第3章 第11讲 函数的表达式-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

第11讲 函数的表达式（答案P7) ◆◆0◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 重点知识梳理 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 1.设函数表达式为① 2.把已知条件（自变量与函数的对应值）代入函数表达式中，得到关于待定系数 步骤 的方程（组） 3.解方程（组），求出待定系数的值，写出函数表达式 一次 1.已知两点坐标确定函数表达式 函数 常见类型2.已知两对函数对应值确定函数表达式 表达 3.通过平移规律确定函数表达式 式 【随手一练1】(2023·福州模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2,0),点A'(-2,4).若点A与点A'关于直线1成轴 对称，则直线1的函数表达式是() A.y=2 B.y=x C.y=x+2 D.y=-x+2 求反比1.设函数表达式为y=飞(k≠0) 待定 例函数 2.列方程 表达式 函 系数 3.解方程确定② 的值 数 法求 的步骤 的 4.确定函数表达式 面致 三种形式： 式 的表 形式 所设函数表达式 适合的条件 达式 一般式 y=a.x2+bx+c(a≠0) 任意三个点 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点十其他一点/对称轴十其他两点 与x轴的两个交点十其他一点 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 与x轴的一个交点十对称轴+ 二次 其他一点 函数 表达 [1.根据所给点的坐标设适当的函数表达式 式 2.代入点的坐标：将已知点的坐标代入相应函数表达式中，得到关于待定系数的 步骤 方程（组） 3.求解：解方程（组）求出待定系数的值，从而得出函数表达式 【随手一练2】一题多解如图所示，已知四边形ABCD是菱形， 点D的坐标是(0,3)，以点C为顶点的抛物线y=ax2+bz十c 恰好经过x轴上A,B两点，则经过A,B,C三点的抛物线的表 达式为 0 数学·讲练册潍坊专用 51 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆(《 典型例题剖析 》◆◆0400◆4◆◆0◆◆◆0◆◆◆◆◆4◆◆◆00◆0000◆0 命题点1】用待定系数法求一次函数和反比 【变式训练1】运算能力》(2024·盐城中考)小明 在草稿纸上画了某个反比例函数在第二象限内 例函数的表达式 的图象，并把直尺放在上面，如图所示. 方法指导→ 请根据图中信息，求： 确定一次函数y=kx十b的表达式，就是求 (1)反比例函数表达式. 出待定量k和b,一般运用待定系数法，建立一 (2)点C的坐标. 元一次方程组求解；确定反比例函数y=的表 达式，只需一个条件即可确定k的值，这个条件 可以是图象上一点的坐标，也可以是x,y的一 对对应值. 【例1】(2023·湘潭中考)如图所示，点A的坐标是 (-3,0),点B的坐标是(0,4)，点C为OB的中 点.将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到 △A'BC'. (①)反比例函数y=的图象经过点C',求该反 比例函数的表达式， (2)一次函数图象经过A,A'两点，求该一次函数 【变式训练2】(2024·江西中考)如图所示， 的表达式. △AOB是等腰直角三角形，∠ABO=90°，双曲 【自主解答】 线y= >0,x>0)经过点B,过点A4,0作 x轴的垂线交双曲线于点C,连接BC. (1)点B的坐标为 (2)求BC所在直线的表达式. 52 优学秦赢在中考 命题点2】待定系数法求二次函数表达式 【变式训练3】(2024·德阳中考节选)如图所示， 抛物线y=x2一x十c与x轴交于点A(一1,0)和 方法指导→ 点B,与y轴交于点C 用待定系数法求二次函数表达式，需根据 (1)求抛物线的表达式. 已知条件，灵活选择表达式：若已知图象上三个 (2)当0<x≤2时，求y=x2一x十c的函数值的 点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与 取值范围. x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛 物线顶点坐标或对称轴与最大（小）值，可设顶 点式 【例2】几何直观)(2024·东营一模)如图所示，在 平面直角坐标系xOy中，直线y=一2x十8与抛 物线y=一x2+bx+c交于A,B两点，点B在 x轴上，点A在y轴上. (1)求抛物线的函数表达式. (2)点C是直线AB上方抛物线上一点，过点C 分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D, 3 E,当DE=8AB时，求点C的坐标. 【自主解答】 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆(《 中考真题演练》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆心 凸考点1)求一次函数和反比例函数表达式 丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙 述如下： 1.(2023·青岛中考，13,3分)反比例函数y= 甲：函数的图象经过点(0,1)； m 乙：y随x的增大而减小； 的图象经过点A(m,g),则反比例函数的表达 丙：函数的图象不经过第三象限， 式为 根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函 2.结论开放》(2021·潍坊中考，13,4分)甲、乙、 数表达式为 数学·讲练册潍坊专用 53 3.几何直观(2024·潍坊中考，17,10分)如图所5.推理能力》(2023·烟台中考节选，24,13分)如 示，正比例函数y一。的图象与反比剑西 图所示，抛物线y=ax2十bx+5与x轴交于 A,B两点，与y轴交于点C,AB=4.抛物线的 数y=飞的图象的一个交点是A(m,3).点 对称轴直线x=3与经过点A的直线y=kx一1 交于点D,与x轴交于点E. P2gm)在直线y=-:上，过点P作 (1)求直线AD及抛物线的表达式. (2)在抛物线上是否存在点M,使得△ADM y轴的平行线，交y= 的图象于点Q. 是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求 (1)求这个反比例函数的表达式. 出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由. (2)求△OPQ的面积. B 考点2)求二次函数表达式 4.(2020·临沂中考，25,11分)已知抛物线y= ax2-2ax-3+2a2(a≠0) (1)求这条抛物线的对称轴 (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式. (3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上，若 y1<y2,求m的取值范围. 54 优学秦赢在中考【随手一练2】C 第11讲函数的表达式 【典型例题剖析】 【重点知识梳理】 【例1】A【变式训练1】A【变式训练2】(-3,1) ①y=kx十b(k≠0) 【例2】C【变式训练3】C【变式训练4】2√5一2 【随手一练1】C 【例3】A【变式训练5】D【变式训练6】①②④ ②k 【例4】A【变式训练7】D 【随手一练2】y=一√5x2+4√5x一3√3 【中考真题演练】 【典型例题剖析】 1.B2.y=-x+2(答案不唯一) 【例1】解：(1)，点A的坐标是（一3,0），点B的坐标是(0,4)，点C 3.解：1)a=-2,6=5.7-2-2 为OB的中点， .OA=3,OB=4,∴.BC=2. (2)由表格信息可得：两个函数图象的交点坐标分别为 将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC', (←子-2），1,70，如图所示， .C(2,4). 函数y=,的图象经过点C',k=2X4=8, 8 例函数的表达式为y=立 (2)如图所示，过点A'作A'H⊥y轴，垂 足为H. -7654-2-D12345678x :∠AOB=∠A'HB=∠ABA'=90°， ∴.∠ABO+∠A'BH=90°，∠ABO ∠BAO=90°， ∴.∠BAO=∠A'BH. 又，BA=BA',.△AOB≌△BHA1 (AAS), “当y=2x十6的图象在y=的图象上方时，x的取值范围 ∴.OA=BH,OB=A'H. 7 OA=3,OB=4,∴.BH=OA=3,A'H=OB=4,∴.OH=1, 为-2<x<0或x>1. ∴.A'(4,1). 4052614D空 设一次函数的表达式为y=ax十b(a≠0)， 9.②③④ -3a+b=0, 把A(-3,0),A'(4,1)的坐标分别代人，得 10.解：(1)①=②<③> 4a+b=1, (2).x1=1,2<x2<3,.3<x2+x1<4, 1 .3<-b<4,.-4<b<-3. a=7 解得 (3)抛物线y=x2+bz+c(b<0)的顶点坐标为(-？， 3 b=7 4),对称辅为直线工=一合>0， b 1 “该一次函数的表达式为y=7x十7 3 当x=0时，y=c; 【变式训练1】解：(1)由题图，知点A的坐标为（一3,2）， 当x=1时，y=1+b+c. “反比例函数图象过点A,设反比例函数表达式为y=兰。 ①当2<-合<1，即-2<6<-1时，在x=0处取得最大 b .k=-6, 值，在顶点处取得最小值， 则c-4c-b29 七反比例函数表达式为y=一 4-161 (2)由题意，得直线OA的表达式为y=一31， 2 解得6=是（合去）成6=-子 由图象可知，直线OA向上平移三个单位长度得到直线BC,故直 ②当0<-合<号，即-1<6<0时，在x=1处取得最大值， 2 线BC的表达式为y= 3x+3, 在顶点处取得最小值， 则1+6+c-4c-b29 y=_ 3x+3, 3 x=- 4=16, 联立方程组 解得( 2'或/x6, (舍去) 6 y=-1, y y=4, 1 解得6=-2（合去)或6=一2： “点C的坐标为(-24) 3 ③当-名>1，即6<-2时，在x=0处取得最大值，在x=1 【变式训练2】解：(1)(2,2) 处取得最小值，则有c一1+6十。)=品， (2)将点B的坐标代入反比例函数表达式，得 k=2×2=4, 解得6=器（合去）。 “反比例函数表达式为y=兰 综上所述，6的值为-子或之 1 :AC⊥x轴，xc=xA=4. 7 将x=4代入反比例函数表达式，得 y=1, 3.解：1)把A(m,w)代入y=- 3x,得3=一 3n, .点C的坐标为(4,1). ∴m=-3, 设BC所在直线的函数表达式为y=mx十n, .A(-3,W3), 将点B和点C的坐标分别代入函数表达式，得 1 2m=2，解得m=一2 把A(-3n)代入y=兰得= -31 4m+n=1, .k=-33, n=3, 所以BC所在直线的函数表达式为y= 2x+3. 心反比例函数的表达式为y=-3 x 【例2】解：(1)令x=0,得y=8, 所以点A的坐标为(0,8). ②把P25,m)代入=一气，得n=号×25=-2 3 令y=0,得x=4, P(2√3，-2). 所以点B的坐标为(4,0). :PQ∥轴， 将A,B两点坐标分别代入二次函数表达式，得 .点Q的横坐标为23， /c=8, 把x=23代入y= ,得y=333 3√ 1-16+46+c=0, x 23 2 保得化二： Q(2g,-）, 所以抛物线的函数表达式为y=一x2十2x十8. 3 1 (2)因为CD∥x轴，CE∥y轴， PQ=- -（-2)=2, 所以△AOB△ECD, 则品R saa=×号×2g-g 11 2 4.解：(1)抛物线y=az2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2- 因为DE=名AB.0B=4, a-3. ∴.抛物线的对称轴为直线x=1. 所以CD=号 (2)抛物线的顶点在x轴上， 令点C坐标为(m,-m2+2m十8)， 2a2-a-3=0, 则点D坐标为（号m2-m,-m2+2m+8）, 3 解得a=2或a=-1, 3 3 所以CD=m- m-m）=-m2+2m, 抛物线表达式为y=2x2-3x+2或)=-x+2x-1 则-m2+2m=号 3 (3),抛物线的对称轴为直线x=1, 则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为(-1，y2), 解得m=1或3. ∴.当a>0,-1<m<3时，y1<y2;当a<0,m<-1或m>3 当m=1时，-m2+2m+8=9; 时，y1<y2 当m=3时，-m2十2m+8=5. 5.解：(1)抛物线的对称轴为直线x=3,AB=4, 所以点C的坐标为(1,9)或(3,5) .A(1,0),B(5,0). 【变式训练3】 将A(1,0)的坐标代入y=kx一1，得k一1=0，解得=1. 解：(1)把A(-1,0)的坐标代入y=x2一x+c,得0=1+1+c, .直线AD的表达式为y=x-1. 解得c=-2, 将A(1,0),B(5,0)的坐标分别代入y=ax2+bx+5,得 .抛物线的表达式为y=x2-x一2. 十650”0解得81，抛物线的表达式为y=x2口 (2)y=x-x-2=(x-2）-4 1129 b=-6, 6x+5. ∴抛物线y=-x一2开口向上，顶点坐标为（分，-号） ,对称 (2)存在..直线AD的表达式为y=x一1，抛物线对称轴为直线 x=3,与x轴交于点E, 1 轴为直线x=2, ∴当x=3时，y=x-1=2,D(3,2). ①当∠DAM=90°时，设直线AM的表达式为y=-一x+c,将点 10-合1<12-21， A(1,0)的坐标代入， .若0<x≤2，则当x=2时，y取最大值22-2-2=0； 得-1十c=0,解得c=1,∴直线AM的表达式为y=-x十1， 当女宁时y取最小值号 聚立亿2利-价去速化“点M的 (y=x2-6.x+5, y=-3, 坐标为(4，一3). 当0<：<2时，函数值的取值范回是-号<)<0， ②当∠ADM=90时， 【中考真题演练】 设直线DM的表达式为y=一x十d,将D(3,2)的坐标代入，得 8 -3+d=2,解得d=5, 1.y=x 2.y=一x十1（答案不唯一） .直线DM的表达式为y=-x十5. 8 联立/y=-x+5, 又.∠DGB=∠EHD=90°， y=x2-6x+5, ∴△DGB≌△EHD(AAS), 解得20 或/5， 则DH=BG=1,EH=GD=1十2=3， ly=5 (y=0, 则点E(2,2) .点M的坐标为(0,5)或(5,0). 当z=2时=(--1=号×(2-)°19-2 5/ 综上所述，点M的坐标为(4，一3)或(0,5)或(5,0). 第12讲函数图象的平移 即点E在抛物线C2上， 【重点知识梳理】 点P即为点E(2,2) ①y=k(x±m)+b②y=kx+b士n 当∠DBP为直角时，如图②所示， 【随手一练1】C 同理可得：△BGE≌△DHB(AAS), ③形状 则DH=3=BG,BH=1=GE， 【随手一练2y=x2+2x 则点E(一1,3). 【典型例题剖析】 【例1】D【变式训练1】A 【例2】B【变式训练2】D 即点E在抛物线C2上， 【中考真题演练】 点P即为点E(-1,3). 1.A 当∠BPD为直角时，如图③所示， 2.-5<m<13.C4.B5.(1,2) 设点E(x,y), C 同理可得：△EHB≌△DGE(AAS), C 第13讲函数与方程、不等式的关系 【重点知识梳理】 则EH=x+2=GD=y+1且BH=y ①x=m GE=1-x, 【随手一练1】C 解得x=0且y=1,即点E(0,1). ②两③m,n④没有⑤没有 当=0时=(-》-是 7 【随手一练2】(1)x= 2 ,2)-1<x<8(3)k< 【典型例题剖析】 号×(0-）°-≠1. 【例1】C【变式训练1】C【变式训练2】一2<x<1 即点E不在抛物线C2上. 【例2】A【变式训练3】4 综上，点P的坐标为(2,2)或（一1,3） 【变式训练4】AC 【变式训练5】解：(1)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x= 【例3】解：(1)将点D的坐标代人抛物线表达式，得一1=a+ b -6a=3, 2a 2a 3 一4， ∴.抛物线G的对称轴为直线x=3. 解得a= (2)直线l:y=m2x+n过点C(3,1),则该直线的表达式为y= 3 m2(x-3)+1, 则抛物线C,的表达式为y=号2+音4 5 当y=2时，2=m2(x-3)十1， 3x-4. 1 (2由题意得Cy=号（-1+号-1-4+3-号（ 则xn一+3， 3 C1=C2+2, 》-品 AC+CD+AD=BC+CD+BD+2, 其中，AC=BC,上式变为AD=BD+2, 当1时w-(-》-品-×(1-广-=-1 即2xD=x1+x2+2, 而抛物线的对称轴为直线x=3,由抛物线的对称性知，x1十x2= 故点D在抛物线C2上. 2×3=6, (3)存在，理由： 即2xD=x1+x2+2=8, 当∠BDE为直角时， 1 如图①所示，过点D作DE⊥BD且DE=BE,连接BE,则△BDE 则xD=4= 2+3, 为等腰直角三角形，过点D,E分别作x轴、y轴的平行线，交于点 解得m=±1. H,过点B作BG⊥DH,交直线DH于点G (3)当m=士1时，直线1的表达式为y=m2(x一3)十1=x一2， 该直线和x轴的夹角为45°， C 则t=45÷3=15. 【中考真题演练】 1.B2.-1≤x<0或x≥2 3.解：(1)分别将点A(一2，m)、点B(n,-1)的坐标代入y2= -8中， x 即-2m=-8,-n=-8, 2 :∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°， 解得m=4,n=8, ∴.A点坐标为（一2,4），B点坐标为(8，一1). ∴.∠BDG=∠DEH. 把A点坐标(-2,4)，B点坐标(8，一1)分别代入y1=kx十b, 9