第3章 第13讲 函数与方程、不等式的关系-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

第13讲 函数与方程、不等式的关系（答案9） 重点知识梳理 解一元一次方程kx十b=0(k≠0)台在一次函数y=kx十b 件y三kx+b 中，当y=0时，求x的值（一次函数图象与x轴交点的横坐 一条一次函 标的值为① 数图象问题 0 解不等式kx十b>0或x十b<0(k≠0)曰在一次函数y= x十b中，当y>0或y<0时，求x的取值范围（当y>0 时，直线在x轴上方；当y<0时，直线在x轴下方) y=kix+61, 解方程组 (k1≠2)台两个一次函数图象的交 y=k2x十b2, 12y2=h2x+b2 点坐标为(m,n) 两条一次函 n 解不等式k1x十b1>k2x+b2(k1≠k2)或1x十b1<k2x十 数图象问题 b2(k1≠k2)台当y1>y2或y1<y2时，求x的取值范围 l:y=kix+b (以交点为界限，直线11位于直线l2上方时，y1>y2;直线 函 一次函 1位于直线l2下方时，y1<y2) 数，反比 程 例函数 X+ 解方程色 =k2x十b(k1,k2≠0)曰两个函数图象的交点横坐 与方程、 标为x1=m,x2=n 不等式 的 的关系 一次函数与 系 反比例函数 解不等式>，江十6或：<kx十6台当y1>y,或y1< x 图象问题 y2时，求x的取值范围 (以交点为界限，双曲线位于直线上方时，y1>y2;双曲线位 于直线下方时，y1<y2) 【随手一练1】(2024·弹坊寿光三模)在同一平面直角坐标系中，一次函数y1一2十2， 1 y2=x十b(飞<0)的图象如图所示，则下列结论错误的是() A.y2随x的增大而减小 B.b>3 -x+2 C.当0<y1<y2时，-1<x<2 x-2y=-4, x=2 D.方程组 的解为 kx-y=-b y=3 y2=kx+b 数学·讲练册 潍坊专用 57 方程ax2+bx十c=0(a≠0)的解台抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)与x轴的交点的 横坐标（以a>0为例） 当b2-4ac>0时，方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个不相等的实 数根：x1=m,x2=n台抛物线y=ax2十bz十c(a≠0)与x轴有 ③ 个交点，横坐标分别是③ 当b2一4ac=0时，方程ax2+bx十c=0(a≠0)有两个相等的实数 根：x1=x2=之台抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴有一个交 函数 二次 点，横坐标为之 与方 函数 程、不与方 当b2-4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)④ 实数 等式 程的 根台抛物线y=a.x2十bx十c(a≠0)与x轴⑤ 交点 的关系关系 【随手一练2】(2023·青岛市北区一模)已知二次函数y=a.x2+bx十c中y与x的 部分对应值如下表： 012… 479 回答下列问题： (1)抛物线的对称轴是直线 (2)不等式ax2+bx+c>0的解集是 (3)若方程a.x2+bx十c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 典型例题剖析 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆● 命题点1】利用函数图象确定不等式的解集 集是( ) A.x<-2或0<x<1 方法指导→ B.x<-1或0<x<2 利用图象求值、取值范围或判断大小时，要 C.-2<x<0或x>1 能从纵、横两个方向分析图象的位置、数量关 D.-1<x<0或x>2 系，其中上、下对应函数值的大、小，左、右对应 【变式训练1】(2024·德州夏津模拟)如图所示， 自变量的小、大 已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(一1,2) 和点B(一2,0)，一次函数y=mx的图象经过点 【例1】几何直观(2024·东营 ax+b A,则关于x的不等式组0<kx+b<mx的解集 一模)如图所示，一次函数y= 为() ax+b与反比例函数y= 2 A.x<-1 (k>0)的图象交于点A(1,2), B.x>-1 C.-2<x<-1 B(m,-1).则关于x的不等式ax十b>的解 D.-1<x<0 58 优学廉赢在中考 【变式训练2】(2024·济宁邹城模拟)如图所示， A.2 2<0 二次函数y=ax2十c的图象与一次函数y= mx十n的图象交于A(-2,p),B(1,g)两点，则 B.c=26 关于x的不等式ax2一m,x+c>n的解集 C若抛物线上有点(y),(一3， 是 y,(-2y),则y<<y D.方程cz2+bx十a=0的解为x1= 2, 1 x2=一 3 命题点2】二次函数与一元二次方程 命题点3】二次函数综合题 方法指导→ 方法指导→ 解此类题的关键是数形有机结合，灵活转 图形的周长和面积最值问题是中考中经常 换.当y=m(m为常数)时，二次函数y=ax2十 考查的.此类题含有两个变化的未知量，可以设 bx十c(a≠0)就成为一元二次方程ax2十bx+ 其中一个为自变量，再利用图形中存在的等量关 c=m.方程若有解，其解就是抛物线y=ax2十 系用这个自变量表示出另一个变化的未知量，从 bx十c与直线y=m交点的横坐标.同样地，不 而利用图形周长或图形面积公式等列出二次函 等式ax2+bx十c>m或a.x2+bx+c<m的解 数表达式，进而利用二次函数的性质求出最值. 集为抛物线在直线y=m上方或下方部分点的 注意这里的等量关系可以是：周长或面积公式、 横坐标的取值范围 由相似得到的比例式、勾股定理、锐角三角函数等. 【例2】应用意识(2024·菏泽郓城二模)若函数 【例3】探究拓展(2024·泰安中考)如图所示，抛 y=(m一3)x2一4x+2的图象与x轴只有一个 交点，则m的值是() 物线Cy=ax2+号x-4经过点D1,-1),与 A.3或5B.3 C.4 D.5 x轴交于点A,B. 【变式训练3】(2024·辽宁中考)如图所示，在平 (1)求抛物线C1的表达式. 面直角坐标系中，抛物线y=ax2十bx十3与 (2)将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上 x轴相交于点A,B,点B的坐标为(3,0)，若点 平移3个单位长度得到抛物线C2,求抛物线C? C(2,3)在抛物线上，则AB的长为 的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上. (3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P, 使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由. C 【变式训练4】（多选题）(2024·潍坊模拟)如图所 示，抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,0)，(3,0). 下列结论正确的是() 备用图 数学·讲练册潍坊专用 59 【自主解答】 (1)求抛物线G的对称轴. (2)求m的值. (3)直线1绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转 t秒后(0≤t<45)得到直线1'，当'∥AB时，直 线'交抛物线G于E,F两点，求t的值. 【变式训练5】(2024·广州中考节选)已知抛物线 G:y=ax2-6ax-a3+2a2+1(a>0)过点 A(x1,2)和点B(x2,2),直线l:y=m2x十n过 点C(3,1),交线段AB于点D,记△CDA的周长 为C1,△CDB的周长为C2,且C1=C2+2, ◆◆00◆◆◆◆000◆◆0◆◆◆◆◆0◆◆00◆0000000◆0(《 中考真题演练》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 马考点1)利用函数图象确定不等式的解集 A.当x>3时，y1<y2 1.(2023·潍坊中考，5,4分)如图所示，在平面直 B.当x<-1时，y1<y2 B3.1 角坐标系中，一次函数y1=x一2与反比例函 C.当0<x<3时，y1>y2 数y=3的图象交于A,B两点，下列结论正 D.当-1<x<0时，A-1,-3 y1<y2 确的是() 60 优学秦赢在中考 2.(2024·威海中考，15,3分)如图所示，在平面8考点2)二次函数与一元二次方程 直角坐标系中，直线y1=ax十b(a≠0)与双曲 4.推理能力(2024·泰安中考，11,4分)如图所 线y2=(k≠0)交于点A(-1,m),B(2, 示是二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的部分 图象，该函数图象的对称轴是直线x=1,图象 一1).则满足y1≤y2的x的取值范围 与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论： 是 ①2a+b=0;②方程ax2+bx+c=0一定有一 个根在一2和一1之间；③方程ax2十bx十c 曼三0一定有两个不相等的实数根；④6一a≤ 2.其中，正确结论的个数为( 3.几何直观◆(2024·泰安中考，21,9分)如图所 示，直线y1=x十b(k≠0)与反比例函数 y,=-8的图象相交于点A(-2,m,B(n, 一1)，与y轴交于点C. A.1个 B.2个 (1)求直线y1的表达式. C.3个 D.4个 (2)若y1>y2,请直接写出满足条件的x的取 5.(2024·济宁中考，14,3分)将抛物线y=x2- 值范围。 6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得 (3)过点C作x轴的平行线交反比例函数的图 到的抛物线与x轴有公共点，则的取值范围 象于点D,连接AD,求△ACD的面积. 是 6.(2022·青岛中考，18,6分)已知二次函数y= x2十mx+m2一3(m为常数，m>0)的图象经 过点P(2,4) (1)求m的值. (2)判断二次函数y=x2+mx+m2一3的图 象与x轴交点的个数，并说明理由. 数学·讲练册潍坊专用 8考点3)二次函数综合题 (3)如图②所示，点H的坐标为(0，一2)，动点 7.已知函数y=(x一a)2+(x-b)2(a,b为常 P在抛物线y2上，试探究是否存在点P,使 数)，设自变量x取x。时，y取得最小值. ∠PEH=2∠DHE?若存在，请直接写出所 (1)若a=-1,b=3,求x0的值. 有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明 (2)在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)在 理由. 双庙线y=-2上，且x,=分求点P到y轴 的距离. (3)当a2-2a-2b+3=0,且1≤x<3时，分 ② 析并确定整数a的个数. 8.探究拓展(2024·烟台中考)如图所示，抛物线 y1=ax2十bx十c与x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为直 线11：x=一1.将抛物线y1绕点O旋转180° 后得到新抛物线y2,抛物线y2与y轴交于点 D,顶点为E,对称轴为直线12· (1)分别求抛物线y1和y2的表达式. (2)如图①所示，点F的坐标为（一6,0），动点 M在直线L1上，过点M作MN∥x轴与直线 l2交于点N,连接FM,DN,求FM+MN+ DN的最小值， 62 优学秦赢在中考联立/y=-x+5, 又.∠DGB=∠EHD=90°， y=x2-6x+5, ∴△DGB≌△EHD(AAS), 解得20 或/5， 则DH=BG=1,EH=GD=1十2=3， ly=5 (y=0, 则点E(2,2) .点M的坐标为(0,5)或(5,0). 当z=2时=(--1=号×(2-)°19-2 5/ 综上所述，点M的坐标为(4，一3)或(0,5)或(5,0). 第12讲函数图象的平移 即点E在抛物线C2上， 【重点知识梳理】 点P即为点E(2,2) ①y=k(x±m)+b②y=kx+b士n 当∠DBP为直角时，如图②所示， 【随手一练1】C 同理可得：△BGE≌△DHB(AAS), ③形状 则DH=3=BG,BH=1=GE， 【随手一练2y=x2+2x 则点E(一1,3). 【典型例题剖析】 【例1】D【变式训练1】A 【例2】B【变式训练2】D 即点E在抛物线C2上， 【中考真题演练】 点P即为点E(-1,3). 1.A 当∠BPD为直角时，如图③所示， 2.-5<m<13.C4.B5.(1,2) 设点E(x,y), C 同理可得：△EHB≌△DGE(AAS), C 第13讲函数与方程、不等式的关系 【重点知识梳理】 则EH=x+2=GD=y+1且BH=y ①x=m GE=1-x, 【随手一练1】C 解得x=0且y=1,即点E(0,1). ②两③m,n④没有⑤没有 当=0时=(-》-是 7 【随手一练2】(1)x= 2 ,2)-1<x<8(3)k< 【典型例题剖析】 号×(0-）°-≠1. 【例1】C【变式训练1】C【变式训练2】一2<x<1 即点E不在抛物线C2上. 【例2】A【变式训练3】4 综上，点P的坐标为(2,2)或（一1,3） 【变式训练4】AC 【变式训练5】解：(1)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x= 【例3】解：(1)将点D的坐标代人抛物线表达式，得一1=a+ b -6a=3, 2a 2a 3 一4， ∴.抛物线G的对称轴为直线x=3. 解得a= (2)直线l:y=m2x+n过点C(3,1),则该直线的表达式为y= 3 m2(x-3)+1, 则抛物线C,的表达式为y=号2+音4 5 当y=2时，2=m2(x-3)十1， 3x-4. 1 (2由题意得Cy=号（-1+号-1-4+3-号（ 则xn一+3， 3 C1=C2+2, 》-品 AC+CD+AD=BC+CD+BD+2, 其中，AC=BC,上式变为AD=BD+2, 当1时w-(-》-品-×(1-广-=-1 即2xD=x1+x2+2, 而抛物线的对称轴为直线x=3,由抛物线的对称性知，x1十x2= 故点D在抛物线C2上. 2×3=6, (3)存在，理由： 即2xD=x1+x2+2=8, 当∠BDE为直角时， 1 如图①所示，过点D作DE⊥BD且DE=BE,连接BE,则△BDE 则xD=4= 2+3, 为等腰直角三角形，过点D,E分别作x轴、y轴的平行线，交于点 解得m=±1. H,过点B作BG⊥DH,交直线DH于点G (3)当m=士1时，直线1的表达式为y=m2(x一3)十1=x一2， 该直线和x轴的夹角为45°， C 则t=45÷3=15. 【中考真题演练】 1.B2.-1≤x<0或x≥2 3.解：(1)分别将点A(一2，m)、点B(n,-1)的坐标代入y2= -8中， x 即-2m=-8,-n=-8, 2 :∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°， 解得m=4,n=8, ∴.A点坐标为（一2,4），B点坐标为(8，一1). ∴.∠BDG=∠DEH. 把A点坐标(-2,4)，B点坐标(8，一1)分别代入y1=kx十b, 9 即26解得= 则抛物线y1的表达式为y1=a(z+3)(x-1)=a(x2+2x-3), 则-3a=3,则a=-1, 8k+b=-1, b=3. 则y1=-x2-2x十3 ·.一次函数表达式为y1=一2x十3. 根据图形的对称性，得y2=x2-2x一3. (2)作点D关于l2的对称点 (2)由图象可知， D'(2,一3)，将点F向右平移2个单 当y1>y2时，x<-2或0<x<8. 位长度(MN=2),连接D'F'交直线 (3)易得C点坐标为(0,3)， l2于点N,过点N作NMLL1交于 把y=3代入y2=-8中，得x=-8 点M,连接FM,如图所示. 39 .F'F∥MN,FF'=MN,则四边形 D点坐标为(8)，CD= 3 FF'NM是平行四边形，则FM=F'N, 则FM+MN+DN的最小值为F'N+ND'+MN=F'D'+ Sam=7×8X4-30= 1、8、 2=V√(2+4)2+32+2=3√5+2. 4.B5.k≥3 6.解：(1)将P(2,4)的坐标代人y=x2十mx+m2-3,得4=4+ （3存在，点P的坐标为3.0或（品，1贸》）。 2m+m2-3, 第14讲函数图象的分析与判断 解得m1=1,m2=一3. 【重点知识梳理】 又，m>0, ①y轴②x轴 .m=1. 【随手一练】A (2)两个交点.理由如下： 【典型例题剖析】 .m=1, 【例1】C【变式训练1】D y=x2+x-2. 【例2】BCD【变式训练2】A .△=b2-4ac=12+8=9>0, 【中考真题演练】 ∴二次函数图象与x轴有两个交点. 1.D2.D3.D4.A5.D 7.解：(1)若a=-1,b=3,则y=(x+1)2+(x-3)2=2x2 第15讲函数的实际应用 4x+10. 【重点知识梳理】 一4 当x=一2X21时y取得最小值， ①因变量②自变量③自变量的取值范围④函数值 ⑤函数值 .x0=1. 【随手一练1】30 (2)”点P(a,b)在双曲线y= 2上 ⑥反比例⑦待定系数法 【随手一练2】A b=、2 ⑧待定系数⑨等量关系⑩最值 【随手一练3】D y=x-+(+2)=2x-(（a-)+a+ ①面积关系式②最值 【典型例题剖析】 -a-) x0= 1 【例1】解：(1)由图象可知，OA所在直线为正比例函数图象，∴.设 2×2 OA所在直线的表达式为y=kx. .a1=2,a2=-1. 把A(5,1000)的坐标代人，得1000=5k,k=200,∴.OA所在直线 当a=2时，点P到y轴的距离为2； 的表达式为y=200x. 当a=一1时，点P到y轴的距离为1. (2)由题图可知甲机器人的速度为 综上所述，点P到y轴的距离为2或1. 1000÷5=200(米/分钟)， (3)a2-2a-2b+3=0, 乙机器人的速度为 b=a2-2a+3 1000÷10=100(米/分钟)， 2 1000 由题意，得，-_0十3.1≤，<3， 二10（分钟）. 100+2003 2 41 ÷1≤a+3<3, 答：出发后甲机器人行走号分钟，与乙机器人相遇. 4 (3)设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为 整理，得1≤a2<9, 200t米， .-3<a≤-1或1≤a<3. 则乙机器人(t十1)分钟后到P地，P地与M地距离[1000 a为整数. 100(t+1)]米， ∴.a=-2或1或1或2，共4个 由200t=1000-100(t+1),解得t=3, 8.解：(1)设点A,B的坐标分别为(t,0),(t十4,0)， ∴.200t=600. 则x=-1=2+1, 答：P,M两地间的距离为600米. 【例2】解：(1)设康乃馨的单价是x元/枝，则玫瑰花的单价是 解得t=一3， 1.5x元/枝， 即点A,B的坐标分别为（一3,0），(1,0). OC=OA,则点C(0,3), 根据题意，得1380-1800-30， 1.5x 10