第2章 第7讲 一元二次方程及应用-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

第7讲一元二次方程及应用（答案P4) 重点知识梳理 》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆0 概念：只含有① 个未知数，并且未知数的最高次数是② 的整式方程 般形式：③ ◆温馨提示：一元二次方程必须满足的三个条件：1.是整式方程，等号两边都是整式，即分母中 不含未知数；2.只含有一个未知数；3.未知数的最高次数是2. 解法 直接开平方法 适合于(x十a)2=b(b≥0)或(ax+b)2=(cx十d)2形式的方程 般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式 因式分解法 的积；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就 是原方程的解 用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)化二次项系数为1；(2)将含未知数的项保留在方 程左边，常数项移到方程右边；(3)两边同时加上一次项系数④的平方；(4)将方程化成 元 配方法 (x十a)2=b的形式；(5)若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b<0,则原方程 无解 方 应用 元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的求根公式是⑤ 用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式，确定a,b,c的 公式法 值，求出b2-4ac的值；(2)若b2一4ac≥0，则运用求根公式，求出方程的解；若b2一4ac<0, 则原方程无解 关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的根的判别式是⑥ (1)b2-4ac>0台一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个⑦ 的实数根 根的判(2)b2-4ac=0→一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)有两个⑧ 的实数根 别式 (3)b2-4ac<0台一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)⑨ 实数根 ◆温馨提示：如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等的实数根或有 两个相等的实数根两种情况，此时b2一4ac>≥0，切勿丢掉等号. 根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,则x1十x2= ⑩ ,x1x2=① (课程标准调整为考查内容) 28 优+学秦赢在中考 ◆名师点拨：1.运用根与系数的关系时必须注意两个条件：(1)方程必须是一元二次方程，即 二次项系数a≠0；(2)方程有实数根，即△≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件△≥0 和a≠0. 根 2.已知一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则求含有x1,x2的代数式的 值时，其方法是把含x1,x2的代数式通过转化，变为用x1十x2,x1x2的代数式进行表示，然 系 后再整体代入求出代数式的值.解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形： 数 的 (①Dx+x=(x1十)-2x1x4:(2)+-t:(3(1十a)(x:十a)=1x,十 关 a(x1+x2)+a2;(4)lx1-x2=√(x1-x2)7=√(x1+x2)2-4x1x2. 系 【随手一练1】（多选题）(2024·潍坊寿光模拟)一元二次方程x2一3x十2=0的两根为x1和 x2,则下列结论正确的是() A.x1+x2=-3 B.x1x2=2 C.|x1-x2=1 D.x+x2=7 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答 元 1.增长率= 增长量 平均增长率 基础量×100% 次 (下降率)问题 2.增长前的量X(1十增长率)增长次数=增长后的量 及应 下降前的量X(1一下降率)下降次数=下降后的量 利润问题“每每模型” 已知条件 所设 未知数 每件利润 销量变化量 总关系式 x-a)m-a】=w 实际 常 进价a元、原售 设售价为 提价e侣 -a 应用 价b元、销量 x元 型 m件、利润w元， 降价c(） -wa+后-u 销量随售价提高 提价： (降低)d元而减 6+y-a)(m-7）=w 设提（降） b+y-a y 少（增加）c件 价y元 降价： b-y-a 6-y-a)(m+）=w 矩形ABCD的长为a,宽为b,空白部分的宽均为x 面积(1)如图①所示，S阴影=(a-2x)(b一2x) 问题(2)如图②所示，S阴影=(a一x)(b一x) (3)如图③所示，矩形空白部分经平移与图②一样，S翻影=(a一x)(b一x) 数学·讲练册潍坊专用 29 面积问题 可出 握手与互送名片模型 握手总次数=n(”,1)(n为人数)（单循环比赛） 元 (比赛问题) 名片总数=n(n一1)(n为人数)（双循环比赛） 次 实际见 程 1.检验方程的根是否正确 及 应用 验根 2.检验方程的根是否符合题意，不符合题意的根要舍去 应 注：不符合实际情况的根也应舍去 【随手一练2】(2023·济南槐荫区二模)如图所示，在一个长为 15m,宽为10m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部 分为绿化用地，如果绿化用地的面积为104m2,那么道路的宽 为 m ●◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 典型例题剖析 》》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆0◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆● 命题点1】一元二次方程的解法 (4)配方法也是一种重要的解题方法，当二 次项系数为1，一次项系数为偶数时，用该法比 方法指导> 较简单 一元二次方程的解法有直接开平方法、配 (5)对于复杂的一元二次方程，一般不急于化 方法、公式法和因式分解法.这四种解法各有自 为一般形式，应观察其特点，看能否用直接开平方 己的特点，如果观察不出它们的特点，找不出最 法或因式分解法；若不能，再化为一般形式求解。 恰当的解法，就会使解题过程太繁琐以致出错. 解决这一问题的关键是：首先理解并记住各种 【例1】(2024·泰安肥城一模)用配方法解一元二 解法适合的类型，其次理解并记住各种解法的 次方程：2x2+3x一3=0. 选取顺序.具体如下： 【自主解答】 (1)若方程符合a(x-n)2=m(ma≥0， a≠0)的形式，用直接开平方法解方程比较简 单；对于一元二次方程的一般形式ax2十bx十 c=0(a≠0)而言，当b=0时，用直接开平方法 求解较好. 【变式训练1】运算能力》(2023·高密月考改编) (2)一般方程ax2十bx十c=0(a≠0)，当 解方程：2(x+1)-x(x+1)=0. c=0时，用因式分解法比较简单. (3)一般方程ax2十bx十c=0(a≠0)，当a, b,C不缺项且不易分解因式时，一般采用公式法， 30 优学秦赢在中考 命题点2】一元二次方程根与系数的关系与 命题点3】一元二次方程的实际应用 根的判别式 【例3】(2023·潍坊潍城区期末)如图所示，杭州 亚运会某场馆的运动员休息区是用长14米的挡 方法指导→ 板，再借助一段墙（墙足够长），围成的矩形ABCD, (1)利用根的判别式解题，通常将方程化为 并在边BC上留一个1米宽的门EF 一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，计算出b2一 (1)当休息区的长和宽分别为多少米时，休息区 4ac的值，然后根据根的情况建立方程或不等式 的面积为25平方米？ 求解 (2)休息区的面积能达到30平方米吗？如果能， (2)利用根与系数的关系解题，常见的变形有 请给出设计方案；如果不能，请说明理由. L+1=x+2 ,x1十x2=（x1十x2)2-2x1x2, 【自主解答】 |x1-x2|=√(x1+x2)2-4x1x2等. 易错警示：解题时不能忽视“b2-4ac≥0” 这一隐含条件。 【例2】推理能力(2024·淄博博山区一模)已知 关于x的一元二次方程x2一(2m一1)x 3m2十m=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根. 【变式训练3】(2024·泰安二模)公安交警部门提 (2)若x1,x,是方程的两个实数根，且工+ 醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规 定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到 x1=- ,求m的值. 5 6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个， x2 6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量 【自主解答】 的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率. (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场 中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若 在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将 减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且 尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售 价应定为多少元/个？ 【变式训练2】(2023·河南中考)关于x的一元二 次方程x2十mx一8=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 数学·讲练册潍坊专用 31 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆( 中考真题演练》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆4◆◆ 8考点1)一元二次方程的解法 6.(2023·菏泽中考，6,3分)一元二次方程x2十 1.(2022·临沂中考，8,3分)方程x2-2x一24= 3x-1=0的两根为x1,2,则1+1的值 0的根是() 为( A.x1=6,x2=4 B.x1=6,x2=-4 C.x1=-6,x2=4D.x1=-6,x2=-4 a含 B.-3 C.3 n- 2.(2021·潍坊中考，4,3分)若菱形两条对角线 7.(2024·山东中考，13,3分)若关于x的方程 的长度是方程x2一6x十8=0的两根，则该菱 4x2一2x+m=0有两个相等的实数根，则m 形的边长为() 的值为 A.√5 B.4 C.25 D.5 8.（2024·烟台中考，13,3分)若一元二次方程 3.(2024·滨州中考，18,4分)解方程： 2x2一4x一1=0的两根为m,n,则3m2一 x2-4x=0. 4m十n2的值为 9.(2023·潍坊中考，12,4分)用与教材中相同型 号的计算器，依次按键 5，显 示结果为2.236067977.借助显示结果，可以 将一元二次方程x2十x一1=0的正数解近似 表示为 .(精确到0.001) 8考点3)一元二次方程的实际应用 8考点2一元二次方程根与系数的关系与 10.几何直观(2022·德州中考，22,12分)如图 根的判别式 所示，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m, 4.(2024·潍坊中考，6,4分)已知关于x的一元 15m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽 二次方程x2-mx-n2+mn十1=0，其中m,n 增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地. 满足m一2n=3,关于该方程根的情况，下列判 (1)若扩充后的矩形绿地面积为800m2,求新 断正确的是( ) 的矩形绿地的长与宽 A.无实数根 (2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长 宽之比为5：3.求新的矩形绿地面积. B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 5.(2024·泰安中考，7,4分)关于x的一元二次 35m 方程2x2一3x+k=0有实数根，则实数k的取 值范围是( ) A号 B6长号 c≥8 D.b<-9 8 32 优学秦赢在中考.x+1=5. 答：购买1台甲种农机具需4万元，购买1台乙种农机具需 :x+ 4 5万元. (2)设需要购买a台甲种农机具，则需要购买(12一a)台乙种农 所以1=3V33 ,=3+V3 4 机具. 【变式训练1】解：2(x十1)一x(x十1)=0； 由题意，得4a+5(12-a)≤57.5， (x+1)(2-x)=0, 解得a≥2.5. x+1=0或2-x=0, :a为正整数，a的最小值为3. 解得x1=一1，x2=2. 答：至少需要购买3台甲种农机具 【例2】解：(1)证明：，△=[-(2m-1)]2一4×1×（一3m2+m) 【变式训练4】D =4m2-4m+1+12m2-4m 【变式训练5】解：(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺 =16m2-8m+1 设管道(1+25%)x=1.25x米， =(4m-1)2≥0， 根轻题意，2 +15=3000 ∴.无论m为何值，方程总有实数根. x (2)由题意知，x1十x2=2m-1,x1x2=一3m2十m. 解得x=40, 2+工=xi+x_(x1十x) 经检验x=40是分式方程的解，且符合题意 IIT2 -2=8, .1.25x=50, (2m-1)2 则原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米 -3m2+m 2=-号整理，得5m2-7m+2=0, (2)设该公司按原计划应安排y名工人施工，3000÷40=75（天）， 2 根据题意，得300×75y≤180000， 解得m=1或n=5 解得y≤8， 【变式训练2】A ∴.不等式的最大整数解为8， 【例3】解：(1)设AB=x米，则BC=(14+1一2x)米 则该公司按原计划最多应安排8名工人施工. 根据题意，得x(14十1一2x)=25, 【中考真题演练】 整理，得2x2一15x+25=0, 1.A2.D3.74.15.B .5 6.D 獬得x1=5,x2=2, 7.解：设甲组有x名工人，则乙组有(35一x)名工人， 当x=5时，14+1-2x=14+1-2×5=5(米)； 根职题在，得号7930×12， 当z=号时，1+1-2=14+1-2×号=10（米）。 解得x=20, 答：当休息区的长和宽分别为5米，5米或10米、号米时，休息区 经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意， ,.35-x=35-20=15. 的面积为25平方米 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人 (2)休息区的面积不能达到30平方米，理由如下： 8.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦时，则一盏A型 假设休息区的面积能达到30平方米， 节能灯每年的用电量为(2x一32)千瓦时， 设AB=y米，则BC=(14+1-2y)米 根据惠意海器-° 根据题意，得y(14+1-2y)=30, x 整理，得2y2-15y+30=0, 解得x=96, .△=(-15)2-4×2×30=-15<0， 经检验，x=96是所列方程的解，且符合题意， 原方程没有实数根， .2x-32=2X96-32=160. ∴假设不成立，即休息区的面积不能达到30平方米. 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦时， 【变式训练3】解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x, 第7讲一元二次方程及应用 依题意，得150(1+x)2=216, 【重点知识梳理】 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去). ①一②2③a.x2+bx+c=0(a≠0)④一半 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20% ⑤x=-6±VB2-4ac (2)设该品牌头盔的实际售价为y元/个， 2a ⑥b2-4ac⑦不相等⑧相等 依题意，得(y-30)[600-10(y-40)]=10000, 整理，得y2-130y十4000=0， ⑨没有目- -①c a 解得y1=80(不合题意，舍去)，y2=50, 【随手一练1】BC 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个」 【随手一练2】2 【中考真题演练】 【典型例题剖析】 1.B2.A 【例1】解：2x2+3x-3=0, 3.解：x2一4x=0, x(x-4)=0, .x=0或x一4=0， 2+2+()=+()月， .x1=0,x2=4. 4.C5.B6.C (+)-器 号869.0618 4 10.解：(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为租用5辆45座客车，7辆60座客车， (35+x)m,宽为(15+x)m,根据题意，得(35+x)(15十x)= 租用6辆45座客车，6辆60座客车， 800,整理，得x2+50x-275=0. 租用7辆45座客车，5辆60座客车， 解得x1=5,x2=-55(不符合题意，舍去)， 租用8辆45座客车，4辆60座客车 .35+x=40,15+x=20. 设租金为w元，则=250a十300(12-a)=-50a十3600. 答：新的矩形绿地的长为40m,宽为20m. .-50<0, (2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为(35+ ∴.心随着a的增大而减小， y)m,宽为(15+y)m, ∴当a=8时，w最小，为-50×8+3600=3200（元）， 根据题意，得(35+y):(15+y)=5:3, ∴.租用8辆45座客车，4辆60座客车较合算，最少租金是 即3(35+y)=5(15+y),解得y=15. 3200元. .(35+y)(15+y)=1500. 【变式训练5】B 答：新的矩形绿地面积为1500m2 【变式训练6】解：(1)设今年3月份A款汽车每辆售价为x万元， 第8讲一元一次不等式（组）及应用 则去年同期A款汽车每辆售价为(x十1)万元， 【重点知识梳理】 ①不变②不变③改变④一个⑤去括号⑥合并同类项 由题意，得9-160二0， x ⑦x>a⑧x≥a⑨x>b⑩x<a①a<x<b②无解 解得x=9. 【随手一练1】C 经检验，x=9是原分式方程的解，且符合题意 【随手一练2】6 答：今年3月份A款汽车每辆售价为9万元. 【典型例题剖析】 (2)设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进(15一y)辆， 【例1】解：解不等式①，得x≤2， 由题意，得亿5y+6(15-)≤105， 解不等式②，得x>一3， (9-7.5)y+(7-6)y≥19， 则不等式组的解集为一3<x≤2 解得7.6≤y≤10. 将解集表示在数轴上如图所示： y是整数， 故y可以取值8,9,10. 答：共有3种进货方案， -4 -3-2-1012 【中考真题演练】 【变式训练1】D 1.B2.D3.D 【变式训练2】解：解不等式2x一6≤0，得x≤3， 4.一1（答案不唯一） 解不等式x<4x- ,得x>2 5.0(答案不唯一) 2 13(x+4)≥2(1-x)①， 则不等式组的解柴为} <x≤3， 6解：2<8-号@， 2 所以整数解为1,2,3，整数解的和为6. 解不等式①，得x≥-2， 【例2】号<a<0【变式训练3】ACD 解不等式②，得x<3, 在数轴上表示不等式①②的解集如图所示： 【变式训练4】m≥-1 【例3】解：(1)设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用 45座客车y辆， 依题意得/5y十15=x, -5-4-3-2-1012345 .原不等式组的解集为一2≤x<3, 60(y-3)=x, 7.解：解不等式①，得x<3. 解得/x=600, 解不等式②，得x≥1. (y=13. ∴.原不等式组的解集为1≤x<3, 答：参加此次研学活动的师生有600人. ∴.整数解为1,2. (2)设租用45座客车a辆，则租用60座客车(12-a)辆 8.解：(1)设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为 要使每位师生都有座位， （x-35)元. 45a+60(12-a)≥600， ∴.12-a≥0， 根据题意，得200=1800×4 x-x-35人5 a≥0， 解得x=125, 解得0≤a≤8. 经检验，x=125是原方程的解，也符合题意， 又，a是整数， .x-35=125-35=90, .a的值为0,1,2,3,4,5,6,7,8， ∴.航空模型的单价为125元/个，航海模型的单价为90元/个 ∴.12-a的值为12,11,10,9,8,7,6,5,4， (2)设购买航空模型m个，学校总花费W元，则购买航海模型 共有9种租车方案： (120-m)个. 租用12辆60座客车， 租用1辆45座客车，11辆60座客车， :航空模型数量不少于航海模型数量的？， 租用2辆45座客车，10辆60座客车， 租用3辆45座客车，9辆60座客车， ∴m≥2(120-m, 租用4辆45座客车，8辆60座客车， 解得m≥40. 5