第2章 第8讲 一元一次不等式(组)及应用-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

第8讲 一元一次不等式（组）及应用（答案5 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆《 重点知识梳理 不等式：用符号“<”或“>”或“≤”或“≥”表示大小关系的式子 不等式的 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，组成这个不等式的解集 有关概念 解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向① 若a>b,则a士c>b士c 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向② ,若a>b, 不等式的 基本性质 c>0,则ac>c或>2） 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向③ ,若a>b, 6<0,则ue<(<】 定义：只含有④ 未知数，且未知数的次数是1且系数不等于0的不等式 基本步骤：去分母、⑤ 移项、⑥ 、系数化为1 元 次 解集 在数轴上的表示 x<a 解集在数轴 ⑦ 组 上的表示 x<a 及 ⑧ 角 元 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组 次 不等式组 在数轴上表示解集 解集 口诀 等 x>a, 元 (a<b) ⑨ 同大取大 x>b 次 解集的确 x<a, (a<b) ① 同小取小 定方法 x<b 组 (x>a (a<b) ① 大小小大中间找 z<b a<a, (a<b) ② 大大小小找不到 x-b 数学·讲练册潍坊专用 33 ◆名师点拨：1.解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，若不等式两边同时乘 (或除以)一个负数，要改变不等号的方向： 2.解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等式的公共 部分，解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相减，否则可能出现错误 3.在把两个不等式的解集表示在数轴上时，要特别注意是“点”还是“圈”，方向是“向左”还是“向右” 元 2x+1<3x, 次【随手一练1】(2024·潍坊模拟)一元一次不等式组 2x-7≤1- 7的解集在数轴上表示 式 为( 元 10 不等式 -10 -10 34 组 1.列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多” “超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等.这些都体现了不等关系，列不等式时，要 应 根据关键词准确地选用不等号 2.列不等式（组）解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等 次 关系；(4)列出不等式（组）；(5)求出不等式（组）的解；(6)检验解是否符合实际情况；(7)写 出答案（包括单位名称） 式 【随手一练2】数学文化《西游记》《三国演义》X水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称 组 为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： 的 (1)阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； 用 (2)阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数； (3)阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数 若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●●◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆( 典型例题剖析》◆◆4心4心 命题点1】一元一次不等式（组）的解法 【例1】(2024·聊城东昌府区三模)解不等式组： 2x+5≥3(x+1)①， 方法指导 x十1工②， 并将其解集表示在如图所 2 3 解一元一次不等式与解一元一次方程的步 示的数轴上. 骤一样，有五步，注意系数化为1时，若系数是 43202 负数，不等号的方向一定要改变， 【自主解答】 解一元一次不等式组的步骤：解各个不等 式；写出不等式组的解集（利用数轴或口诀确定 不等式组的解集)： 34 优*学秦赢在中考 【变式训练11(2023·宜昌中考)解不等式1+4虹> 【变式训练3】（多选题）推理能力》如果关于x的 3 3x-2<4, x一1，下列在数轴上表示的解集正确的是( 不等式组 3 整数解的和为7，符合条件 2x-a>0 -4-3-2-101234 -4-3-2-101234 的a的取值可以是( ) A B A.-5 B.-4 C.4 D.5 【变式训练4】(2023·聊城中考)若不等式组 -4-3-2-101234 -4-3-2-101234 D x-1、x-2 【变式训练2】运算能力(2024·扬州中考)解不 2 3 的解集为x≥m,则m的取值范 2x-6≤0， 2x-m≥x 等式组2<4红。1，并求出它的所有整敏解的和。 围是 2 命题点3】一元一次不等式（组）的应用 方法指导◆ 用不等式（组）解应用题需注意的三点： (1)设未知数时，表示不等关系的文字如 “至少”等不能出现，应给出肯定的未知数的 设法 (2)依据题中的不等关系和所设未知数列 一元一次不等式（组）. (3)在最后写答时，应把原问题中表示不等 关系的文字补上 【例3】模型观念》(2024·东营模拟)为拓宽学生 命题点2】根据不等式（组）的解集情况求 视野，某校组织师生开展研学活动，原计划租用 字母的取值（范围）】 45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同 方法指导→ 样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车 恰好坐满.现有甲、乙两种客车，它们的载客量和 解答此类题需要灵活求解不等式（组），能 租金如下表所示： 根据不等式（组）解的情况将不等式（组）的解集 在数轴上表示出来，借助数轴的直观性确定字 车型 甲型客车 乙型客车 母或字母所在代数式的取值范围，注意空心圆 载客量/（人/辆） 45 60 圈与实心圆点的区别. 租金/八元/辆) 250 300 【例2】(2024·黑龙江中考)关于x的不等式组 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？ 4-2x≥0， (2)若该校计划租用甲、乙两种客车共12辆，且 1 恰有3个整数解，则a的取值范围 每人都有座位，则有哪几种租车方案？请你帮助 (2x-a>0 计算本次研学应该怎样租车才最合算，最少租金 是 是多少？ 数学·讲练册 潍坊专用 【自主解答】 【变式训练6】应用意识(2024·潍坊安丘月考) 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车 的普及，其价格也在不断下降.去年3月份销售 总额为100万元，今年A款汽车的售价比去年同 期每辆降价1万元，售出的A款汽车的数量与去 年相同，但是销售总额比去年同期减少10万元. 问题： (1)今年3月份A款汽车每辆售价为多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同 品牌的B款汽车.已知A款汽车每辆进价为 7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，售价为 7万元.公司总部预计用至多105万元购入两款 【变式训练5】(2024·威海环翠区模拟)春到人 汽车共15辆，且要求利润不少于19万元，共有 间，绿化争先.为增强师生的环境保护意识，提升 几种进货方案？ 学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色 校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不 超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知 甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至 少可以购买乙种树苗() A.42颗 B.43颗 C.57颗 D.58颗 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆《 中考真题演练 8考点1)一元一次不等式（组）的解法 1.(2022·潍坊中考，3,3分)不等式组 x十1≥0， 的解集在数轴上表示正确的 -2-10 2 201 x-1<0 D 是() 3.(2022·济宁中考，8,3分)若关于x的不等式 x-a>0, 组 仅有3个整数解，则a的取值范 7-2x>5 围是() A.-4≤a<-2 B.-3<a≤-2 2.(2021·潍坊中考，6,3分)不等式组 C.-3≤a≤-2 D.-3≤a<-2 2x+1≥x, 4.结论开放(2024·山东中考，12,3分)写出满足 11一3x一1的解集在数轴上表示正确 1x+2≥1， 3x- 412 不等式组 的一个整数解： 2x-1<5 的是( 36 优+学秦赢在中考 5.结论开放(2024·烟台中考，12,3分)关于x (1)分别求航空模型和航海模型的单价， (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促 的不等式m一2≤1一x有正数解，m的值可 销：航空模型八折优惠.若购买航空、航海模型 以是 (写出一个即可). 共120个，且航空模型数量不少于航海模型数 6.(2023·潍坊中考，15(2)，6分)利用数轴，确定 3(x+4)≥2(1-x), 量的)，请问分别购买多少个航空模型和航海 琴式组x一133 的解集. 模型，学校花费最少， 7.(2022·济南中考，20,6分)解不等式组： 9.（2023·济宁中考，20,8分)为加快公共领域充 电基础设施建设，某停车场计划购买A,B两种 并写出它的所有整 型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩 2x-5≤3(x-2)②， 的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充 数解， 电桩与用20万元购买B型充电桩的数量 相等 (1)A,B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A,B两种型号 的充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型 充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数 量的？问：共有哪几种购买方案？哪种方案 所需购买总费用最少？ 8考点2)一元一次不等式（组）的应用 8.模型观念(2024·青岛中考，21,8分)为培养 学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校 计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品 牌航空模型的单价比航海模型的单价多 35元，用2000元购买航空模型的数量是用 1800元购买航海模型数量的号 数学·讲练册潍坊专用 3710.解：(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为租用5辆45座客车，7辆60座客车， (35+x)m,宽为(15+x)m,根据题意，得(35+x)(15十x)= 租用6辆45座客车，6辆60座客车， 800,整理，得x2+50x-275=0. 租用7辆45座客车，5辆60座客车， 解得x1=5,x2=-55(不符合题意，舍去)， 租用8辆45座客车，4辆60座客车 .35+x=40,15+x=20. 设租金为w元，则=250a十300(12-a)=-50a十3600. 答：新的矩形绿地的长为40m,宽为20m. .-50<0, (2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为(35+ ∴.心随着a的增大而减小， y)m,宽为(15+y)m, ∴当a=8时，w最小，为-50×8+3600=3200（元）， 根据题意，得(35+y):(15+y)=5:3, ∴.租用8辆45座客车，4辆60座客车较合算，最少租金是 即3(35+y)=5(15+y),解得y=15. 3200元. .(35+y)(15+y)=1500. 【变式训练5】B 答：新的矩形绿地面积为1500m2 【变式训练6】解：(1)设今年3月份A款汽车每辆售价为x万元， 第8讲一元一次不等式（组）及应用 则去年同期A款汽车每辆售价为(x十1)万元， 【重点知识梳理】 ①不变②不变③改变④一个⑤去括号⑥合并同类项 由题意，得9-160二0， x ⑦x>a⑧x≥a⑨x>b⑩x<a①a<x<b②无解 解得x=9. 【随手一练1】C 经检验，x=9是原分式方程的解，且符合题意 【随手一练2】6 答：今年3月份A款汽车每辆售价为9万元. 【典型例题剖析】 (2)设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进(15一y)辆， 【例1】解：解不等式①，得x≤2， 由题意，得亿5y+6(15-)≤105， 解不等式②，得x>一3， (9-7.5)y+(7-6)y≥19， 则不等式组的解集为一3<x≤2 解得7.6≤y≤10. 将解集表示在数轴上如图所示： y是整数， 故y可以取值8,9,10. 答：共有3种进货方案， -4 -3-2-1012 【中考真题演练】 【变式训练1】D 1.B2.D3.D 【变式训练2】解：解不等式2x一6≤0，得x≤3， 4.一1（答案不唯一） 解不等式x<4x- ,得x>2 5.0(答案不唯一) 2 13(x+4)≥2(1-x)①， 则不等式组的解柴为} <x≤3， 6解：2<8-号@， 2 所以整数解为1,2,3，整数解的和为6. 解不等式①，得x≥-2， 【例2】号<a<0【变式训练3】ACD 解不等式②，得x<3, 在数轴上表示不等式①②的解集如图所示： 【变式训练4】m≥-1 【例3】解：(1)设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用 45座客车y辆， 依题意得/5y十15=x, -5-4-3-2-1012345 .原不等式组的解集为一2≤x<3, 60(y-3)=x, 7.解：解不等式①，得x<3. 解得/x=600, 解不等式②，得x≥1. (y=13. ∴.原不等式组的解集为1≤x<3, 答：参加此次研学活动的师生有600人. ∴.整数解为1,2. (2)设租用45座客车a辆，则租用60座客车(12-a)辆 8.解：(1)设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为 要使每位师生都有座位， （x-35)元. 45a+60(12-a)≥600， ∴.12-a≥0， 根据题意，得200=1800×4 x-x-35人5 a≥0， 解得x=125, 解得0≤a≤8. 经检验，x=125是原方程的解，也符合题意， 又，a是整数， .x-35=125-35=90, .a的值为0,1,2,3,4,5,6,7,8， ∴.航空模型的单价为125元/个，航海模型的单价为90元/个 ∴.12-a的值为12,11,10,9,8,7,6,5,4， (2)设购买航空模型m个，学校总花费W元，则购买航海模型 共有9种租车方案： (120-m)个. 租用12辆60座客车， 租用1辆45座客车，11辆60座客车， :航空模型数量不少于航海模型数量的？， 租用2辆45座客车，10辆60座客车， 租用3辆45座客车，9辆60座客车， ∴m≥2(120-m, 租用4辆45座客车，8辆60座客车， 解得m≥40. 5 根据题意，得W=125×0.8m+90(120-m)=10m+10800. 当力=一1时，△=p2-4=一3<0， ,10>0, ∴.p=3. .当m=40时，W取最小值，最小值为10×40十10800=11200， 8.解：(1)设矩形花坛的宽是x米，则长是(x+15)米， 此时120一m=120-40=80, 依题意得50×32-4x·(x+15)-3×(10÷2)2=1125, ∴.购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少 整理，得x2+15x一100=0， 9.解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为 解得x1=5,x2=一20（不合题意，舍去） （x十0.3)万元.根据题意，得=x十0.3解得x=0.9,经检验 答：矩形花坛的宽是5米. (2)设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×(5十 x=0.9是原方程的解，且符合实际.此时x十0.3=1.2. 15)-y]=(400-y)平方米， 答：A型充电桩的单价为0.9万元/个，则B型充电桩的单价为 依题意得100y+120(400一y)≤42000， 1.2万元/个. 解得y≥300. (2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25-m)个. 答：至少要安排甲队施工300平方米. (0.9m+1.2(25-m)≤26， 根据题意，得 9.解：(1)设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克 1 25-m≥2m, 的价格是y元， 得9≤m< 根据题意，得/300x+300y=1500, x-y=2, m为整数， 解得=26， ∴.m的值可以为14,15,16. (y=24. ∴.该停车场有3种购买方案，方案一：购买14个A型充电桩 答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价 11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充 格是24元. 电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩 (2)设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷 ,A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价， 购买方案三总费用最少，最少费用为 外培的面积是号m平方米， 16×0.9+1.2×9=25.2(万元). 00_500=5, 第二章易错集训 根据题意，得4 1.解：原方程可整理得y-(4y十20)=3+y十3 2· 解得m=25, 方程两边同时乘2，得2y一2(4y十20)=6+(y+3), 经检验，m=25是所列方程的解，且符合题意 去括号，得2y一8y一40=6+y+3, 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 移项，得2y一8y-y=6+3+40, 第三章函数及其图象（课程标准理念，单元整合设计） 合并同类项，得一7y=49, 第9讲平面直角坐标系与函数的初步认识 系数化为1，得y=一7. 【重点知识梳理】 2.解：去分母，得12-2(x十3)=x一3， ①x轴②y轴③y>0④x<0⑤y<0⑥x>0⑦y=0 去括号，得12-2x-6=x-3, ⑧x=0⑨坐标原点⑩纵坐标①横坐标②横坐标 移项，合并同类项，得3x=9, B纵坐标@相等⑤互为相反数⑥√/x十y 解得x=3, 经检验，x=3是增根，分式方程无解. ⑦|x1-x2|⑧|y1-y2|⑧√+y7④(x,-y) 3.解：由①得x<3, ①(-x,y)@(-x,一y)⑧(x士a,y)@(x,y士b) 由②得x≥1， 因唯一②B不变@x≥一a且x≠0 ∴.原不等式组的解集为1≤x<3, 【随手一练】B ∴.原不等式组的整数解为1,2. 【典型例题剖析】 4.A 5.CD 【例1】D【变式训练1】(2,0) 6.1 【例2】B【变式训练2】x>1且x≠2 7.解：(1)p1 【例3】D【变式训练3】BD (2)x1十x2=p,x1x2=1, 【中考真题演练】 +- 1=p. 1.(41)2.20223.(2,1)4.B5.A6.x≠17.7y3 2 关于x的一元二次方程x2-px十1=0（力为常数）有两个不 第10讲函数的图象与性质 相等的实数根x1和x2, 【重点知识梳理】 ∴x7-px1+1=0, ①0②y=k③ax2+bz+c④y=ax2+bx+c(a≠0) 1 还-p计=0，即x十p, ⑤(h,k)⑥y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)⑦一、三、四 (3)由根与系数的关系得x1十x2=p,x1x2=1. ⑧二、三、四⑨减小⑩k①二、四②减小③增大 x号+x号=2p+1, 【随手一练1】B .(x1+x2)2-2x1x2=2p+1, .b2-2=2p+1, 西一品⑤(-名.“。）6演小心描大@增大 解得p1=3,p2=-1, 四减小①小①大四上⑧下四左西右团正⑦负 当p=3时，4=p2-4=9-4=5>0, ②两个不同 6