第3章 第10讲 函数的图象与性质-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

根据题意，得W=125×0.8m+90(120-m)=10m+10800. 当力=一1时，△=p2-4=一3<0， ,10>0, ∴.p=3. .当m=40时，W取最小值，最小值为10×40十10800=11200， 8.解：(1)设矩形花坛的宽是x米，则长是(x+15)米， 此时120一m=120-40=80, 依题意得50×32-4x·(x+15)-3×(10÷2)2=1125, ∴.购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少 整理，得x2+15x一100=0， 9.解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为 解得x1=5,x2=一20（不合题意，舍去） （x十0.3)万元.根据题意，得=x十0.3解得x=0.9,经检验 答：矩形花坛的宽是5米. (2)设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×(5十 x=0.9是原方程的解，且符合实际.此时x十0.3=1.2. 15)-y]=(400-y)平方米， 答：A型充电桩的单价为0.9万元/个，则B型充电桩的单价为 依题意得100y+120(400一y)≤42000， 1.2万元/个. 解得y≥300. (2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25-m)个. 答：至少要安排甲队施工300平方米. (0.9m+1.2(25-m)≤26， 根据题意，得 9.解：(1)设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克 1 25-m≥2m, 的价格是y元， 得9≤m< 根据题意，得/300x+300y=1500, x-y=2, m为整数， 解得=26， ∴.m的值可以为14,15,16. (y=24. ∴.该停车场有3种购买方案，方案一：购买14个A型充电桩 答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价 11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充 格是24元. 电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩 (2)设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷 ,A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价， 购买方案三总费用最少，最少费用为 外培的面积是号m平方米， 16×0.9+1.2×9=25.2(万元). 00_500=5, 第二章易错集训 根据题意，得4 1.解：原方程可整理得y-(4y十20)=3+y十3 2· 解得m=25, 方程两边同时乘2，得2y一2(4y十20)=6+(y+3), 经检验，m=25是所列方程的解，且符合题意 去括号，得2y一8y一40=6+y+3, 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 移项，得2y一8y-y=6+3+40, 第三章函数及其图象（课程标准理念，单元整合设计） 合并同类项，得一7y=49, 第9讲平面直角坐标系与函数的初步认识 系数化为1，得y=一7. 【重点知识梳理】 2.解：去分母，得12-2(x十3)=x一3， ①x轴②y轴③y>0④x<0⑤y<0⑥x>0⑦y=0 去括号，得12-2x-6=x-3, ⑧x=0⑨坐标原点⑩纵坐标①横坐标②横坐标 移项，合并同类项，得3x=9, B纵坐标@相等⑤互为相反数⑥√/x十y 解得x=3, 经检验，x=3是增根，分式方程无解. ⑦|x1-x2|⑧|y1-y2|⑧√+y7④(x,-y) 3.解：由①得x<3, ①(-x,y)@(-x,一y)⑧(x士a,y)@(x,y士b) 由②得x≥1， 因唯一②B不变@x≥一a且x≠0 ∴.原不等式组的解集为1≤x<3, 【随手一练】B ∴.原不等式组的整数解为1,2. 【典型例题剖析】 4.A 5.CD 【例1】D【变式训练1】(2,0) 6.1 【例2】B【变式训练2】x>1且x≠2 7.解：(1)p1 【例3】D【变式训练3】BD (2)x1十x2=p,x1x2=1, 【中考真题演练】 +- 1=p. 1.(41)2.20223.(2,1)4.B5.A6.x≠17.7y3 2 关于x的一元二次方程x2-px十1=0（力为常数）有两个不 第10讲函数的图象与性质 相等的实数根x1和x2, 【重点知识梳理】 ∴x7-px1+1=0, ①0②y=k③ax2+bz+c④y=ax2+bx+c(a≠0) 1 还-p计=0，即x十p, ⑤(h,k)⑥y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)⑦一、三、四 (3)由根与系数的关系得x1十x2=p,x1x2=1. ⑧二、三、四⑨减小⑩k①二、四②减小③增大 x号+x号=2p+1, 【随手一练1】B .(x1+x2)2-2x1x2=2p+1, .b2-2=2p+1, 西一品⑤(-名.“。）6演小心描大@增大 解得p1=3,p2=-1, 四减小①小①大四上⑧下四左西右团正⑦负 当p=3时，4=p2-4=9-4=5>0, ②两个不同 6 【随手一练2】C 第11讲函数的表达式 【典型例题剖析】 【重点知识梳理】 【例1】A【变式训练1】A【变式训练2】(-3,1) ①y=kx十b(k≠0) 【例2】C【变式训练3】C【变式训练4】2√5一2 【随手一练1】C 【例3】A【变式训练5】D【变式训练6】①②④ ②k 【例4】A【变式训练7】D 【随手一练2】y=一√5x2+4√5x一3√3 【中考真题演练】 【典型例题剖析】 1.B2.y=-x+2(答案不唯一) 【例1】解：(1)，点A的坐标是（一3,0），点B的坐标是(0,4)，点C 3.解：1)a=-2,6=5.7-2-2 为OB的中点， .OA=3,OB=4,∴.BC=2. (2)由表格信息可得：两个函数图象的交点坐标分别为 将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC', (←子-2），1,70，如图所示， .C(2,4). 函数y=,的图象经过点C',k=2X4=8, 8 例函数的表达式为y=立 (2)如图所示，过点A'作A'H⊥y轴，垂 足为H. -7654-2-D12345678x :∠AOB=∠A'HB=∠ABA'=90°， ∴.∠ABO+∠A'BH=90°，∠ABO ∠BAO=90°， ∴.∠BAO=∠A'BH. 又，BA=BA',.△AOB≌△BHA1 (AAS), “当y=2x十6的图象在y=的图象上方时，x的取值范围 ∴.OA=BH,OB=A'H. 7 OA=3,OB=4,∴.BH=OA=3,A'H=OB=4,∴.OH=1, 为-2<x<0或x>1. ∴.A'(4,1). 4052614D空 设一次函数的表达式为y=ax十b(a≠0)， 9.②③④ -3a+b=0, 把A(-3,0),A'(4,1)的坐标分别代人，得 10.解：(1)①=②<③> 4a+b=1, (2).x1=1,2<x2<3,.3<x2+x1<4, 1 .3<-b<4,.-4<b<-3. a=7 解得 (3)抛物线y=x2+bz+c(b<0)的顶点坐标为(-？， 3 b=7 4),对称辅为直线工=一合>0， b 1 “该一次函数的表达式为y=7x十7 3 当x=0时，y=c; 【变式训练1】解：(1)由题图，知点A的坐标为（一3,2）， 当x=1时，y=1+b+c. “反比例函数图象过点A,设反比例函数表达式为y=兰。 ①当2<-合<1，即-2<6<-1时，在x=0处取得最大 b .k=-6, 值，在顶点处取得最小值， 则c-4c-b29 七反比例函数表达式为y=一 4-161 (2)由题意，得直线OA的表达式为y=一31， 2 解得6=是（合去）成6=-子 由图象可知，直线OA向上平移三个单位长度得到直线BC,故直 ②当0<-合<号，即-1<6<0时，在x=1处取得最大值， 2 线BC的表达式为y= 3x+3, 在顶点处取得最小值， 则1+6+c-4c-b29 y=_ 3x+3, 3 x=- 4=16, 联立方程组 解得( 2'或/x6, (舍去) 6 y=-1, y y=4, 1 解得6=-2（合去)或6=一2： “点C的坐标为(-24) 3 ③当-名>1，即6<-2时，在x=0处取得最大值，在x=1 【变式训练2】解：(1)(2,2) 处取得最小值，则有c一1+6十。)=品， (2)将点B的坐标代入反比例函数表达式，得 k=2×2=4, 解得6=器（合去）。 “反比例函数表达式为y=兰 综上所述，6的值为-子或之 1 :AC⊥x轴，xc=xA=4. 7第10讲 函数的图象与性质（答案P6) ◆◆0◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 重点知识梳理 次函数和正比例函数的概念：一般地，如果y=kx十b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做 x的一次函数.特别地，当b=① 时，一次函数y kx十b就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的 正比例函数 反比例函数的概念：一般地，形如② (k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数.反比 例函数表达式也可以写成xy=或y=x1(k≠0)的形式 概念 概念：一般地，形如y=③ (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数 1.一般形式：④ 2.顶点式：y=a(x一h)2+(a≠0)，其中二次函数图象的顶点坐标是 二次函数 三种形式 ⑤ 3.交点式：⑥ ,其中x1,x2为二次函数图象与 x轴交点的横坐标 次函数的图象与性质： 字母 k>0 k<0 函数的图象与性质 取值 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 经过的 第一、二、 第⑦ 第一、二、 第⑧ 第 、三象限 第二、四象限 象限 三象限 象限 四象限 象限 图象与性质 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而⑨ 次函数的图象是一条直线，但直线不一定是一次函数的图象，如y=b,x=a,分 注意 别是与x轴、y轴平行的直线，称为常函数，它不是一次函数 ◆温馨提示：1.一次百数y=x十6(k≠0)的图象是经过点(0,6)和(-名，0小的-条 直线.2.正比例函数y=x(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线.3.一 次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两 个点即可 优学秦赢在中考 反比例函数的图象与性质： 表达式 (k≠0) y-z k的符号 k>0 k<0 图象 图象上点的坐标特征 横、纵坐标之积恒等于⑩ x,y的取值范围 x≠0，y≠0 所在象限 第一、三象限(x,y同号) 第① 象限(x,y异号) 在每一个象限内，y随x的 在每一个象限内，y随x 增减性 增大而② 的增大而⑧ 数的 对称性 关于直线y=x或y=一x成轴对称；关于原点成中心对称 图象与 性质 ◆温馨提示：比较反比例函数值的大小时，应分x>0与x<0两种情况讨论，而不能 性质 直接地说成“当<0时，y随x的增大而增大”. 【随手一练1】(2023·济南模拟)函数y=一kx十k与函数y=(≠0)在同一平面直角 坐标系中的大致图象可能是( 小 反比例函数系数的几何意义： P(x.y) Px,y 图象 Bk- S矩形PMON=|P横·|P纵|= 1 S△APP1=2k|(点P,P1关 面积 S△AOP=S△APB= Ix|·ly|=|k 于原点对称) 数学·讲练册潍坊专用 45 ◆温馨提示：过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标 轴围成的矩形面积等于|k|,结合函数图象所在的象限可以确定的值，反过来，根据 的值可以确定此矩形的面积. 二次函数的图象与性质： 二次函数y=ax2十bx十c(a,b,c为常数，且a≠0，各项系数包括它前面的符号) x=④ 对称轴 注：还可以利用工=十（其中工1，x,为纵坐标相等的两个点对应的横 2 坐标) 顶点坐标 ⑤ 判断函 a>0时，在对称轴左侧，y随x的 a<0时，在对称轴左侧，y随x的增 数性质 增减性 增大而⑥ ;在对称轴右侧， 大而⑧ ；在对称轴右侧， y随x的增大而⑦ y随x的增大而© 数的 图象与 a>0时，y有最@ 值，此 当a<0时，y有最@ 值，此 象与性 性质 最值 a'y=ac-b: 时x=一 ._4ac-b2 4a 时x= 2a'y= Aa a>0 a(决定开 开口向② 口方向) a<0 开口向⑧ b=0 对称轴为y轴 a,b(决定 对称轴 a,b同号 对称轴在y轴四 侧 的位置) a,b异号 对称轴在y轴因 侧 判断函 数图象 c(决定与 c=0 抛物线过原点 y轴交点 c>0 抛物线与y轴交于函 半轴 的位置) c<0 抛物线与y轴交于⑦ 半轴 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点（顶，点） (决定与 b2-4ac>0 与x轴有⑧ 的交点 x轴交点 的个数) b2-4ac<0 与x轴没有交点 46 优+学秦赢在中考 ◆名师点拨：1.将抛物线表达式写成y=a(x一h)2十k的形式，则顶点坐标为(h,), 对称轴为直线x=h,也可应用对称轴公式x=一 ,顶点坐标( b b 4ac-b 2a’4a 来求对 称轴及顶点坐标.课程标准新增内容，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 2.比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴 两侧时，根据两个数到对称轴的距离及函数的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧 图 图象与 时，根据函数的增减性判断。 性质 【随手一练2】(2023·青岛二模)如图所示，已知抛物线y=ax2十 质 bx十c与x轴交于点（一1,0），对称轴为直线x=1,则下列结论： ①abc<0;②2a+b=0;③函数y=ax2十bx+c的最大值为-4a; ④若关于x的方程ax2十bx十c=a+1有两个相等的实数根，则 a- 6·其中正确的结论有( 1701 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 典型例题剖析》◆4◆44o 命题点1】一次函数的图象与性质 B.y随x的增大而减小 C当e>时y<0 方法指导少 解决一次函数的图象与性质有关的问题， D.它的图象经过第一、二、三象限 关键是明确一次函数y=kx十b中系数的作用： 【变式训练2】运算能力(2024·广安中考)如图 的正负决定图象的倾斜方向及函数的增减性， 所示，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点 k|决定图象的倾斜程度；b决定图象与y轴的 A,B,将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到 交点的位置 △ACD,则点D的坐标为 2x+2 【例1】(2024·通辽中考)如图 所示，在同一平面直角坐标系 中，一次函数y=k1x十b1与 y=k2x十b2(其中k1k2≠0，k1, k2,b1,b2为常数)的图象分别为直线l1,l2.下列 命题点2】反比例函数的图象与性质 结论正确的是( ) 方法指导→ A.b1+b2>0 B.b1b2>0 C.k1十k2<0 D.k1k2<0 解题关键是掌握反比例函数比例系数的作 【变式训练1】(2024·长沙中考)对于一次函数 用.此外，利用反比例函数图象的轴对称性及中 y=2x一1，下列结论正确的是( 心对称性，常能使相关问题快速解决 A.它的图象与y轴交于点(0，一1) 数学·讲练册潍坊专用 【例2】几何直观》(2024·潍坊昌邑开学)一次函(a≠0)与x轴交于A,B两点， 数y=kx十2和反比例函数y=在同一平面直 A(一3,0)，B(1,0),与y轴交点 C的纵坐标在一3~一2之间，根 角坐标系中的图象可能是( 据图象判断以下结论：①abc2> 兴名 0;②3<b<2;®若ax-br1=ax-bz2且 4 x1≠x2,则x1十x2=一2；④若直线y= 5 【变式训练3】(2024·济宁中考)已知点A(一2， 6cx十c与抛物线y=ax2+bx十c的一个交 1 y1),B(一1，y2),C(3,y3)在反比例函数y= x 点为(m,n)(m≠0)，则m=2其中正确的结论 (k<0)的图象上，则y1,y2,y3的大小关系 是( 是() A.①②④ B.①③④ A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.①②③ D.①②③④ C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 【变式训练5】运算能力》(2024·陕西中考)已知 【变式训练4】(2023·威海中考)如图所示，在平面直 一个二次函数y=ax2+bx十c的自变量x与函 角坐标系中，点A,B在反比例函数y=(z>0)的 数y的几组对应值如下表： -4-2 0 35 图象上，点A的坐标为(m,2).连接OA,OB,AB.若 …-24-80-3-15… OA=AB,∠OAB=90°，则k的值为 则下列关于这个二次函数的结论正确的 是() A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小 命题点3】二次函数的图象与性质 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 方法指导→ 【变式训练6】推理能力》(2024·德阳中考)如图 解答有关二次函数图象与性质的问题时， 所示，抛物线y=ax2十bx十c的顶点A的坐标 要抓住抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向及 为(-了m小，与x轴的一个交点位于0和1之 与x轴、y轴的交点、特殊点、对称点等；通常把 间，则以下结论：①abc>0;②5b+2c<0;③若抛 已知点坐标代入函数表达式中找出a,b,c间的 物线经过点（一6，y1),(5,y2),则y1>y2;④若 关系；通过对称轴为直线x= 2a,确定a,6之 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数 间的关系；判断与x轴的交点情况，则利用判别式 根，则n<4.其中正确结论是 .(填序号) b2-4ac进行判断. 【例3】几何直观(2024·牡丹江中考)如图所示， 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2十bx十c 48 优+学秦赢在中考 命题点4】反比例函数比例系数k的几何意义 D,BD交OA于点E,且E为AO的中点，则 △AEB的面积是() 方法指导◆ A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5 反比例函数比例系数的几何意义与图形 【变式训练7】几何直观》(2024· D 面积综合问题为中考热点题型之一，多以选择 牡丹江中考)矩形OBAC在平面 题、填空题的形式考查.解题关键是明确比例系 直角坐标系中的位置如图所示， 数k的几何意义，能利用其进行等积转换、变形 反比例函数y-的图象与AB 等，以顺利解决相关问题。 边交于点D,与AC边交于点F,与OA交于点 【例4】(2024·黑龙江中考)如 E,OE=2AE,若四边形ODAF的面积为2，则 图所示，双曲线y=12 的值是() (x>0) x 经过A、B两点，连接OA、AB, A号 5 D. 5 过点B作BD⊥y轴，垂足为 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆(《《 中考真题演练》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆心 二考点1)一次函数的图象与性质 的对应关系.下表是函数y=2z十6与y=飞 1.(2021·潍坊中考，8,3分)记实数x1,x2,…, 部分自变量与函数值的对应关系： xm中的最小数为min{x1,x2,…,xm},例 7 如min{-1,1,2}=-1,则函数y=min{2x- x 1,x,4一x}的图象大致为( 2x+b a k 7 23 (1)求a,b的值，并补全表格 (2)结合表格，当y=2x十6的图象在y= 图象上方时，直接写出x的取值范围， 2-012 2.(2024·潍坊中考，11,4分)请写出同时满足以 下两个条件的一个函数： ①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴 正半轴相交， 3.几何直观》(2024·山东中考，20,10分)列表 法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法， 它们从不同角度反映了自变量与函数值之间 数学·讲练册潍坊专用 49 8考点2)反比例函数的图象与性质 y1<y2 4.(2024·滨州中考，7,3分)点M(x1,y1)和 D.对任意实数n,不等式an2+bn≤a十b总 2-2+3(k 成立 点N(x2y2)在反比例函数y= 8.(2023·泰安中考，15,4分)二次函数y=一x2一 为常数)的图象上，若x1<0<x2,则y1,y2,0 3x十4的最大值是 的大小关系为() 9.(2023·临沂中考，16,3分)小明利用学习函数 A.y1<y2<0 B.y1>y2>0 获得的经验研究函数y=x2+2的性质，得到 C.y1<0<y2 D.y1>0>y2 5.(2023·烟台中考，15,3分) 如下结论： 如图所示，在平面直角坐标 ①当x<一1时，x越小，函数值越小； 系中，⊙A与x轴相切于点 ②当一1<x<0时，x越大，函数值越小； B,CB为⊙A的直径，点C ③当0<x<1时，x越小，函数值越大； ④当x>1时，x越大，函数值越大. 在函数y=(k>0,x>0) 其中正确的是 .(填序号) 的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为 10.运算能力》(2024·成海中考，24,12分)已知 6,则的值为 抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的 6.几何直观》(2021·潍坊中 C 坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2 考，16,4分)如图所示，在平 (1)若抛物线y1=x2十bx+c+1(b<0)与 面直角坐标系中，O为坐标 x轴交点的坐标分别为(x3,0),(x4,0),且 原点，函数y=a与y=6 x3<x4,试判断下列每组数据的大小（填写 “<”“=”或“>”). (a>b>0)在第一象限的图象分别为曲线C1, ①x1+x2 x3+x4;②x1-x3 C2,点P为曲线C1上的任意一点，过点P作 x2-x4;③x2十x3x1十x4: y轴的垂线交C,于点A,作x轴的垂线交C2于 (2)若x1=1,2<x2<3,求b的取值范围 点B,则阴影部分的面积S△AOB= .(结 (3)当0≤x≤1时，y=x2十bx十c(b<0)最 果用含a,b的代数式表示) 考点3)二次函数的图象与性质 大值与最小值的差为，求6的值。 7.(多选题)(2024·潍坊中考，9,5分)如图所示， 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4， 0).下列结论正确的有( A.a-b+c>0 B.该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（一3,0） C.若点（一1，y1)和(2，y2)在该抛物线上，则 50 优学秦赢在中考