第2章 第6讲 分式方程及应用-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

第6讲 分式方程及应用（答案3） 重点知识梳理 分式方程：分母里含有① 的方程 解分式方程 解整式 最简公分母为0，x=a是分式方程的增 分式方程去分母整式方程方程 3 根，分式方程无解 的一般步骤 ② 代入最简公分母 ·x=a是分式方程的解 最简公分母不为0 ◆名师点拨：解分式方程时应注意以下两点：1.去分母时，要将最简公分母乘每一个式子，不 要“漏乘”；2.解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可.若能 使最简公分母为0，则该解是原方程的增根。 式 程 定义：使分式方程分母为零的未知数的根 概增根 增根使④ 为零 特征 及 增根是分式方程化成的⑤ 方程的根 法 分 ◆温馨提示：1.分式方程无解有两种情况：一是解为增根，二是去分母后的整式方程无解： 方程 2.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母的值为0的根. 应用 2 m 1 【随手一练1（多选题）运算能力》如果解关于x的分式方程，一十(x-Dx十2)一x十2时 出现增根，则m的值可能为( A.-6 B.-3 C.-2 D.1 列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤类似，不同的是要注意检验： (1)检验所求的解是否是所列⑥ 的解 (2)检验所求的解是否符合实际 方 易错警示：：列分式方程解应用题必须验根，既要检验是否为分式方程的增根（原方程增根应 实 舍去)，又要检验是否满足应用题的实际情况 用【随手一练2】某果农种植了一种有机生态水果，与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.已知 去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是 元 24 优+学秦赢在中考 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆( 典型例题剖析》◆◆◆◆◆◆◆eoo心 命题点1】解分式方程 母的取值范围.但要特别注意使分式方程产生 增根的条件，及满足题意中解的情况的条件，各 方法指导→ 个方面都需要考虑全面. 1.解分式方程的基本思路： 2.增根问题可按如下步骤进行：①让最简 分式方程一 广整式方程 公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方 程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母 2.解分式方程的一般步骤： 的值. 第一步：用方程中各分式的最简公分母去 乘方程的两边，去掉方程中各分式的分母，得到一 【例2】(2024·潍坊模拟)若关于x的方程 个整式方程； -2= 2的解为正数则m的取值范围 第二步：解这个整式方程，求出这个整式方程 是 的根； 【变式训练2】(2024·聊城冠县二模)关于x的方 第三步：将整式方程的根代入最简公分母 (或原方程)进行检验，并作出结论 程2一1m x-2 一2十1有增根，则m的值是() 易错警示：①解分式方程一定要验根；②解 A.0 B.2或3 分式方程一定不要漏乘项或出现符号错误， C.2 D.3 【例1】(2024·临沂二模)解方程：x- 2x-3 【变式训练3】(2024·淄博周村区二模)已知关于 12 x的分式方程产一2=。 x+1x-1 (1)当m=1时，求方程的解. 【自主解答】 (2)若关于x的分式方程，二一2=”的解为 非负数，求m的取值范围. 【变式训练】(2923·大连中考)将方程， 3= 3x去分母，两边同乘(x-1)后的式子 1-x 为() A.1+3=3x(1-x)B.1+3(x-1)=-3x C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x 命题点2】由分式方程的解的情况求参数的 值或范围 方法指导→ 1.已知分式方程解的取值范围，求方程中 字母的取值范围问题，需要先用字母表示出分 式方程的解，再代入解的取值范围，从而确定字 数学·讲练册潍坊专用 25 命题点3】分式方程的应用 【变式训练4】(2024·绥化中考)一艘货轮在静水 中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行 方法指导→ 120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行 列分式方程解应用题要做到认真审题，理 80km所用时间相等，则江水的流速为() 解题意，会找等量关系，能够根据列方程的需要 A.5 km/h B.6 km/h 直接或间接设未知数，能够根据基本数量关系 C.7 km/h D.8 km/h 列代数式表示出各个未知量，从而列出分式方： 【变式训练5】(2024·雅安中考)某市为治理污 程.另外，求得分式方程的解后必须要验根，验根 水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水 时要从两方面考虑：一是所求得的根是否是原方 排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影 程的解；二是所求得的根是否符合实际意义 响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%， 结果提前15天完成铺设任务. 【例3】(2024·潍坊潍城区期末)某粮食种植基地 (1)求原计划与实际每天铺设管道各是多少米， 为了提高小麦收割的效率，计划投入一笔资金购 (2)负责该工程的施工单位按原计划对工人的工 买甲、乙两种农机具，已知1台甲种农机具比 资进行了初步的预算，工人每天人均工资为 1台乙种农机具便宜1万元，用24万元购买甲种 300元，所有工人的工资总金额不超过18万元. 农机具的数量和用30万元购买乙种农机具的数 该公司按原计划最多应安排多少名工人施工？ 量相同 (1)求购买1台甲种农机具和1台乙种农机具各 需多少万元. (2)该粮食种植基地计划购买甲、乙两种农机具 共12台，且购买的总费用不超过57.5万元，求 至少需要购买多少台甲种农机具. 【自主解答】 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆《《 中考真题演练 》◆◆0000◆0◆◆◆◆0◆0◆◆0◆◆◆◆000◆◆◆◆◆◆◆00 8考点1分式方程的解法 是() 1.(2024·济宁中考，8,3分)解分式方程1 A.2-6x+2=-5B.6x-2-2=-5 1 C.2-6x-1=5 5。时，去分母变形正确的 D.6x-2+1=5 3x-1=- 2-6x 26 优+学秦赢在中考 2.(2023·日照中考，10,3分)若关于x的方程 B.427)×100%=-14.0% 4271 2二2”2的解为正数，则m的取值范 C.x-4271 ×100%=-14.0% 围是() A,m>-2 4 D.4271-乙×100%=-14.0% 3 B.m<3 7.新情境(2024·泰安中考，22,10分)随着快递 C.m>- 景且m0D.m粗m大号 行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广 3 3.(202·济南中考，16,4分)代数式2千2与代 阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两 个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产 数式名的值相等，则x= 品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每 人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每 4.(2021·潍坊中考，14,4分)若x<2,且 x-2 天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两 |x一2|+x一1=0，则x= 组各有多少名工人 8考点2)分式方程的应用 5.(2024·山东中考，6,3分)为提高生产效率，某 工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前 每天多生产100件，改造后生产600件的时间 与改造前生产400件的时间相同，则改造后每 天生产的产品件数为( A.200 B.300 C.400 D.500 6.(2022·潍坊中考，7,3分)观察我国原油进口 8.(2024·威海中考，17,6分)某公司为节能 月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年 环保，安装了一批A型节能灯，一年用电 4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方 16000千瓦时.后购进一批相同数量的B型节 267 能灯，一年用电9600千瓦时.一盏A型节能 法：4036×100%≈6.6%).202年3月当月 灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电 增速为-14.0%，设2021年3月原油进口量 量的2倍少32千瓦时.求一盏A型节能灯每 为x万吨，下列算法正确的是() 年的用电量 原油进口月度走势图 14000 140 20.1 12000 -0.1 6.620 10000 -14.6 -6.2-11.0 49 0 24.519.2-15.3 8.0 514 -4 -20 8000 -40 6000 4096 4036 41794614 2714303 -60 4000 412444534015378 401 -80 2000 -100 2021年5月6月7月8月9月10月11月12月2022年3月4月 4月 1-2月 口当月进口量（万吨）·当月增速(%) x-4271 A. 4271 ×100%=一14.0% 数学·讲练册 潍坊专用 27(2)设经过x秒，点A,B到原点距离之和为y, .方程组的解为 2 则y=|一3+x|+|12-2x|, y=1. 当x≤3时，y=|-3+x|+|12-2x|=3-x+12-2x= |3x+2y=-12①， (2)原方程组转化为 -3x+15, 13x-4y=6②， 当x=3时，y值最小，为6， ①-②，得6y=-18, 当3<x≤6时，y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x+12- 解得y=一3. 2x=-x+9, 把y=-3代入①，得3x+2×(-3)=-12, 当x=6时y值最小，为3， 解得x=一2. 当x>6时，y=|-3十x|+|12-2x|=一3+x-12+2x= ·方程组的解为口=一2， 3x-15,无最小值. 1y=-3. 综上所述，点A,B到原点距离之和的最小值为3. 【变式训练3】解：方法1：由①，得x=2y十1， 第6讲分式方程及应用 把x=2y十1代人方程②，得3(2y十1)十4y=23,解得y=2, 【重点知识梳理】 把y=2代入①，得x一4=1，解得x=5, ①字母②方程两边同乘最简公分母③检验④最简公分母 所以原方程组的解是口=5， ⑤整式 wy=2. 【随手一练1】AB 方法2：①×2+②，得5x=25,解得x=5, ⑥分式方程 将x=5代入①，得5-2y=1,解得y=2, 【随手一练2】4 所以原方程组的解是口=5， 【典型例题剖析】 y=2. 【例1】解：去分母，得2x-3-(x-1)=2(x+1), 【变式训练4】C 解得x=一4， 【例3】解：(1)设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商 检验：把x=一4代入最简公分母，得(x十1)(x一1)≠0， 品的销售单价为y元， ∴分式方程的解为x=一4. 由题意，得一x=10, 【变式训练1】B (y-5)-(1+10%)x=1, 解得x40, 【例2】m<专且m≠号 【变式训练2D ly=50. 【变式训练3】解：(1)当m=1时， 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单 1 价为50元. (2)销售总额=(1+10%)×40m+(50-5)n=(44m+45n)元. 答：调整后该商品在两地年销售总额为(44m十45n)元， 【变式训练5】9 +2 【变式训练6】解：(1)设打折前甲品牌篮球每个为x元，乙品牌篮 x+1 球每个为y元， x-1=2, 由题意，得+y=180, 去分母，得x十1=2(x-1), {0.9×3x+0.8×2y=398, 解得x=3, 解得=100， 检验：当x=3时，x一1≠0， y=80. 故方程的解为x=3. 答：打折前甲品牌篮球每个为100元，乙品牌篮球每个为80元 (2)2 12-1z (2)10×100×(1-90%)+6×80×(1-80%)=196(元). 答：打折后购买比不打折购买节省了196元钱. 马=2， x 【中考真题演练】 m 16- x-1+x-7=2, 2.解：整理方程组，得-2)-30， 四-2， 2x+3y=13②， 去分母，得x十m=2(x-1), ①×2-②，得-7y=-7,解得y=1, 解得x=m十2， 把y=1代入①，得x-2=3,解得x=5, 由分式方程有解且解为非负数，得x≠1且x≥0， 原方程组的解为区=5， 即m+2≠1且m+2≥0， y=1. 即m≥一2且m≠一1. 3.C4.D5.C 【例3】解：(1)设购买1台甲种农机具需x万元，则购买1台乙种 6.2 农机具需(x+1)万元. 7.解：(1)设经过x秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度， 则|(-3+x)-(12-2x)|=3, 根据题意，得24.30 xx+1' 解得x=4或x=6. 解得x=4, 答：经过4秒或6秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度. 经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意， 3 .x+1=5. 答：购买1台甲种农机具需4万元，购买1台乙种农机具需 :x+ 4 5万元. (2)设需要购买a台甲种农机具，则需要购买(12一a)台乙种农 所以1=3V33 ,=3+V3 4 机具. 【变式训练1】解：2(x十1)一x(x十1)=0； 由题意，得4a+5(12-a)≤57.5， (x+1)(2-x)=0, 解得a≥2.5. x+1=0或2-x=0, :a为正整数，a的最小值为3. 解得x1=一1，x2=2. 答：至少需要购买3台甲种农机具 【例2】解：(1)证明：，△=[-(2m-1)]2一4×1×（一3m2+m) 【变式训练4】D =4m2-4m+1+12m2-4m 【变式训练5】解：(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺 =16m2-8m+1 设管道(1+25%)x=1.25x米， =(4m-1)2≥0， 根轻题意，2 +15=3000 ∴.无论m为何值，方程总有实数根. x (2)由题意知，x1十x2=2m-1,x1x2=一3m2十m. 解得x=40, 2+工=xi+x_(x1十x) 经检验x=40是分式方程的解，且符合题意 IIT2 -2=8, .1.25x=50, (2m-1)2 则原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米 -3m2+m 2=-号整理，得5m2-7m+2=0, (2)设该公司按原计划应安排y名工人施工，3000÷40=75（天）， 2 根据题意，得300×75y≤180000， 解得m=1或n=5 解得y≤8， 【变式训练2】A ∴.不等式的最大整数解为8， 【例3】解：(1)设AB=x米，则BC=(14+1一2x)米 则该公司按原计划最多应安排8名工人施工. 根据题意，得x(14十1一2x)=25, 【中考真题演练】 整理，得2x2一15x+25=0, 1.A2.D3.74.15.B .5 6.D 獬得x1=5,x2=2, 7.解：设甲组有x名工人，则乙组有(35一x)名工人， 当x=5时，14+1-2x=14+1-2×5=5(米)； 根职题在，得号7930×12， 当z=号时，1+1-2=14+1-2×号=10（米）。 解得x=20, 答：当休息区的长和宽分别为5米，5米或10米、号米时，休息区 经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意， ,.35-x=35-20=15. 的面积为25平方米 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人 (2)休息区的面积不能达到30平方米，理由如下： 8.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦时，则一盏A型 假设休息区的面积能达到30平方米， 节能灯每年的用电量为(2x一32)千瓦时， 设AB=y米，则BC=(14+1-2y)米 根据惠意海器-° 根据题意，得y(14+1-2y)=30, x 整理，得2y2-15y+30=0, 解得x=96, .△=(-15)2-4×2×30=-15<0， 经检验，x=96是所列方程的解，且符合题意， 原方程没有实数根， .2x-32=2X96-32=160. ∴假设不成立，即休息区的面积不能达到30平方米. 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦时， 【变式训练3】解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x, 第7讲一元二次方程及应用 依题意，得150(1+x)2=216, 【重点知识梳理】 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去). ①一②2③a.x2+bx+c=0(a≠0)④一半 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20% ⑤x=-6±VB2-4ac (2)设该品牌头盔的实际售价为y元/个， 2a ⑥b2-4ac⑦不相等⑧相等 依题意，得(y-30)[600-10(y-40)]=10000, 整理，得y2-130y十4000=0， ⑨没有目- -①c a 解得y1=80(不合题意，舍去)，y2=50, 【随手一练1】BC 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个」 【随手一练2】2 【中考真题演练】 【典型例题剖析】 1.B2.A 【例1】解：2x2+3x-3=0, 3.解：x2一4x=0, x(x-4)=0, .x=0或x一4=0， 2+2+()=+()月， .x1=0,x2=4. 4.C5.B6.C (+)-器 号869.0618 4