1)8-6=2， 1.D ∴抛物线的顶点坐标为(2,3). 2.解：(1)：一次函数y=一x十m与反比例函数y=的图象 设抛物线的函数表达式为y=a(x一2)2+3，把点A(8,0)的坐标代 相交于点A和点B(3,-1), 1 人，得36a+3=0,解得a=-2 -1=-3十m, 为解得m=2,六反比例函数的表达式为 1 -1= 3 k=一3， ÷抛物线的函数表达式为y=一12x一2)+3. 3 y2= 当x=0时，y=一12 x ,球不能射进球门 |y1=-x十2， (2)联立 (2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线表达式 为y=- 12x-2-m)2+3, 解得=-1或z=3,A(-1,3) y=-1,1 1 y=3 把(0,2.25)代人，得2.25=一120-2-m)2+3, 观察图象可得当y1>y2时，x的取值范围为x<一1或0< 解得m=-5(舍去)或m=1, x<3. .当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点 3.解：(1)在y=-2x-6中，令x=0,则y=-6; 0正上方2.25m处. 令y=0,则x=一3， 2.解：(1)①，y=ax2十x经过点(9,3.6)， ∴A(-3,0),B(0,-6), .81a+9=3.6. ∴.OA=3,OB=6. 1 设D(n,-2n-6), 解得a=一15 ,△AOC和△BOD的面积均为3， y=- 2x+6经过点(9,3.6)， 7×(-nX6=3, 1 ∴.n=-1, 3.6=-2×9+b. .D(-1,-4), 解得b=8.1. .k=(-1)×(-4)=4, 1 反比例函数的表达式为y=工 4 ②由①得y=一方x2+x '.△OCD的面积=△AOB的面积一△AOC的面积-△BOD =(-15z+2婴)+9 面积=号×3×6-3-3=3. (-)°+只0≤≤9. (2)x>0或-2<x<-1 3)设M0aNb,台) 火箭运行的最高点是km 由题意，得D(-1,-4),C(-2,-2), .5-1.35=2.4(km) ,以C,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形时， 则有当MD是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式，得 2.4=-i5x2+x 4-2.每06 -1=b-2, 整理，得x2-15x十36=0. 解得x1=12>9(不合题意，舍去)，x2=3. a=6, 即点N(1,4); 由①得y=一 1 2x+8.1. 13 2.4=-2x+8.1 1 2m. 解得x=11.4. (2)取最右侧光线与抛物线的切点为F, ∴.11.4-3=8.4(km). 设直线AC的函数表达式为y=kx十n, 答：这两个位置之间的距离为8.4km。 3 」一2十n=3解得 k=- (2)当x=9时，y=81a+9. 4 ∴.火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a十9) 2k+n=0, 3 n= 设火箭落地点与发射点的水平距离为15km, 2 直线AC的函数表达式为y= 3 3 y=- 2x+b经过点(9,81a十9)，(15,0)， 4x+2 1 -2×9+b=81a+9, “FKAC,心设直线FK的函数表达式为y=一 4x+m, 1 -2×15+b=0. y= 4x+m, 1 得一 3 联立 1 4x2+ x+4-m=0, 2 解得=一27， y=- -x2+4, b=7.5. ()-4X(←号)4-m)=0,解得m=6直线K的 73 .△= “当一<a<0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 3 73 15km. 函数表达式为)=一4x十16， 3.解：(1)A0=17m, 97 A(0,17). 令y=0,得x-设BK-得+2-设m 又OC=100m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2m, 小专题七二次函数中的几何问题 ∴.抛物线的顶点P的坐标为(50,2). 1.解：(1)设抛物线的表达式为 故可设抛物线L1的表达式为y=a(x一50)2+2. y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3), 将A的坐标代人抛物线L1表达式可得， 则-3a=一3， .2500a+2=17, 解得a=1, 则抛物线的表达式为y=x2一2x一3. 3 .a=500 (2)过点P作y轴的平行线交BC于点H,如图①所示 董张L1所在抛物线的函数表达式为y品%（红-50）+2。 由点B(3,0)、C(0,一3)，得直线BC的表达式为y=x一3， 设点P(m,m2-2m一3)， (2):缆索L1所在抛物线与缆索L?所在抛物线关于y轴 则点H(m,m-3), 对称， 则PH=m-3-m2+2m十3=-m2+3m, 3 1 又缆索L,所在抛物线的表达式为y=00x-50)2+2, 则△PBC的面积=2×OB×PH 3 3 3 ·缆索L:所在抛物线的表达式为y00(x+50)+2. 2（-m2+3m)=-2(m2-3m). 令y=2.6, 2.6=高(+50)+2. -<0, 故△PBC的面积有最大值， .x=-40或x=-60. 3 又FO<OD=50m, 此时m=2' .x=-40. ∴.FO的长为40m. 则点P(号，〉： 4.解：(1)：AB=3m,AD=BC=4m,E(0,4),∴.A(-2,3), (3)当∠QOP为直角时， B(一2,0)，C(2,0),D(2,3),设抛物线的函数表达式为y= 则点Q与点B重合，不符合题意. ax2+bx十c,将A,D,E三点坐标分别代人函数表达式，得 当∠OQP为直角时， 1 即OQ⊥BC, 4a-2b+c=3, a=- 41 4a+2b十c=3,解得6=0， 则点P和点B或C重合， 故点P的坐标为(3,0)或(0，一3) c=4, c=4, 当∠OPQ为直角时， ∴抛物线的函数表达式为y一子：十4 如图②所示，设点P(x,y),点Q(m,m一3)， 过点P作y轴的平行线交x轴于点N,过点 设G(-13周L(:一是5+》 Q作x轴的平行线交PN于点M. .∠OPN+∠NOP=90°， ∠OPN+∠QPM=90°， .∠NOP=∠QPM, 解得t= (负值合去， .'∠PNO=∠QMP, .△PNO≌△QMP(AAS), GM=21=2m,即两个正方形装置的间距GM的长为 .ON=PM且PN=MQ, 14