第3章 第9讲 平面直角坐标系与函数的初步认识-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

第三章 函数及其图象（课程标准理念，单元整合设计） 第9讲 平面直角坐标系与函数的初步认识（答案6） 重点知识梳理 平面直角坐标系：如图所示，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴 叫① ,竖直的数轴叫② ,整个坐标平面被x轴、y轴分割成四 个象限 [点P(x,y)在第一象限台x>0,③ 第二象限 第一象限 各象限内点的点P(x,y)在第二象限台④ ,y>0 -3-2-1,0123x 坐标特征 点P(x,y)在第三象限台→x<0,⑤ 第三象限-2 第四象限 -3引 点P(x,y)在第四象限台⑥ y≤0 [1.点P(x,y)在x轴上台⑦ ,x为任意实数；点P(x,y)在y轴上台 平 ⑧ ,y为任意实数；点P(x,y)在⑨ 台x=0,y=0 特殊点的2.与坐标轴平行的直（平行于x轴：⑩ 相同，① 不同 平 坐标特征 线上点的坐标特征平行于y轴：② 相同，® 不同 面 标 3.第一、三象限角平分线上点的横坐标与纵坐标@ ,第二、四象限角平分 角 线上点的横坐标与纵坐标⑤ 坐标系与 点 1.点与原点、点与坐标轴的距离：点P(x,y)到x轴和y轴的距离分别是|y和 坐标特 |x,点P(x,y)到坐标原点的距离为⑤ 点的距离 在x轴上两点P,(x1,0),P2(x2,0)间的距离|P1P2=⑦ 数 特征 2.坐标轴上两在y轴上两点Q1(0,y1),Q2(0,y2)间的距离Q1Q2|=⑧ 步 点间的距离在x轴上的点P(x1,0)与y轴上的点Q,(0,y1)之间的距离|PQ|= 9 识 点P(x,y)关于x轴的对称点P1的坐标为四 点的 1.对称点P(x,y)关于y轴的对称点P2的坐标为① 对称 点P(x,y)关于原点的对称点P3的坐标为② 与平 将点P(x,y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点⑧ 移 2.平移 将点P(x,y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点@ 函数有 函数的概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定 关的概 的值，y都有⑤ 确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是 念及图象 自变量 ◆温馨提示：判断曲线是不是函数图象的方法：作一条垂直于x轴的直线，观察该直线在左右平 移的过程中是否与曲线有唯一的交点，若有唯一的交点，则该曲线是函数图象 40 优+学秦赢在中考 “常量和变量：在某一变化过程中，保持一定数值②⑥ 的量叫做常量；可以取不同数值的 量叫做变量 函数的表示方法：1.解析式法；2.列表法；3.图象法 函数自变量的取值范围： 函数解析式的形式 自变量的取值范围 含有分式y=码 使分母不为零的实数，即x≠0 面 含有二次根式y=√元 使被开方数大于或等于0的实数，即x≥0 数有关的 x>0 使分母不为零，且使被开方 坐标系与函数 含有分式十二次根式 y金+a ⑦ 数大于或等于零的实数 x 念及图 函数图象的画法：1.列表；2.描点；3.连线 【随手一练】(2023·苏州模拟)如图①所示，点E为矩形ABCD中AD边的中点，点P从点A出发， 初 沿A→E→B以2cm/s的速度运动到点B,如图②所示的是点P运动时，△PBC的面积y(cm) 识 随时间t(s)变化的函数图象，则a的值为( v/cm2 12 0aa+5 ① ② A.5 B.4 C.3 D.2 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆0◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 典型例题剖析》o◆◆◆4心 命题点1】点的坐标特征 画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为 x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy,他 方法指导→ 们是这样描述自己的座位： 解此类题的关键是掌握平面直角坐标系四 ①小明：表示我座位的坐标为（一2,3）； 个象限内及两坐标轴上点的坐标特征，能根据坐 ②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2 标特征列方程或不等式，从而求得有关字母的取值 个座位，就可以找到我了； 或取值范围. ③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了.则小亮 座位的坐标为 【例1】(2024·潍坊诸城开学)点M在x轴的上方， 距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则 M点的坐标为() A.(5,3) B.(一5,3)或(5,3) C.(3,5) D.(-3,5)或(3,5) 【变式训练1】(2024·德州夏津二模)小明、小华、小 亮三人去看电影，如图所示是利用平面直角坐标系 数学·讲练册潍坊专用 命题点2】函数自变量的取值范围 【例3】跨学科·化学》(2024·青海中考)化学实验 小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够 方法指导→ 吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目 函数自变量的取值范围应使函数表达式有 的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的 意义.在解决实际问题时，还必须考虑使实际问 关系如图所示，下列说法正确的是( 题有意义.求自变量的取值范围，关键是明确限 ↑净水率/% 100 制条件，能列方程或不等式，或根据实际问题确 84.60 88.15 80 76.54 T86.02 75.34 定自变量的取值范围 60 类型归纳： 20 12.48 关系式的类型 自变量的取值范围 01 0.10.20.30.40.50.6体积/mL 整式 全体实数 A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 分式 使分母不为零 B.未加入絮凝剂时，净水率为0 二次根式 使被开方数为非负数 C.絮凝剂的体积每增加0.1mL,净水率的增加 零指数幂或负整数指数幂 使底数不为零 量相等 由整式、分式或二次根式 使它们均有意义 D.加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到 等综合得到的代数式 76.54% 【变式训练3】（多选题）(2024·潍坊寿光三模)在 【例2】(2024·菏泽牡丹区一模)已知函数y= 测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的 √a+2 ,其中自变量b的取值范围为b>一2，则 上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测 √a-b 力计的示数F拉力(N)与石块下降的高度x(cm) 自变量a的取值范围为( ) 之间的关系如图所示，则以下说法正确的是 A.a≥-2 B.a>b ( )(温馨提示：当石块位于水面上方时， C.a≥-2且a<b D.a≤2且a≠b F拉力=G重为，当石块入水后，F拉力=G重力一F浮力） 【变式训练2】（九下教材P8练习T1变式）在函 ↑F拉N 数y= 一十z二2中，自变量x的取值范 1一+ 1 B 25 石块 围为 16 cm 命题京3】分段函数的实际应用 0246810121416x/cm A.当石块下降3cm时，此时石块在水里 方法指导→ B.当6≤x≤l0时，F拉力(N)与x(cm)之间的函 由文字、图象信息确定分段函数，根据图象 3.25 数表达式为F拉力=一 82+ 4 获取信息时，要把握住以下3个方面：(1)x轴、 y轴的意义，以及x轴、y轴分别表示的量； C.石块下降高度为8cm时，此时石块所受浮力 (2)关于某个具体点，要向x轴、y轴作垂线来 是1N 求得该点的坐标；(3)在实际问题中，要注意图 D.当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离 象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义， 水底号cm 42 优+学秦赢在中考 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆《《 中考真题演练 》◆◆0400◆4◆◆0◆◆◆0◆◆◆◆◆4◆◆◆00◆0000◆0 二考点1)平面直角坐标系 与所加水的体积V之间对应关系的是( 1.(2022·烟台中考，12,3分)观察如图所示的象 pH 棋棋盘，若“兵”所在的位置用(1,3)表示，“炮” 所在的位置用(6,4)表示，那么“帅”所在的位 0 A 置可表示为 PH+ PH 炮 D 5.(2023·聊城中考，10,3分)甲、乙两地相距a千 0帅 米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小 第1题图 第2题图 莹乘快车从乙地赶往甲地.两人分别距甲地的距 2.(2021·潍坊中考，15,4分)在平面直角坐标系 离y(千米)与两人行驶时刻t(×时×分)的函数 中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运 图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻 动，到达位置的坐标依次为A2（1,0), 为( A3(1,1),A4(-1,1),A5（-1,-1),A6(2,-1), y/千米 小常 小亮 A7(2,2),….若到达终点Am(506,一505)，则 n的值为 3.(2024·山东中考，16,3分)任取一个正整数， 08:008:108:409107 若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数， A.8:28 B.8:30 就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过 C.8:32 D.8:35 有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这 就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中， 6(2024·滨州中考，9,3分)若函数y=1的 将点(x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同 表达式在实数范围内有意义，则自变量x的取 步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x, 值范围是 y均为正整数.例如，点(6,3)经过第1次运算 7.(2023·烟台中考，16,3分)如图①所示，在 得到点(3,10)，经过第2次运算得到点(10， △ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→ 5),以此类推.则点(1,4)经过2024次运算后 BC→CA匀速运动至点A后停止.设点P的运 得到点 动路程为x,线段AP的长度为y,图②是y与x 8考点2)函数初步 的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的 最低点，则△ABC的高CG的长为 4.跨学科·化学(2023·滨州中考，5,3分)由化 学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程 度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液 呈酸性.若将给定的NaOH溶液加水稀释，则 在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH 数学·讲练册潍坊专用根据题意，得W=125×0.8m+90(120-m)=10m+10800. 当力=一1时，△=p2-4=一3<0， ,10>0, ∴.p=3. .当m=40时，W取最小值，最小值为10×40十10800=11200， 8.解：(1)设矩形花坛的宽是x米，则长是(x+15)米， 此时120一m=120-40=80, 依题意得50×32-4x·(x+15)-3×(10÷2)2=1125, ∴.购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少 整理，得x2+15x一100=0， 9.解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为 解得x1=5,x2=一20（不合题意，舍去） （x十0.3)万元.根据题意，得=x十0.3解得x=0.9,经检验 答：矩形花坛的宽是5米. (2)设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×(5十 x=0.9是原方程的解，且符合实际.此时x十0.3=1.2. 15)-y]=(400-y)平方米， 答：A型充电桩的单价为0.9万元/个，则B型充电桩的单价为 依题意得100y+120(400一y)≤42000， 1.2万元/个. 解得y≥300. (2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25-m)个. 答：至少要安排甲队施工300平方米. (0.9m+1.2(25-m)≤26， 根据题意，得 9.解：(1)设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克 1 25-m≥2m, 的价格是y元， 得9≤m< 根据题意，得/300x+300y=1500, x-y=2, m为整数， 解得=26， ∴.m的值可以为14,15,16. (y=24. ∴.该停车场有3种购买方案，方案一：购买14个A型充电桩 答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价 11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充 格是24元. 电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩 (2)设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷 ,A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价， 购买方案三总费用最少，最少费用为 外培的面积是号m平方米， 16×0.9+1.2×9=25.2(万元). 00_500=5, 第二章易错集训 根据题意，得4 1.解：原方程可整理得y-(4y十20)=3+y十3 2· 解得m=25, 方程两边同时乘2，得2y一2(4y十20)=6+(y+3), 经检验，m=25是所列方程的解，且符合题意 去括号，得2y一8y一40=6+y+3, 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 移项，得2y一8y-y=6+3+40, 第三章函数及其图象（课程标准理念，单元整合设计） 合并同类项，得一7y=49, 第9讲平面直角坐标系与函数的初步认识 系数化为1，得y=一7. 【重点知识梳理】 2.解：去分母，得12-2(x十3)=x一3， ①x轴②y轴③y>0④x<0⑤y<0⑥x>0⑦y=0 去括号，得12-2x-6=x-3, ⑧x=0⑨坐标原点⑩纵坐标①横坐标②横坐标 移项，合并同类项，得3x=9, B纵坐标@相等⑤互为相反数⑥√/x十y 解得x=3, 经检验，x=3是增根，分式方程无解. ⑦|x1-x2|⑧|y1-y2|⑧√+y7④(x,-y) 3.解：由①得x<3, ①(-x,y)@(-x,一y)⑧(x士a,y)@(x,y士b) 由②得x≥1， 因唯一②B不变@x≥一a且x≠0 ∴.原不等式组的解集为1≤x<3, 【随手一练】B ∴.原不等式组的整数解为1,2. 【典型例题剖析】 4.A 5.CD 【例1】D【变式训练1】(2,0) 6.1 【例2】B【变式训练2】x>1且x≠2 7.解：(1)p1 【例3】D【变式训练3】BD (2)x1十x2=p,x1x2=1, 【中考真题演练】 +- 1=p. 1.(41)2.20223.(2,1)4.B5.A6.x≠17.7y3 2 关于x的一元二次方程x2-px十1=0（力为常数）有两个不 第10讲函数的图象与性质 相等的实数根x1和x2, 【重点知识梳理】 ∴x7-px1+1=0, ①0②y=k③ax2+bz+c④y=ax2+bx+c(a≠0) 1 还-p计=0，即x十p, ⑤(h,k)⑥y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)⑦一、三、四 (3)由根与系数的关系得x1十x2=p,x1x2=1. ⑧二、三、四⑨减小⑩k①二、四②减小③增大 x号+x号=2p+1, 【随手一练1】B .(x1+x2)2-2x1x2=2p+1, .b2-2=2p+1, 西一品⑤(-名.“。）6演小心描大@增大 解得p1=3,p2=-1, 四减小①小①大四上⑧下四左西右团正⑦负 当p=3时，4=p2-4=9-4=5>0, ②两个不同 6