小专题六 抛物线形实际问题-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

小专题六 ,抛物线 类型①建立二次函数模型解决运动问题 1.(2023·温州中考)在一次足球训练中，小明从 球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路 线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时， 球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高 OB为2.44m,现以O为原点建立如图所示的 平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式，并通过计算判断 球能否射进球门.（忽略其他因素） (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、 最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正 后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正 上方2.25m处？ ◆ym x/m 数学·讲练册SD 形实际问题（答案P11) 2.应用意识(2024·武汉中考)16世纪中叶，我 国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级 火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物 线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火 箭第二级，火箭第二级沿直线运行 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程： 如图所示，以发射点为原点，地平线为x轴，垂 直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标 系，分别得到抛物线y=a.x2十x和直线y= 1 一2x十6，其中，当火箭运行的水平距离为 9km时，自动引发火箭的第二级， (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km, ①直接写出a,b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火 箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置之 间的距离 (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点 与发射点的水平距离超过15km. y/km (火箭第二级的引发点) (发射点)0（地平线）9（落地点）km 77 类型2建立二次函数模型解决建筑设施问题 3.新情境(2024·陕西中考)一条河上横跨着一 座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索 L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直 于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为 x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面 直角坐标系. 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物 线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的 距离OC=100m,AO=BC=17m,缆索L1的 最低点P到FF'的距离PD=2m.(桥塔的粗 细忽略不计) (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式. (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF',且EF= 2.6m,FO<OD,求FO的长， 78 4.(2023·深圳中考节选)蔬菜大棚是一种具有 出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使 得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使 用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或 多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空 间.如图所示，某个温室大棚的横截面可以看 作由矩形ABCD和抛物线AED构成，其中 AB=3m,BC=4m,取BC的中点O,过点O 作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED 于点E,若以O点为原点，BC所在直线为x 轴，OE所在直线为y轴建立如图所示的平面 直角坐标系，则E(0,4). (1)如图①所示，为了保证蔬菜大棚的通风性， 该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 LPGT,SMNR,若FL=NR-m,求两个正 方形装置的间距GM的长. (2)如图②所示，在某一时刻，太阳光线透过A 点恰好照射到C点，此时大棚截面的影子为 BK,求BK的长 B ① ② 优+学秦赢在中考.点C(a,2)在直线y=-2x-2上， .-2a-2=2, a=一2，即点C的坐标为（一2,2）. :双曲线y=m过点C(-2,2), .m=-4, “双曲线的解析式为y=-4(红<0. (2)点P的坐标为(-4,0)或（一1,0）或(1,0)或(4,0) 3.解：如图所示，过点C作CT⊥y轴于 点T,过点D作DH⊥CT交CT的 延长线于点H. :n∠A0= =3,可以假设 H OB=a,则OA=3a.四边形ABCD 是正方形，.AB=BC,∠ABC= ∠AOB=∠BTC=90°，.∠ABO+∠CBT=90°，∠CBT+ ∠BCT=90°，∴.∠ABO=∠BCT,∴.△AOB≌△BTC(AAS), ..BT=OA=3a,OB=TC=a,..OT=BT-OB=2a,..C(a, 2a). :点C在反比例函数y=】的图象上，2a2=1.同理可证 △CHD≌△BTC,∴.DH=CT=a,CH=BT=3a,∴.D(-2a, 3a).设图象经过点D的反比例函数的解析式为y一冬，则有 一2aX3a=,.k=-6a2=一3，∴.图象经过点D的反比例函 数的解析式是y=-3】 x 4.解：(1)，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(3,0)， .AB=√/32+42=5， ,四边形ABCD是菱形 ∴.AD=BC=AB=5, .D(-5,4),C(-2,0) 把C,D两点坐标分别代入直线CD的解析式，可 得仁加十 Γ3 解得 8 48 “直线CD的函数解析式为y1=一3x一3 :D点在反比例函数y2=的图象上， 4=气 ∴.k=-20. (2)C(-2,0), 把x=-2代入y2= 20(z<0),得y=- 20 2=10, .把菱形ABCD沿y轴的正方向平移10个单位长度后，点C 落在双曲线：=(x<0)上. (3)由图象，知当x≤-5时，y1≥y2. 小专题四 一次函数与反比例函数的综合问题 1.D 2.解：(1)：一次函数y1=一x十m与反比例函数y2= 的图象 相交于点A和点B(3,一1)， (-1=-3十m, k -1= 解得m=2, 3 =3,·反比例函数的解析式为 3 y2=一 x (y1=-x十2， (2)联立《 3 y2= x1 解得化-g1-34-1以 y=3 观察图象可得当y1>y2时，x的取值范围为x<一1或0< x<3 3.C 4解：1)把A(一6，D的坐标代入y-,得1-”6 ..m=-6, ·反比例函数的解析式为y=一6」 x 把B(1,n)的坐标代入y= ,得n=-6, 6 ∴.B(1,-6). 把A(-6,1),B(1,-6)的坐标分别代人y=x十b,得 (-6k+b=1, k+b=-6, 解秘伦： .一次函数的解析式为y=一x一5. (2)设直线x=一2交直线AB于H,如图 所示： 在y=-x-5中，令x=-2得y=-3, .H(-2,-3). △PAB的面积为21， ∴PH·-2=21,即 -PHX (1+6)=21, .PH=6. -3+6=3,-3-6=-9, ∴.P的坐标为（一2,3）或（一2，一9）. (3)Q的坐标为(1+145，-1+1西)或(3，-2》. 2 2 小专题五二次函数图象与系数的关系及应用 1.B2.A3.B 4.-3≤y≤6 5.D6.B7.①②③④ 小专题六抛物线形实际问题 1.解：(1).8-6=2， .抛物线的顶点坐标为(2,3). 设抛物线的函数解析式为y=a(x一2)2+3，把点A(8,0)的坐标代 .1 入，得36a十3=0，解得a=一12' 1 六抛物线的函数解析式为y=一12红一2)+3. 1 当x=0时，y=二2×4+3三3>2.44， ∴，球不能射进球门. (2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线解析式 为y=-12(x-2-m)2+3, 1 把(0,2.25)代人，得2.25=20-2-m)+3, 解得m=-5(舍去)或m=1, .当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点 O正上方2.25m处. 2.解：(1)①y=ax2十x经过点(9,3.6)， .81a+9=3.6. .1 解得a=一15 ,y= 2x+6经过点(9,3.6)， a.6=-合×9+. 解得b=8.1. 1 ②由0得)y=一x+x (2-15z+2）+界 =(-)+0≤≤9 1 1513 ∴火箭运行的最高点是只如 9-1.35-=2.4km. 2.4=15x2+x. 整理，得x2一15x十36=0. 解得x1=12>9(不合题意，舍去)，x2=3. 由0得y=一日+8,1 1 2.4=-2x+8.1. 解得x=11.4. .11.4-3=8.4(km) 答：这两个位置之间的距离为8.4km (2)当x=9时，y=81a十9. ∴.火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a+9) 设火箭落地点与发射点的水平距离为15km. ..y=- 2x+b经过点(9,81a+9),(15,0), ×9+b=81a+9, 1 1 ×15+b=0. 2 解得0=一27 b=7.5. 日当一？<a<0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 15km. 3.解：(1).A0=17m, .A(0,17). 又OC=100m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2m, .抛物线的顶点P的坐标为(50,2). 故可设抛物线L1的表达式为y=a(x-50)2+2. 将A的坐标代入抛物线L1表达式可得， ∴.2500a+2=17, 3 .a=50d 3 缆索L1所在抛物线的函数表达式为y一0(x一50)2+2， (2)缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴 对称， 3 又缆索L,所在抛物线的表达式为y=0x-50)2+2, 复案L:所在抛物线的表达式为y一80红十502+2 令y=2.6, 3 2.6-500x+50)2+2. .x=一40或x=一60. 又F0<OD=50m, .x=一40. ∴.FO的长为40m. 4.解：(1).AB=3m,AD=BC=4m,E(0,4),∴.A(-2,3), B(一2,0)，C(2,0),D(2,3),设抛物线的函数解析式为y ax2十bx十c,将A,D,E三点坐标分别代人函数解析式，得 1 4a-2b+c=3, 4a+2b+c=3,解得 a=-4' c=4, b=0, (c=4, 1 小抛物线的函数解析式为y=一4x2+4. 12 设G(-,3),则L(4-3+） 3 ∴3+4= 1 解得1=4（负值舍去）， 1 GM=21=2m,即两个正方形装置的间距GM的长为 2m. (2)取最右侧光线与抛物线的切点为F, 设直线AC的函数解析式为y=kx十n, 一2k十n=3,解得 4 ·2k+n=0, 3 n=2 3 3 “直线AC的函数解析式为y=一4工+2 :FK/AC,设直线FK的函数解析式为y= 4x十m, 3 联立 Γ4x+m, 3 得-x2十4x十4-m=0, (任)广-X()4-m)=0,解得m-得∴直线FK的 73 3 ,73 函数解析式为y=一 4x+16 令y-0,得-BK-登+2=号m 97 小专题七二次函数中的几何问题 1.解：(1)设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3), 则-3a=-3, 解得a=1, 则抛物线的表达式为y=x2一2x一3. (2)过点P作y轴的平行线交BC于点H,如图①所示. 由点B(3,0)、C(0,-3),得直线BC的表达式为y=x-3, 设点P(m,m2-2m-3), 则点H(m,m一3)， 则PH=m-3-m2+2m十3=-m2+3m, 则△PBC的面积-号×OB×PH- -8<0, 故△PBC的面积有最大值， 比时m=号， 则点P(多-） (3)当∠QOP为直角时， 则点Q与点B重合，不符合题意 当∠OQP为直角时， 即OQ⊥BC, 则点P和点B或C重合， 故点P的坐标为(3,0)或(0，一3) 当∠OPQ为直角时， 如图②所示，设点P(xy),点Q(m,m一3)， 过点P作y轴的平行线交x轴于点N,过点 Q作x轴的平行线交PN于点M. ∠OPN+∠NOP=90°， ∠OPN+∠QPM=90°， .∠NOP=∠QPM, .'∠PNO=∠QMP,